Geometri

Üç Boyutlu Geometri

Nokta (Point,Vertex)

Nokta uzayda bir konumu belirtir. Noktanın 0 boyutlu olduğu kabul edilir. Herhangi bir büyüklüğü yoktur.

Kartezyen Koordinat Sistemi Uzayda bir noktayı tanımlamak için, noktayı bir koordinat düzlemi üzerinde düşünmeliyiz. Kartezyen koordinat düzlemi, birbirine dik orijin adı verilen noktada birleşen eksenlerden oluşur. Bu eksenler bilindiği üzere x,y ve z eksenleridir.

Şekil 1 Kartezyen koordinat sistemi

Herhangi bir nokta: P(x,y,z) biçiminde tanımlanır.

İki Nokta Arası Uzaklık: P1(x1,y1,z1) P2(x2,y2,z2)

Doğru, Vektör (Line)

Doğruyu tanımlamak için iki nokta gereklidir. P1 ve P2 den geçen doğru,

doğrusu olarak gösterilir.

Doğrunun uzunluğu iki nokta arası mesafe gibidir.

Vektörü, başlangıç noktası orijin, bitiş noktası yön olan

Şekil 2 Doğru

bir doğru parçası olarak düşünebiliriz. v=

Vektör büyüklük ve yön’den oluşur. Büyüklüğü ve yönü aynı olan vektörler eşit vektörlerdir.

Vektörün uzunluğu, vektörün büyüklüğüdür. Uzunluğu bir olan vektöre birim vektör denir. Vektörün başlangıç

Şekil 3 Vektör

noktası orijin ve bitiş noktası yön noktası (d) olduğu için:

Vektörün yönüne gelince; yönü belirtmek için birim vektörü kullanırız. Vektörün uzunluğunu bir yaparak yönünü bulabiliriz. Bu işleme normalleştirme (normalization) denir.

Normalleştirme:

Bu durumda bir vektörü şu biçimde yazabiliriz:

Örnek: P1 (1,-2,1) , P2(3,0,3),P3(-4,2,10) ve P4(-2,4,12) noktalarımız olsun. u=P1P2 ve v=P3P4 vektörlerini yazalım. Çözüm: u=<3-1,0-(-2),3-1>=<2,2,2> v=<-2-(-4),4-2,12-10>=<2,2,2>

|u| =|v|=

=2

Görüldüğü gibi vektörler, eşit vektörler.

Doğrunun denklemi:

İki boyutlu doğrunun denklemi

biçimindedir. Burada m eğimdir ve:

dir. a doğrunun y eksenini kestiği noktadır.

Üç boyutta doğru parametrik denklemle tanımlanır. Yön vektörü doğrunun yönünü belirtir ve: dır.

P1 başlangıç ve P2 bitiş noktaları olsun, D de doğrultu vektörü olsun.

t= 0 için P= P0 ve t=1 için P=P1;

Örnek: P(1,-2) noktasından geçen eğimi 3 olan doğrunun denklemini yazalım. Çözüm: y=mx+a dan; y = 3x+a noktayı denkleme yerleştirelim, -2=3+a  a=-5

Denklemimiz: y = 3x - 5

Örnek: P(3,-4,7 ) ve Q(2,2,10) noktalarını oluşturan doğrunun orta noktasını bulunuz. Çözüm: Parametrik doğru denklemini oluşturalım. P0 = (3,-4,7) D=(2-3,2+4,10-7)=(-1,6,3) P=P0+tD P orta=(3,-4,7) + t(-1,6,3)

t=0.5 için orta noktayı elde ederiz. X=X0+tdx=3+(0.5)(-1)=2.5 Y=Y0+tdy=-4+(0.5)(6)=-1 Z=Z0+tdz=7+(0.5)(3)=8.5 P orta=(2.5,-1,8.5)

Noktasal çarpım (Dot Product)

Vektörler A ve B;

Noktasal çarpım:

Görüldüğü gibi iki vektörün noktasal çarpımı skaler bir büyüklük meydana getiriyor.

Diğer bir tanım şöyle:

Θ (teta) vektörlerin aralarındaki açı olmak üzere;

Bu tanımdan da görüldüğü gibi, eğer A ve B vektörleri birim vektörler ise, noktasal çarpımları aralarındaki açının kosinüsünü verir. Ters kosinüs alarak aralarındaki açıyı bulabiliriz. Yazmak gerekirse:

Eğer iki vektör dikse noktasal çarpımları sıfırdır.(cos 90 = 0)

Noktasal çarpımın bir diğer uygulaması bir vektörün diğer vektör üzerindeki izdüşümünün, ya da aynı yöndeki bileşenin büyüklüğünü bulmaktır.

nin V2 ‘nin yönü olduğuna dikkat edin.

Noktasal çarpımın bir diğer uygulaması ise vektörün diğer bir vektör üzerindeki izdüşüm vektörünü bulmaktır.

izdüşümv2 V1, V1’in V2 üzerindeki İzdüşümünü demektir.

Burada önceki formül ile bulduğumuz skaler değeri V2 nin yönüyle çarptığımıza dikkat edin.

Çapraz Çarpım (Cross Product):

Vektörler A ve B;

A ile B nin çapraz çarpımı A ile B nin heriklisine de dik olan yeni bir vektör verir. Eğer vektörler paralelse sonuç sıfır olacaktır.(sin0=sin180=0) Vektör n birim vektördür, yönü belirtir.

Şekil 4 Sağ el kuralı

Eğer iki vektör birbirine paralelse sonuç sıfırdır. Yeni vektörün yönü sağ el kuralı ile bulunabilir.

Vektörlerimiz u ve v olsun:

i,j ve k standart birim vektörler,

Bu tanımlamalar eşiğinde çapraz çarpımı, vektörleri matris biçiminde yazıp determinantını alarak hesaplayabiliriz.

Çapraz çarpımın bazı özellikleri: -

v x u = - (v x u) (u x v)x y eşit olmak zorunda değildir u x(v x y)

Geometrik Anlamı:

Çapraz çarpımın büyüklüğü:

Bundan yola çıkarak, çapraz çarpımın büyüklüğü, vektörlerin oluşturduğu paralelkenarın alanına eşittir diyebiliriz.

Üçlü skaler çarpım (Triple scalar product) :

a, b ve c vektörlerinin üçlü çarpımları, a,b ve c vektörlerinin belirlediği paralelyüzlü (parallelepiped) nün hacmini verir.

= hacim

Üçlü çarpım determinant alınarak da hesaplanabilir.

Düzlem (Plane):

Düzlemi tanımlamak için düzlemin normali (n) ile düzlem üzerindeki bir nokta (P0) yeterlidir.

Düzlemin üzerindeki P0P doğrusu ile düzlem normalinin Noktasal çarpımının sıfır olması gerekir. İki dik doğrunun Noktasal çarpımlarının sıfır olduğunu hatırlayalım.

Düzlemin denklemi:

Açarsak:

Basitleştirirsek:

Son eşitlikte biraz oynama yaparsak:

n yerine P0 yazılarak D bulunabilir.

Örnek: P0(3,2,1) ve n=3i + 2j -2k için bir düzlem bulalım. Çözüm: D = 3*3 + 2*2 + (-2)*1 = 11 3x + 2y -2z = 11 (Normal doğrusunun, düzlem denklemi üzerindeki etkisine dikkat edin.)

İki düzlemin birbirine paralel ya da dik olduğunu anlamak için normallerine bakarız. Normaller paralelse ya da dikse, düzlemler birbirine dik ya da paraleldir.

Düzlem denkleminin analizi:

Birlikte n.p = D düzlem denklemini inceleyelim. Diğer denklemlerde biraz oynama ile diğerlerine Kolayca dönüştürülebilir.

n düzlemimizin yönünü gösteren birim normalimiz olsun ve değeri (0,1,0) olsun. P0 da düzlem üzerinde seçilen bir nokta olsun. P0 ‘ı başlangıcı orijin sonu (X0,Y0,Z0) olan konum vektörü olarak kabul edelim. Normal vektörü ile konum vektörü arasında kalan açı a açısı olsun. |P0|cos a ‘nın, P0 noktasının ya da P0 noktasını taşıyan düzlemin, orijine normal doğrultusunda uzaklığı olduğunu görelim. İzdüşümde incelediğimiz üzere ;

n zaten birim vektör olduğundan; =D

Yani düzlem denklemindeki D değeri düzlemin normal yönünde orijinden uzaklığını veriyor. Bu ne işimize yarar, görelim.

Noktanın düzleme göre konumu:

P1(X1,Y1,Z1) noktasını düşünelim. Bu noktanın düzleme göre konumunu inceleyelim. P1‘i n.P=D denklemine yerleştirelim. n. P1 =D1 D1, P1 noktasının orijine normal yönünde uzaklığıdır. Eğer D1=D ise P1 noktası düzlem üzerindedir. Eğer büyükse düzlemin normal yönündeki tarafındadır. Küçükse ters taraftadır. Şimdi ifadeye dökelim.

n.P0=D düzlemimiz olsun. n.P1=D ise P1 düzlem üzerinde, n.P1>D ise P1 düzlemin normalin gösterdiği tarafında, n.P1=D ise P1 düzlemin diğer tarafında.

Nokta ile düzlem arasındaki uzaklık:

n.P0=D düzlemimiz olsun. n birim vektör. P1 noktasının düzleme uzaklığı (d) ‘nı inceleyelim. Yukarıdaki analizimiz üzerinden devam edelim. P1 noktasının aynı normale sahip başka bir düzlem üzerinde olduğunu kabul edelim. Orijine uzaklığı D1 olsun. Uzaklıkların farkı, bize noktanın düzleme olan uzaklığını verir.

d = D1-D

Eğer d=0 ise bir önceki başlıkta incelediğimiz gibi, nokta düzlem üzerindedir. d<0 ise nokta düzlemin arkasında, d>0 ise düzlemin önünde yani normalin gösterdiği tarafındadır.

Üç noktadan düzlem bulma:

Noktalarımız P0, P1 ve P2 olsun. Bu üç noktadan iki doğru oluşturalım, P0P1 ve P0P2.Bu iki doğrunun çapraz çarpımı bize her iki doğruya da dik olan yeni bir doğru verir. Bu doğru bizim normalimizdir. Daha sonra noktalardan herhangi birini seçerek düzlem denklemini oluşturabiliriz.

Çapraz çarpım alırken P0P1xP0P2 ile P0P2xP0P1 arasında yön farkı olduğunu unutmayın.

İki düzlemin kesişim doğrusu:

Normallerin çapraz çarpımı, düzlemlerin kesişim doğrusuna paralel bir vektör verir. Doğru üzerindeki bir noktayı parametrik doğru denklemine yerleştirerek doğruyu bulabiliriz.

Örnek: Düzlemler 1x-3y+4z=12 ve 2x+y-5z=10 olsun. Çözüm: n1=1x-3y+4z=0; n2=2x+y-5z=0; n1xn2=11x+13y+7z (doğruya paralel bir vektör)

Şimdi doğru üzerindeki bir noktayı bulalım. Her iki düzlemde de bulunan bir nokta işimizi görür. Z=0 için; 1x-3y=12 2x+y=10 X=6, y=-2 ve z=0 için P(6,-2,0) Şimdi parametrik denklemde yerine koyalım: X=6+11t Y=-2+13t Z=7t

Doğru ile Düzlemin kesişim noktası:

Doğru denklemi: P = p0 + t*d X = x0+t*d; y ve z içinde benzer biçimde. Düzlem denklemi: Ax+By+Cz=D X,Y ve Z ‘yi düzlem denkleminde yazarsak ve çözersek, aradığımız noktayı buluruz. Örnek:P0(1,3,2) ve P1(2,2,-1) noktalarının oluşturduğu doğru ile P(1,1,-3) noktasını içeren ve normali 3x+4y-1z=0 olan düzlemin kesişim noktasını bulalım. Çözüm: Doğru denklemini yazalım. P0=(1,3,2)

d=(1,-1,-3)

X=1+t Y=3-t Z=2-3t Düzlem denklemi; D=3+4+3=10 3x+4y-z=10 Şimdi x,y ve z yi düzlem denklemine yerleştirelim: 3(1+t)+4(3-t)-(2-3t)=10 13+2t=10  t=-3/2 Kesişim noktası Pkesişim=(-1/2,-3/2, 13/2)

Not: Doğrunun doğrultusunu veren d vektörü ile düzlemin doğrultusunu veren n vektörleri paralelse, yani n x p=0 ise, doğru ile düzlem kesişmez.

Üç düzlemin kesişimi:

Üç düzlem bir noktada ya da bir doğru üzerinde kesişir. Üç denklemi birlikte çözersek çözüme ulaşırız. Üç denklemi birlikte çözmek için bir matris oluşturalım:

Düzlemlerimiz; N1.P=D1, N2.P=D2 ve N3.P=D3 olsun.

Sistemi yeniden düzenleyelim:

Görüldüğü gibi son sütun kesişim noktasını verecek. Eğer matrisin tersini elde edemezsek düzlemlerin en az ikisinin paralel olduğuna, yani düzlemlerin bir noktada kesişmediğine hükmederiz.

3x3 matris biçiminde yazarak çözmemiz de mümkün:

Ayrıca alternatif bir formül de mevcut:

‘nin determinant olduğunu öğrenmiştik. Eğer az ikisi paralel demektir.

ise düzlemlerden en

Homojen Koordinatlar:

İki tane paralel doğru düşünelim. Bu iki paralel doğru asla kesişmez. Ama gözümüze bu doğrular, bizden uzaklaştıkça birbirine yaklaşıyormuş gibi gözükür ve sonsuzda doğruların kesiştiği görürüz. Kartezyen koordinat sistemi ile bu tür hesaplamalar yapmamız mümkün olmadığı için homojen koordinat sistemi geliştirilmiş. Homojen koordinat sistemi, Kartezyen koordinat sistemi ile aynıdır, sadece noktaları tanımlarken dördüncü bir bileşen daha kullanırız. Kartezyen koordinat sistemindeki bir nokta ile homojen koordinat sistemindeki bir nokta arasında şöyle bir ilişki vardır:

w =0 olduğu zaman nokta sonsuzdadır deriz. Kartezyen koordinat sistemindeki her noktayı w bileşeni 1 olan homojen bir nokta olarak kabul edebiliriz.

KAYNAKÇA: 1. 2. 3. 4. 5.

Thomas’ Calculus ISBN 0-201-44141-1 http://en.wikipedia.org/ http://mathworld.wolfram.com/ http://www.songho.ca/ http://www.geocities.com/siliconvalley/