Cuerpos Geometri

Tetraedro

Hexaedro (cubo)

Octaedro

Dodecaedro

Icosaedro

4 caras (triángulos equiláteros)

6 caras (cuadrados)

8 caras (triángulos equiláteros)

12 caras (pentágonos regulares)

20 caras (triángulos equiláteros)

N° de caras

4

6

8

12

20

N° de vértices

4

8

6

20

12

N° de aristas

6

12

12

30

30

N° de lados de cada cara

3

4

3

5

3

N° aristas concurrentes en un vértice

3

3

4

3

5

Tetraedro regular: está formado por 4 caras triangulares.

Hexaedro regular: (cubo): está formado por 6 cuadrados.

Octaedro regular: está formado por 8 triángulos equiláteros.

Dodecaedro regular: lo forman 12 caras pentagonales.

Icosaedro regular: está constituida por 20 triángulos equiláteros.

Prisma: Poliedro limitado por varios paralelogramos y dos polígonos iguales llamados bases, cuyos planos son paralelos.

Pirámide: Poliedro que tiene una cara que es un polígono cualquiera al que se llama base y las caras laterales son triángulos que tienen un punto en común llamado vértice.

Cono: es la superficie que se forma por una semirrecta que gira alrededor de un eje perpendicular al plano de una circunferencia en su centro, cumpliendo la condición de que su origen pertenece al eje y que la semirrecta no es perpendicular a él.

Esfera: corresponde a la superficie de una circunferencia que gira alrededor de su diámetro.

Cilindro: són cuerpos geométricos redondos formados por dos bases circulares y una superficie lateral curva.

Áreas y volumenes de los cuerpos geométricos Figura

Esquema

Área

Volumen

V = π r2 · h

Cilindro

Atotal = 2πr ( h + r )

Esfera

Atotal = 4π r2

Cono

Atotal = π r2 + π r g

Cubo

A = 6 a2

Prisma

A = (perim.base × h) V = área base × h + 2 · area base

Pirámide

Poliedros regulares

V = a3

Figura

Esquema

Área

Volumen

Tetraedro

4 caras, triángulos equiláteros

Octaedro

8 caras, triángulos equiláteros

Cubo

6 caras, cuadrados

A = 6 a2

Dodecaedro

12 caras, pentágonos regulares

A = 30 · a · ap.

Icosaedro

20 caras, triángulos equiláteros

Desarrollos planos

Cubo:

Cilindro:

Esfera:

Cono:

Prisma:

Pirámide:

Paralelepípedo: El paralelepípedo es el prisma cuyas bases son paralelogramos.

Prisma de seis caras cuyas bases son paralelogramos, e iguales y paralelos dos a dos:

Los paralelepípedos, por ser prismas, pueden ser oblicuos (rojo) o rectos (azul).

Paralelepipedo en la vida real.

Ortoedro: El ortoedro es un paralelepípedo recto de base rectangular.

ORTOEDRO •

Área del ortoedro A= 2 a.b + 2 b.c + 2 c.a

•

Volumen del ortoedro V= a · b · c

Dos ortoedros formando una cruz .

Prismas:

1.

Prisma regular es un cuerpo geométrico limitado por dos polígonos paralelos e iguales, llamados bases, y por tantos rectángulos como lados tenga cada base. Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula: Volumen del prisma = área de la base . altura

Diferentes tipos de prismas: • • •

prisma triangular. Área lateral = perímetro de la base . altura del prisma. Área total = área lateral + 2.área de la base .

• • •

• • •

Prisma hexagonal. Área lateral = de la base . altura del Área total = área 2.área de la base .

Pirámides:

Prisma cuadrangular. Área lateral = perímetro de la base . altura del prisma. Área total = área lateral + 2.área de la base .

perímetro prisma . lateral +

Una pirámide es un poliedro con una cara (llamada "base") que es un polígono, y todos los demás lados triangulares que se unen en un punto en común (conocido como el "ápice"). Una pirámide recta es un tipo de pirámide dónde la línea que une el centro de la base con el ápice es perpendicular a ésta. La pirámide regular es una pirámide recta cuya base es un polígono regular.

• Pirámide Volumen

Área:

Una pirámide.

Cilindro: El cilindro es el cuerpo geométrico engendrado por un rectángulo al girar en torno a uno de sus lados. Ver revolución del Cilindro Ponga aquí el ratón y podrá ver el desarrollo del cilindro Podemos hallar el área lateral , área total y volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas:

ÁREA LATERAL AL = 2 · π · r · g ÁREA TOTAL AT = AL + 2 · Ab

VOLUMEN V = Ab · h

Una lata en forma de cilindro

Cono: El cono es el sólido engendrado por un triángulo rectángulo al girar en torno a uno de sus catetos. Para calcular su área lateral, su área total así como para ver su desarrollo pulsar sobre la figura anterior Para calcular su volumen se emplea la siguiente fórmula:

Volumen del cono = (área de la base.altura) / 3 Área lateral = (perímetro de la base.generatriz) / 2 Área total = área lateral + área de la base

u n c o

n o

Esfera: La esfera es un cuerpo geométrico engendrado al girar una semicircunferencia alrededor de su diámetro. Podemos hallar el área y el volumen de este cuerpo geométrico, utilizando las siguientes formulas: ÁREA A = 4 · π · r2 VOLUMEN V = 4/3 · π · r3

Pelota en forma esferica

Tetraedro:

Un tetraedro es un poliedro de cuatro caras. Con este número de caras ha de ser forzosamente un poliedro convexo, y sus caras triangulares, encontrándose tres de ellas en cada vértice. Si las cuatro caras del tetraedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el tetraedro se denomina regular.

Tetraedro regular

Grupo Número de caras

Sólidos platónicos 4

Polígonos que forman

Triángulos

las caras

equiláteros

Número de aristas

6

Número de vértices

4

Caras concurrentes 3 en cada vértice Vértices contenidos 3 en cada cara Grupo de simetría

Tetraédrico (Td) Tetraedro

Poliedro conjugado (autoconjugado)

Un juego en forma de tetraedro.

Cubo: Un cubo, o hexaedro regular es un poliedro de seis caras cuadrados congruentes, siendo uno de los llamados sólidos platónicos. Un cubo, además de ser un hexaedro, puede ser clasificado también como paralelepípedo, recto y rectángulo, pues todas sus caras son de cuatro lados y paralelas dos a dos, e incluso como un prisma de base cuadrangular y altura equivalente al lado de la base.

cubo de rubik

Hexaedro regular o cubo .

Grupo Número de caras Polígonos que forman las caras

Sólidos platónicos 6 Cuadrados

Número de aristas

12 ani= V % 4

Número de vértices

8

Caras concurrentes en cada vértice

3

Vértices contenidos en cada cara

4

Grupo de simetría

Octaédrico (Oh)

Poliedro conjugado

Octaedro

V = a3 Octaedro: Un octaedro es un poliedro de ocho caras. Con este número de caras puede ser un poliedro convexo o un poliedro cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de siete lados o menos.

Si las ocho caras del octaedro son triángulos equiláteros, forzosamente iguales entre sí, el octaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos.

Octaedro regular

Grupo Número de caras Polígonos que forman las caras

Sólidos platónicos 8 Triángulos equiláteros

Número de aristas

12

Número de vértices

6

Caras concurrentes 4 en cada vértice Vértices contenidos 3 en cada cara Grupo de simetría

Octaédrico (Oh)

Poliedro conjugado

Cubo

un juego en forma de octaedro

Dodecaedro:

Grupo Número de caras Polígonos que forman las caras

Sólidos platónicos 12 Pentágonos regulares

Número de aristas

30

Número de vértices

20

Caras concurrentes 3 en cada vértice Vértices contenidos 5 en cada cara Grupo de simetría

Icosaédrico (Ih)

Poliedro conjugado

Icosaedro

Un dodecaedro es un poliedro de doce caras, convexo o cóncavo. Sus caras han de ser polígonos de once lados o menos. Si las doce caras del dodecaedro son pentágonos regulares, forzosamente iguales entre sí, el dodecaedro es convexo y se denomina regular, siendo entonces uno de los llamados sólidos platónicos. Volu men, área y de sar rol lo

Teoremas: Teorema de Cavalieri. (1598 – 1647) Si dos sólidos tienen la misma altura y las secciones paralelas a sus bases, a la misma distancia de éstas, tienen áreas iguales, ambos sólidos tienen el mismo volumen. Jesuita, matemático y astrónomo italiano, nacido en Milán. Llamado "nuevo Arquímedes" por su maestro Galileo. Desde 1629 fue catedrático de astronomía en Bolonia. Fue el primero en introducir en Italia el cálculo logarítmico (gracias a la publicación en 1632 de su obra Un directorio general de uranometría), pero debe su celebridad a su teoría de los indivisibles, que aplica sobre todo a la geometría: longitudes,

áreas y volúmenes. Aparece con su Geometría (1635) como precursor de Newton y Leibniz. De su numerosa obra destacan Un cierto método para el desarrollo de una nueva geometría de continuos indivisibles (1635) y Seis ejercicios de geometría (1649), en donde establece y perfecciona su teoría de los indivisibles, precursora del cálculo integral.

Identidad de Euler. (1707 – 1783) Se conoce con este nombre la identidad. Un caso particular notable por reunir a los números 0, 1, i, p y e, es: eip + 1 = 0.

Euler demostró que en un triángulo, el circuncentro, el ortocentro y el punto en que se cortan las medianas están alineados en la llamada línea de Euler. . Leonhard Euler (Basel 1707 - 1783) La aplicación de las leyes de Kirchhoff a un circuito de muchos nudos y mallas puede ser en extremo difícil a menos que se use una rama de las matemáticas conocida como teoría de grafos (Un circuito con tan solo 10 nudos y sin elementos en paralelo, por ejemplo, puede tener hasta 108 mallas). El padre de la teoría de grafos fue el gran matemático suizo Leonhard Euler, cuya famosa ponencia de 1736, "Los siete puentes de Königsberg" fue el primer tratado sobre la matería. Hizo también importantes contribuciones originales a cada rama de las matemáticas de sus dís, y la fórmula de Euler es la base del método de fasores para resolver circuitos de corriente alterna. Euler nació en Basel, Suiza, hijo de un clérigo. Se graduó en la Universidad de Basel en 1724 e ingresó en la Academia Rusa de Ciencias en San Petersburgo en 1727 por petición de Federico elGrande en 1741. Fue quizas el matemático mas prolífero de todos los tiempos y continuó editando libros y ponencias aún después de quedar ciego en 1766. Todavía encontró tiempo para 13 hijos y dos esposas, la segunda de las cuales tomó a la edad de 69 años . Los matemáticos suizos publican todavía sus ponencias, y se cree que sus trabajos podrín llenar de 60 a 80 grandes volúmenes.

Vanesa Montañez Albert Alvaro Antonio Rodríguez