Guia2 2006

Gu´ıa 2, Calculo II Facultad de Ingenier´ıa, U. de Los Andes. Prof. Rodrigo Lecaros Auxiliar: Alexis Fuentes Semestre 2006-1 P1.- Sea f definida por f (x, y) =

(

√x

si (x, y) 6= (0, 0)

x2 −y

0

si (x, y) = (0, 0)

(1)

a) Encuentre Dom(f ), grafique. b) Determine las curvas de nivel de f c) Determine si f es continua en (0, 0). P2.- Encuentre los conjuntos de nivel para las siguientes funciones (para los niveles que se indica) a) f (x, y) = x + y para f (x, y) = 1. b) f (x, y) = (x2 + y 2 + 1)2 − 4x2 para f (x, y) = 0.

c) f (x, y, z) = (xyz, x + y) para f (x, y, z) = (0, 1).

P3.- Determine si las siguientes funciones admiten l´ımite en los puntos que se indican: 3

3

x en (0, 0). • i) f (x, y) = 2 xxy−y 2 +y 2

• ii) f (x, y) =

sen(x)−sen(y) x−y

• iii) f (x, y) =

xy 2 x2 +y 4

en (0, 0).

en (0, 0).

P4.- Sean f, g, h : IR2 → IR tres funciones continuas. se define la funci´on F : IR2 → IR por F (x, y) = h(f (x, y), g(x, y)). Demuestre que F es continua. P5.- Estudie la continuidad de las siguientes funciones. a) f (x, y) =



√x x+y

1

si x + y 6= 0 si x + y = 0

(2)

b) f (x, y, z) = x3 ln(x3 y + z) + sen(z 3 + x). P6.- Sea L : IRn → IR una funci´on lineal. Demuestre que las siguientes proposiciones son equivalentes:

a) L es continua en un punto. b) L es continua. c) ∃C > 0 : kL(~x)k ≤ Ck~xk, ∀~x ∈ IRn .

d) ∃M > 0 : kL(~x)k ≤ 1 ⇒ kL(~x)k ≤ M . P7.- Demuestre que toda funci´on lineal de IRn en IRm es continua. P8.- Sea f : IRn → IRm . Pruebe que las siguientes proposiciones son equivalentes: a) f es continua en todo punto de IRn . b) ∀A ⊆ IRm abierto, f −1 (A) es abierto en IRn .

c) ∀B ⊆ IRm cerrado, f −1 (B) es cerrado en IRn .

Ind: Puede ser util demostrar que :f −1 (Ac ) = f −1 (A)c . P9.- Encontrar todas las derivadas parsiales para las funsiones f (x, y) = (ex cos(y), ex sen(y)) y f (x, y) = logx (y). P10.- Sea f : IR2 → IR continua y diferenciable. Sea Gf = {(~x, f (~x)) : ~x ∈ Dom(f )} el grafo de f . Sea F : IR3 → IR tal que F (x, y, z) = z − f (x, y). a) Muestre que Gf corresponde a un conjunto de nivel de F . b) Muestre que ∇F = (− ∂f , − ∂f , 1). ∂x ∂y c) Encuentre el vector normal y el plano tangente a Gf cuando f (x, y) = xy + yex en el punto (1, 1). P11.- Sea p f (u, v) = (u cos(v), u sen(v)), con −π/2 < v < π/2 y g(x, y) = ( x2 + y 2 , artan(y/x)) para x > 0. a) Encontrar D(g ◦ f )(u, v) y D(f ◦ g)(x, y).

b) Determinar si Dom(f ) = Dom(g ◦ f ), y si Dom(g) = Dom(g ◦ f ). P12.- Sea S = {x ∈ IR2 : kxk = 1}. Sea g : S → IR una funci´on continua tal que g(1, 0) = g(0, 1) = 0 y g(−x) = −g(x), ∀x ∈ S. Sea f : IR2 → IR la funci´on definida por  x kxkg( kxk ) si x 6= 0 f (x) = 0 si x = 0

a) Dado a ∈ IR2 demuestre que la funci´on h(t) = f (at), t ∈ IR es diferenciable. b) ¿Es f diferenciable en (0, 0)?. 2

P13.- Encontrar ∇f en cada uno de los siguientes casos. a) f (x, y) = x2 − y 2 sen(y) en (a, b).

b) f (~x) = k~xkα , ~x ∈ IRn , α ∈ IR. P14.-

a) Sea g(x, y) = ex+y , f : IR → IR2 tal que f (0) = (1, −1) y f 0 (0) = (1, 2), encontrar F 0 (0) donde F (t) = (g ◦ f )(t).

b) Sea f (x, y, z) = sen(x), F (t) = (cos(t), sen(t), t), encontrar g 0 (π) donde g(t) = (f ◦ F )(t). P15.- Sea φ : IR2 → IR2 una funci´on de clase C 1 (IR2 , IR2 ). tal que sus componentes φ1 , y φ2 verifican que ∂φ1 ∂φ2 ∂φ1 ∂φ2 = y =− . ∂y ∂x ∂x ∂y Sea h : IR2 → IR una funci´on de clase C 1 (IR2 , IR). se define la funci´on f : IR2 → IR por f = h ◦ φ. Demuestre que h∇f (x, y), ∇φ1(x, y)i =

∂h (φ(x, y)) · k∇φ1 (x, y)k2 ∂x

P16.- Hallar la ecuaci´on para el plano tangente a cada superficie z = f (x, y) en el punto indicado: a) z = x3 + y 3 − 6xy, en (1, 2, −3).

b) z = cos(x)sen(y), en (0, π/2, 1)

P17.- Calcular para los siguientes casos la direcci´on de mayor crecimiento en (1, 1, 1): a) f (x, y, z) = xy + yz + xz. b) f (x, y, z) =

1 . x2 +y 2 +z 2

P18.- Sea f y g funciones de IR3 → IR. suponga que f es diferenciable y ∇f (x) = g(x) · x. Mostrar que f es constante para las esferas centradas en el origen.

3