Geometría

Geometría Es una ciencia que tiene por objeto el estudio de la extensión, estudia las propiedades de las figuras cuyos puntos no están en el mismo plano. Las propiedades de la geometría del espacio resultan ser una secuencia lógica de los postulados y propiedades de la geometría plana, los entes geométricos fundamentales son el punto, la recta y el plano. Tanto como la recta como el plano son conjuntos de puntos, y el conjunto de puntos son lugares geométricos.

1.1. Trazados Geométricos básicos El punto: Es lo que no tiene partes. No tiene dimensión, podemos considerarlo como una posición del espacio. Se representa con los símbolos +, x ó o, que hacen referencia a la intersección de dos rectas y al centro de una circunferencia, respectivamente. Se identifican con letras mayúsculas o números. Existe una serie de puntos que cumplen una función u ocupan una posición que los diferencia de los demás puntos. Los vértices, centros, puntos medios etc., son ejemplos de estos puntos que se conocen como puntos notables Línea: Es la longitud sin anchura. La línea se puede considerar como un punto en movimiento continuo. Si el movimiento es siempre en la misma dirección, la línea es recta, curva si cambia continuamente de dirección y poligonal si cambia de dirección a intervalos. Tiene sólo una dimensión, la longitud, que es el espacio recorrido por el punto. Se representan con trazos de diferentes grosores según su función en el dibujo y se nombran con letras minúsculas. Las rectas notables son las más importantes de una figura. El movimiento de una recta en la misma dirección determina un plano. Recta: Es una línea que yace uniformemente en todos sus puntos. Superficie: Es sólo lo que tiene longitud y anchura. Plano: Es una superficie tal que el segmento de recta que une dos puntos cualesquiera de ella, pertenecen íntegramente a dicha superficie. Es ilimitado, si limitamos el plano con rectas obtenemos figuras planas como los polígonos. Los ángulos son porciones de planos limitados por dos rectas. Las curvas cerradas son intervalos de planos limitados por líneas curvas cerradas. Los planos se nombran con letras mayúsculas y los intervalos de planos por sus puntos y rectas notables. A pesar de ser una superficie ilimitada, el plano se representa por un paralelogramo.

Π Es frecuente designar a un plano por la letra griega Π

1.2. Lugares geométricos Un lugar geométrico es el conjunto de puntos que cumplen una determinada condición que sólo pueden cumplir ellos. Es importante asimilar bien este concepto para facilitar el razonamiento de los trazados geométricos. a) b) c)

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos puntos fijos. La bisectriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de dos rectas fijas. La circunferencia la podemos definir como el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo.

Fig 1 Trazado de la mediatriz

Fig 2 Trazado de la Bisectriz

c) Circunferencia  Es un conjunto de puntos de un plano cuya distancia al punto fijo o del plano se llama centro, es una constante llamada radio.  Es una línea cerrada y plana, cuyos puntos gozan de una propiedad de que todos están a igual distancia de otro punto interior llamado centro. El diámetro de la circunferencia es igual a 2r.

Si medimos con un hilo la longitud de la circunferencia, veremos que es igual a 3,14 su diámetro. A este número decimal se lo define con la letra griega “pi”:

π = 3.14

L = d ×π

1.- ) Elementos de una circunferencia 1.1) 1.2) 1.3) 1.4)

Radio: Segmento que une el centro con un punto de la circunferencia. Cuerda: Segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia. Diámetro es una cuerda que pasa por el centro. Arco: Parte de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.

Circulo Es la superficie plana limitada por una circunferencia. El centro y el radio del círculo son los de la circunferencia El área de un círculo es: A =π r2 Al área comprendida entre un arco y los radios que unen al centro con sus extremos se le denomina sector circular, y a la región comprendida entre una cuerda y un arco se le conoce como segmento circular. En ambos casos, se puede hablar de área mayor o menor en caso de ambigüedad. Si T es un sector circular cuyo ángulo central es α y radio r, la longitud de su arco y su área se calculan mediante las fórmulas

2πα cuando α se expresa en grados, mientras que si α se expresa en radianes, 360 0 Arco = rα Arco =

2π 2α cuando α se expresa en grados es, mientras que si se expresa en radianes Área = 360 0 r 2α es, Área = 2 Relación entre rectas y circunferencias Recta secante: aquella recta que toca dos puntos de la circunferencia. Recta tangente: aquella recta que toca un solo punto de la circunferencia. Recta exterior: aquella recta que no toca ningún punto.

Recta secante

Recta tangente

Recta exterior:

Relación entre dos circunferencias

concéntricas

Interiores

Tangentes interiores

Circunferencias concéntricas: Son aquellas que comparten el centro. Circunferencias interiores: No comparten ningún punto, una esta dentro de la otra. Circunferencias tangentes interiores: Comparten un punto estando una dentro de la otra.

Secantes

tangentes exteriores

Circunferencias exteriores:

Circunferencias secantes: aquellas que comparten dos puntos. Circunferencias tangentes exteriores: son aquellas que comparten un solo punto, la distancia entre sus centros es la suma de sus dos radios. Circunferencias exteriores: son aquellas en que no comparten ningún punto, la distancia entre sus centros es mayor a la suma de sus radios.