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INECUACIONES Una inecuación es una desigualdad en la que hay una o más cantidades desconocidas (incógnitas) y que sólo se verifica (o demuestra) para determinados valores de las incógnitas. Las inecuaciones también se conocen como desigualdades de condición.

Para resolver una inecuación deben encontrarse los valores de las incógnitas que satisfagan la inecuación. La resolución de inecuaciones se fundamenta en las propiedades de las desigualdades antes expuestas y en las consecuencias que de las mismas se derivan.

INECUACIONES LINEALES DE PRIMER GRADO

Ejemplos 1) Resolver 2x - 3 > x + 5 Pasando x al primer miembro y 3 al segundo se tiene: 2x - x > 5 + 3 Reduciendo: x > 8 S=

2) Suprimiendo denominadores (ver propiedad 2) se tiene: 42 - 3x > 10x - 36 Trasponiendo términos:

- 3x - 10x > - 36 - 42 - 13x > - 78

Cambiando el signo a los dos miembros, lo cual hace cambiar el signo de la desigualdad, origina: 13x < 78

. S=

3) Encontrar el límite de x en (x + 3)(x - 1) < (x - 1)2 + 3x Efectuando las operaciones indicadas: x Suprimiendo x

2

2

+ 2x - 3 < x

2

- 2x + 1 + 3x

en ambos miembros y transponiendo: 2x + 2x - 3x < 1 + 3 x<4 S=

4) Dada la siguiente inecuación

. Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Sumando -5 a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Multiplicando por

a ambos miembros de la ecuación para obtener:

S=

5) Dada la siguiente inecuación

. Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Sumando 2 y

a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Sumando -7 a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Multiplicando por

a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Note que se multiplicó por un número negativo y se invirtió el sentido de la inecuación.

El conjunto solución es entonces; S=

6) Dada la siguiente inecuación

. Halle el conjunto solución y grafíquelo.

Se tiene que tener una expresión lineal en la inecuación, por tanto se debe multiplicar a ambos miembros por la variable x. Pero como se desconoce el signo de esta variable se deben considerar dos casos. Caso 1: Cuando Caso 2: Cuando

El caso

no se considera porque no se puede dividir por cero.

Caso I: Al multiplicar por

el sentido de la inecuación no se altera,

obteniéndose:

Multiplicamos por

a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Para el Caso 1 se obtiene una solución parcial que llamaremos

, la cual debe

incluir todos los números reales que cumplan con:

y

Si

es el conjunto solución de

entonces la solución parcial

será:

y

el conjunto solución de .

=

=

=

=

Caso 2: Al multiplicar por

el sentido de la inecuación se invierte

obteniéndose:

Multiplicamos por

a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Para el Caso 2 se obtiene una solución parcial

, la cual debe incluir todos los

números reales que cumplan con:

y

Si

es el conjunto solución de

entonces la solución parcial

será:

=

=

y

al conjunto solución de .

=

=

Teniendo ya las soluciones parciales para los Casos 1 y 2, entonces podemos obtener la solución general que será denotada por unión de

y

y que vendrá dada por la

, es decir:

7) Dada la siguiente inecuación

. Halle el conjunto solución

y grafíquelo.

Se encuentra el m.c.m. (2, 3, 4) = 12 y se multiplica por 12 ambos miembros de la inecuación para obtener:

Sumando 8 y

a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Sumando -6 a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

Multiplicamos por

a ambos miembros de la inecuación se obtiene:

S=

INECUACIONES CUADRÁTICAS

Procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas de forma analítica:

Primer Paso: Factorizar el polinomio. Segundo Paso: Considerar los casos necesarios para que se cumpla la inecuación. Tercer Paso: Realice la intersección o unión de los conjuntos solución de acuerdo al caso seleccionado. Cuarto Paso: dar la solución en forma de intervalos y graficarla.

Ejemplo 1) Dada la siguiente inecuación

. Halle el conjunto solución y

grafíquelo.

Primer paso: Factorizar el polinomio dado: una inecuación de la forma:

Segundo paso: Los casos que se deben considerar son los siguientes: Caso I: Cuando ambos binomios son positivos es decir:

y Caso II: Cuando ambos binomios son negativos, es decir:

y Solución Caso I:

, quedando

Sea

el conjunto solución de la inecuación

de la inecuación

Solución para

Solución Caso II:

al conjunto solución

, la solución del Caso I viene dada por:

Solución para

La solución para

y

es entonces:

Si llamamos

al conjunto solución de la inecuación

solución de la inecuación

Solución para

:

Solución para

:

La solución para

Solución General

es entonces:

y

al conjunto

, la solución del Caso II viene dada por:

La solución general será la unión de

y

, es decir:

El método que acaba de estudiarse, para resolver inecuaciones cuadráticas se llama método analítico. Existe un método alternativo, el método gráfico, que también se conoce como el método del Cementerio o método de las cruces. El procedimiento para resolver inecuaciones cuadráticas utilizando este método consiste igualmente en factorizar el polinomio cuadrático, encontrar las raíces reales y ubicarlas sobre la recta real, dando origen de esta manera a intervalos en la recta. Luego, para cada intervalo, se va evaluando cada binomio para determinar el signo de éste, es decir, se le asignará a la variable, un valor arbitrario que pertenezca a cada intervalo para conseguir el signo de cada binomio. Por último, se seleccionan los intervalos para los cuales se cumple la desigualdad.

Ejemplos: 1) Dada la siguiente inecuación

, halle el conjunto solución y

grafique.

Se factoriza el polinomio, la forma:

, quedando la inecuación de

Las raíces que anulan

son

y

. Se ubican sobre la recta

real (ver cuadro 1). Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos.

Cuadro 1. Raíces ubicadas en la recta real.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es positivo por ser la inecuación > 0, por lo tanto la solución viene dada por:

2) Dada la siguiente inecuación

, halle el conjunto solución y

grafique.

Se desarrollan los productos notables, se multiplican por 6 ambos miembros de la inecuación y se reducen términos semejantes, obteniendo:

Factorizando el polinomio resultante, se tiene:

,

resultando una inecuación de la forma:

Las raíces de

son

y

, las cuales se ubican sobre la recta

real. Se le asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.

Se aprecia en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el producto de los dos binomios es negativo por lo tanto la solución viene dada por:

Gráficamente:

INECUACIONES RACIONALES

Son inecuaciones racionales, aquellas en las que tanto el numerador como el denominador son inecuaciones polinómicas cuadráticas o polinómicas de grado mayor a 2. Estos tipos de problemas pueden ser resueltos usando el método analítico o el método gráfico.

Ejemplo:

1) Dada la siguiente inecuación

halle el conjunto solución y

grafique.

Factorizando los polinomios dados:

,

Las raíces que anulan el numerador son denominador son

y

y

, y las que anulan el

, las cuales se ubican sobre la recta real. Se le

asignan valores arbitrarios a x en cada intervalo, y se determinan los signos de la desigualdad.

Se observa en el cuadro anterior que la desigualdad se cumple para aquellos intervalos donde el cociente es negativo, debido a que la inecuación original < 0 (es negativa) por lo tanto la solución viene dada por:

Gráficamente:

SISTEMAS DE INECUACIONES EN UNA VARIABLE

Un sistema de inecuaciones es un conjunto mayor o igual a dos inecuaciones que se satisfacen de manera simultánea por los mismos valores de la variable.

Ejemplos 1) Hallar el conjunto solución del siguiente sistema de inecuaciones:

Resolviendo la inecuación (I):

Resolviendo la inecuación (II):

La solución general es:

2) ¿Qué valores de x satisfacen las inecuaciones siguientes? 2x - 4 > 6 3x + 5 > 14 Resolviendo la primera: 2x > 6 + 4 2x > 10 x>5

Resolviendo la segunda: 3x > 14 - 5 3x > 9 x>3

La solución general es entonces:

3) Hallar el límite de las soluciones comunes a las inecuaciones: 3x + 4 < 16 -6-x>-8 Resolviendo la primera: 3x < 16 - 4 3x < 12 x<4

Resolviendo la segunda: -x>-8+6 -x>-2 x<2

La solución general es entonces:

4) Encontrar el límite superior e inferior de los valores de x que satisfacen las inecuaciones: 5x - 10 > 3x - 2 3x + 1 < 2x + 6 Resolviendo la primera: 5x - 3x > - 2 + 10 2x > 8 x>4

Resolviendo la segunda: 3x - 2x < 6 - 1 x<5

La solución general es entonces:

5) Encontrar el límite superior e inferior de los valores de x que satisfacen las inecuaciones: 5x − 10 > 3x − 2 3x + 1 < 2x − 6 Resolviendo la primera: 5x - 3x > - 2 + 10 2x > 8 x>4

Resolviendo la segunda: 3x − 2x < −6 − 1 x < −7

La solución general es entonces:

NOTA: como puede ver, las soluciones parciales no llegan a intersectarse, por lo tanto la solución es el conjunto vacío.

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Definición de valor absoluto Sea

Se define el valor absoluto de x como:

Algunas propiedades del valor absoluto Sean

i)

ii)

iii)

Desigualdad triangular.

iv)

Desigualdad triangular. Demostración:

Desigualdades con valor absoluto

Sea

. Se tiene entonces:

1)

Intervalo simétrico respecto a cero.

2)

Inecuaciones de primer grado con valor absoluto

Sean . Las inecuaciones de primer grado con valor absoluto pueden presentar ls siguientes formas:

1)

⇒

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

y grafique.

y grafique.

2)

⇒

Ejemplos:

a) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

y grafique.

-2

b) Encuentre el conjunto de soluciones que satisface:

y grafique.

EJERCICIOS 1) Resolver las siguientes ecuaciones: 1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

1.5) 1.6) 1.7)

1.8)

1.9)

1.10)

1.11) 1.12)

2) Resolver las siguientes desigualdades. Represente las soluciones en notación de intervalos y geométricamente 2.1) 2.2) 2.3) 2.4)

2.5)

2.6) 2.7)

2.8)

2.9)

2.10) 2.11)

Inecuaciones

01)

3x < 15

02)

3x + 6 > 2x + 12

03)

4x - 8 > 3x - 14

04)

10x + 24 < 16x + 12

05) 06)

- 2x + 3 > - 3x - 1

07)

5(x + 6) - 5 > - 10

08) 09) 10)

6 + 3(x + 1) > 7 + 4(x - 1)

11)

5 - [ 2x + (x + 2) ] < 4

12) 13) 14)

2x - 3 - 4(x2 - 5) > 20 + 5x - 4x2

15)

7x(2x +5) - 5x(2x + 3) < (2x + 4)2

16)

(4x + 2)(4x + 9)

17) 18) 19)

(4x + 6)2

INECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. a) X 2 ≥16

R. IR - ] -4 , 4[

b) 9x 2 < 25

R. ] - 5/3 , 5/3 [

c) 36 > ( x - 1) 2

R. ] - 5 , 7 [

d) (x + 5) 2 ≤( x + 4 ) 2 + ( x - 3 ) 2 e) x ( x - 2 ) < 2 ( x + 6)

R. IR - ] 0 , 8 [ R. ] - 2 , 6 [

f) x2 - 3x > 3x - 9

R. IR - _3_

g) 4 ( x - 1) > x2 + 9

R.

h) 2x2 + 25 ≤x ( x + 10 )

R. _5_

i) 1 - 2x ≤(x + 5) 2 - 2(x + 1) j) 3 > x ( 2x + 1)

R. IR R. ] -3/2 , 1 [

k) x ( x + 1) ≥15(1 - x2 )

R. IR - ] -1 , 15/16 [

l) ( x - 2 ) 2 > 0

R. IR - _2_

m) ( x - 2) 2 ≥0

R. IR

n) ( x - 2) 2 < 0

R.

o) ( x - 2) 2 ≤ 0

R. _2_

INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.

•

Ejercicios Sistemas de inecuaciones 1. Resuelve los siguientes sistemas de inecuaciones y representa las soluciones gráficas por intervalos: a. ) b. )

x-5>0 2x < 10 3 - x > 16 -3x > -15

2. Resuelve los siguientes sistemas: a. ) b. )

2x - 3 > 5 2x + 5 > 3x - 8 2+ 4x > 1 x > -3