Geometria Analitica1
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Introducción La geometría analítica es la geometría de las gráficas de coordenadas, las cuales usan ecuaciones algebraicas para representar figuras geométricas. Es la parte de las matemáticas que, entre otras cosas, se ocupa de resolver algebraicamente los problemas de la geometría. La Geometría Analítica fue presentada presentad por primera vez por René Descartes en su libro llamado “Géometrie” que se publicó en el año de 1 637. En esta obra, se establecía la relación explícita entre las curvas y las ecuaciones y podemos decir, que además de Descartes, todos los matemáticos de los siglos XVII y XVIII, contribuyeron de una forma o de otra, al desarrollo de esta nueva teoría, que en la actualidad actualidad se estudia con el nombre de Geometría Analítica, y que se fundamenta en el uso de Sistemas de Coordenadas Rectangulares o Cartesianas en honor de su fundador. En este capítulo veremos cómo hallar la distancia entre dos puntos, así como las coordenadas das de los puntos medios de un segmento de recta y la pendiente y el ángulo de inclinación de un segmento. segmento Distancia entre dos puntos Sean las coordenadas de dos puntos cualesquiera A (x2; y2) y B (x1; y1); la distancia entre ellos es igual a la longitud del segmento AB. Así:
d(A,B)
A (x2;y2)
y2 – y1
x1 x2
B (x1;y1)
y1 x1 – x2
d(A; B) =
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
(x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
y2
1
Ejercicios:
02. La distancia entre dos puntos de igual ordenada es 8. Si uno de los puntos tiene abscisa -3, halla la abscisa del otro punto. 03. Halla las longitudes de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos: A (3;-4), B (2;1) y C (6;-2) A (0;5), B (0;4) y C (12;4) 04. Los puntos P, Q y R son los vértices de un triángulo. Determina en cada caso si es equilátero, isósceles o escaleno. P (-1; 5), Q (0; -4) y R (8; 4) P (4; 0), Q (-3; 4) y R (-3; -4) P (-2;-1), Q (3; 2) y R (5; -5) P (-5; 3), Q (6; 6) y R (-3; -1) P (-1; 3), Q (6; -2) y R (3; 6) 05. Demuestra que el triángulo de vértices A (1;-2), B (-4; 2) y C (1; 6) es isósceles.
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
06. Se tiene un rectángulo ABCD cuyos vértices son A (4; 1), B (9; 1) y C (9; 5). Determina: El cuarto vértice. La medida de sus diagonales. El área del rectángulo. 07. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto P (3;-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, halla su ordenada. 08. Encuentra un punto sobre el eje Y que sea equidistante de los puntos (5; -5) y (1, 1). 09. Los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (-1; 1), B (3; 1) y C (x; y). Halla x e y. 10. Un triángulo equilátero tiene por vértices (-3; 0) y (3; 0). Determina las coordenadas del tercer vértice (dos soluciones). 11. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (-1; -3) y (3; 1). Si la abscisa del tercer vértice es -4 encuentra la ordenada. 12. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos A (6; 1) y B (-1; 2). Sabiendo que la abscisa del otro vértice es 3, determina su ordenada.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
01. Encuentra la distancia entre cada par de puntos. A (2; 1) y B (7; 2) C (-4; 4) y D (4; 4 ) E (-8; -5) y F (-3; -5) G (0; -2) y H (7; -2) I (3; -4) y J (3; 3) K (-6; -1) y L (-6; 3) M (2; -2) y N (6; 1) P (-5;-2) y Q (-1; -4) R (-5; -3) y S (3; 3) T (4;-4) y U (1; 5)
2
Punto medio de un segmento El punto medio del segmento AB es el punto M (x; y), que divide en dos segmentos AM y MB de igual longitud. Así:
A (x2;y2)
M y2 y
B (x1;y1) y1 x
x1
x2
13. Halla los puntos medios de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos: A (3;-4), B (2;1) y C (6;-2) A (0;5), B (0;4) y C (12;4) 14. El punto medio del segmento AB es M (-7; 2). la abscisa de A es 5 y la ordenada de B es -9. Encuentra las coordenadas de los puntos A y B. 15. Halla las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A (-2;3) y B (6;-3) 16. Si los puntos M (-4; 2) y N (4; 6) trisecan al segmento AB, calcula las coordenadas de A y B.
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
17. Los puntos A (-2; -1), B (4; -1) y C (6; 3) son los vértices de un paralelogramo. Determina las coordenadas del vértice D. Si BC es una diagonal. Si AB es una diagonal. Si AC es una diagonal. 18. Los puntos A (2; 5), B (4, 2) y C (a; b) son los vértices de un triángulo. Halla las coordenadas del vértice C, si el baricentro del triángulo ABC es el punto G (2; 3). 19. Dado el triángulo ABC, de vértices A (5; 3), B (-4; 1) y C (2; y) Si el área del triángulo es 15 u2, determina el valor de y, sabiendo que C está en el cuarto cuadrante.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
x + x2 y1 + y2 M = 1 ; 2 2
3
21. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: ( -2; 1), (5; 2), (2; -3) (3; 2), (-1; -2), (5; -4) 22. La base de un triángulo isósceles mide 6u, cada uno de sus lados iguales mide 5u. Su base está sobre el eje de abscisas, bisecada por el origen. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices?
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
23. Las bases de un trapecio isósceles miden 20u y 10u respectivamente y la medida de cada uno de sus lados iguales es de 13u. la base mayor está sobre el eje de ordenadas, estando bisecada por el origen. La base menor está a la izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices? 24. El punto (x, -5) se encuentra tres veces más lejos del punto (-5; 4) que del punto (10; -1). Halla la abscisa x. 25. Encuentra las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A (10; 2), B (9; -3) y C (-8; -10). 26. El punto de intersección M, de las medianas de un triángulo ABC, se encuentra en el eje de abscisas, dos de sus vértices son los puntos A (2; -3) y B (-5; 1). El tercer vértice C está en el eje de ordenadas. Determina las coordenadas de los puntos M y C.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
Determina el baricentro del triángulo ABC. Determina los puntos de trisección del segmento AB. 20. Un cuadrilátero ABCD tiene vértices A (5; 0), B (10; 5), C (15/2; 15/2) y D (5/2; 5/2). Determina la longitud de sus diagonales. Determina el punto medio de sus diagonales. Halla su perímetro.
4
Ángulo de inclinación y pendiente de una recta no vertical El ángulo de inclinación (α) de una recta es el que forma la recta con el eje X, medido en sentido antihorario y considerando al eje X como lado inicial. La pendiente (m) es la tangente del ángulo de inclinación.
A (x2;y2)
y2
y2-y1
y1
B (x1;y1) α x2-x1
α
m = tg α =
27. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A (2; 1) y B (7; 2) C (-4; 4) y D (4; 4 ) E (-8; -5) y F (-3; -5) G (0; -2) y H (7; -2) I (3; -4) y J (3; 3) K (-6; -1) y L (-6; 3) M (2; -2) y N (6; 1) P (-5;-2) y Q (-1; -4) R (-5; -3) y S (3; 3) T (4;-4) y U (1; 5)
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
x2
y2 − y1 x2 − x1 28. Determina si los siguientes puntos son colineales: A(-3;6); B(3;2); C(9;-2) A(0;2); B(-3;-1); C(4;6) A(-1;3); B(3;11); C(5;15) 29. Si el punto (-3; y) es colineal con los puntos (1; 3) y (0; 2); halla el valor de y. 30. Si los puntos A (-5; 2), B (a; 2a) y C (7; 8) son colineales, encuentra el valor de a.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
x1
5
d(A,B)
A (x2;y2)
y2 – y1
x1 x2
B (x1;y1)
y1 x1 – x2
d(A; B) =
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
(x2 − x1) 2 + (y2 − y1) 2
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
y2
1
Ejercicios:
02. La distancia entre dos puntos de igual ordenada es 8. Si uno de los puntos tiene abscisa -3, halla la abscisa del otro punto. 03. Halla las longitudes de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos: A (3;-4), B (2;1) y C (6;-2) A (0;5), B (0;4) y C (12;4) 04. Los puntos P, Q y R son los vértices de un triángulo. Determina en cada caso si es equilátero, isósceles o escaleno. P (-1; 5), Q (0; -4) y R (8; 4) P (4; 0), Q (-3; 4) y R (-3; -4) P (-2;-1), Q (3; 2) y R (5; -5) P (-5; 3), Q (6; 6) y R (-3; -1) P (-1; 3), Q (6; -2) y R (3; 6) 05. Demuestra que el triángulo de vértices A (1;-2), B (-4; 2) y C (1; 6) es isósceles.
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
06. Se tiene un rectángulo ABCD cuyos vértices son A (4; 1), B (9; 1) y C (9; 5). Determina: El cuarto vértice. La medida de sus diagonales. El área del rectángulo. 07. Uno de los extremos de un segmento rectilíneo de longitud 5 es el punto P (3;-2). Si la abscisa del otro extremo es 6, halla su ordenada. 08. Encuentra un punto sobre el eje Y que sea equidistante de los puntos (5; -5) y (1, 1). 09. Los vértices de un triángulo equilátero son los puntos A (-1; 1), B (3; 1) y C (x; y). Halla x e y. 10. Un triángulo equilátero tiene por vértices (-3; 0) y (3; 0). Determina las coordenadas del tercer vértice (dos soluciones). 11. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos (-1; -3) y (3; 1). Si la abscisa del tercer vértice es -4 encuentra la ordenada. 12. La base de un triángulo isósceles es el segmento que une los puntos A (6; 1) y B (-1; 2). Sabiendo que la abscisa del otro vértice es 3, determina su ordenada.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
01. Encuentra la distancia entre cada par de puntos. A (2; 1) y B (7; 2) C (-4; 4) y D (4; 4 ) E (-8; -5) y F (-3; -5) G (0; -2) y H (7; -2) I (3; -4) y J (3; 3) K (-6; -1) y L (-6; 3) M (2; -2) y N (6; 1) P (-5;-2) y Q (-1; -4) R (-5; -3) y S (3; 3) T (4;-4) y U (1; 5)
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Punto medio de un segmento El punto medio del segmento AB es el punto M (x; y), que divide en dos segmentos AM y MB de igual longitud. Así:
A (x2;y2)
M y2 y
B (x1;y1) y1 x
x1
x2
13. Halla los puntos medios de los lados de los triángulos cuyos vértices son los puntos: A (3;-4), B (2;1) y C (6;-2) A (0;5), B (0;4) y C (12;4) 14. El punto medio del segmento AB es M (-7; 2). la abscisa de A es 5 y la ordenada de B es -9. Encuentra las coordenadas de los puntos A y B. 15. Halla las coordenadas de los puntos de trisección del segmento cuyos extremos son los puntos A (-2;3) y B (6;-3) 16. Si los puntos M (-4; 2) y N (4; 6) trisecan al segmento AB, calcula las coordenadas de A y B.
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
17. Los puntos A (-2; -1), B (4; -1) y C (6; 3) son los vértices de un paralelogramo. Determina las coordenadas del vértice D. Si BC es una diagonal. Si AB es una diagonal. Si AC es una diagonal. 18. Los puntos A (2; 5), B (4, 2) y C (a; b) son los vértices de un triángulo. Halla las coordenadas del vértice C, si el baricentro del triángulo ABC es el punto G (2; 3). 19. Dado el triángulo ABC, de vértices A (5; 3), B (-4; 1) y C (2; y) Si el área del triángulo es 15 u2, determina el valor de y, sabiendo que C está en el cuarto cuadrante.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
x + x2 y1 + y2 M = 1 ; 2 2
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21. Hallar las coordenadas de los vértices de un triángulo sabiendo que las coordenadas de los puntos medios de sus lados son: ( -2; 1), (5; 2), (2; -3) (3; 2), (-1; -2), (5; -4) 22. La base de un triángulo isósceles mide 6u, cada uno de sus lados iguales mide 5u. Su base está sobre el eje de abscisas, bisecada por el origen. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices?
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
23. Las bases de un trapecio isósceles miden 20u y 10u respectivamente y la medida de cada uno de sus lados iguales es de 13u. la base mayor está sobre el eje de ordenadas, estando bisecada por el origen. La base menor está a la izquierda. ¿Cuáles son las coordenadas de sus vértices? 24. El punto (x, -5) se encuentra tres veces más lejos del punto (-5; 4) que del punto (10; -1). Halla la abscisa x. 25. Encuentra las coordenadas del centro de la circunferencia circunscrita al triángulo de vértices A (10; 2), B (9; -3) y C (-8; -10). 26. El punto de intersección M, de las medianas de un triángulo ABC, se encuentra en el eje de abscisas, dos de sus vértices son los puntos A (2; -3) y B (-5; 1). El tercer vértice C está en el eje de ordenadas. Determina las coordenadas de los puntos M y C.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
Determina el baricentro del triángulo ABC. Determina los puntos de trisección del segmento AB. 20. Un cuadrilátero ABCD tiene vértices A (5; 0), B (10; 5), C (15/2; 15/2) y D (5/2; 5/2). Determina la longitud de sus diagonales. Determina el punto medio de sus diagonales. Halla su perímetro.
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Ángulo de inclinación y pendiente de una recta no vertical El ángulo de inclinación (α) de una recta es el que forma la recta con el eje X, medido en sentido antihorario y considerando al eje X como lado inicial. La pendiente (m) es la tangente del ángulo de inclinación.
A (x2;y2)
y2
y2-y1
y1
B (x1;y1) α x2-x1
α
m = tg α =
27. Calcula la pendiente de la recta que pasa por los puntos: A (2; 1) y B (7; 2) C (-4; 4) y D (4; 4 ) E (-8; -5) y F (-3; -5) G (0; -2) y H (7; -2) I (3; -4) y J (3; 3) K (-6; -1) y L (-6; 3) M (2; -2) y N (6; 1) P (-5;-2) y Q (-1; -4) R (-5; -3) y S (3; 3) T (4;-4) y U (1; 5)
AUTOR: Javier Trigoso T. [email protected]
x2
y2 − y1 x2 − x1 28. Determina si los siguientes puntos son colineales: A(-3;6); B(3;2); C(9;-2) A(0;2); B(-3;-1); C(4;6) A(-1;3); B(3;11); C(5;15) 29. Si el punto (-3; y) es colineal con los puntos (1; 3) y (0; 2); halla el valor de y. 30. Si los puntos A (-5; 2), B (a; 2a) y C (7; 8) son colineales, encuentra el valor de a.
Capítulo: / Introducción a la Geometría Analítica
x1
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