Geometri Tansformasi.docx

Geometri Transformasi Latihan Soal 1. Buktikan sifat berikut. Apabila 𝑔⊥ℎ, maka 𝑀ℎ (𝑔) = 𝑔. Apakah ini berarti bahwa apabila 𝑃∈𝑔 maka 𝑀ℎ (𝑃) = 𝑃. Berikan penjelasan Anda! JAWAB: Bukti: 𝑔

𝑂

ℎ

Akan dibuktikan Apabila 𝑔⊥ℎ, maka 𝑀ℎ (𝑔) = 𝑔 sehingga jika 𝑃∈𝑔 maka 𝑀ℎ (𝑃) = 𝑃 

Kasus 1: jika diberikan sebarang 𝑃 ∈ 𝑔 𝑑𝑎𝑛 𝑃 ∉ ℎ sehingga 𝑀ℎ (𝑃) = 𝑃′ dan 𝑃𝑂 = 𝑃′ 𝑂′



Kasus 2: jika diberikan sebarang 𝑃 ∈ 𝑔 𝑑𝑎𝑛 𝑃 ∈ ℎ sehingga 𝑀ℎ (𝑃) = 𝑃 maka P adalah titik potong antara garis 𝑔 dan garis ℎ

Jadi terbukti bahwa jika 𝑔⊥ℎ maka 𝑀ℎ (𝑔) = 𝑔 sehingga jika 𝑃 𝑔 maka 𝑀ℎ (𝑃) = 𝑃 dan P adalah titik potong antara garis 𝑔 dan garis ℎ

2. Menurut Anda apakah setengah putaran sama dengan refleksi titik? JAWAB: Benar bahwa setengah putaran sama dengan refleksi titik karena suatu setengah putaran mencerminkan setiap titik bidang pada sebuah titik tertentu. Hal tersebut dibuktikan dengan contoh di bawah ini Teorema: jika titik 𝐴 = (𝑎, 𝑏) dan titik 𝐵 = (𝑥, 𝑦) Maka 𝑆𝐴 (𝑃) = (2𝑎 − 𝑥, 2𝑏 − 𝑦) Misalkan titik 𝐴 (1,5) dan titik 𝐵 (2,3) 𝑆𝐴 (𝐵) = (2 × 1 − 2, 2 × 5 − 3) 𝑆𝐴 (𝐵) = (0, 7)

𝑀(1,5)

Berdasarkan Grafik diperoleh 𝐴(2,3) →

𝐴′ (0,7)

Jadi, 𝑀(1,5) (𝐴) = 𝑆(1,5) (𝐴) Dari contoh di atas berdasarkan teorema setengah putaran dan dari grafik refleksi titik terhadap titik terlihat bahwa setengah putaran sama dengan refleksi titik. Dari contoh di atas berdasarkan teorema setengah putaran dan dari grafik refleksi titik terhadap titik terlihat bahwa setengah putaran sama dengan refleksi titik.

3. Diketahui A(2, 3), B(4,1), C(-3, 4) dan D(0,3). Jika P(x, y) tentukan 𝐺𝐶𝐷𝐺𝐴𝐵(𝑃). Dapatkan komposisi dari 𝐺𝐶𝐷𝐺𝐴𝐵(𝑃) dinyatakan dengan sebuah geseran lainnya? JAWAB: CD = D-C = (0-(-3), 3 – 4 ) = (3, -1) AB = B -A = (4-2, 1-3) = (2, -2) 𝐺𝐴𝐵

𝐺𝐶𝐷

𝑃(𝑥, 𝑦) → 𝑃′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ )→ 𝑃′′ (𝑥 ′′ , 𝑦 ′′ ) 𝑥 2+𝑥 𝑥′ 2 ( ) = ( ) + (𝑦) = ( ) −2 + 𝑦 𝑦′ −2 2+𝑥 5+𝑥 𝑥 ′′ 3 ( )=( )+( )=( ) −2 + 𝑦 −3 + 𝑦 𝑦′′ −1 Jadi 𝐺𝐶𝐷𝐺𝐴𝐵(𝑃) = (𝑥 + 5, 𝑦 − 3) Komposisi dari 𝐺𝐶𝐷𝐺𝐴𝐵(𝑃) bisa dinyatakan dengan geseran lain yaitu sebagai berikut: 𝑃′′ (𝑥 ′′ , 𝑦 ′′ ) = 𝐺𝐶𝐷 ∘ 𝐺𝐴𝐵 + 𝑃(𝑥, 𝑦) 𝑥 5+𝑥 𝑥 ′′ 3 2 ( ′′ ) = ( ) + ( ) + (𝑦) = ( ) −3 +𝑦 𝑦 −1 −2

4. Berikan contoh komposisi dua rotasi dengan titik pusat rotasi sama. Selanjutnya, dapatkah Anda menentukan sebuah transformasi tunggal yang menggambarkan komposisi rotasi tersebut! JAWAB: Titik Z (2,3) dirotasi sejauh 30° dengan titik pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi berlawanan arah dengan arah putar jarum jam. Selanjutnya bayangan dari titik tersebut dirotasi sejauh 90° dengan titik pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi berlawanan arah dengan arah putar jarum jam. Oleh karena arah rotasi berlawanan arah dengan arah putar jarum jam, maka besar sudut rotasi bernilai positif. Dengan demikian, bayangan titik Z(2,3) dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: 𝑅𝑂,300

𝑍 (𝑥, 𝑦) →

𝑅𝑂,900

𝑍 ′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) →

𝑍 ′′ (𝑥 ′′ , 𝑦 ′′ )

0 𝑥′ ( ′ ) = (cos 300 𝑦 sin 30

− sin 300 ) (2) 3 cos 300 1 1 √3 − 𝑥′ 2 ) (2 ) ( ′ ) = (2 1 1 𝑦 3 √3 2 2 3 − √3 ′ 𝑥 2) ( ′) = ( 3 𝑦 1 + √3 2 ′′ 0 0 𝑥 𝑥′ ( ′′ ) = (cos 900 − sin 900 ) ( ′ ) 𝑦 𝑦 sin 90 cos 90 3 √3 − 𝑥 ′′ 0 −1 2) ( ′′ ) = ( )( 3 𝑦 1 0 1 + √3 2 3 −1 − √3 ′′ 𝑥 2 ) ( ′′ ) = ( 3 𝑦 √3 − 2 Transformasi tuggal yang dapat dibentuk dari komposisi transformasi dua rotasi dengan titik pusat rotasi yang sama adalah menjumlahkan kedua sudut rotasi sehingga diperoleh matriks transformasi sebagai berikut: cos(𝐴 + 𝐵) − sin(𝐴 + 𝐵) 𝑥 𝑥 ′′ ( ′′ ) = ( ) (𝑦) 𝑦 sin(𝐴 + 𝐵) cos(𝐴 + 𝐵) cos(300 + 900 ) 𝑥 ′′ ( ′′ ) = ( 𝑦 sin(300 + 900 ) ′′

0 𝑥 ( ′′ ) = (cos 1200 𝑦 sin 120

− sin(300 + 900 ) 2 )( ) 3 cos(300 + 900 )

− sin 1200 ) (2) 3 cos 1200

1 − √3 𝑥 2 2 ( ′′ ) = ( )( ) 1 1 𝑦 3 − √3 2 2 3 −1 − √3 𝑥 ′′ 2 ) ( ′′ ) = ( 3 𝑦 √3 − 2 −

′′

1 2

5. Berikan contoh komposisi dua rotasi dengan titik pusat rotasi yang berbeda. Selanjutnya, dapatkah Anda menentukan sebuah transformasi tunggal yang menggambarkan komposisi rotasi tersebut! JAWAB: Titik A (3,2) dirotasi sejauh 30° dengan titik pusat rotasi O(0,0) dan arah rotasi berlawanan arah dengan arah putar jarum jam. Selanjutnya bayangan dari titik tersebut dirotasi sejauh 90° dengan titik pusat rotasi P(1,2) dan arah rotasi berlawanan arah dengan arah putar jarum jam. Oleh karena arah rotasi berlawanan arah dengan arah putar jarum jam, maka besar sudut rotasi bernilai positif. Dengan demikian, bayangan titik A(3,2) dapat ditentukan dengan cara sebagai berikut: 𝑅𝑂,300

𝐴 (𝑥, 𝑦) → ′

𝑅𝑃(1,2),900

𝐴′ (𝑥 ′ , 𝑦 ′ ) →

0 𝑥 ( ′ ) = (cos 300 𝑦 sin 30

𝐴′′ (𝑥 ′′ , 𝑦 ′′ )

− sin 300 ) (3) 2 cos 300 1 1 − √3 ′ 𝑥 2 ) (3 ) ( ′ ) = (2 1 1 𝑦 2 √3 2 2 1 1 − √3 ′ 𝑥 2 ) (3 ) ( ′ ) = (2 1 1 𝑦 2 √3 2 2 3 √3 − 1 ′ 𝑥 ( ′ ) = (2 ) 3 𝑦 + √3 2 0 0 𝑎 𝑥 ′′ 𝑥′ − 𝑎 ( ′′ ) = (cos 900 − sin 900 ) ( ′ )+( ) 𝑏 𝑦 𝑦 − 𝑏 sin 90 cos 90 3 √3 − 1 − 1 ′′ 𝑥 0 −1 2 1 ( ′′ ) = ( )( )+( ) 3 𝑦 1 0 2 + √3 − 2 2 3 √3 − 2 ′′ 𝑥 0 −1 2 1 ( ′′ ) = ( )( )+( ) 1 𝑦 1 0 2 − + √3 2

1 − √3 𝑥 1 2 ( ′′ ) = ( )+( ) 3 𝑦 2 √3 − 2 2 3 − √3 𝑥 ′′ ( ′′ ) = (2 ) 3 𝑦 √3 2 ′′

TIdak dapat ditentukan transformasi tuggal yang dapat dibentuk dari komposisi transformasi dua rotasi dengan titik pusat rotasi yang berbeda karena titik pusat rotasinya berbeda sehingga pengerjaannya tetap harus dikerjakan satu demi satu bentuk rotasinya.