Generacion De Masa De Los Neutrinos Por Mecanismo See-saw.pdf

´ DE MASA DE NEUTRINOS POR GENERACION MECANISMO SEE-SAW TIPO II

Título de la tesis o trabajo de investigación

Juan Pablo Rubio Ospina

Nombres y apellidos completos del autor

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de F´ısica Bogot´a D.C, Colombia 2011

Universidad Nacional de Colombia Facultad, Departamento (Escuela, etc.) Ciudad, Colombia Año

´ DE MASA DE NEUTRINOS POR GENERACION MECANISMO SEE-SAW TIPO II

Juan Pablo Rubio Ospina

Trabajo Final presentado como requisito parcial para obtar al t´ıtulo de: Magister en Ciencias-F´ısica

Director: Doctor, Fredy Alexander Ochoa P´erez.

Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Departamento de F´ısica Bogot´a D.C, Colombia 2011

1

Resumen Se estudian las propiedades de los neutrinos dentro del marco del Modelo Est´andar Electrod´ebil (MEE) y los distintos mecanismos que permiten incorporar su masa. En particular, se revisa detalladamente el Modelo de Triplete de Higgs (MTH) que induce un mecanismo See-Saw tipo II, en el cual se incorpora un bos´on escalar doblemente cargado en el espectro de part´ıculas. Bajo las condiciones f´ısicas del gran colisionador hadr´onico LHC en el CERN, se explora la posibildiad de producir y detectar bosones de Higgs doblemente cargados en procesos tipo Drell-Yan en colisiones prot´on -prot´on. Teniendo en cuenta ruido de fondo de procesos electrod´ebiles, se encuentran se˜ nales de Higgs doblemente cargados por encima del ruido para masas de Higgs de 200, 300 y 800 GeV, para una parametrizaci´on de matrices de masa de neutrinos en jerarqu´ıa normal e inversa.

Palabras Clave: Masa de neutrinos, Mecanismo See-saw tipo II, Bosones de Higgs cargados.

2

Abstract We study the neutrinos properties within Electroweak Standar Model frame (ESM) an the different mechanisms that allow them incorporates their mass. Particularly, we review in detail the Higgs Triplet Model it induces a type II See Saw Mechanism in which is incorporated a doubly charged scalar boson in the doubly charged particles spectrum. Under the Large Hadron Collider (LHC) physics conditions in CERN, we explore the possibility to produce and to detect doubly charged Higgs Boson in type Drell-Yan process in proton-proton collisions. Taking into account background of electroweak process, we have found doubly charged Higss signatures above the noise for Higgs masses into account 200, 300 y 800 GeV, for a matrices parametrization of neutrinos mass in normal and reverse hierarchy.

Keywords: Neutrinos Mass, See Saw type II Mechanism, Higgs Boson charged.

Contenido 1. Introducci´ on

2

2. El neutrino en el Modelo Est´ andar Minimal 2.1. Generadores del grupo SU(2)L ⊗U(1)Y . . . . . . . . . . 2.1.1. Subgrupo U (1)Q . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2. El sector fermi´onico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2.1. Base de Representaciones Fermi´onicas . . . . . . 2.2.2. Representaciones para los quarks y leptones . . . 2.3. El sector escalar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1. Rompimiento Espont´aneo de la Simetria (R.E.S) . 2.3.2. Condiciones para masas de fermiones . . . . . . . 2.3.3. Base de representaciones escalares . . . . . . . . . 2.4. El sector vectorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1. La derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2. Base de representaciones vectoriales . . . . . . . . 2.5. Espectro del MTH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Mecanismo See-saw tipo II 3.1. El triplete de Higgs . . . . . . . . . . . . 3.2. El lagrangiano de Higgs . . . . . . . . . 3.2.1. El potencial de Higgs . . . . . . . 3.2.2. Diagonalizaci´on: sector cargado . 3.2.3. Sector neutro . . . . . . . . . . . 3.2.4. Diagonalizaci´on: sector imaginario 3.2.5. Diagonalizaci´on: sector real . . . 3.3. El Sector cin´etico de Higgs . . . . . . . . 3.3.1. El Doblete . . . . . . . . . . . . . 3.3.2. El Triplete sim´etrico . . . . . . .

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5 6 7 8 8 9 12 13 15 16 20 20 20 22

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24 24 25 25 28 29 30 31 31 32 33

CONTENIDO

4

3.4. El lagrangiano de Yukawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.1. El lagrangiano con leptones . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.4.2. Diagonalizaci´on: Generaci´on de masa de neutrinos y el mecanismo See-saw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4. El triplete escalar en el LHC 4.1. Introducci´on a la F´ısica de Colisionadores . . . . . . . . . . 4.1.1. Definiciones y Fundamentos. . . . . . . . . . . . . . . 4.1.2. B´ usqueda para la Nueva F´ısica . . . . . . . . . . . . 4.2. El experimento del LHC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.1. La composici´on del prot´on: Las funciones de estructura part´onica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.2.2. Colisiones p-p: Los cortes cinem´aticos, el problema del background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Producci´on y decaimiento de bosones de Higgs doblemente cargados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.1. Canales de producci´on a dos leptones: Los anchos de decaimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4. Reconstrucci´on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´on de se˜ nales y background . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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42 43 44 45 47

. 47 . 48 . 49 . 50 . 51

5. Sumario y Conclusiones

57

A. Grupos y Teor´ıa de la Representaci´ on A.1. Generalidades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.2. Representaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3. El grupo SU(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.1. Representaci´on n . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2. Representaci´on n* (conjugada) . . . . . . . . . . A.3.3. Representaci´on n⊗n . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.4. Representaci´on n*⊗n* . . . . . . . . . . . . . . . A.3.5. Representaci´on n⊗n* . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.6. Representaciones irreducibles n⊗n y n⊗n* . . . . A.3.7. Representaci´on irreducible n⊗n* la representaci´on junta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.4. Grupo SU(n) en teor´ıa cu´antica de campos . . . . . . . . A.5. La derivada covariante . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A.5.1. Representaci´on n . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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60 60 63 64 65 65 66 66 67 67

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68 69 71 72

. . . . . . . . . . . . . . . . . . ad. . . . . . . .

CONTENIDO A.5.2. Representaci´on n∗ . . . A.5.3. Representaci´on n⊗n . A.5.4. Representaci´on n∗ ⊗n∗ A.5.5. Representaci´on n⊗n∗ . A.6. Lagrangianos femi´onicos . . .

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73 73 73 74 74

B. Sector de Higgs 76 B.1. Valores esperados en el vacio y campos . . . . . . . . . . . . . 76 B.1.1. Doblete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 B.1.2. Triplete sim´etrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 C. Matrices de masa 80 C.1. Sector cargado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 C.2. Sector neutro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 C.3. Sector real . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 D. Reglas de Feynman

84

E. Par´ ametros utilizados en los c´ alculos num´ ericos

87

F. Cinem´ atica

89

Lista de Figuras 4.1. Recientes y futuras fronteras de energ´ıa de los colisionadores de energ´ıa (Par´ametros listados para el LHC y el ILC .) [39] 4.2. Esquema de colisi´on p-p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3. Cortes cinem´aticos para el ´angulo de dispersi´on para part´ıculas del MEE y bosones de Higgs doblemente cargados . . . . . . 4.4. Secciones eficaces para la producci´on de H ±± y H ± . . . . . 4.5. Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 200 Gev en NH para la se˜ nal dileptonica y background . . . . . . . . . . . . . . . 4.6. Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 200 Gev en IH para la se˜ nal dileptonica y background . . . . . . . . . . . . . . . 4.7. Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 300 Gev en NH para la se˜ nal dileptonica y background . . . . . . . . . . . . . . . 4.8. Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 300 Gev IH para la se˜ nal dileptonica y background . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.9. Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 800 Gev en NH para la se˜ nal dileptonica y background . . . . . . . . . . . . . . . 4.10. Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 800 Gev IH para la se˜ nal dileptonica y background . . . . . . . . . . . . . . . . .

. 45 . 49 . 50 . 51 . 53 . 54 . 54 . 55 . 55 . 56

A.1. Representaci´on Grupo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 D.1. Diagramas de Feynman Delta-Delta-Vector-Vector . . . . . . . 84 D.2. Diagramas de Feynman Delta-Delta-Vector . . . . . . . . . . . 85 D.3. Diagramas de Feynman Delta-Vector-Vector . . . . . . . . . . 86 F.1. Representaci´on de un estado inicial en la dispersi´on part´onpart´on empezado de una colisi´on p-p en el centro de masa. . . 90

Lista de Tablas 3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Espectro escalar cargado f´ısico Bosones neutros . . . . . . . . Espectro real f´ısico . . . . . . Bosones electrod´ebiles . . . .

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29 30 31 35

Cap´ıtulo 1 Introducci´ on La historia de los neutrinos se remonta a 1892, cuando Becquerel descubri´o la radiactividad del uranio. En 1914, Chadwick hace un crucial descubrimiento demostrando que el espectro beta es continuo, lo que violar´ıa el principio de conservaci´on de la energ´ıa [1]. Dicho descubrimiento fue confirmado posteriormente en 1927 por Ellis y Wooster. Meitner experimentalmente, demostr´o que la falta de energ´ıa no pod´ıa atribuirse a los rayos gama neutros. Para poner remedio a este grave problema, W. Pauli postula, en una carta abierta a una conferencia de f´ısica en T¨ ubingen el 4 de diciembre de 1929, la existencia de una part´ıcula neutra para salvaguardar el principio de conservaci´on de la energ´ıa en el decaimiento beta [2], y la cu´al Fermi la acu˜ no´ con el nombre de neutrino. En 1934 Fermi formula una teor´ıa que describe el proceso del decaimiento beta [3], la cual lo describe como un proceso de interacci´on puntual entre 4 part´ıculas, de tal forma que el neutr´on decae en un prot´on, electr´on y antineutrino electr´onico. Los resultados exitosos de esta teor´ıa le abrieron camino a la idea de la existencia del neutrino. Sin embargo era preciso encontrarlo experimentalmente. En 1956, F. Reins y C. Cowan mostraron la existencia del neutrino por medio de la reacci´on de un material rico en protones [4], en la cu´al se produc´ıan neutrones y positrones debida a la emisi´on de neutrinos electr´onicos provenientes de un reactor nuclear. Con el avance tecnol´ogico de los a˜ nos venideros fue posible construir aceleradores de part´ıculas y otros experimentos para determinar la existencia de tres variedades de neutrinos, neutrino electronico (νe ), mu´onico (νµ ) y tau´onico (ντ ), cada neutrino asociado a una familia de leptones cargados.

3 Ahora se conoce con certeza que los neutrinos interact´ uan muy d´ebilmente a trav´es de la interacci´on d´ebil, una de las cuatro fuerzas fundamentales de la naturaleza y que est´a enmarcada dentro del Modelo Est´andar Minimal (MEM) de part´ıculas elementales. El MEM cimentado por Glashow, Salam y Weinberg [5], describe tambi´en la interacci´on fuerte y electromagn´etica, cada interacci´on asociada a un grupo de simetr´ıa soportada en la Teor´ıa Cu´antica de Campos. Aunque el MEM ha sido exitoso en la predicci´on de muchos par´ametros experimentales, contiene un conjunto de aspectos, principalmente te´oricos a los que no responde de manera satisfactoria, haci´endolo un modelo aproximado. Uno de los problemas m´as interesantes del MEM es la predicci´on de neutrinos sin masa, pero esto contradice claramente la evidencia experimental. Investigaciones en la conversi´on de sabor de neutrinos solares, atmosf´ericos, y de reactores y aceleradores [6] han establecido indiscutiblemente que los neutrinos tienen masa peque˜ na pero distinta de cero y que ellos se mezclan entre s´ı, proporcionando la primera evidencia experimental de nueva f´ısica m´as all´a del MEM. Este descubrimiento ha disparado enormemente la actividad te´orica intentando descubrir la naturaleza de esta nueva f´ısica. Estos intentos incluyen modelos m´as all´a del MEM; como modelos en que se extiende la estructura de simetr´ıa del Modelo Est´andar Electrod´ebil (MEE) a grupos m´as grandes, por ejemplo en el caso de modelos de unificaci´on y modelos con la misma estructura de grupo del MEE, que extienden su contenido de part´ıculas en su sector fermi´onico, o´ escalar, o´ ambas al mismo tiempo. Una alternativa interesante para introducir la masa de los neutrinos son los llamados mecanismos See-saw, en la cu´al se podr´ıa explicar de forma natural el peque˜ no valor de las masas de los neutrinos, se implementan de manera natural en modelos de unificaci´on, y permiten hacer conexiones cosmol´ogicas y la f´ısica a bajas y altas energ´ıas. Estos mecanismos se presentan b´asicamente en tres formas diferenciadas [7]: Tipo I, Tipo II y Tipo III. Cada forma incluye extensiones del MEM con una nueva escala de energ´ıas m´as all´a de la electrod´ebil y que dan cuenta de la masa del neutrino. En su forma b´asica, estas extensiones incluyen la adici´on de un campo pesado de neutrinos derechos bajo el grupo gauge del MEM (Tipo I), la introducci´on de un triplete de Higgs que extiende el sector de Higgs en el MEM (Tipo II) o la suma de un triplete lept´onico izquierdo con hipercarga cero (Tipo III). Durante los u ´ltimos a˜ nos, se han implementado diferentes posibilidades en el mecanismo See-saw Tipo II, en la cu´al se encuentra una nueva escala de

4 energ´ıa que puede llegar al orden de los TeV, escala que podr´a ser explorada a nivel del Gran Colisionador Hadr´onico LHC en el CERN [7]. Una caracteristica del See-saw Tipo II es la introducci´on de nuevos bosones de Higgs doblemente cargados cuya masa (MH ±± ) puede estar entre la escala electrod´ebil y la de los TeV. Los nuevos bosones, en principio, se pueden producir con tasas importantes de producci´on en los colisionadores de hadrones y decaer lept´onicamente creando una se˜ nal distintiva que puede ser detectada en el LHC. Esta posibilidad abre a su vez un camino para identificar cual es el mec´anismo apropiado para la generaci´on de masa del neutrino y entender problemas como el dominio de la materia sobre la antimateria (la asimetr´ıa bari´onica del universo), la naturaleza de materia oscura, la energ´ıa oscura, entre otros. El objetivo del presente trabajo es hacer una reconstrucci´on general del modelo See-saw Tipo II a partir de criterios de simetr´ıa, haciendo un estudio fenomenolog´ıco y tomando como referencia la escala electrod´ebil. En el cap´ıtulo II se desarrolla el formalismo para el modelo See-saw Tipo II construyendo sus diferentes representaciones para obtener el espectro del Modelo Est´andar Electrod´ebil con el triplete de Higgs en estados de sabor. En el cap´ıtulo III se plantea el esenario f´ısico del modelo con espectros en estados de masa e interacciones. El cap´ıtulo IV se enfoca en las simulaciones para una de las componentes del triplete escalar en procesos tipo Drell-Yan en colisiones prot´on-prot´on y ruido de fondo (background) de procesos electrod´ebiles para el LHC, finalmente se resumen algunas conclusiones en el capitulo V.

Cap´ıtulo 2 El neutrino en el Modelo Est´ andar Minimal El Modelo Est´andar Minimal (MEM) construido por Glashow, Salam y Weinberg, describe las interacciones fundamentales d´ebiles, fuertes y electromagn´eticas, asoci´andolas a ciertos grupos de simetr´ıas y soport´andose en la Teor´ıa Cu´antica de Campos [5]. El modelo presenta unificaci´on electrod´ebil a trav´es del grupo de gauge SU (2)L ⊗ U (1)Y , e incorpora la fuerza fuerte bas´andose en el grupo de gauge SU (3)c . La simetr´ıa SU (2)L ⊗ U (1)Y se asocia con la interacci´on electrod´ebil entre fermiones y es mediada por los cuatro bosones electrod´ebiles: Wµ± , Zµ , Aµ . La simetr´ıa SU (3)c est´a asociada a la interacci´on fuerte entre los quarks, la cual es mediada por ocho gluones. El Modelo Est´andar Electrod´ebil (MEE), que corresponde al sector SU (2)L ⊗ U (1)Y , describe el espectro f´ısico de part´ıculas una vez se ha implementado la Ruptura Espontanea de la Simetr´ıa (R.E.S) SU (2)L ⊗ U (1)Y → U (1)Q [8], donde a U (1)Q se le asocia la interacci´on electromagn´etica, mediada por los fotones carentes de masa. En esta descripci´on se hace necesaria la presencia de un doblete con cuatro campos escalares, los cuales permitir´an la adquisici´on de masas de los fermiones y bosones de gauge, teniendo una teor´ıa de gauge con masa y renormalizable [9, 10, 11]. Despu´es de la ruptura espontanea de la simetr´ıa, tres de los campos del doblete aparecen como part´ıculas no f´ısicas (bosones de Goldstone), mientras que el otro adquiere masa (con valor no determinado por el modelo), apareciendo en el espectro como una part´ıcula f´ısica conocida como bos´on de Higgs. Aunque el MEM ha logrado predecir con gran exactitud una buena can-

2.1 Generadores del grupo SU(2)L ⊗U(1)Y

6

tidad de par´ametros experimentales [12], y presenta una gran consistencia matem´atica, contiene una serie de aspectos que no responde de manera satisfactoria, haci´endolo un modelo a´ un por completar, lo que significa que debe tomarse como una teor´ıa efectiva a, relativamente, bajas energ´ıas ( 1 TeV), y que se origina de teor´ıas aun m´as generales y fundamentales. Entre las caracter´ısticas no explicadas por el MEM, se menciona el problema de la existencia de 3 familias (el problema de la replicaci´on de las familias) [13, 14], el gran rango no natural de valores diferentes de masas (el problema de las jerarqu´ıas de masas) [13, 14], la relaci´on entre las cargas de leptones y quarks con la carga del electr´on (el problema de la cuantizaci´on de la carga) [12, 13], la cantidad de par´ametros libres para ajustar en el modelo (el problema de la arbitrariedad de par´ametros) [13, 14], la no predicci´on del tiempo de decaimiento del prot´on (el problema de la estabilidad del prot´on) [13], la no presencia de la interacci´on de la gravedad en el modelo (el problema de la cuantizaci´on de la gravedad) [15], el problema de la masa de los neutrinos y la oscilaci´on de neutrinos [16], entre otros. Se procede a la construcci´on de un modelo quiral que presente simetr´ıa bajo el grupo local SU (3)c ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . El sector de color SU (3)c es el mismo (los neutrinos no presentan interacci´on fuerte), por lo que la construcci´on hace enfasis sobre SU (2)L ⊗ U (1)Y extendiendo con un triplete sim´etrico el sector escalar.

2.1.

Generadores del grupo SU(2)L⊗U(1)Y

El Modelo Est´andar Minimal (MEM) se basa en un grupo quiral izquierdo SU (2)L ⊗ U (1)Y . A partir de la definici´on (A.6), se tiene que los generadores Tb de un grupo especial unitario SU (2)L en la representaci´on fundamental, correspondientes a n2 − 1 = 3 matrices con traza nula, y de las cuales hay n − 1 = 1 matrices diagonales conmutantes estan dados por: 1 T1 = 2

  0 1 ; 1 0

1 T2 = 2



 0 −i ; i 0

1 T3 = 2



 1 0 , 0 −1

(2.1)

las cuales est´an normalizadas tal que Tr(Tα Tβ ) = 21 δαβ y cumplen con el algebra de Lie y reglas de conmutaci´on que se muestran a continuaci´on:

2.1 Generadores del grupo SU(2)L ⊗U(1)Y

7

[Tα , Tβ ] = iεαβγ Tγ ,

(2.2)

1 {Tα , Tβ } = δαβ , 2

(2.3)

donde el coeficiente εαβγ es el tensor de Levi-Civita. El grupo unitario U (1)Y tiene un generador Tb0 , cuya representaci´on fundamental T0 debe ser una matriz escogida bajo las siguientes condiciones para formar el producto directo con SU (2)L i) Debe ser 2 × 2 diagonal en consecuencia con la matrices de Pauli en representaci´on 2   a 0 T0 = , (2.4) 0 b ii) Se exige la misma normalizaci´on que las matrices de Pauli 1 TrT02 = , 2

(2.5)

iii) Debe conmutar con T1 , T2 y T3 : [T0 , Tα ] = 0, Combinando las condiciones anteriores se  a 1 T0 = 2 0

deduce que:  0 . 1

(2.6)

(2.7)

Se debe asegurar que el modelo incorpore la conservaci´on de la carga el´ectrica, lo cu´al se implementa al exigir que el sector electrod´ebil SU (2)L ⊗ U (1)Y contenga al subgrupo U (1)Q con el generador de la carga el´ectrica Q.

2.1.1.

Subgrupo U (1)Q

El grupo SU (2)L ⊗ U (1)Y admite subgrupos U(1). Se puede definir un subgrupo unitario U (1) cuyo generador sea una combinaci´on lineal de los generadores diagonales SU (2)L ⊗ U (1)Y [13, 17, 18],

2.2 El sector fermi´onico

8

b = αTb3 + β Tb0 . Q

(2.8)

Q = T3 + Y,

(2.9)

Este generador se conoce como carga el´ectrica, y los coeficientes de la ecuaci´on anterior se escogen tal que coincidad con los valores de la carga en unidades de la carga del electr´on, seg´ un los fermiones ψ que se asignen al modelo. En part´ıcular, se escoge la combinaci´on lineal tal que cumpla con la relaci´on de Gell-Mann y Nishijima [13, 17, 18, 19]:

con T3 la tercera matriz de (2.1) conocida como el isosp´ın, con α igual a 1, y Y = βT0 como la hipercarga.

2.2.

El sector fermi´ onico

En teor´ıa cu´antica de campos la representaci´on se indica como relaciones de conmutaci´on entre los generadores abstractos Tbα del grupo y el operador b Se muestran las diferentes representaciones para la parte ferde campo ψ. mi´onica.

2.2.1.

Base de Representaciones Fermi´ onicas

Como el MEM es una teor´ıa quiral el operador campo se escribe como la superposici´on de componente quiral izquierda (ψbL ) y componente quiral derecha (ψbR ). Siguiendo lo anotado en los ap´endices A.3 y A.4, se escoge la base para las representaciones fundamentales y conjugadas aplicada a operadores fermionicos ψbL y ψbR :

Representacion n= 2

Aplicando la relaci´on (A.27), el campo ψbL transforma seg´ un la representaci´on b 2 y ψR transfoma seg´ un 1, es decir: [TbαSU (2) , ψbL ] = −(Tα )ij ψLj , [TbSU (2) , ψbR ] = 0. α

con α = 1, 2, 3.

(2.10) (2.11)

2.2 El sector fermi´onico

9

Representacion n∗ =2∗ De la relaci´on (A.28), se tiene que ψbL trasforma seg´ un la representaci´on b 2 y ψR transforma seg´ un 1, lo que es equivalente a: ∗

  [TbαSU (2) , ψbL ] = − −(Tα )ji ψjL ,

2.2.2.

[TbαSU (2) , ψbR ] = 0.

(2.12) (2.13)

Representaciones para los quarks y leptones

La fenomenolog´ıa de part´ıculas elementales ha permitido identificar que la materia est´a fundamentalmente compuesta por part´ıculas de esp´ın 1/2 b las cuales se clasifican en dos clases: lo quarks (b fermiones (ψ), q ) que preb que no interactuan fuertemente. sentan interacci´on fuerte y los leptones (`) Es as´ı que los quarks se asocian a toda fenomenolog´ıa subat´omica donde se involucran procesos hadr´onicos asociados a fuerzas fuertes. Los leptones no intervienen en este tipo de procesos, pero si presentan otro tipo de interaci´on subat´omico como lo es la interacci´on d´ebil, en la cual tambien intervienen los quarks. El modelo a construir clasifica a dichas part´ıculas en el grupo de gauge SU (2)L ⊗ U (1)Y , cuyas representaciones fundamentales se estudian en general en el ap´endice A. Representaciones SU(2)L La representaci´on fundamental de este grupo con generadores dados en (2.1), introducen un caracter quiral al clasificar solamente las componentes fermi´onicas con helicidad izquierda en dobletes. Por lo tanto la Ec. (2.10), se escribe para una familia como: !   b1 ` ν b `SU (2)L = b2 = : 2, e L ` L  1   qb u qbSU (2)L = 2 = : 2, (2.14) qb L d L con ν, e, u y d el neutrino, electr´on, quark up y quark down respectivamente. Dicha clasificaci´on se repite dos veces mas para otras parejas de part´ıculas

2.2 El sector fermi´onico

10

(tres familias). La idea de introducir un grupo izquierdo es para incluir el hecho de que la interacci´on d´ebil se presenta diferenciada entre las componentes izquierdas y derechas. Esto significa que los campos derechos transforman como singletes bajo el grupo SU (2)L como se observa en las Ec. (2.11) y (2.13), se tiene entonces: [Tbα , `biR ] = 0, `bRSU (2)L : 1,

(2.15)

qbRSU (2)L : 1.

(2.16)

[TbαL , qbR ] = 0, Representacion U (1)Q

Se le asigna a cada fermi´on un valor al n´ umero cu´antico Q asociado al subgrupo U (1)Q , tomando la definici´on (2.8) se tiene: h i h i h i b b b b b b Q, ψ = T3 , ψ + Y , ψ , (2.17)

donde cada conmutador depende de la representaci´on en la que se encuentre b Para los fermiones izquierdos ya se hall´o la representaci´on fundala base ψ. mental 2, que expl´ıcitamente para los quarks y leptones, toma la siguiente forma: h i
b qbLi = − QLq i qbLi , Q, i h

i
i i b b Q, `L = − QL` i `biL ,

donde a part´ır de la definici´on (2.9) se tiene:  1 L + Y 0 L q , Qq = 2 0 − 21 + YqL 1  L + Y 0 L ` Q` = 2 . 0 − 21 + Y`L

(2.18)

(2.19)

2.2 El sector fermi´onico

11

En la representaci´on conjugada 2∗ se tienen las mismas matrices pero con valores de signo contrario, esto es: h i
b qbi = − −QL i qbi , Q, L q i L h

i
i i b b Q, `L = − −QL` i `biL ,

(2.20)

Para el isector derecho, por ser este singlete, se cumple de la Ec. (A.32) que h Tb3L , ψbR = 0, por lo que la Ec. (2.17) conduce directamente a: h i
b qbR = − QLq qbR , Q, con:

h i
b b Q, `R = − QL` `bR ,

(2.21)

R QR q = Yq , R QR ` = Y` .

(2.22)

Representacion U (1)Y Se define la hipercarga de una representaci´on ψb como : h i
Yb , ψb = − Y δji ψ j ,

(2.23)

de esta manera la hipercarga se asigna a los fermiones izquierdos seg´ un: h i
i Yb , qbLi = − YqL i qbLi , h

i
i Yb , `biL = − Y`L i `biL ,

de la definici´on (2.9) se encuentra que:   L 1 0 Qq − 2 L , Yq = 0 QLq + 12

(2.24)

2.3 El sector escalar

12

Y`L

=

1 2

− QL` 0

1 2

 0 , + QL`

para la representaci´on conjugada se tiene: h i
i Yb , qbLi = − −YqL i qbLi , h

i
i Yb , `biL = − −Y`L i `biL .

(2.25)

(2.26)

Para las componentes derechas se cumple lo mismo que en el caso de la carga en (2.21), por lo que la hipercarga es: h i
Yb , qbR = − YqR qbR , con:

h

i
Yb , `bR = − Y`R `bR ,

(2.27)

YqR = QR q, Y`R = QR ` .

2.3.

(2.28)

El sector escalar

Puesto que el modelo debe contener al MEM, se debe respetar el Rompimiento Espontaneo de la Simetr´ıa (R.E.S) seg´ un el esquema 321→31, lo que quiere decir que se debe implementar un sector escalar adecuado que permita el correcto rompimiento de los generadores primero al MEM y luego a la QED. Adem´as, en las extensiones mas all´a del MEM se debe asegurar que el sector escalar genere masas pesadas a las part´ıculas extras asociadas a nueva f´ısica y masas mas livianas a la escala electrod´ebil del espectro fenomenol´ogico observado a bajas energ´ıas y descrito por el MEM.

2.3 El sector escalar

2.3.1.

13

Rompimiento Espont´ aneo de la Simetria (R.E.S)

Dentro de cualquier modelo que describa interacciones entre part´ıculas (sea un modelo cl´asico o cu´antico), surge siempre el problema de la autointeracci´on, esto es, la interacci´on del campo producido por una part´ıcula sobre s´ı misma. Al tratar de resolver dicha situaci´on, las ecuaciones llevan a resultados divergentes, donde la intensidad de la interacci´on se hace infinita. Sin embargo, esos infinitos pueden ser eliminados o anulados con la introducci´on de otros infinitos implementados de forma sistem´atica a trav´es del mecanismo de renormalizaci´on [20, 21, 22]. De esta manera se convierte en condici´on b´asica que cualquier modelo de part´ıculas elementales que describa interacciones, debe poderse renormalizar. Aun m´as, esta exigencia de renormalizaci´on debe mantenerse a todos los o´rdenes de correcci´on si se aplica teor´ıa de perturbaciones en el modelo. Otra condici´on para mantener la renormalizaci´on, es evitar la introducci´on directa de t´erminos de masa en el lagrangiano (t´erminos de la forma mψψ para fermiones y 21 m2 Tµ T µ para bosones), los cuales adem´as da˜ nan la invarianza de gauge de la teor´ıa [9, 10, 11]. Sin embargo hay una forma indirecta de introducir ese tipo de t´erminos, los cuales son necesarios en el modelo, pues es evidente que la mayor´ıa de part´ıculas son masivas. El procedimiento es un mecanismo que rompe la simetr´ıa del vac´ıo (no del lagrangiano) preservando aun los efectos de la invarianza, y que se implementa de tal forma que la renormalizaci´on se mantenga. El m´etodo es el mecanismo de Higgs, el cual consiste en introducir un campo escalar Φ que interact´ ua con los bosones de gauge y fermiones, cuyo estado de m´ınima energ´ıa (estado de vacio) pueda presentar dos casos de simetr´ıa: antes del R.E.S, donde el vacio tiene la misma invarianza de gauge que el lagrangiano y todas las part´ıculas aparecen sin masa; y despu´es del R.E.S, donde el vacio se degenera, y los fermiones y algunos bosones de gauge adquieren valores de masas que se ajustan de acuerdo a los datos experimentales [9, 10, 11, 13, 20]. De esta manera surge una relaci´on entre la adquisici´on de masa de una part´ıcula y el rompimiento espontaneo de alguna simetr´ıa. Este procedimiento, inicialmente matem´atico, se ha tratado de entender en una visi´on de un universo que evoluciona por etapas, las cuales son separadas por transiciones correspondientes a alg´ un rompimiento de simetr´ıa y con la consecuente adquisici´on de masa de algunas part´ıculas. Actualmente las u ´nicas part´ıculas sin masa que se conocen son los gluones y el fot´on, por lo que la u ´nica simetr´ıa que se mantiene exacta es SU (3)c ⊗ U (1)Q (simetr´ıa 31). El MEM describe una etapa anterior del universo, donde a´ un exisist´ıa la

2.3 El sector escalar

14

simetr´ıa electrod´ebil SU (2)L ⊗ U (1)Y (simetr´ıa 321), el cual en alguna escala de energ´ıa se rompi´o espont´aneamente a una simetr´ıa U (1)Q . Formalmente el rompimiento sucede sobre el estado de vac´ıo del campo Φ, el cual corresponde al Valor Esperado en el Vac´ıo del campo (V.E.V). Si el vac´ıo es sim´etrico, este es un escalar bajo los cuatro generadores del grupo SU (2)L ⊗ U (1)Y que seg´ un la Ec. (A.32) significa: [TbαSU (2) , hΦi0 ] = 0, [Yb , hΦi0 ] = 0.

(2.29)

Φ

→ U (1)Q el vacio es invariante bajo En el rompimiento de SU (2)L ⊗ U (1)Y − b b b el generador carga Q = T3 + Y , pero deja de ser invariante bajo los tres b⊥ = Tb3 − Yb [13]. Esto se generadores : Tb1 , Tb2 y una combinaci´on ortogonal Q expresa como: [Tb1,2

SU (2)

[Tb3

SU (2)

, hΦi0 ] 6= 0,

− Yb , hΦi0 ] 6= 0, b hΦi0 ] = 0. [Q,

(2.30)

Por cada generador roto, hay un bos´on de gauge que adquiere masa, pero esto significa un grado de libertad adicional (bosones con componentes longitudinales), por lo que el efecto de la ecuaci´on anterior sobre los campos Φ es la “absorci´on”de ciertos grados de libertad conocidos como bosones de Goldstone. Los bosones que no se absorban en Φ quedan en el espectro f´ısico como part´ıcula masivas conocidas como bosones de Higgs. De esta manera el mecanismo b´asicamente consiste en introducir inicialmente suficientes componenetes escalares (grados de libertad) Φ, de tal forma que el n´ umero de generadores rotos correponden al n´ umero de bosones de gauge que adquieren masa, y este a su vez, al n´ umero de bosones de Goldstone [13, 23]. En el caso de la ecuaci´on anterior, hay tres generadores rotos, lo cual significa que hay tres bosones de Goldstone que desaparecen del espectro f´ısico y tres bosones de gauge (los d´ebiles) que adquieren masa. Pero a´ un hay un generador no roto, por lo que queda un bos´on de gauge sin masa (el fot´on).

2.3 El sector escalar

2.3.2.

15

Condiciones para masas de fermiones

El mecanismo de Higgs no implementa directamente las masas de los fermiones, como si lo hace con los bosones vectoriales. Para darle masa a los fermiones, se introducen t´erminos de interacci´on entre fermiones y campos escalares, de tal manera que estos sean herm´ıticos, renormalizables y tengan simetr´ıa 321. Ese tipo de t´erminos son conocidos como t´erminos de Yukawa, los cuales toman la forma gen´erica [23]: ψψΦ + ψ(ψ)c Φ + (ψ)c ψΦ† + (ψ)c (ψ)c Φ† ,

(2.31)

donde c es la operaci´on conjugaci´on de la carga . Para una teor´ıa quiral, se expresan los fermiones en componentes de helicidad R y L, obteniendo el t´ermino de Yukawa de la forma: ψL ψR Φ + ψR (ψL )c Φ + ψL (ψL )c Φ + (ψL )c (ψL )Φ† + ψR (ψR )c Φ + (ψR )c (ψR )c Φ† + (ψL )c (ψR )c Φ† + (ψR )c (ψL )c Φ = ψL ψR Φ + ψL (ψL )c Φ + ψR (ψR )c Φ + (ψR )c (ψL )c Φ + h.c,

(2.32)

donde h.c son los respectivos herm´ıticos conjugados. Entonces se tienen las diferentes representaciones de los fermiones en el sector SU (2)L : ψbLi : 2;

ψbiL : 2∗ ;

ψbR : 1,

(2.33)

como los t´erminos de Yukawa deben ser invariantes bajo SU (2)L , estos deben formar singletes. Con esta condici´on y de acuerdo a la Ec. (2.33), los terminos la Ec. (2.32) tienen la siguiente forma de transformaci´on (recordando que el complejo conjugado baja ´ındices seg´ un notaci´on de la secci´on A.3.2): ψLi ψR Φ

:

ψLi (ψLj )c Φ

:

ψR (ψR )c Φ

:

(ψLi )c (ψR )c Φ

:

2∗ ⊗ 1 ⊗ n = 1 ⇒ n = 2,

2∗ ⊗ 2∗ ⊗ n = 1 ⇒ n = 2 ⊗ 2, 1 ⊗ 1 ⊗ n = 1 ⇒ n = 1,

(2.34)

2 ⊗ 1 ⊗ n = 1 ⇒ n = 2∗ .

Para que los anteriores productos transformen como singletes, son necesarias las formas respectivas para n.

2.3 El sector escalar

16

Esto significa que los campos escalares Φ pueden tener representaci´on 2 ⊗ 2 (sim´etrica o antisim´etrica), 2 (doblete), 2∗ (antidoblete) o 1 (singlete) para asegurar la invarianza SU (2)L ; en cuanto al grupo U (1)Y , los t´erminos de Yukawa tambi´en deben ser invariantes, es decir: [Yb , T´ermino Yukawa]=0.

Cualquiera de las representaciones que se escoja, debe asegurar las siguientes condiciones: i) El n´ umero de componentes de Φ se debe ajustar por lo menos al n´ umero de bosones de Goldstone para cada transici´on de R.E.S. ii) El V.E.V hΦi0 debe cumplir con las condiciones (2.29) y (2.30) en cada transici´on (en este caso una sola de transici´on). iii) El V.E.V, al ser reemplazado en los terminos (2.32), debe llevar a que el n´ umero correcto de fermiones adquiera masa de acuerdo a cada transici´on. Esta condici´on no es directa, pues van a surgir matrices de mezcla que deben ser diagonalizadas para obtener las masas f´ısicas, y de aqu´ı el verdadero espectro de fermiones de la teor´ıa. Por lo tanto no se usar´a esta condici´on para la construci´on del sector escalar, sino mas bien, servir´a para evaluar al final el buen comportamiento del modelo.

2.3.3.

Base de representaciones escalares

Ya se tienen diferentes opciones de base para el campo Φ de acuerdo a los t´erminos de Yukawa bajo las representaciones fermi´onicas de las relaciones (2.34). Se eval´ uan las principales caracteristicas de tales representaciones. La representacion 2⊗2 se divide en una representaci´on sim´etrica y antisim´etrica de acuerdo a la Ec. (A.20), lo que se expresa como: 2 ⊗ 2 = 3 ⊕ 1.

(2.35)

Representaci´ on doblete 2 El primer t´ermino de la Ec.(2.32) permite una representanci´on doblete seg´ un la Ec. (2.34), que se clasifica en una matriz con componenetes complejas de la siguiente forma:

2.3 El sector escalar

17  1 φ Φ1 = φ = , φ2

(2.36)

el doblete va tener cuatro componentes (campos escalares), dos asociadas a φ1 y dos a φ2 , para obtener 3 generadores rotos y 1 no roto (aparecen 3 bosones gauge con masa y 1 Higgs). Se le asigna un V.E.V con valores reales de la siguiente forma:   1 v1 . (2.37) hφi0 = √ 2 v2 Al evaluar las condiciones (2.29) y (2.30) se obtiene la siguiente soluci´on para V.E.V de φ y sus respectivos campos, encontrada en el ap´endice B Ec. (B.7) y (B.10):   1 0 hφi0 = √ , (2.38) 2 ν  +  φ φ = √1 0 . (2.39) φ 2 Representaci´ on antidoblete 2∗ El cuarto t´ermino de las relaciones (2.32) permite una representaci´on antidoblete seg´ un (2.34), de tal forma que:   φ1 e , (2.40) φ= φ2 se obtiene la siguiente soluci´on encontranda en la Ec. (B.11):  1 0∗  √ φ e 2 φ= , −φ−

(2.41)

la ecuaci´on anterior se puede escribir como: φe = iτ2 φ∗ .

con φ el doblete dado por la Ec. (2.39).

(2.42)

2.3 El sector escalar

18

Representaci´ on triplete sim´ etrico 3 El segundo t´ermino de la expresi´on (2.32) permite una representaci´on triplete sim´etrico seg´ un las Ec. (2.34) y (2.35), de tal forma que:   11 ∆ ∆12 , (2.43) Φ2 = ∆ = ∆21 ∆22 donde cada componente en general es compleja. El V.E.V del triplete simetrico es:   V1 V2 h∆i0 = , (2.44) V3 V4 los valores de las componentes tanto de V.E.V y del campo ∆ son dadas por las Ec. (B.25) y (B.30) como sigue:   ν∆ 0 h∆i0 = , (2.45) 0 0 y √ 0  2∆ √ ∆− ∆= . 2∆−− ∆−

(2.46)

La representaci´on triplete sim´etrica tambi´en se conoce en la literatura como el triplete de Higgs o escalar [7], el cual expande el sector de Higgs e induce el mecanismo See-saw tipo II. El MEM incluido este triplete origina un nuevo modelo conocido como Modelo con Triplete de Higgs (MTH). Representaci´ on singlete 1 Finalmente se tiene la posibilidad singlete en el tercer t´ermino en la Ec. (2.32). Sin embargo todos los conmutadores en (2.30) se anulan por la misma definici´on singlete en (A.32), imposibilitando que los generadores se rompan, y por lo tanto no es viable el mecanismo de Higgs. As´ı esta posibilidad se descarta junto con el tercer t´ermino en (2.32).

2.3 El sector escalar

19

Representaciones U(1)Q El generador carga el´etrica actuando sobre las diferentes representaciones anteriores, lleva a los valores de carga en cada multiplete. Para el caso del doblete (2.39): h i h i h i b φ = Tb3 , φ + Yb , φ , Q, (2.47) donde cada conmutador se halla de acuerdo a la forma (A.27), obteniendo:   1 Qφ = , (2.48) 0 para el antidoblete (2.41) se tiene: Qφ∗ =



 0 . −1

Para el triplete sim´etrico (2.46), se obtiene:   0 −1 Q∆ = , −1 −2

(2.49)

(2.50)

Representaci´ on U(1)Y De forma an´aloga se obtienen las hipercargas de cada representaci´on escalar. Para φ: 1 2

Yφ =   ,

(2.51)

1 2

y para el antidoblete φ∗ :



Y φ∗ = 

Para el triplete sim´etrico se tiene:

Y∆ =



− 21 − 21



.

 −1 −1 . −1 −1

(2.52)

(2.53)

2.4 El sector vectorial

2.4.

20

El sector vectorial

Este sector describe la propagaci´on de los campos ∆ y φ adem´as de la interacci´on entre los campos escalares y vectoriales a trav´es de la derivada covariante.

2.4.1.

La derivada covariante

Para que el modelo sea invariante local bajo el grupo SU (2)L ⊗ U (1)Y , es necesario redefinir el momento lineal introduciendo campos vectoriales asociados a los generadores del grupo, tal como se muestra en la secci´on A.5. Para el sector SU (2)L , que tiene 3 generadores Tbα , se introducen 3 campos de gauge Wµα y una constante de acoplamiento g, para el sector U (1)Y se tiene solo un generador Tb, por lo que s´olo es necesario introducir un bos´on gauge Bµ y una constante de acople g 0 , es de esta manera que se implementan en el modelo fermiones que se propagan en el espacio y que pueden interactuar a trav´es de tres bosones intermediarios, de tal forma que se mantenga la invarianza de Lorentz y la invarianza local de SU (2)L ⊗ U (1)Y . Lo anterior se resume en la definici´on de derivada covariante: − → → − Dµ = ∂µ + ig W µ · T + ig 0 Bµ Y.

2.4.2.

(2.54)

Base de representaciones vectoriales

La derivada covariante permite definir una base para los 4 bosones gauge, cuya representaci´on fundamental debe ser n = 2. Se observa en la expresi´on (2.54) que la parte del acople para el sector SU (2)L toma la forma Wµα Tα . Al aplicar los generadores del grupo (2.1) sobre esta forma y sumando sobre α = 1, 2, 3. se obtiene expl´ıcitamente lo siguiente:   − → → − 1 Wµ3 Wµ1 − iWµ2 . (2.55) Wµ = W µ · T = −Wµ3 2 Wµ1 + iWµ2 La base del bos´on asociado a U (1)Y   Bµ 0 Bµ = Y Bµ = Y . 0 Bµ

(2.56)

2.4 El sector vectorial

21

Representaci´ on U (1)Q Al igual como se obtuvo la carga de los fermiones en Ec. (2.18), se obtiene la carga para los bosones gauge: b Wi ] = [Tb3 , Wi ] + [Yb , Wi ], [Q, jµ jµ jµ

Al aplicar (A.29), se obtiene el siguiente resultado:

con:

b Wi ] = −[(T3 )i δ l − δ i (T3 )l ]W k − [Y δ i δ i − δ i Y δ l ]W i , [Q, jµ k j k j lµ k k k j jµ QW



 0 1 = , −1 0

(2.57)

(2.58)

identificando as´ı las cargas de cada componente de la matriz (2.55). Se observa que las diagonales son neutras, mientras que las componentes triangulares antisim´etricas tienen en general cargas opuestas. Para la base (2.56), se tiene: k i b Bijµ ] = −[(T3 )ik δjl − δki (T3 )lj ]Wlµ [Q, − [Y δki δki − δki Y δjl ]Wjµ ,

(2.59)

como el generador Yb se escogi´o para que conmutara con los generadores Tbα de SU (2)L , los conmutadores anteriores se anulan, resultando el bos´on Bµ neutro: QB = 0.

(2.60)

[Yb , Wijµ ] = 0,

(2.61)

YW = 0,

(2.62)

Representaci´ on U (1)Y Para la hipercarga se tiene :

entonces

2.5 Espectro del MTH

22

y de la misma forma para el bos´on Bµ : YB = 0.

2.5.

(2.63)

Espectro del MTH

En las secciones 2.2, 2.3 y 2.4 se encuentran las bases para el espectro de part´ıculas para el Modelo con Triplete de Higgs (MTH); Fermiones, bosones escalares y bosones gauge electrod´ebiles: ! !  (n)
 ν ν ν ν e µ τ (n) ` =  = : 2, − 12  L (n)   e e µ τ  L L        (n)   eR = eR , µR , τR : (1, −1) Fermiones ! !   (n) 
u u c t  (n)   qL = = : 2, 16  (n)  d d s b   L L        (n) qR = uR , cR , tR , dR , sR , bR : (1, Yq ) , Bosones escalares

      φ+ 1   Doblete φ = √1 : 2, ;   (H + iζ) 2  2 

1 conhφi0 = √ 2

  √ 0     2∆ √ ∆−   Triplete ∆ = : (3, −1) ; ∆− 2∆−−

Bosones Vectoriales{Wµ1 ,

Wµ2 ,

Wµ3 ,

Bµ .

  0 , v

  ν∆ 0 con h∆i0 = , 0 0 (2.64)

Se observa que el MTH incorpora nuevas part´ıculas en el espectro, un bos´on de Higgs doblemente cargado, dos bosones de Higgs simplemente cargados y un bos´on de Higgs neutro. Todas las part´ıculas se encuentran en estados de sabor y sin masa, sin embargo es necesario que los fermiones, bosones d´ebiles y neutrinos adquieran masa. El doblete en el MEM permite que fermiones y bosones electrod´ebiles aquieran masa pero no incorpora la masa de los neutrinos, mientras que en el MTH el triplete va a permitir que los neutrinos

2.5 Espectro del MTH

23

adquieran masa via la interacci´on de Yukawa. En particular se observa dentro del MEM que los neutrinos tienen las siguientes propiedades [20]: Son fermiones de esp´ın 1/2, pertenecen al doblete 2 de SU (2)L , se introducen u ´nicamente con quiralidad izquierda, son NO masivos y no presentan carga el´ectrica.

Cap´ıtulo 3 Mecanismo See-saw tipo II A lo largo del cap´ıtulo anterior, se han mostrado generalidades sobre diferentes representaciones en que se pueden clasificar todos los tipos de part´ıculas en el MTH que va inducir el mecanismo See-saw tipo II, respetando ciertas condiciones como las de covarianza, renormalizaci´on y R.E.S. Se tienen as´ı las posibles bases para part´ıculas de materia (fermiones), para part´ıculas que definen el vac´ıo de la teor´ıa (bosones escalares) y para part´ıculas intermediarias de interacciones (bosones de gauge). El siguiente paso es describir la din´amica de tales part´ıculas teniendo en cuenta las contribuciones dadas por el triplete de Higgs, por lo que se asignan las correspondientes densidades lagrangianas. En este cap´ıtulo se discute en detalle las densidades lagrangianas sus principales caracteristicas y predicciones.

3.1.

El triplete de Higgs

El mecanismo See-saw tipo II es una extensi´on del Modelo Est´andar Electod´ebil en el que solamente el sector escalar es aumentado con un triplete de Higgs. En el cap´ıtulo anterior se encontro un triplete escalar complejo en representaci´on 2 × 2 Ec. (2.46); este es particularmente rico en t´erminos de sus implicaciones fenomenol´ogicas. Este modelo proporciona masas de Majorana para los neutrinos sin necesidad de postular neutrinos derechos via la interacci´on de Yukawua. El triplete escalar est´a compuesto por bosones de Higgs doblemente cargados que pueden decaer a leptones, evidenciando un conjunto de canales de decaimiento. Estos canales pueden eventualmente demostrar la posible existencia de los escalares doblemete cargados y la posi-

3.2 El lagrangiano de Higgs

25

bilidad de observaci´on en los nuevos colisionadores de alta energ´ıa como por ejemplo el LHC. Explicitamente, el triplete y su valor esperado en el vac´ıo tiene la forma dada por las Ec. (2.46) y (2.45):  √ 0 2∆ √ ∆− ; ∆= 2∆−− ∆−

h∆i0 =



 ν∆ 0 0 0

A continuaci´on se realiza la rotaci´on de los estados de sabor a los estados f´ısicos de masa para las componentes del triplete escalar.

3.2.

El lagrangiano de Higgs

La derivada covariante permite escribir el acople de los bosones de gauge con los escalares φ y ∆. Los campos escalares se describen por la ecuaci´on de Klein-Gordon, cuyo lagrangiano covariante toma la forma general: 1 LH = (Dµ φ)† (Dµ φ) + (Dµ ∆)† (Dµ ∆) + VH . 2

(3.1)

Similar a como se tiene en la secci´on A.6, se puede considerar diferentes representaciones de este lagrangiano seg´ un las representaciones de la derivada covariante de la secci´on A.5, en este caso depende de las representaciones del campo escalar. En particular, en el trabajo se considera el caso de representaciones de dobletes y tripletes en Φ.

3.2.1.

El potencial de Higgs

La autointeracci´on entre bosones escalares est´a dada por el potencial de Higgs VH . Para construir los t´erminos del potencial hay que tener en cuenta que deben ser herm´ıticos, renormalizables e invariantes SU (2)L ⊗ U (1)Y . El potencial de Higgs se construye acoplando t´erminos cuadr´aticos, c´ ubicos y cuarticos entre los diferentes campos escalares que se tengan, los cuales seg´ un las Ec. (2.34) y (2.35) pueden ser dobletes, antidobletes o tripletes. El triplete permite incorporar la masa de los neutrinos a trav´es de la introducci´on de Higgs doblemente cargados (∆++ ), cargado, (∆+ ) y neutro (∆0 ). En part´ıcular en este modelo se toma la posibilidad de generar las masas del Modelo

3.2 El lagrangiano de Higgs

26

Est´andar Electrod´ebil a trav´es de dobletes y masas para los neutrinos con un triplete. Se utiliza la notaci´on tensorial para el doblete φi y ∆ij para el triplete sim´etrico y con sus conjugadas respectivas (φi )∗ = φi y (∆ij )∗ = ∆ij . Los t´erminos del potencial que respetan la simetr´ıa SU (2)L ⊗ U (1)Y son: VH = Vφ + V∆ + Vφ−∆ ,

(3.2)

Vφ = µ21 φi φi + λ1 (φi φi )2 ,

(3.3)

con

1 V∆ = µ22 ∆ij ∆ij + λ2 (∆ij ∆ij )2 + λ3 (εij ∆jk εkl ∆li )(∆ij εjk ∆kl εli ) 2 + λ4 ∆ij ∆jk ∆kl ∆li + λ5 (εij ∆jk εkl ∆lm ∆mn εnp ∆pq εqi ), Vφ−∆ = λ6 (φi εij ∆jk εkl φl + h.c.) + λ7 (∆ij ∆ij )(φk φk ) + λ8 φi ∆ij ∆jk φk + λ9 (φi εij ∆jk εkl εlm ∆mn εnp φp ).

(3.4)

(3.5)

Si µ2i ≤ 0, el valor m´ınimo del potencial es cero, que en teor´ıa cu´antica de campos es un V.E.V nulo: hφi0 = h∆i0 = 0. Esto significa que el estado de vac´ıo (cero part´ıculas) es sim´etrico bajo el grupo SU (2)L ⊗ U (1)Y . Por otro lado, si todos los coeficientes son µ2i ≥ 0, el m´ınimo del potencial toma infinitos valores degenerados, que corresponde a un V.E.V distinto de cero. Significa que el estado de m´ınima energ´ıa no es el vac´ıo (hay un condensado), b donde hΦi0 da por lo que el campo se puede separar como Φ = hΦi0 + Φ, cuenta del estado de m´ınima energ´ıa de Φ (que no es un verdadero vac´ıo) y b da cuenta de part´ıculas en estados exitados solamente (es decir hΦi b 0 = 0). Φ De esta manera se puede expresar el potencial en t´erminos de campos con V.E.V igual a cero (vac´ıo de part´ıculas) si se escriben los campos escalares como (seg´ un las Ec. (2.38), (2.39), (2.45) y (2.46)): φ = φb + hφi0 =



b + h∆i0 = ∆=∆

 φ+ , √1 (ν + H + iζ) 2



√  ν∆ + 2∆0 √ ∆− . ∆− 2∆−−

(3.6)

3.2 El lagrangiano de Higgs

27

Para hallar los valores que toman los coeficientes µ2i en los potenciales (3.3) y (3.4), se aplica la condici´on del m´ınimo: ∂hVH i = 0; ∂ν

∂hVH i = 0, ∂ν∆

(3.7)

donde hVH i es el potencial evaluado en los valores esperados de los campos. De las condiciones (3.7) se obtiene directamente las dos soluciones para los parametros µ2i : 2 µ21 = −λ1 ν 2 + 2λ6 ν∆ − (λ7 + λ9 )ν∆ , 2 ν 2 µ22 = −4(λ2 + λ4 )ν∆ + λ6 − (λ7 + λ9 )ν 2 , ν∆

que son reemplazados en los potenciales (3.3) y (3.4). Para campos escalares, los t´erminos de masa toman la forma gen´erica de el potencial general (3.2):  ν∆ 2λ6 + √ (λ8 − λ9 ) ν Lmasa = φ φ (λ8 − + 2λ6 ν∆ + φ ∆ 2     √ ν∆ 1 + − λ6 − + +φ ∆ 2λ6 + √ (λ8 − λ9 ) ν + ∆ ∆ + (λ8 − λ9 ) ν 2 ν∆ 2 2   ν2 ++ −− 2 2 +∆ ∆ . 4(λ5 − λ4 )ν∆ + (λ8 − λ9 )ν + λ6 ν∆ (3.8) + −



2 λ9 )ν∆



+

−



√

Del lagragiano (3.8) se determina directamente los t´erminos de masa para los ∆±± , con α1 = λ5 − λ4 , α2 = λ8 − λ9 y f = λ6 , se obtiene entonces: 2 M∆2 ±± = 4α1 ν∆ + α2 ν 2 + f

ν2 . ν∆

(3.9)

Es posible construir la matriz de masa para los t´erminos φ± ∆± a partir de la Ec. (3.8) de la siguiente forma: √    ν∆ √ (α2 ν∆ + 2f ) ν∆ 2f + 2 α2 ν   2 .  (3.10) Mφ± ∆± =      √ f ν 2f + √∆2 α2 ν + 12 α2 ν 2 ν∆

3.2 El lagrangiano de Higgs

3.2.2.

28

Diagonalizaci´ on: sector cargado

Para obtener el espectro f´ısico de part´ıculas escalares, es necesario diagonalizar las matrices de masa. Para la matriz Mφ2± ∆± se obtiene que el det Mφ2± ∆± = 0, asegurando al menos un bos´on de Goldstone con masa cero (un valor propio es cero). La ecuaci´on de valores propios es: det(Mφ2± ∆± − V P ) = 0.

(3.11)

Resolviendo la Ec. (3.11) en el ap´endice C Ec. (C.3) se encuentran los valores propios V P1 y V P2 :   1 f 2 + α2 ν 2 (3.12) V P1 = 0; V P2 = α2 ν∆ + 2f ν∆ + ν∆ 2 y se determinan los vectores propios Ec.(C.7):     Sθ Cθ V1 = ; V2 = , −Cθ Sθ

(3.13)

con: ν

Sθ = sin θ = p ; 2 ν 2 + 2ν∆

√

2ν∆ Cθ = cos θ = p . 2 ν 2 + 2ν∆

(3.14)

Las transpuestas de los vectores propios (3.13) corresponden a las filas de la matriz de rotaci´on entre la base de Mφ2± ∆± y la base de bos´ones f´ısicos:    ±   ± G Sθ −Cθ φ = . (3.15) ± H± Cθ S θ ∆ De esta forma de las Ec. (3.9) y (3.15), se obtiene el espectro de escalares cargados tabla 3.1 con sus repectivas masas al cuadrado (valores propios), donde G± son dos bonsones de Goldstone cargados sin masa que salen del espectro f´ısico para dar masa a dos bosones de gauge igualmente cargados, H ± como dos bosones de Higgs cargados y por u ´ltimo dos bosones de ±± Higgs doblemente cargados H .

3.2 El lagrangiano de Higgs Escalares cargados G± = Sθ φ± − Cθ ∆±

H ± = Cθ φ± + Sθ ∆±

29 Masas al cuadrado MG2 ± = 0   2 2 2 + ν2 + 2f ν∆ + f νν∆ MH2 ± = α2 ν∆ 2

2 MH2 ±± = 4α1 ν∆ + α2 ν 2 + f νν∆

H ±± = ∆±±

Tabla 3.1: Espectro escalar cargado f´ısico

3.2.3.

Sector neutro

Para este sector se toman los bosones escalares neutros complejos ∆0 y ∆0 de la siguiente forma: 1 ∆0 = √ (R + iI); 2

1 ∆0 = √ (R − iI). 2

(3.16)

El lagrangiano de masa para el sector neutro encontrado a partir del potencial Higgs (3.2) es:     2 1 ν2 2 2 1 ν Lneutro = H (ν λ1 ) + Z (2f ν∆ ) + R 4(λ2 + λ4 )ν∆ f +I f 2 ν∆ 2 ν∆ + RH [−2νf + 2νν∆ (λ7 + λ9 )] + IZ(2νf ). (3.17) 2

2

2

2

Del lagragiano (3.17) se construyen dos matrices, una real y otra imaginaria de la siguiente forma:   4f ν∆ 2f ν 2 , MImag = (3.18) ν2 2f ν f ν∆ 2 Mreal

 −2νf + 2νν∆ (λ7 + λ9 ) . = 2 ν 2 −2νf + 2νν∆ (λ7 + λ9 ) 8(λ2 + λ4 )ν∆ + f ν∆ 

2λ1 ν 2

(3.19)

A continuaci´on se procede a diagonalizar las matrices imaginaria y real.

3.2 El lagrangiano de Higgs

3.2.4.

30

Diagonalizaci´ on: sector imaginario

La matriz imaginaria (3.18) tiene determinante cero, asegurando un bos´on de gauge no masivo. Los valores propios para la matriz imaginaria son : V P1 = 0;

V P2 =


f 2 ν 2 + 4ν∆ , ν∆

con los siguientes vectores propios dados por la Ec. (C.11):     −Sθ2 Cθ2 , ; V2 = V1 = C θ2 Sθ2

(3.20)

(3.21)

con: ν Sθ2 = sin θ2 = p ; 2 2 ν + 4ν∆

2ν∆ Cθ2 = cos θ2 = p , 2 2 ν + 4ν∆

(3.22)

de nuevo las transpuestas de los vectores propios corresponden a las filas de 2 la matriz de rotaci´on entre la base de MImag y la base de bos´ones f´ısicos:      0 Cθ2 Sθ2 Z A , (3.23) = −Sθ2 Cθ2 G0 I obteniendo en la tabla 3.2 el espectro de bosones neutros con sus repectivas masas al cuadrado (valores propios). Bosones neutros A0 = Cθ2 Z + Sθ2 I G0 = −Sθ2 Z + Cθ2 I

Masas al cuadrado MA2 0 = 0 2 MG2 0 = νf∆ (4ν∆ + ν 2)

Tabla 3.2: Bosones neutros De est´a manera se obtiene un bos´ on pseudo escalar A0 y un bos´ on de 0 Higgs f´ısico G .

3.3 El Sector cin´etico de Higgs

3.2.5.

31

Diagonalizaci´ on: sector real

Finalmente la matriz real (3.19) tiene los siguientes valores propios calculados en el ap´endice C Ec. (C.17): V P1 ' f

ν2 ; ν∆

V P2 ' λ1 ν 2 ,

(3.24)

se realiza una aproximaci´on para encontrar los vectores propios en los cuales sea valida una interpretaci´on f´ısica apendice C Ec. (C.18):     Cθ3 −Sθ3 V1 = ; V2 = (3.25) Sθ3 C θ3 con valores para Sθ3 y Cθ3 dados por las Ec. (C.19) y (C.20) respectivamente. Ahora encontrando la base de bosones f´ısicos:     0 Cθ3 Sθ3 H h . (3.26) = −Sθ3 Cθ3 H0 R De esta forma se obtiene el espectro de bosones reales f´ısicos h0 y H 0 con sus masas al cuadrado en la tabla (3.3). Bosones reales h0 = Cθ3 H + Sθ3 R H 0 = −Sθ3 H + Cθ3 R

Masas al cuadrado Mh20 ≈ λ1 ν 2 2 MH2 0 ≈ f νν∆

Tabla 3.3: Espectro real f´ısico

3.3.

El Sector cin´ etico de Higgs

El sector cin´etico del lagrangiano de Higgs (3.1) acopla los bosones escalares con los bosones gauge. La parte cin´etica contiene dos t´erminos uno que pertenece al doblete y el otro al triplete, se presenta a continuaci´on cada uno de estos.

3.3 El Sector cin´etico de Higgs

3.3.1.

32

El Doblete

Tomando la parte correspondiente al doblete del lagrangiano (3.1) y expadiendo todos los t´erminos de acuerdo a la Ec. (2.54) se encuentra que: (Dµ φ)† (Dµ φ) = ∂µ φ− ∂ µ φ+ + ∂µ φ0 ∂ µ φ0 h i g − i∂µ φ− (gWµ3 + g 0 Yφ Bµ )φ+ + (Wµ1 − iWµ2 )φ0  2 hg g 3 0i 1 2 + 0 0 − i∂µ φ (Wµ + iWµ )φ + g Yφ Bµ − Wµ φ 2 h g2  i g − 3 0 1 µ + + iφ Wµ + g Yφ Bµ ∂ φ + (Wµ − iWµ2 )(∂ µ φ0 ) hg 2  i  2g 1 3 2 0 µ 0 µ + 0 (W + iWµ )(∂ φ ) + − Wµ + g Yφ Bµ ∂ φ + iφ 2 µ 2 h  i g g − 3 g 3 0 + Wµ + g Yφ Bµ φ + (Wµ1 − iWµ2 )φ0 + φ Wµ 2 2 2   i hg g 3 g − 1 2 1 2 + 0 + φ (Wµ − iWµ ) (Wµ + iWµ )φ + − Wµ + g Yφ Bµ φ0 2 2 2 g  i g 0h 1 g 2 3 0 + + φ (Wµ + iWµ ) Wµ + g Yφ Bµ φ + (Wµ1 − iWµ2 )φ0 2 2 2  i  g g 0 3 hg 1 3 2 0 + − φ Wµ (Wµ + iWµ )φ + − Wµ + g Yφ Bµ φ0 2 2h 2 i  g 3 0 0 − 3 g Wµ + g Yφ Bµ φ+ + (Wµ1 − iWµ2 )φ0 + g φ Yφ Bµ Wµ 2 2     g 3 1 0 0 1 2 + 0 + g φ Yφ Bµ (Wµ + iWµ )φ + − Wµ + g Yφ Bµ φ0 , 2 2 (3.27) con el t´ermino (3.27) se construye las matrices de masa para los bosones Wµ1 , Wµ2 , Wµ2 y Bµ , y teniendo en cuenta la Ec. (2.51) se encuentra:   g 2 ν2 0 4 2 ,  (3.28) MW 1,2 = µ g 2 ν2 0 4  g2 ν2 −gg0 ν 2  2 MW = 3 µ ,Bµ

4

4

−gg 0 ν 2 4

g02 ν 2 4

.

(3.29)

3.3 El Sector cin´etico de Higgs

33

Si se diagonalizan las matrices (3.28) y (3.29) se encuentran las masas para los bosones d´ebiles y el fot´on no masivo, que es un resultado del MEM, pero el triplete de Higgs contribuye tamb´ıen a las masas de los bosones electrod´ebiles, es necesario determinar esta contribuci´on expandiendo los t´erminos del tiplete.

3.3.2.

El Triplete sim´ etrico

Tomando la parte cin´etica del triplete en la Ec. (3.1) y expadiendo todos los t´erminos de acuerdo a la Ec. (2.54) se encuentra que: 1h 1 (Dµ ∆ij )† (Dµ ∆ij ) = (∂µ ∆ij )† (∂ µ ∆ij ) 2 2 − ig(∂µ ∆ij )† (Wki δlj + δki Wlj )∆ij − ig 0 (∂µ ∆ij )† (Bµ δki δlj )∆kl

+ ig∆mn (Wim δjn + δim Wjn )∂ µ ∆ij + g 2 ∆mn (Wim δjn + δim Wjn )(Wki δlj + δki Wlj )∆kl

(3.30)

+ gg 0 ∆mn (Wim δjn + δim Wjn )(Bµ Y∆ δki δlj )∆kl + ig 0 ∆mn (Bµ Y∆ δim δjn )∂µ ∆ij + gg 0 ∆mn (Bµ Y∆ δim δjn )(Wki δlj + δki Wlj )∆kl i 2 + ig 0 ∆mn (Bµ Y∆ δim δjn )(Bµ Y∆ δki δlj )∆kl , de la Ec. (3.30) se determina la contribuci´on del triplete de Higgs a las masas de los bosones d´ebiles, adem´as de los lagrangianos que involucran la din´amica de los bosones de Higgs cargados. reuniendo las ecuaciones (3.27) y (3.30), se encuentra para Wµ3 y Bµ :

Lmasa

   1 2 1 2 1 2 1 2 3 2 0 ν + ν∆ (Wµ ) − gg ν + ν∆ Bµ Wµ3 =g 8 2 8 2     1 2 1 2 1 2 1 2 0 3 0 2 − gg ν + ν∆ Bµ Wµ + (g ) ν + ν∆ Bµ2 , 8 2 8 2 2



el cual permite construir la siguiente matriz de masa:

(3.31)

3.3 El Sector cin´etico de Higgs 

2 = MW 3 µ ,Bµ

1 2 ν 4

g2 −gg

34

0

2 + ν∆

1 2 ν 4

+




2 ν∆

con los siguientes valores propios: V P2 = 0;

V P2 =




−gg 0

1 2 ν 4

2 + ν∆

0 2

1 2 ν 4

2 ν∆

(g )

+







,

g2 2 2 ), (ν + 4ν∆ 4Cw2

(3.32)

(3.33)

garantizando un fot´on no masivo y un bos´on masivo que se identificara con el bos´on d´ebil neutro Zµ . Con los valores propios se determinan los vectores propios:     Sw Cw , (3.34) ; V2 = V1 = Cw −Sw con: g0 Sw = sin θw = p ; g2 + g02

g Cw = cos θw = p , g2 + g02

(3.35)

donde θw corresponde al ´angulo de Weinberg, de tal manera que la matriz de transformaci´on toma la forma:    3   Wµ Cw −Sw Zµ = . (3.36) S w Cw Aµ Bµ Del de la Ec (3.30) se determina la contribuci´on para los bosones Wµ1,2 y adicionando (3.28) se encuentra:   g2 2 2 0 (ν + 2ν ) ∆ 4 2  , (3.37) MW 1,2 = µ g2 2 2 (ν + 2ν∆ ) 0 4 con valores propios: V P1,2 = ±


g2 2 2 ν + 2ν∆ , 4

(3.38)

3.3 El Sector cin´etico de Higgs

35

que corresponden a las masas de Wµ+ y Wµ− , y los correspondientes vectores propios:     1 1 1 1 V1 = √ ; V2 = √ , (3.39) 2 −i 2 i la matriz de transformaci´on toma la forma:    1  + 1 1 −i Wµ Wµ √ = . 2 1 i W Wµ− 2 µ

(3.40)

De esta manera se tienen los bosones d´ebiles y el fot´on con masas dadas por los valores propios (3.33) y (3.38), seg´ un se indica en la tabla (3.4). Bosones Electrod´ebiles Masas al cuadrado Aµ = Sw Wµ3 + Cw Bµ MA2 = 0 g2 2 2 Zµ = Cw Wµ3 − Sw Bµ MZ2 = 4C 2 (ν + 4ν∆ ) w

Wµ± =

√1 (W 1 µ 2

∓ iWµ2 )

2 MW ± =

g2 (ν 2 4

2 ) + 2ν∆

Tabla 3.4: Bosones electrod´ebiles Como una consecuencia de la introducci´on del triplete de Higgs las masas de los bosones d´ebiles se modifican como se puede observar en la tabla 3.4. Un par´ametro importante del MEM es el par´ametro ρ definido como: ρ=

2 MW ± , 2 Cw MZ2

(3.41)

´ y cuyo valor es cercano a 1 de acuerdo al informaci´on experimental [9]. Este par´ametro impone cotas sobre el VEV del triplete de Higgs en ν∆ . 1Gev. Ahora se procede a clasificar los t´erminos de interacci´on de los bosones de Higgs cargados con las dem´as part´ıculas. De la Ec. (3.30) se obtienen los vertices de interacci´on Delta-Delta-Vector-Vector:

3.3 El Sector cin´etico de Higgs

L∆−∆−V −V

36

 2 g µ 2 + µ− = ∆ ∆0 Zµ Z + g Wµ W Cw2     g2 µ− 0 + 2 µ− + ∆0 ∆++ g 2 Wµ− W µ+ + h.c + ∆ ∆ −geAµ W + 2 (1 + Sw )Zµ W Cw   g2 µ− ++ − 2 µ− + ∆ ∆ −3geAµ W − + h.c (1 − 3Sw )Zµ W Cw   g2 eg 2 − µ+ 2 µ− ++ −− 2 µ 2 2 µ g Wµ W + 4e Aµ A + 2 (1 − 2Sw ) Zµ Z + 4 (1 − 2Sw )Aµ Z . +∆ ∆ Cw Cw (3.42) 

0

Los diagramas de Feynman respectivos se encuentran en la figura D.1. Para la interacci´on Delta-Delta-Vector de la Ec. (3.30) se obtiene: L∆−∆−V

 g  = Zµ + (1 − + [pµ − q µ ] Cw h     i −− ++ ++ −− + −− − + 0 + Aµ 2∆(p) ∆(q) + ∆(p) ∆(q) e + Wµ ∆(p) ∆(q) + ∆ (p) ∆(q) g [pµ − q µ ] h   i − + 0 µ µ + Wµ− ∆++ ∆ + ∆ ∆ (p) (q) (p) (q) g [p − q ]. 

∆0 (p) ∆0(q)

−− 2Sw2 )∆++ (p) ∆(q)

+ Sw2 ∆− (p) ∆(q)

(3.43)

con los diagramas de Feynman dados en la figura D.2, y los t´erminos de interacci´on Delta-Vector-Vector de la Ec. (3.30) son: L∆−V −V

 2   g ν∆ 1 µ + µ− √ + h.c =∆ Wµ W + 2 Zµ Z Cw 2    1 + Sw2 g µ− + µ− √ + h.c +∆ −eν∆ Aµ W + g Zµ W Cw 2  2  g ν∆ + ∆++ √ Wµ+ W µ− + h.c. 2 0

(3.44)

Los diagramas Feynman respectivos se presentan en la figura D.3. Se encontraron las masas al cuadrado y los estado f´ısicos de masa para las componentes del triplete escalar adem´as de los vertices de interacci´on. Ahora se procede a dotar de masa a los neutrinos con el lagrangiano de Yukawa y el triplete escalar.

3.4 El lagrangiano de Yukawa

3.4.

37

El lagrangiano de Yukawa

De acuerdo a la subsecci´on 2.3.2 el lagrangiano de Yukawa tiene t´erminos bilineales de la forma (2.34) donde la tercera forma se descarta por no permitirse singletes, as´ı el lagragiano mas general tiene la forma:

LY =

 3 X

nm

h

(m) ψ (n)i L ψR φi

n,m=1

 1 nm (n)i (m)j c ij + √ Y ψL (ψL ) ∆ + h.c. 2

(3.45)

hnm y Y nm son constantes de acoplamiento.

3.4.1.

El lagrangiano con leptones

El lagrangiano para el doblete φ se escribe como: LφY

=

3 X

(n)i (m)

hnm `L `R φi + h.c,

m,n=1

corriendo la suma para encontrar todos los t´erminos:

(3.46)

3.4 El lagrangiano de Yukawa

LφY = h11 νeL eR φ+ + h12 νeL µR φ+ + h13 νeL τR φ+ + h21 νµL eR φ+ + h22 νµL µR φ+ + h23 νµL τR φ+ + h31 ντ L eR φ+ + h32 ντ L µR φ+ + h33 ντ L τR φ+
ν + √ h11 eL eR + h12 eL µR + h13 eL τR 2
ν + √ h21 µL eR + h22 µL µR + h23 µL τR 2
ν + √ h31 τL eR + h32 τL µR + h33 τL τR 2
H + √ h11 eL eR + h12 eL µR + h13 eL τR 2
H + √ h21 µL eR + h22 µL µR + h23 µL τR 2
H + √ h31 τL eR + h32 τL µR + h33 τL τR 2
iζ + √ h11 eL eR + h12 eL µR + h13 eL τR 2
iζ + √ h21 µL eR + h22 µL µR + h23 µL τR 2
iζ + √ h31 τL eR + h32 τL µR + h33 τL τR . 2

38

(3.47)

Del lagrangiano (3.47) se observa que electr´on, mu´on y tau´on aquieren masa. Para la parte correspondiente al triplete sim´etrico del lagragiano (3.45) se escribe: LY =

3 X

1 √ Y nm `L(n)i (`(m)j )c ∆ij + h.c, L 2 m,n=1

(3.48)

clasificando los t´erminos de acuerdo al acoplamiento. Primero el acoplamiento Lept´on-Lept´on solamente para los t´erminos de masa se obtiene: ν∆ h 11 √ L∆ = Y νeL (νeL )c + 2Y 12 νeL (νµL )c + 2Y 13 νeL (ντL )c l−l 2 i +Y 22 νµL (νµL )c + 2Y 23 νµL (ντL )c + Y 33 ντL (ντL )c . (3.49)

3.4 El lagrangiano de Yukawa

39

Se observa directamente de la Ec. (3.49) que los neutrinos adquieren masa por la introducci´on del triplete de Higgs, esto no sucede con el doblete. Ahora t´erminos de interacci´on Lept´on-Lept´on-Delta: h 0 = ∆ Y 11 νeL (νeL )c + 2Y 12 νeL (νµL )c + 2Y 13 νeL (ντL )c L∆ l−l−∆ i + Y 22 νµL (νµL )c + 2Y 23 νµL (ντL )c + Y 33 ντL (ντL )c h √ + 2∆− Y 11 νeL (eL )c + 2Y 12 νeL (µL )c + 2Y 13 νeL (τL )c i c c c 22 23 33 + Y νµL (µL ) + 2Y νµL (τL ) + Y ντL (τL ) h + ∆−− Y 11 eL (eL )c + 2Y 12 eL (µL )c + 2Y 13 eL (τL )c i + Y 22 µL (µL )c + 2Y 23 µL (τL )c + Y 33 τL (τL )c .

3.4.2.

(3.50)

Diagonalizaci´ on: Generaci´ on de masa de neutrinos y el mecanismo See-saw

De la ecuaci´on (3.49) se genera la siguiente estructura general del lagrangiano de masa para los neutrinos que toma la forma:   11 Y Y 12 Y 13 √ √ . Mnm = 2ν∆ Y nm = 2ν∆ Y 21 Y 22 Y 23  . (3.51) Y 31 Y 32 Y 33

El V.E.V ν∆ se relaciona con las masas del triplete de Higgs seg´ un se encontr´o en las tablas 3.1-3.3. En general el ν∆ toma valores muy peque˜ nos comparado con el V.E.V ν del doblete de Higgs como por ejemplo se observ´o a trav´es del par´ametro ρ en la Ec. (3.41), de donde ν∆ . 1Gev  ν = 246 Gev. De esta manera las masas de los bosones de Higgs f´ısicos de las tablas 3.1-3.3 se pueden considerar como primera aproximaci´on degeneradas y dadas por: MH2 0 = MH2 0 = MH2 ± = MH2 ±± ≈ f De esta manera la Ec. (3.51) se puede escribir como: √ 2f ν 2 Y nm Mnm = . MH2

ν2 . ν∆

(3.52)

(3.53)

3.4 El lagrangiano de Yukawa

40

Si se introduce un valor MH2 grande, se puede obtener masas de neutrinos livianos, lo cu´al genera el Mecanismo See-saw Tipo II. Para pasar de los estados de sabor a los estados de masa hay que diagonalizar Mnm , lo cual se logra introduciendo una matriz unitaria U [7]: Mnm = U diag(m1 , m2 , m3 )U T ,

(3.54)

m1 , m2 y m3 son las masas f´ıscas para los tres neutrinos y cuyos valores son tomados de acuerdo a la ref [24]. Los experimentos de oscilaci´on de neutrinos son sensibles a las diferencias de las masas al cuadro ∆m2ij = m2i − m2j . Como el signo de ∆m231 no se ha podido determinar hasta el momento [7, 26], surgen distintos patrones para la jerarqu´ıa de las masas de los neutrinos: El caso en que ∆m231 > 0 se refiere a una jerarqu´ıa normal (NH) donde m1 < m2 < m3 . El caso con ∆m231 < 0 se conoce como jerarqu´ıa invertida (IH) donde m3 < m1 < m2 . Para la matriz U (matriz de Pontecorvo-MakiNakagawa-Sakata), se adopta la siguiente parametrizaci´on: ϕ1

ϕ2

U = V diag(1, ei 2 , ei 2 ),

(3.55)

con  c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ V = −c23 s12 − s13 s23 c12 eiδ c23 s12 − s13 s23 s12 eiδ s23 c13  , s23 s12 − s13 c23 c12 eiδ −s23 c12 − s13 c23 s12 eiδ c23 c13 

(3.56)

donde sij ≡ sin θij , cij ≡ cos θij y δ son ´angulos de mezcla y la fase de Dirac que en principio se pueden caracterizar en experimentos de oscilaci´on de neutrinos [7]. Para neutrinos de Majorana aparecen dos fases adicionales ϕ1 y ϕ2 . De las Ec. (3.51) y (3.54) resulta: Y nm = √

1 U Mν U T . 2ν∆

(3.57)

Esto proporciona una conexi´on directa entre Y nm y la matriz de masa de los neutrinos que da lugar a predicciones fenomenol´ogicas para los procesos que dependen de Y nm . A trav´es de la Ec. (3.57) es posible encontrar una relaci´on num´erica entre los par´ametros medidos en los experimentos de oscilaci´on de neutrinos y las constantes de Yukawa Y nm , los valores num´ericos se presentan

3.4 El lagrangiano de Yukawa

41

en el ap´endice E para las dos jerarqu´ıas[7]. Hay otras formas de determinar las constantes de Yukawa a partir de la violaci´on de sabor lept´onico (LFV), el decaimiento doble beta, limites cosmol´ogicos, las cuales permiten establecer cotas a las componentes de Y nm .

Cap´ıtulo 4 El triplete escalar en el LHC Se ha establecido con seguridad que los neutrinos oscilan y el mas liviano posee masa muy peque˜ na por debajo de la escala de eV [6] lo cual exige f´ısica m´as all´a del Modelo Est´andar(ME), y que podria manifestarse en el LHC [7, 25, 26, 27]. En consecuencia, modelos para la generaci´on de masa de los neutrinos que puedan ser probados en los experimentos actuales y futuros son de gran inter´es fenomenol´ogico. En el cap´ıtulo anterior se mostr´o que los neutrinos adquirieron masa de Majorana a trav´es del acoplamiento de los Yukawa Y nm y el valor esperado del vacio (V.E.V) del triplete de escalar. Este triplete aparece como una representaci´on de SU (2)L que permite expandir el sector escalar. En consecuencia, hay una conexi´on directa entre Y nm y la matriz de masa de los neutrinos. Una se˜ nal distintiva del MTH ser´ıa la observaci´on de bosones de Higgs doblemente cargados H ±± , cuya masa (MH ±± ) puede ser del orden desde la escala electrod´ebil hasta la escala de los Tev. Estas part´ıculas pueden en principio ser producidas con tasas importantes en los colisionadores de hadrones en procesos part´onicos qq → H ±± H ∓∓ [28, 29, 30, 31, 32] y qq 0 → H ±± H ∓ [28, 33, 34]. B´ usquedas de H ±± se han realizado en el Tevatron del Fermilab, asumiendo la producci´on del canal qq → H ±± H ∓∓ y el decaimiento lept´onico H ±± → `± `± (` = e, µ, τ ), encontrando cotas inferiores de su masa en el rango de 110-150GeV [34, 35, 36, 37, 38]. A continuaci´on se presenta una introducci´on de la f´ısica de colisionadores, luego se exploran las caracter´ısticas de una posible se˜ nal de bosones de Higgs doblemente cargados a nivel del LHC y por u ´ltimo se procede a reproducir simulaciones de colisiones de protones.

4.1 Introducci´on a la F´ısica de Colisionadores

4.1.

43

Introducci´ on a la F´ısica de Colisionadores

El conocimiento de la leyes de la F´ısica en el dominio subnuclear (a escalas cercanas a 10−13 cm y m´as peque˜ nas), es en gran parte debido al an´alisis de los resultados de colisiones de part´ıculas elementales. Mientras que el tama˜ no y la sofisticaci´on de cada componente de experimentos con colisiones a altas energ´ıas sigue increment´andose, el montaje experimental b´asico ha permanecido intacto desde el a˜ no 1960. Primero un acelerador de part´ıculas emplea una combinaci´on cuidadosamente designada de campos el´ectricos y magn´eticos para producir haces estrechamente enfocados de part´ıculas energ´eticas (t´ıpicamente electrones, protones y sus antipart´ıculas)[39]. Entonces, dos haces chocan de frente, frecuentemente con momentos iguales y opuestos, tal que el marco de referencia del centro de masa del sistema que ha colisionado coincide con el marco de referencia de laboratorio 1 . La regi´on donde ocurren las colisiones (el “punto de interacci´on”) est´a rodeado por un conjunto de detectores de part´ıculas los cuales intentan identificar las part´ıculas salientes de la colisi´on y miden sus energ´ıas y momentos. Los experimentos con colisionadores modernos coleccionan y analizan resultados de un gran n´ umero de colisiones; el n´ umero de eventos con propiedades espec´ıficas dentro del conjunto de datos coleccionados es proporcional a la probabilidad de cualquier evento [39]. As´ı, la probabilidad de un resultado espec´ıfico de una colisi´on (una cantidad t´ıpicamente usada en la f´ısica de part´ıculas “ la secci´on eficaz ”) provee un puente natural entre la teor´ıa y el experimento. Se podr´ıa decir que el trabajo de la teor´ıa de part´ıculas es inferir las leyes de la f´ısica desde secciones eficaces medidas experimentalmente. No se conoce un algoritmo que logre hacer este trabajo. Hay sin embargo, un formalismo bien desarrollado para predecir secciones eficaces, dado un Lagrangiano de la teor´ıa cu´antica de campos. En la pr´actica, el procesamiento de los datos de los colisionadores permite seleccionar una teor´ıa, al calcular secciones eficaces relevantes dentro de esta, y al comparar los datos con las predicciones te´oricas. Durante tres de´cadas antes de los avances en la tecnolog´ıa de aceleradores, la principal t´ecnica era acelerar un solo haz y chocarlo dentro de un blanco estacionario 1

4.1 Introducci´on a la F´ısica de Colisionadores

4.1.1.

44

Definiciones y Fundamentos.

Considerando una colisi´on de dos part´ıculas elementales A y B en un marco de referencia donde el momentum neto del par es cero, este marco de referencia es conocido como el de centro de masas y se encuentra en reposo. Para los colisionadores de hadrones A y B son partones (quarks o gluones), y el marco de referencia del centro de masas se llamar´a el “marco del part´on” en este caso, generalmente se est´a moviendo a lo largo del eje de colisi´on con respecto al sistema de referencia de laboratorio. En cualquier caso, se despreciar´an las masas de A y B, siendo muy peque˜ nas comparadas con la energ´ıa en la que estamos interesados, (del orden de 14 Gev) por convenci´on se escoge el eje z a lo largo de la direcci´on del momentum de A. El cuadrimomento de las part´ıculas colisionantes es [39]: pA = (E, 0, 0, +E),

(4.1)

pB = (E, 0, 0, −E).

(4.2)

La energ´ıa total del sistema colisionante, la energ´ıa del centro de masas, es 2 . En el caso del Ecm = 2E. Se usa, frecuentemente s = (pA + pB )2 = Ecm colisionador de hadrones, la energ´ √ıa del centro de masas en una colisi´on de sˆ, para distinguirla de la energ´ıa del par dos partones ser´a denotada por √ de hadrones colisionantes s [39]. En los colisionadores de part´ıculas, las colisiones toman lugar entre haces que contienen un gran n´ umero de part´ıculas. Si dos haces colisionan de frente, el n´ umero de colisiones resultantes en el estado final con caracter´ısticas particulares (tipo de part´ıculas, sus momentos, etc) son proporcionales al n´ umero de part´ıculas en cada haz NA y NB e inversamente proporcionales a el ´area de la secci´on eficaz A. El coeficiente de proporcionalidad es la secci´on eficaz : N´ umero de eventos · A , NA NB el n´ umero de eventos (Nev ) puede escribirse como: σ=

(4.3)

Nev = L · σ,

(4.4)

NA NB , A

(4.5)

donde L=

4.1 Introducci´on a la F´ısica de Colisionadores

45

si la ecuaci´on (4.5) se multiplica por la frecuencia con que el haz colisiona 3 se obtiene instant´ aTrim nea. La L junto con Ecm , August 26, 2010 la 0:6 luminosidadWSPC - Proceedings Size: 9in x 6in cantidad tasi09˙ws˙v2 L (together with Ecm ) contains all the information about the accelerator needed to analyze the experiment. contienen toda la informaci´on sobre los experimentos a analizar en un coliExperimental collaborations carefully monitor and record L, as a function of time. The experimentally sionador. Losofvalores experimentalmente decan la then secci´ n eficazwith se the inmeasured value the cross medidos section is inferred from Eq. (3). This value beocompared theoretically cross section. fieren de laexpected Ec. (4.4), estos valores pueden ser comparados con los predichos te´oricamente. Table 1. Recent and future energy-frontier particle colliders. (Parameters listed for the LHC and the ILC are design values.) Name

Type

√

s (GeV)

Lint (pb−1 )

Years of

Detectors

Location

CERN

operation LEP

e+ e−

91.2 (LEP-1)

≈ 200 (LEP-1)

1989-95 (LEP-1)

ALEPH, OPAL,

130-209 (LEP-2)

≈ 600 (LEP-2)

1996-2000 (LEP-2)

DELPHI, L3

SLC

e+ e−

91.2

20

1992-98

SLD

SLAC

HERA

e± p

320

500

1992-2007

ZEUS, H1

DESY

Tevatron

p¯ p

CDF, DØ

FNAL

ATLAS, CMS

CERN

???

???

LHC ILC

pp e+ e−

1800 (Run-I)

160 (Run-I)

1987-96 (Run-I)

1960 (Run-II)

6 K (Run-II, 06/09)

2000-??? (Run-II)

14000 500-1000

10 K/yr (”low-L”)

2010? - 2013?

100 K/yr (”high-L”)

2013?? - 2016???

1 M???

???

Throughout the lectures, y wefuturas will contrast theoretical de predictions withde data recent and ongoing Figura 4.1: Recientes fronteras energ´ıa losfrom colisionadores de experiments at energy-frontier colliders. Table 1 shows the basic parameters of these colliders, along with energ´ ıa (Par´ ametros para el LHC y el ILC .)collider, [39] the International Linear the upcoming LHC and thelistados proposed next-generation electron-positron Collider (ILC).c It is important to keep in mind that, for hadron colliders, the listed center-of-mass energy corresponds to the colliding (anti)protons. Since high-energy processes are initiated by partons, which only a fraction of muestra the proton momentum, the energyb´ scales thatde cancolisionadores be probed at a hadron collider are Lacarry figura (4.1) los par´ametros asicos recientes de substantially lower than this energy, typically by factors of 3−10 depending on the process. Electron-positron alta energ´ contoelexplore LHC.many Es reactions importante tener mente para colliders, onıa thecomparados other hand, are able at energy scales en extending all que the R way to √ values in ıa the del table centro are the integrated luminosities, Lint = Ldtaover their nominal s. The colisionadores de luminosity hadrones, lashown energ´ de masas corresponde los the lifetime of the experiment. The table also lists the detectors at each collider. Detector names coincide (anti)protones colisionantes. Siendo que los procesos a altas energ´ıas son iniwith the names of collaborations of physicists operating them, and are frequently used to refer to the data ciados por los cuales u ´nicamente llevan una fracci´on del prot´on, las published by partones, these collaborations. Computing and interpreting cross sections be our mainen focus. is clear from its definition, Eq. (2), escalas de energ´ ıa que pueden serwillprobadas unIt colisionador de hadrones that the cross section has cgs units of cm2 . A unit typically used in experimental nuclear and particle son menores que energ´ ıa,units”, t´ıpicamente factores desection 3 − is10GeVdepen−2 physics is 1 barn = 10−24esta cm2 . In “theory c = ~ = 1, thepor natural unit for cross ; the conversion factor is diendo de los procesos. Los valores de luminosidad mostrados en la figura

R (4.1) son luminosidades integradas, sobre el tiempo de vida del 1 bn =L2568 GeV−2Ldt , int = −2 −4 1 GeV en = lista 3.894 · los 10 detectores bn. (5) experimento. La figura (4.1) tambi´ de cada colisionador. To get a very rough estimate of cross sections expected in particle physics experiments, we can use dimensional analysis: away from thresholds and resonances, the only energy scale in a collision of two massless particles

4.1.2. B´ usqueda laincludes Nueva is considering. In addition, the measuredpara rate typically events thatF´ doısica not actually have the requested properties, but are mis-identified due to detector imperfections. In these lectures, we will mostly not be concerned with such detector effects, except for an occasional brief comment. An interested reader is referred to Eva Halkidakis’ lectures at this school. c For lack of time, I will not be able to discuss results from recent lower-energy, “luminosity-frontier” collider experiments, such as CLEO, BaBar, and Belle.

Se tiene un modelo extendido del ME que predice nuevas part´ıculas a una escala de energ´ıa dentro del alcance del LHC. Se necesita identificar sus alcances experimentales, idear una estrategia para el an´alisis de datos,

4.1 Introducci´on a la F´ısica de Colisionadores

46

maximizar la sensibilidad a la nueva f´ısica y evaluar cu´antos datos se podr´ıan requerir para verificar la teor´ıa. La estrategia depende de las nuevas part´ıculas (Higgs doblemente cargados), de sus interacciones y del experimento. Sin embargo, se pueden establecer una serie de pasos que se detallan a continuaci´on: (1) El modelo predice Higgs doblementes cargados y se debe dise˜ nar la b´ usqueda de estas part´ıculas. Empezar con el Lagrangiano del modelo. Identificar todos los acoplamientos del Higgs doblemente cargado al modelo est´andar. Listar los v´ertices involucrando al Higgs doblemente cargado y los estados ME. (2) Dados los v´ertices, identificar mecanismos de producci´on del Higgs doblemente cargado en el colisionador de inter´es. Dibujar diagramas de Feynman con Higgs doblemente cargados en el estado final. Recordar que las secciones eficaces generalmente decrecen con el n´ umero de v´ertices de interacci´on y con el n´ umero de part´ıculas en el estado final para poder dibujar diagramas tan simple como sea posible. El estado final con secciones eficaces mayores involucraran pocas part´ıculas pesadas. Si las nuevas part´ıculas puden ser producidas en forma simple, el proceso ser´a dominante. Si solo la producci´on es prohibida por simetr´ıas (por ejemplo la paridad en modelos supersim´etricos), la producci´on de pares dominar´a. (3) Basados en las consideraciones anteriores, identificar los procesos de producci´on de Higgs doblemente cargados m´as prometedores. Los procesos mediados por la QCD tendr´an secciones eficaces mayores que procesos electrod´ebiles. (4) Cuidadosamente derivar las reglas de Feynman para todos los v´ertices que entran a los procesos de producci´on m´as prometedores. (5) Calcular la secci´on eficaz total para cada proceso prometedor. No imponer cortes cinem´aticos a menos que sea necesario quitar singularidades. Si es necesario imponer cortes deben ser consistentes con condiciones experimentales. Dada la luminosidad integrada del colisionador calcular el n´ umero de eventos Nev esperados en el conjunto de datos para cada uno de los procesos. (6) Si Nev < 10 para un proceso dado, el proceso no es interesante probablemente. Notar que Nev depende t´ıpicamente de par´ametros de un modelo conocido a-priori tal como la masa de Higgs doblemente cargado. En tanto que existe un rango de valores de los par´ametros, consistente con las consid-

4.2 El experimento del LHC

47

eraciones te´oricas y con las ligaduras de los experimentos anteriores donde la condici´on Nev > 10 se satisface, as´ı vale la pena continuar con el an´alisis. (7) Identificar todos los v´ertices a trav´es de los cuales Higgs doblemente cargados pueden decaer. Para cada canal de decaimiento posible, verificar que es cinem´aticamente permitido. (8) Listar todos los estados finales en t´erminos del “detector de objetos” leptones del ME, fotones, jets part´ıculas invisibles para los detectore como los neutrinos. (9) Para cada estado final listar todos los procesos del ME que se lleven a cabo (el background), para diferenciarlos de nuevos procesos. (10) Calcular la secci´on eficaz para cada proceso del background y de las nuevas part´ıculas, para identificar posibles se˜ nales de nueva f´ısica. Por u ´ltimo, multiplicar por la luminosidad para obtener el n´ umero de eventos.

4.2.

El experimento del LHC

El LHC es un acelerador y colisionador de part´ıculas construido para colisionar haces de hadrones, mas exactamente protones a una energ´ıa m´axima de 7 Tev cada uno. Dentro del LHC dos haces de protones en sentidos contrarios son acelerados hasta alcanzar una velocidad cercana a la velocidad de la luz con una energ´ıa m´axima de 14 Tev. La operaci´on del LHC representa una oportunidad para explorar la f´ısica mas all´a de la escala electrod´ebil. Por ejemplo, el LHC proveer´a una oportunidad para detectar y medir [7] bosones de Higgs cargados y de esta manera reconocer el mecanismo apropiado para la generaci´on de masa de neutrinos.

4.2.1.

La composici´ on del prot´ on: Las funciones de estructura part´ onica

El modelo part´onico fue propuesto por Feynman y Bjorken a finales de los sesenta como una manera de analizar las colisiones de hadrones a alta energ´ıa dando origen al esquema de escalamiento [40]. Se reconoci´o m´as tarde que los partones describian los mismos objetos que ahora se conocen como quarks y gluones. El modelo describe los hadrones (en el caso del LHC protones) como un conjunto de part´ıculas puntuales casi libres. Las secciones eficaces

4.2 El experimento del LHC

48

del proceso σ(pp → X) se pueden calcular en primera aproximaci´on tomando los protones como part´ıculas de Dirac, pero como el momento transferido es muy grande es necesario considerar que el campo de gauge interact´ ua solo con uno de los constituyentes del prot´on. Se asume que cualquier hadr´on observado f´ısicamente esta constituido por partones que no interactuan entre s´ı [40]. En el modelo partonico, la secci´on eficaz es la suma incoherente de las dispersiones de part´ıculas puntuales [40]. De esta manera σ(pp → X) es: XZ 1 σ(pp → X) = dxdx0 σ(qi qj → X)fi (x)fj (x0 ), (4.6) qi ,qj

0

donde la suma es sobre los partones constituyentes de cada prot´on (qi , qj ), σ(qi , qj → X) es la secci´on eficaz en la aproximaci´on de Born para el proceso qi , qj → X y fi(j) (x) como la probabilidad de encontrar el quark i o j dentro del prot´on tambi´en conocida como las funciones de distribuci´on part´onicas. Lo importante del modelo part´onico es que no es necesario solucionar el problema de la estructura del hadr´on. En cambio, la informaci´on requerida esta disponible en los experimentos. La cromodin´amica cu´antica (QCD) da una idea mas detallada de la estructura del prot´on, ya que permite interacciones entre los partones, v´ıa el intercambio de gluones. Estos modelos son conocidos como Esquemas de Factorizaci´on [40]. Para el caso de la simulaci´on se utiliza las funciones de distribuci´on part´onicas para el prot´on dadas por CTEQ6m incluidas en el paquete CalcHEP. La cinem´atica para colisiones de part´ıculas es descrita en el ap´endice F.

4.2.2.

Colisiones p-p: Los cortes cinem´ aticos, el problema del background

Para simular las colisiones prot´on-prot´on se utiliza el programa CalcHEP [41] que permite incorporar el Modelo de Triplete de Higgs que a su vez incorpora el mecanismo See-saw tipo II. Cuando ocurre la colisi´on entre protones se producen muchas part´ıculas ya conocidas que constituyen el ruido de fondo ´o background predicho por MEM. La idea es reducir este background para poder identificar posibles se˜ nales de bosones de Higgs doblemente cargados. Un esquema b´asico de la colision p-p se muestra en la figura 4.2. La interacci´on entre part´ıculas del Modelo Est´andar Electrod´ebil (MEE) contribuyen principalmente en a´ngulos θ peque˜ nos en los que hay gran presencia

4.3 Producci´on y decaimiento de bosones de Higgs doblemente cargados 49 d detectores x

partícula resultante

r

protón

protón

z

detectores

Figura 4.2: Esquema de colisi´on p-p de leptones como estados finales. En general la nueva f´ısica estar´a asociada a part´ıculas con masas grandes como los H ±± , los cuales poseer´an un gran momento transversal, produciendo contribuciones para leptones como estados finales para θ grandes. As´ı, para peque˜ nos ´angulos se va a tener un exceso de background del MEE, mientras que la nueva f´ısica es mas probable de encontarla a grandes momentos transversales asociados a ´angulos grandes. El programa calcHEP calcula las secciones eficaces de todas la part´ıculas tanto del MEE como de los Higgs cargados adem´as de sus canales de decaimiento. Es posible limitar el sector donde se desea calcular las secciones eficaces y canales de decaimiento a partir de cortes geom´etricos, conocidos como cortes cinem´aticos. En la figura 4.3 se muestra un ejemplo de corte cinem´atico para el ´angulo de dispersi´on tanto para part´ıculas de MEE como para los bosones de Higgs doblemente cargados.

4.3.

Producci´ on y decaimiento de bosones de Higgs doblemente cargados

Se considera el siguiente proceso tipo Drell-Yan en el que una de las componentes del triplete escalar se puede producir en el LHC: pp → Z ∗ /A∗ → H ++ H −− , Sus secciones eficaces dependen solo de las masas escalares, porque las interacciones est´an fijadas por el acoplamiento del triplete. Las secciones eficaces

4.3 Producci´on y decaimiento de bosones de Higgs doblemente cargados 50 cortes cinemáticos para partículas con altos momentos transversales momentos  transversales

x cortes cinemáticos

x

x

x

z cortes cinemáticos p para partículas con bajos p j momentos  transversales x

Figura 4.3: Cortes cinem´aticos para el a´ngulo de dispersi´on para part´ıculas del MEE y bosones de Higgs doblemente cargados para H ±± y H ± para una energ´ıa de 14 Tev son graficadas en la figura 4.4, como funciones de las masas escalares. Como se observa en la gr´afica, la producci´on de H ±± es la que m´as contribuye en relaci´on a la producci´on de H ± . Los procesos que involucran producci´on de H 0 no son incluidos porque ellos no contribuyen a estados finales con leptones cargados, los cuales tienen mayor facilidad de detecci´on.

4.3.1.

Canales de producci´ on a dos leptones: Los anchos de decaimiento

Para el caso espec´ıfico de los decaimientos de H ±± a dos leptones, el ancho de decaimiento esta dado por [7]: Γ(H ±± → `± `± ) =

MH ±± |Y nm |2 . 4π(1 + δnm )

(4.7)

Usando la Ec. (3.57), la suma de los anchos para estados finales dileptonicos esta dada por [7]: P 2 X MH ±± Mν ±± ± ± Γ(H → ` ` ) = . (4.8) 2 8π 4ν ∆ nm

4.4 Reconstrucci´on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´on de se˜ nales y background

51

1000 ++

H + H

100

σ(fb)

10

1

0,1

0,01

1E-3 100

200

300

400

500

600

700

800

900

1000

MH(Gev)

Figura 4.4: Secciones eficaces para la producci´on de H ±± y H ± Los decaimientos de H ±± → e± e± /µ± µ± /e± µ± , son muy limpios, produciendo dos leptones cargados con una masa invariante cercana a MH ±± . Por el contrario decaimientos a tauones son dificiles de identificar porque pueden decaer leptonicamente τ → eνν, τ → eνν, resultando electrones y muones menos energ´eticos que los tauones originales. Desde el punto de vista de la simulaci´on, los electrones y muones se producen por igual, con una eficiencia de detecci´on similar debido al alto momento transversal.

4.4.

Reconstrucci´ on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´ on de se˜ nales y background

La simulaci´on de se˜ nales a cuatro leptones como estados finales a trav´es de la producci´on de bosones de Higgs doblemente cargados, se da v´ıa el proceso

4.4 Reconstrucci´on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´on de se˜ nales y background

52

pp → Z ∗ /A∗ → H ++ H −− seguido por el decaimiento lept´onico H ±± → `± `± (con ` = e, µ). La se˜ nal es reconstruida usando los par´ametros de producci´on del LHC. La configuraci´on para la simulaci´on de las se˜ nales y background es la siguiente: Generaci´ on de Se˜ nales: Se utiliza el paquete CalcHEP v.2.5.6 para calcular las secciones eficaces. Para este prop´osito se ha incluido los v´ertices de interacci´on relevantes en el archivo del modelo de CalcHEP. Se usa las funciones de distribuci´on part´onica CTEQ6m para la estructura del prot´on incluidas en el paquete. El n´ umero de eventos generados −1 est´a dado para una luminosidad de 30 fb . Generaci´ on de background: Se genera un ruido de fondo generado u ´nicamente por procesos puramente electrod´ebiles teniendo en cuenta todos los decaimientos lept´onicos (` = e, µ) a cuatro cuerpos. Adem´as para la se˜ nales y background se utilizan los siguientes cortes cinem´aticos [7]: Para los cuatro leptones se fijan dos que tengan momento transversal |pT | >30 Gev, el cual reduce el Background. Se fija la pseudorapidez en el siguiente rango −2.5 < η < 2.5 que establece la regi´on de detecci´on del detector La masa invariante para se˜ nales dilept´onicas opuestas se fija m`+ `− >20 Gev. Esto reduce el background donde pares de leptones de signos opuestos provienen de fotones. La brecha de Z’s, |m±∓ − MZ | > 5 Gev remueve eventos donde los leptones provienen de los decaimientos de Z. Se fija la energ´ıa total transversal HT > 300 Gev, que impone una condici´on adicional para distinguir las se˜ nal por encima del background. El efecto de los cortes en la se˜ nal y background para una masa de 200 Gev, 300 Gev y 800 Gev para los bosones de Higgs doblemente cargados se presenta en las figuras 4.5-4.10, las cuales representan distribuciones de masa invariante. Se observa que todas las se˜ nales para H ±± para NH y IH presentan un pico distinguible por encima del ruido, para H ±± = 200Gev hay un

4.4 Reconstrucci´on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´on de se˜ nales y background

53

pico 1.5 eventos/10 GeV para NH, y 30 eventos/10 GeV para IH, mientras que H ±± = 300 Gev tiene un pico de 0.33 eventos/10 Gev para NH y 7 eventos/10 Gev para IH, por u ´ltimo H ±± = 800 Gev presenta 0.0035 eventos/10 Gev para NH y 0.07 eventos para IH. El hecho de que el esquema IH muestre mayor nivel de observaci´on proviene de la matriz (3.56) y de la relaci´on introducida por la Ec. (3.57) para las constantes de Yukawa, las cuales dan m´as grandes para IH que para NH, generando mayor probabilidad de producci´on en un caso que en el otro. Tambi´en se observa que la se˜ nal se reduce dr´asticamente a medida que la masa del bos´on de Higgs cargado aumenta y que el background pr´acticamente se puede reducir a se˜ nales indetectables gracias a los cortes cinem´aticos impuestos.

10

MH =200Gev ++

Background 1

# of events/10Gev

NH 0,1

0,01

1E-3

1E-4 100

150

200

250

300

MH (Gev) ++

Figura 4.5: Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 200 Gev en NH para la se˜ nal dileptonica y background

4.4 Reconstrucci´on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´on de se˜ nales y background

54

100

MH =200Gev ++

Background

10

# of events/10Gev

IH 1

0,1

0,01

1E-3

1E-4 100

150

200

250

300

MH (Gev) ++

Figura 4.6: Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 200 Gev en IH para la se˜ nal dileptonica y background

10

MH =300Gev ++

Background 1

# of events/10Gev

NH

0,1

0,01

1E-3

1E-4 200

250

300

350

400

MH (Gev) ++

Figura 4.7: Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 300 Gev en NH para la se˜ nal dileptonica y background

4.4 Reconstrucci´on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´on de se˜ nales y background

55

MH =300Gev ++

10

Background IH

# of events/10Gev

1

0,1

0,01

1E-3

1E-4 200

250

300

350

400

MH (Gev) ++

Figura 4.8: Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 300 Gev IH para la se˜ nal dileptonica y background

10

MH =800Gev ++

Background

1

# of events/10Gev

NH 0,1

0,01

1E-3

1E-4 700

750

800

850

900

MH (Gev) ++

Figura 4.9: Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 800 Gev en NH para la se˜ nal dileptonica y background

4.4 Reconstrucci´on de se˜ nales en el LHC: Simulaci´on de se˜ nales y background

56

10

MH =800Gev ++

Background

1

# of events/10Gev

IH 0,1

0,01

1E-3

1E-4 700

750

800

850

900

MH (Gev) ++

Figura 4.10: Distribuci´on de masa invariante M`± `± = 800 Gev IH para la se˜ nal dileptonica y background

Cap´ıtulo 5 Sumario y Conclusiones A partir del estudio de la estructura matem´atica del Modelo Est´andar Electrod´ebil (MEE) de part´ıculas elementales en el cap´ıtulo II, se entendi´o la necesidad de incorporar un mecanismo para obtener part´ıculas fundamentales con masas, encontrando como resultado la incorporaci´on de un doblete escalar dando origen al bos´on de Higgs del MEM de esp´ın cero y el´ectricamente neutro. Sin embargo la presencia de un solo doblete de Higgs no permite la incorporaci´on de masas de los neutrinos. Motivado en el fen´omeno de oscilaci´on de neutrinos, el cual sugiere la existencia de neutrinos masivos, se procedi´o a estudiar las condiciones m´ınimas necesarias para obtener un modelo con neutrinos, aunque livianos, con masa distinta de cero. En particular, los mecanismos See-saw, a trav´es de la ampliaci´on del espectro, no s´olo permiten obtener neutrinos masivos, sino adem´as permiten entender porqu´e su masa es mucho m´as peque˜ na que sus compa˜ neras cargadas. De entre los distintos tipos de mecanismos See-saw, resulta de gran interes los de tipo II en el cu´al se introducen nuevas part´ıculas escarlares: Un bos´on de Higgs doblemente cargado, dos simplemente cargados y uno neutro adicional al del doblete de Higgs del MEM, los cuales a partir de condiciones de simetr´ıa (invariancia local) y renormalizaci´on (condiciones propias de los modelos de part´ıculas elementales), se organizan en representaciones 2 x 2 de un triplete escalar complejo Ec. (2.46). En particular, la presencia de una part´ıcula doblemente cargada en el mecanismo de tipo II permite estudiar nuevos procesos f´ısicos y de producci´on fuertemente ligada a dicha part´ıcula y con altas probabilidades de ser identificada en la nueva generaci´on de colisonadores, como por ejemplo en el Gran Colisionador Hadr´onico en el CERN. Con base a dicha motivaci´on en el cap´ıtulo III, se determin´o el po-

58 tencial de Higgs m´as general para el modelo de triplete de Higgs que respeta la sim´etrica SU (2)L ⊗ U (1)Y . Con lo anterior, se procedi´o a la construcci´on y diagonalizaci´on de las matrices de masa para obtener el espectro f´ısico completo del modelo, los resultados son resumidos en las tablas 3.1-3.3. La adquisici´on de masa es consecuente con el mecanismo de Higgs, donde se debe conservar el n´ umero de grados de libertad en el sector bos´onico. Al estudiar los esquemas de generaci´on de masa de los neutrinos se identific´o que los neutrinos adquieren masa de Majorana a trav´es del acoplamiento de los Yukawa y el valor esperado del vac´ıo (V.E.V) del triplete escalar. Otro resultado y consecuencia de la introducci´on del triplete de Higgs es la correcci´on a las masas de los bosones d´ebiles tabla 3.4, los cuales deben respectar los datos experimentales de los par´ametros electrod´ebiles. Para explorar las caracter´ısticas de una posible se˜ nal de bosones de Higgs doblemente cargados a nivel del LHC en el cap´ıtulo IV, se reproducen simulaciones de colisiones de protones utilizando el paquete CalcHEP que permite incorporar el modelo de triplete de Higgs que induce el mecanismo See-saw Tipo II. Se calcularon las secciones eficaces figura (4.4) para determinar cu´al de las componentes del triplete escalar tiene mayor probabilidad de producirse en el LHC. Se encuentra como resultado que los bosones doblemente cargados presentan mayores secciones eficaces seguidos de los bosones de Higgs cargados, mientras los bosones de Higgs neutros no contribuyen a estados finales de leptones cargados. Se consider´o el proceso Drell-Yan p, p → Z ∗ , A∗ → H ±± en el que una de las componentes (Bosones de Higgs doblemete cargados) del triplete escalar se puede producir en el LHC. Para el caso espec´ıfico del decaimiento de H ±± a dos leptones se calcul´o el ancho total de decaimiento, considerando u ´nicamente como part´ıculas finales al electr´on y muon debido que el tau´on puede decaer leptonicamente y producir electrones y muones menos energ´eticos. Se simularon las se˜ nales para el ±± ± ± decaimiento lept´onico de H → ` ` , en el contexto del LHC, incluyendo el ruido de fondo para procesos del MEE utilizando los mismos cortes cin´ematicos, obteniendo se˜ nales por encima del ruido que son una evidencia clara de la posiblilidad producir y detectar bosones de Higgs doblemente cargados en el LHC. En nuestro an´alisis hemos presentado los resultados en t´erminos del n´ umero de eventos que corresponde a la secci´on eficaz multiplicada por la luminosidad integrada. Se grafican las se˜ nales de masa invariante para una masa de Higgs de 200 Gev, 300 Gev y 800 Gev figuras (4.5)-(4.10) . Puesto que el acoplamiento de Yukawa entre leptones y Higgs depende de la matriz

59 de mezcla PMNS de neutrinos, se realiza el estudio para las dos jerarqu´ıas t´ıpicas entre masas de neutrinos: normal e inversa. Para ambas jerarqu´ıas, se obtienen se˜ nales positivas de una posible detecci´on de bosones de Higgs doblemente cargados en el LHC, siendo mayor para la inversa. El background obtenido se redujo apreciablemente gracias a los cortes cinematicos impuestos. Sin embargo hay que tener encuenta que en este trabajo solamente se consideraron interacciones puramente electrod´ebiles, ignorando procesos de hadronizaci´on, los cuales induciran un background adicional apreciable y que no puede reducirse por medio de cortes cinem´aticos. El proceso de hadronizaci´on es posible de implementar dentro de generador del calcHEP, por ejemplo implementando una interfase al programa PYTHIA, lo cu´al se pretende realizar en el futuro. Adicionalmente se consider´o una eficiencia de detecci´on perfecta. En la pr´actica los detectores tienen una eficiencia de detecci´on limitada que depende de rango de energ´ıas de las part´ıculas producidas, y lo cu´al puede ser simulado.

Ap´ endice A Grupos y Teor´ıa de la Representaci´ on Los conceptos de simetr´ıa han resultado una herramienta muy poderosa para la construcci´on de modelos que describen de forma exitosa una gran variedad de fen´omenos, que abarca temas desde la materia condensada y la f´ısica nuclear, hasta la f´ısica de part´ıculas y la cosmolog´ıa. Es as´ı que los modelos de part´ıculas elementales est´an soportados por argumentos de simetr´ıas presentes en las part´ıculas a nivel fundamental, las cuales permiten incorporar de manera natural las interacciones y, por un procedimiento met´odico, las masas de las part´ıculas. Formalmente, la presencia de simetr´ıas en la naturaleza se estudia por medio de la teor´ıa de grupos. En este Anexo se introducen los conceptos b´asicos de los grupos y de sus representaciones, que posteriormente ser´an relevantes en la construcci´on de cualquier modelo de gauge [23].

A.1.

Generalidades

Se define un grupo como un conjunto G = a, b, c, .... con una ley de multiplicaci´on (regla de composici´on) que presenta las siguientes propiedades [19, 20, 23]: 1. Cerrado: Si a y b ∈ G, ⇒ c = a · b tambi´en ∈ G. 2. Asociativo: (a · b) · c = a · (b · c) ,∀ a, b, c ∈ G.

A.1 Generalidades

61

3. Identidad: Existe un elemento I ∈ G tal que a · I = I · a = a, ∀ a ∈ G. 4. Inverso: Existe un elemento a−1 ∈ G tal ue a · a−1 = a−1 · a = I, ∀ a ∈ G Si adem´as el producto es conmutativo (a · b = b · a∀a, b ∈ G), el grupo es abeliano. En general se considerar´an grupos no abelianos. El n´ umero de elementos de G define el orden del grupo, el cual puede ser infinito. Aun m´as, los elementos pueden tomar valores continuos y no necesariamente discretos. Un tipo de operaci´on importante entre grupos distintos es el isomorfismo: se dice que dos grupos G = {a, b, c, ....} y G0 = {a0 , b0 , c0 , ....} son Isomorfos si existe una transformaci´on biyectiva entre elementos de cada grupo tal que el producto definido en los grupos transformen tambi´en de forma biyectiva, esto es, que existe f biyectiva con: f : G → G0

a b

a0 = f (a)∀a ∈ Gya0 ∈ G0 b0 = f (b)∀b ∈ Gyb0 ∈ G0

tal que si c = a · b ∈ G y c0 = a0 · b0 ∈ G0 entonces: f : G → G0

c

c0 = f (c) = f (a) · f (b).

En otras palabras, existe la transformaci´on f que preserva la multiplicaci´on de cada grupo. Un grupo de particular inter´es en f´ısica son los grupos de Lie unitarios. Un grupo unitario es aquel cuyos elementos cumplen con a · a† = I, o lo que es lo mismo, que el elemento inverso coincide con el adjunto (a−1 = a† ). Un grupo de Lie es un grupo continuo que cumple con las siguientes propiedades [20, 19]: 1. Cada elemento del grupo est´a caracterizado por par´ametros continuos: → − → − → − G = {a( θ )/ θ continuo}, donde en general θ = {θ1 , θ2 , θ2 ...} 2. El producto entre dos elementos de G se puede considerar como una transformaci´on en el espacio definido por los par´ametros en si mismo:

A.1 Generalidades

62

→ − → − → − si a( θ )·a( θ ) = a( ξ ), ⇒ en el espacio definido por los par´ametros, este → − → − → − → − → − → − producto es una transformaci´on f : ( θ , φ ) → ξ = f ( θ , φ ), siendo esta una funci´on anal´ıtica y que cumple con las siguientes condiciones → − → − → − → − → − f (0, φ ) = f ( φ , 0) = φ → − → − → − → − → − → − → − → − → − → − f ( θ , f ( φ , ξ )) = f ( f ( θ , φ , ξ )) 3. Si el grupo de Lie es unitario, cada elemento puede escribirse como [20]: a

→ − →− → − θ = e−i θ · G

(A.1)

→ − donde T genera los elementos del grupo a trav´es de variaciones en → − θ [22]: i

∂a |θ =0 = Gi , ∂θi i

→ − raz´on por la cual a G se le conoce como los generadores del grupo. Es de notar que el n´ umero de generadores (n´ umero de componentes de → − → − T ) coincide con la dimensi´on del espacio de los par´ametros θ . 4. El hecho de que el grupo sea unitario, lleva a que los generadores sean herm´ıticos y los par´ametros reales [20]. 5. A partir de las propiedades anteriores, y teniendo en cuenta que en general el grupo no es abeliano, se puede deducir las relaciones de conmutaci´on de los generadores, lo que se conoce como el algebra de Lie [20]: [Gi , Gj ] = i

X

Cijk Gk ,

(A.2)

k

donde los coeficientes Cijk corresponden a las constantes de estructura.

A.2 Representaci´on

63

Finalmente, es posible definir el producto directo entre dos grupos G = {a, b, c, ....} y G0 = {a0 , b0 , c0 , ....} como [20]: G ⊗ G0 = {a · a0 ∀a ∈ Gya0 ∈ G0 }, si los elementos a ∈ G y a0 ∈ G0 conmutan entre s´ı y cumplen con la regla de multiplicaci´on (aa0 ) · (bb0 ) = (ab) · (a0 b0 ).

A.2.

Representaci´ on

La representaci´on de un grupo abstracto G = {a, b, c, ....} es un isomorfismo entre los elementos de G y un conjunto de matrices D = D(a), D(b), D(c), ..... La representaci´on mantiene las mismas propiedades que el grupo abstracto, entre otras se preserva la forma unitaria en (A.1) y el ´algebra en (A.2) [20, 19]: − →− → → − D(a( θ )) = e−i θ · T

[Ti , Tj ] = i

X

Cijk Tk ,

(A.3) (A.4)

k

→ − → − donde T = T ( G ) es la representaci´on matricial de los generadores abstractos → − G . De esta manera el estudio de un grupo se puede hacer a trav´es de su representaci´on. De hecho el estudio es posible hacerlo sobre un conjunto de vectores base sobre los cuales act´ uan los elementos del grupo o de su representaci´on [20]: X → − a( θ )ψmi = Dij (a)ψmj (A.5) j

Es de notar que la dimensi´on de la representaci´on (cuyas componentes se marcan con ij en (A.5) corresponde a la dimensi´on del espacio vectorial → − generado por la base ψ m . En resumen, el estudio de un grupo se puede hacer seg´ un las propiedades presentes en la representaci´on de sus elementos, en la representaci´on de sus generadores o en el conjunto de estados base sobre el que act´ ua el grupo, tal como se representa en el la figura (A.1). En la construcci´on de los modelos de part´ıculas elementales, se referir´a a la representaci´on seg´ un el punto de vista de c´omo act´ uan los elementos

A.3 El grupo SU(n)

64

Representación de sus  elementos: D(a)

Grupo G

Conjunto de  estados base ߰ estados base  ߰

Representaciones de sus  Generadores: G(T) Generadores: G(T)

Figura A.1: Representaci´on Grupo → − del grupo sobre los estados definidos por ψ , como indica (A.5). Con esta u ´ltima anotaci´on, se dice que una representaci´on ψ es reducible a las bases {ψ1 }, {ψ2 }, ...{ψi }, {ψj },... si el conjunto {ψ}, contiene subconjuntos {{ψ1 }, {ψ2 }, ...{ψi }, {ψj }} que no pueden ser “conectados´´ entre s´ı por medio de una transformaci´on lineal T , esto es que no existe T tal que T {ψi } = {ψj }. Si existe tal transformaci´on que conecte subconjuntos, la representaci´on es irreducible. Un grupo abstracto puede tener varias representaciones que pueden o no ser reducibles. Un caso especial es la representaci´on irreducible con dimensi´on m´as peque˜ nas, conocida como la representacion fundamental del grupo, recordando que la dimensi´on de la representaci´on es la dimensi´on del espacio de estados {ψj }.

A.3.

El grupo SU(n)

Se define el grupo U (n) a trav´es de su representaci´on fundamental (por lo que a esta tambi´en se le conoce como la representaci´on definitoria), correspondiente a matrices de dimensi´on n × n unitarias [9, 20, 19]: − →− →

U = e−i θ · T , → − siendo T el conjunto de generadores que son tambi´en matrices n × n. Una de las propiedades de las transformaciones unitarias es que su determinante es det(U ) = eiγ con γ real. El caso con γ = 0, es decir con det(U ) = 1, define a los grupos unitarios especiales SU (n), donde los generadores son matrices de traza nula [19, 20, 23]. El hecho de que se tome determinante uno, hace que la representaci´on fundamental de SU (n) se construya con n2 −1 generadores, de los cuales n − 1 son diagonales y mutuamente conmutantes, por lo que los elementos del grupo se escriben como [19, 20, 23]:

A.3 El grupo SU(n)

65

− →− →

U = e−i θ · T = e−i

Pn2 −1 i=1

θ·Ti

,

(A.6)

donde los generadores cumplen con el ´algebra de Lie dada por (A.4). Este grupo puede tener otros tipos de representaciones que se definen seg´ un la forma en que transforma una base, cuya dimensi´on determinar´a la de la representaci´on.

A.3.1.

Representaci´ on n

→ − Se considera ψ = (ψ1 , ψ1 , ...ψi , ...ψn ) una base de un espacio vectorial de → − dimensi´on n. Se dice que ψ transforma seg´ un n bajo SU (n) si [19, 20, 23]: − →− →→ → −0 → − − ψ = U ψ = e−i θ · T ψ ,

(A.7)

o en componentes (notaci´on tensorial): ψ i0 = Uji ψ j = e−iθ

α (T )i α j

ψj ,

(A.8)

con i, j = 1, 2, ..., n y α = 1, 2, ..., n2 − 1, recordando que ´ındices repetidos se → − suman. Se observa que dim( ψ ) = n, por lo que dim(Tα ) = n × n, definiendo as´ı la representaci´on fundamental con n2 − 1 generadores Tα . Para transformaciones SU (n) infinitesimales, se tiene lo siguiente:   ψ i0 = δji − i(Tα )ij (δθα ) ψ j ,

(A.9)

donde δji es el delta de Kronecker y δθ el par´ametro infinitesimal.

A.3.2.

Representaci´ on n* (conjugada)

Se puede considerar tambi´en la base fundamental anterior, pero compleja → − → − conjugada ψ ∗ = (ψ1∗ , ψ1∗ , ...ψi∗ , ...ψn∗ ) de dimensi´on n. Se dice que ψ ∗ transforma seg´ un n∗ bajo SU (n) si se toma el complejo conjugado de (A.8): ∗
∗  α i ψ i0 = e−iθ (Tα )j ψ j , (A.10) que al usar la notaci´on (ψ i )∗ = ψi y ((Tα )ij )∗ = (Tα )ji [13, 20, 19], se escribe de forma infinitesimal como:

A.3 El grupo SU(n)

66   ψi0 = δij − i(−Tα )ji (δθα ) ψj ,

(A.11)

relaci´on que define la representaci´on conjugada con generadores −(Tα )ji .

A.3.3.

Representaci´ on n⊗n

Se considera como base al tensor ψ ij con n2 componentes, y que transforma igual que el producto de dos bases fundamentales [9, 15, 22, 24], esto es, que ψ ij transforma seg´ un n ⊗ n bajo SU (n) si: ψ ij0 = Uki Ulj ψ kl = e−iθ

α (T )i α k

e−iθ

α (T )j α l

ψ kl ,

(A.12)

o infinitesimalmente (manteniendo s´olo t´erminos lineales):   ψ ij0 = ψ ij − i (Tα )ik δlj + δki (Tα )jl (δθα )ψ kl ,

(A.13)

j i j i definiendo as´ı una representaci´on con generadores (Tα )ij kl = (Tα )k δl + δk (Tα )l .

A.3.4.

Representaci´ on n*⊗n*

Al igual que con n∗ , se puede tener la representaci´on conjugada a n ⊗ n definida por (A.12), de tal forma que ψij transforma seg´ un n∗ ⊗ n∗ bajo SU (n) si: ψ ij0 = eiθ

α (T )k α i

e−iθ

α (T )l α j

ψkl ,

(A.14)

o infinitesimalmente:   ψij0 = ψij − i −(Tα )ki δjl + δik (Tα )lj (δθα )ψkl ,

(A.15)

k l definiendo as´ı la representaci´on n∗ ⊗n∗ con generadores −(Tα )kl ij = −(Tα )i δj − δik (Tα )lj .

A.3 El grupo SU(n)

A.3.5.

67

Representaci´ on n⊗n*

Se pueden combinar las bases n y conjugada n∗ para construir la base ψji , que transforma seg´ un n ⊗ n∗ bajo SU (n) si: ψji0 = e−iθ

α (T )i α k

eiθ

α (T

l α )j

ψlk ,

(A.16)

o infinitesimalmente:   ψji0 = ψji − i (Tα )ik δjl − δki (Tα )lj (δθα )ψlk ,

(A.17)

definiendo as´ı la representaci´on con generadores (Tα )ilkj = (Tα )ik δjl − δki (Tα )lj . Las representaciones anteriores del grupo SU (n) son reducibles, a excepci´on de la fundamental y su conjugada. Esto significa que las bases de las representaciones n ⊗ n, n∗ ⊗ n∗ y n ⊗ n∗ se descomponen en subespacios que no se pueden conectar entre s´ı por transformaciones lineales.

A.3.6.

Representaciones irreducibles n⊗n y n⊗n*

El operador de permutaciones intercambia el orden de los ´ındices en los tensores y conmuta con el grupo de transformaciones SU (n) [19, 20]. Se considera el caso de ψ ij , el cual se puede escribir como: 1 1 ψ ij = (ψ ij + ψ ji ) + (ψ ij − ψ ji ). 2 2 Llamando S ij = 21 (ψ ij + ψ ji ) y Aij = 12 (ψ ij − ψ ji ), se tiene la descomposici´on: ψ ij = S ij + Aij

(A.18)

Esa descomposici´on de la base corresponde a estados propios del operador permutaci´on. Efectivamente se observa que: 1 P S ij = S ji = (ψ ji + ψ ij ) = S ij 2 1 P Aij = Aji = (ψ ji − ψ ij ) = −Aij 2

(A.19)

S ij es la representaci´on sim´etrica del operador de permutaciones, y Aij su representaci´on antisim´etrica, las cuales no se pueden relacionar entre s´ı por

A.3 El grupo SU(n)

68

una transformaci´on lineal [19, 20]. Es as´ı que la base de la representaci´on n ⊗ n de SU (n) en (A.18), se expresa como dos subconjuntos irreducibles que son tambi´en representaciones del operador permutaci´on. Las representaciones irreducibles S ij y Aij transforman, bajo SU (n), igual que ψ ij indicado en (A.12) y (A.13), pero con las propiedades dadas en (A.19). De forma completamente an´aloga, se descompone la base n∗ ⊗ n∗ : ψij = Sij + Aij Es de notar que las condiciones (A.19) reducen el n´ umero de elementos inij 2 dependientes. Mientras ψ tienen n elementos, la base S ij repite elementos no diagonales con S ij = S ji , reduciendo su cantidad a la mitad, esto es n2 − n/2 + n = n(n + 1)/2 elementos. La base Aij cumple con S ij = −S ji , por lo que no solamente se reduce a la mitad los elementos no diagonales, sino que adem´as los elementos diagonales deben ser cero, teniendo un total de n2 − n/2 = n(n − 1)/2 elementos. As´ı la representaci´on n ⊗ n se separa en: ψ ij = S ij + Aij , n⊗n=

A.3.7.

n(n + 1) n(n − 1) ⊕ 2 2

(A.20)

Representaci´ on irreducible n⊗n* la representaci´ on adjunta

Una base que transforma seg´ un n ⊗ n∗ es irreducible si su traza es nula [20]. Considere la representaci´onn ψji con traza nula es (es reducible): T r(ψ) = ψ11 + ψ22 + ... + ψnn 6= 0 Se introduce una matr´ız Dx×x proporcional a la identidad (D = xI), cuya traza coincide con la de ψ, esto es: T r(ψ) − T r(D) = T r(ψ) − nx = 0 ⇒

1 T r(ψ) = x n

(A.21)

A part´ır de esto se construye la base φij = ψji − D = ψji − δji que de (A.20) toma la forma:

A.4 Grupo SU(n) en teor´ıa cu´antica de campos

69

1 T r(ψ)δji n

(A.22)

φij = ψji −

y cuya traza evidentemente es cero. Es as´ı que la representaci´on n × n∗ . se reduce a una representaci´on irreducible de la forma dada por (A.21), el cual se reescribe como: ψji = φij +

1 T r(ψ)δji n

(A.23)

donde T r(φij ) = 0

(A.24)

La representaci´on irreducible ψji se conoce como la representaci´on adjunta y transforma igual que φij seg´ un indican (A.16) y (A.17), pero con la condici´on (A.23). Al igual que suced´ıa con (A.19), la representaci´on adjunta reduce el n´ umero de componentes independiantes. La suma en (A.23) relaciona un elemento diagonal con las dem´as, por lo que se tendr´an n2 − 1 elementos, mientras que el t´ermino n1 T r(ψ) en (A.22) es un u ´nico elemento que forma ∗ un singlete. As´ı la representaci´on n ⊗ n se separa como: n ⊗ n∗ = (n2 − 1) ⊕ (n2 + 1)

A.4.

(A.25)

Grupo SU(n) en teor´ıa cu´ antica de campos

Los vectores base de las representaciones son en general funciones de onda, correspondientes a los estados de alg´ un sistema cu´antico o incluso a campos cl´asicos. Se tiene as´ı, por ejemplo para la representaci´on n, que esas funciones transforman bajo SU (n) seg´ un la relaci´on (A.8). En forma de kets, esos estados transforman igualmente bajo un grupo SU (n) cuyos elementos b son operadores abstractos u b = e−iθ·T [25]: |α0 i = u b|αi

(A.26)

A.4 Grupo SU(n) en teor´ıa cu´antica de campos

70

b y la Al hacer segunda cuantizaci´on, los campos ψ pasan a ser operadores ψ, regla de transformaci´on se define igual que en (A.8) (para el caso n) pero b sobre los elementos matriciales del operador de campo ψ: α i hβ 0 |ψbi |α0 i = Uji hβ|ψbi |αi = e−iθ (Tα )j hβ|ψbi |αi,

el cual al aplicar (A.24), toma la forma:

esto es :

b|α0 i = e−iθ hβ|b u−1 ψbi u eiθ

α (T bα )

α (T )i α j

hβ|ψbi |αi,

α b i α b ψbi e−iθ (Tα ) = e−iθ (Gα )j ψbj

Al considerar par´ametros infinitesimales δθ, se concluye de la expresi´on anterior que el campo ψbi transforma seg´ un n si: [Tbα , ψbi ] = −(Tα )ij ψbj

(A.27)

As´ı que el generador abstracto Tbα , se representa como matrices Tα de dimensi´on n×n correspondiente a la representaci´on fundamental definida en (A.6). De forma completamente an´aloga, se obtienen las dem´as representaciones: ψ transforma seg´ un n∗ si :   [Tbα , ψbi ] = − (−Tα )ij ψbj

(A.28)

ψbij transforma seg´ un n∗ ⊗ n si :

(A.29)

ψbij transforma seg´ un n∗ ⊗ n∗ si :

(A.30)

ψbji transforma seg´ un n ⊗ n∗ si :

(A.31)

  [Tbα , ψbij ] = − (Tα )ik δlj + δki (Tα )jl ψbkl

  [Tbα , ψbij ] = − −(Tα )ki δjl + δik (Tα )lj ψbkl   [Tbα , ψbji ] = − (Tα )ik δjl − δki (Tα )lj ψblk

A.5 La derivada covariante

71

En adici´on a todas las representaciones anteriores, cabe mencionar el caso en que la base sea un escalar. Por definici´on, ψb es un escalar SU (n) si es invariante bajo las transformaciones SU (n), es decir que cumple con el siguiente conmutador [20, 23]: b =0 [Tbα , ψ]

(A.32)

Ejemplos de escalares SU (n) son el delta de Kronecker δji , el tensor de LeviCivita εijk = εijk y en general tensores de rango cero. Un caso especial de escalares son los formados por productos de bases de rangos superiores, tal que los ´ındices se contraigan completamente: [Tbα , ψbi ψbi ] = 0,

A.5.

[Tbα , ψbji ψbij ] = 0,

[Tbα , ψbij ψbij ] = 0

[Tbα , ψbijk ψbijk ] = 0

(A.33)

La derivada covariante

Las transformaciones de gauge surgen al considerar a los par´ametros de las transformaciones SU (n) dependientes del espacio-tiempo, lo que se conocen como transformaciones locales. De esta manera se considerar´a el grupo → − SU (n) local al tomar θ = θ(xµ ) en (A.6). Los modelos de gauge corresponden a teor´ıas donde las ecuaciones de movimiento son invariantes bajo el grupo de transformaciones SU (n) locales. Sin embargo para que eso sea as´ı, son necesarios t´erminos adicionales que contengan campos vectoriales Aµ (conocidos como campos de gauge) adem´as de los campos ψ. Dichos t´erminos se interpretan directamente como interacciones mediadas por los campos Aµ , introduciendo as´ı de manera natural las fuerzas entre part´ıculas [20, 23]. Tales teor´ıas surgen incluso a nivel de la electrodin´amica cl´asica, donde las part´ıculas cargadas interact´ uan con los campos electromagn´eticos a trav´es → − de los potenciales (φ, A ). En este caso el Hamiltoniano de una part´ıcula de masa m y carga e en un campo electromagn´etico toma la siguiente forma: → − 2 − e→ P − cA H= + eφ 2m de donde las ecuaciones de movimiento se obtienen al aplicar las ecuaciones de → − → − − Hamilton. El momento can´onico P NO es el momento lineal usual → p = m r•

A.5 La derivada covariante

72

→ − → − de la part´ıcula, sino la suma P − ec A [23]. En general para una teor´ıa invari→ − ante local SU (n), son necesarios tantos campos vectoriales Aµ = (φ, A ) como generadores tenga el grupo (es decir n2 −1 campos), tal que se tendr´an t´ermi→ − → − → − → − → − → − nos adicionales de la forma A µ · T , siendo A µ = (( A µ )1 , ( A µ )2 , ..( A µ )n2 −1 ) y Tb los generadores abstractos. En analog´ıa con el caso cl´asico, se define el momento can´onico como [13, 22]: − b =b b ·→ T D p
+ g A

(A.34)

donde el operador con slash indica el producto con las matrices de Dirac b =O bµ γ µ Formalque son necesarias para una teor´ıa invariante relativista: O mente, el operador momento pertenece a un grupo de transformaciones que originan las traslaciones de las part´ıculas por el cuadri-espacio, en el cual pb corresponde al generador abstracto de dichas traslaciones [25]. La representaci´on en coordenadas de tales generadores sobre una base ψb (en cualquier representaci´on SU (n)) se encuentra que [20], h i b b i
pb ∂ ψ, (A.35)
, ψ = 

esto es que las derivadas  ∂ originan el movimiento traslacional por el espaciotiempo (cinem´atica), pero lo hace de forma tal que la invarianza relativista (covarianza Lorentz) se mantenga. Sin embargo, dicha cinem´atica NO preserva la invarianza del grupo local SU (n) por el hecho de que el momento can´onico NO es pb, seg´ un indica (A.34). Como consecuencia de eso, las derivadas  ∂ ya no ser´an las representaciones del momento can´onico, sino ser´an otras que dependen de la representaci´on de los campos ψb sobre los b depende que act´ ua (esto es as´ı ya, que la representaci´on del momento  P de la representaci´on de los generadores Tb seg´ un la forma (A.34)). A dichas b  representaciones de los momentos can´onicos  P es lo que se conocen como las b  derivadas covariantes  D, las cuales originar´an traslaciones espacio-temporales no solamente manteniendo la covarianza Lorentz, sino adem´as la covarianza local SU (n) [22].

A.5.1.

Representaci´ on n

Se considera el momento can´onico dado en (A.34) actuando sobre la base de la representaci´on:

A.5 La derivada covariante

73

i h→ h i h − bi i i i b b b b   A · T ,ψ i D, ψ = i
pb
, ψ + ig

utilizando (A.33) y (A.25) h − i i bi b·→  i ∂ − ig A T j ψ = Dij ψbi .

luego la derivada covariante en la representaci´on n es: → − → − D= ∂ − ig A · G

A.5.2.

(A.36)

Representaci´ on n∗

procediendo de la misma forma pero sobre la base de la representaci´on n : h i h i h→ − bi b b b b   i D, ψi = i
pb A · T , ψi
, ψi + ig ∗

con (A.26) y (A.33) la derivada covariante en la representaci´on n∗ es: → − → − D= ∂ − ig A · G

A.5.3.

(A.37)

Representaci´ on n⊗n h

i h i h− i bij = ipb bij + ig bij b b· →  ψ  i D, , ψ A T , ψ



con (A.27) y (A.33) la derivada covariante en la representaci´on n ⊗ n es: → − h→ − → −i D= ∂ − ig A · T ⊗ I ⊕ I ⊗ t (A.38)

A.5.4.

Representaci´ on n∗ ⊗n∗

h i h i h− i bij = ipb bij + ig bij b b· →  ψ  i D, , ψ A T , ψ



con (A.28) y (A.33) la derivada covariante en la representaci´on n∗ ⊗ n∗ es: → − h→ − → −i D= ∂ δik δjl + ig A · T ⊗ I ⊕ I ⊗ T (A.39)

A.6 Lagrangianos femi´onicos

A.5.5.

74

Representaci´ on n⊗n∗ h i h i h→ − bi i bi = ipb bi + ig b b  ψ  i D, , ψ A · T , ψj
j
j

con (A.29) y (A.33) la derivada covariante en la representaci´on n ⊗ n∗ es: → − h→ − → −i D= ∂ δik δjl − ig A · T ⊗ I ⊕ (−I) ⊗ T (A.40)

A.6.

Lagrangianos femi´ onicos

Las ecuaciones de movimiento se pueden obtener a partir de las ecuaciones de Euler-Lagrange, las cuales son ecuaciones sobre la densidad lagrangiana que contiene la cinem´atica e interacciones de las part´ıculas. Los campos fermi´onicos se describen a trav´es de la ecuaci´on de Dirac, cuyo lagrangiano es manifiestamente invariantes relativista e invariante SU (n) local, dando como resultado t´erminos de la forma [23]: L = iψ Dψ, donde ψ = ψ † γ 0 , y donde los campos y derivadas covariantes tendr´an alguna representaci´on espec´ıfica. De est´a manera se tiene con (A.34) el lagrangiano de Dirac en la representaci´on n [20]: → − → − (n) LD = iψ i ∂ ψ i + gψ i A · ( T )ij ψ j .

(A.41)

− → − i i→ = iψ  ∂ ψi − gψ A · ( T )ji ψj .

(A.42)

De (A.35) el lagrangiano en la representaci´on n∗ : (n∗ )

LD

De (A.36) el lagrangiano en la representaci´on n ⊗ n: → − h→ − → − i (n⊗n) LD = iψ ij  ∂ ψ ij + gψ ij A · ( T )ik δlj + δki ( T )jl ψ kl ,

(A.43)

que tiene la misma forma para las representaciones irreducibles sim´etricas → − → − Sij o antisim´etricas Aij . Si en el segundo t´ermino de [( T )ik δlj + δki ( T )jl ] se intercambian los ´ındices i por j y k por l (´ındices mudos), la expresi´on (A.41) se puede escribir para representaci´on sim´etrica o antisim´etrica como:

A.6 Lagrangianos femi´onicos

(n⊗n) LDsimetrizada

75

→ − h→ − i i kj = iφij  ∂ φ + 2gφij A · ( T )k φ , ij

(A.44)

donde φij son los estados simetrizados (sim´etrica S ij o antisim´etrica Aij ). De (A.37) para la representaci´on n∗ ⊗ n∗ : − h→ − → − i ij ij → (n∗ ⊗n∗ ) LD = iψ  (A.45) ∂ ψij − gψ A · ( T )ki δjl + δik ( T )lj ψkl , o para los campos simetrizados:

→ − h→ − i ij (n∗ ⊗n∗ ) LDsimetrizada = iφ  ∂ φij − 2gφij A · ( T )ki φkj ,

finalmente de (A.38) para la representaci´on n ⊗ n∗ : − h→ − i l − li k j j→ (n⊗n∗ ) i i → LD = iψ i  ∂ ψj − gψ i A · ( T )k δj − δk ( T )j ψl ,

(A.46)

(A.47)

Ap´ endice B Sector de Higgs En este ap´endice se detallan algunos c´alculos del sector escalar.

B.1.

Valores esperados en el vacio y campos

B.1.1.

Doblete

Los generadores NO ROTOS: b hφi1 ] = 0 ⇒ [Q, b hφi2 ] = 0 ⇒ [Q,

 

1 + Yφ 2 1 + Yφ 2

 

v √1 = 0, 2

(B.1)

v √2 = 0, 2

(B.2)

Los generadores ROTOS:

o´

v2 [Tb1 , hφi1 ] = − √ = 0 ⇒ v1 6= 0, 2 v1 b hφi2 ] = − √ [Q, = 0 ⇒ v2 6= 0, 2

b⊥ : Tb2 tiene la misma estructura, para Q   1 v1 1 [Tb3 − Yb , hφi ] = − + Yφ √ 6= 0, 2 2

(B.3)

(B.4)

(B.5)

B.1 Valores esperados en el vacio y campos o´ [Tb3 − Yb , hφi ] = 2



1 + Yφ 2

77



v √2 6= 0, 2

(B.6)

Para respetar la simetria U (1)Y los terminos deben ser singletes bajo la hipercarga , de tal forma que: 1 [Yb , `b2L `bR hφi0 ] = 0 ⇒ Yφ = 2 1 [Yb , qbL2 qbR hφi0 ] = 0 ⇒ Yφ = 2

como Yφ = 21 se reemplaza este valor en (B.1) y (B.2) de tal forma que v1 = 0 y de (B.3) y (B.4) queda v2 6= 0 y de esta forma se satisface (B.6) entonces el V.E.V para el dobletes es :   1 0 hφi0 = √ (B.7) 2 ν Ahora, se determina el valor de las componenetes de φ, teniendo encuenta que estos valores se calculan sobre el campo y no sobre el V.E.V: b φ1 ] = −(φ1 ) [Q, entonces:

b φ2 ] = 0 [Q,

φ=



φ+ √1 φ0 2



(B.8) (B.9)

(B.10)

para determinar la forma del antidoblete se utiliza φ de tal forma que para encontrar φe se invierte fila y columas de (B.10), adem´as se conjuga la carga e invierte el signo:  1 0∗  √ φ 2 (B.11) φe = −φ−

esta expresi´on es posible escribila como

B.1 Valores esperados en el vacio y campos

φe = iτ2 φ∗

78

(B.12)

donde τ2 es la segunda matriz de Pauli   0 −i τ2 = i 0

B.1.2.

Triplete sim´ etrico

Se utilizan las mismas consideraciones del doblete para el triplete sim´etrico de tal forma que: Los generadores NO ROTOS: b h∆i11 ] = 0 ⇒ (1 + Y∆ )V1 = 0 [Q,

b h∆i22 ] = 0 ⇒ (1 − Y∆ )V4 = 0 [Q, b h∆i12 ] = 0 ⇒ −Y∆ V2 = 0 [Q,

b h∆i22 ] = 0 ⇒ −Y∆ V3 = 0 [Q,

(B.13) (B.14) (B.15) (B.16)

Los generadores ROTOS:

o´

1 [Tb1 , h∆i11 ] = − (V2 + V3 ) 6= 0 2

1 [Tb1 , h∆i12 ] = − (V1 − V4 ) 6= 0 2

(B.17)

(B.18)

para h∆i22 y h∆i21 se obtiene el mismo resultado (B.17) y (B.18) respectivamente.

o´

i [Tb2 , h∆i11 ] = (V2 + V3 ) 6= 0 2

i [Tb2 , h∆i12 ] = (−V1 + V4 ) 6= 0 2

(B.19)

(B.20)

para h∆i22 y h∆i21 se obtiene el mismo resultado que (B.19) y (B.20) respectivamente. Para Q⊥ :

B.1 Valores esperados en el vacio y campos

o´

b⊥ , h∆i11 ] 6= 0 ⇒ (−1 + Y∆ )ν1 6= 0 [Q b⊥ , h∆i22 ] 6= 0 ⇒ (1 + Y∆ )ν4 6= 0, [Q

o´

b⊥ , h∆i12 ] 6= 0 ⇒ 2Y∆ ν2 6= 0, [Q

b⊥ , h∆i21 ] 6= 0 ⇒ 2Y∆ ν3 6= 0. [Q

79

(B.21)

(B.22) (B.23)

(B.24)

Para respetar la simetria U (1)Y :

1 [Yb∆ , b`L (`b1L )c h∆i] = 0 ⇒ Y∆ = −1

Y∆ =-1 se sustituye en (B.13) y (B.14) de tal forma que ν4 = 0 y de (B.15) y (B.16) ν2 = 0 y ν3 = 0 de (B.18) ν1 6= 0 entonces el V.E.V para el triplete es:   ν∆ 0 h∆i = . (B.25) 0 0 Para las componentes del campo de ∆: b ∆11 ] = 0, [Q,

b ∆12 ] = −(−1)φ12 , [Q, b ∆21 ] = −(−1)φ21 , [Q, entonces:

b ∆22 ] = −(−2)φ22 . [Q, ∆=

 2∆0 √ ∆− , ∆− 2∆−−

√

se encuentra el triplete normalizado.

(B.26) (B.27) (B.28) (B.29)

(B.30)

Ap´ endice C Matrices de masa C.1.

Sector cargado

La matriz Mφ2± ∆± (3.10) presenta los siguientes valores propios exactos:

det(Mφ2± ∆±

√  ν∆ √ (α ν + 2f ) ν − V P 2f + α ν 2 ∆ ∆ 2 2 (C.1) − V P) =     √ f ν∆ 1 2 √ 2f + + α ν − V P α ν ν∆ 2 2 2 2 2

=VP −VP



2 α2 ν∆

+ 2f ν∆ +



  f 1 + α2 ν 2 = 0 ν∆ 2

(C.2)

De tal forma que: V P1 = 0;

V P2 =

2 α2 ν∆

+ 2f ν∆ +



 f 1 + α2 ν 2 , ν∆ 2

(C.3)

con los valores propios se encuetran los vectores propios, para el valor propio V P1 = 0   √    ν∆ √ 2f + 2 α2 ν (α2 ν∆ + 2f ) ν∆  x1   .   = 0,  (C.4)   √    f ν 1 x2 2f + √∆ α2 ν + α2 ν 2 2

ν∆

2

C.2 Sector neutro

81

(α2 ν∆ + 2f ) ν∆  , x2 = −  √ ν∆ √ 2f + 2 α2 ν

x1 = 1; el vector propio V1 es:

 ν √ , − 2ν∆

(C.5)

el procedimiento es an´alogo para el vector propio V2 , √  1 2ν∆ V2 = p , 2 ν ν 2 + 2ν∆

(C.6)

V1 = p

1 2 ν 2 + 2ν∆



si se define:

ν

; Sθ = sin θ = p 2 ν 2 + 2ν∆

se escribe (C.5) y (C.6) como:   Sθ V1 = ; −Cθ

C.2.

√

2ν∆ Cθ = cos θ = p , 2 ν 2 + 2ν∆ V2 =



 Cθ . Sθ

(C.7)

Sector neutro

La matriz (3.18) tiene los siguientes valores propios:   4f ν∆ − V P 2f ν 2 , det(MImag − V P) =  ν2 2f ν f ν∆ − V P   ν2 2 = V P − 4f ν∆ + f VP =0 ν∆

(C.8)

los valores propios son: V P1 = 0;

V P2 =


f 2 ν 2 + 4ν∆ ν∆

(C.9)

C.3 Sector real

82

de tal forma que los vectores propios son:  2ν∆ V1 = p , 2 ν ν 2 + 4ν∆   1 −ν , V2 = p 2 2ν∆ ν 2 + 4ν∆ 1

defiendo:

ν Sθ2 = sin θ2 = p ; 2 ν 2 + 4ν∆

(C.10) y (C.11) se escriben como:   C θ2 V1 = ; Sθ2

C.3.



Cθ2 = cos θ2 = p   −Sθ2 V2 = Cθ2

(C.10) (C.11)

2ν∆ 2 ν 2 + 4ν∆

,

(C.12)

(C.13)

Sector real

Para la matriz (3.19), se obtiene los siguientes valores propios con ayuda de MatLab:   4 32λ1 λΣ ν∆ 4λ1 ν∆ 1 4λ2 ν 2 2 3 2 2 2λ1 ν ν∆ + 8λΣ ν∆ + f ν ± f ν 1 + 12 ∆ − − V P1/2 = 2ν∆ f f 2ν 2 f   1/2 3 3 4 6 16λΣ ν∆ 16ν∆2 32Σλ ν∆ 16Σ2λ ν∆ 64λΣ ν∆ + + − + + , f 2ν 4 f ν2 ν2 f ν2 f 2ν 2 (C.14) con λΣ = λ2 + λ4 y Σλ = λ7 + λ9 . De la aproximaci´on ν∆  ν, resulta:   1 ν2 ν4 ν∆ 2 3 2 2 V P1/2 = 2λ1 ν ν∆ + 8λΣ ν∆ + f ν ± f ν 1 + 2λ21 ∆2 − 16λ1 λΣ 2∆ 2 − 2λ1 2ν∆ f f ν f  3 4 ν6 ν3 ν2 Σλ ν∆ 8Σ2λ ν∆ + − ... + 32λ2Σ 2∆ 4 + 8λΣ ∆2 + 8 ∆2 − 16 f ν fν ν f ν2 f 2ν 2 (C.15)

C.3 Sector real

83

despreciando los t´erminos ν∆ /ν en todos los ordenes por ser muy peque˜ nos 2 comparados con ν /ν∆ : f ν2 f ν2 ± , 2ν∆ 2ν∆

(C.16)

V P2 ' λ1 ν 2 .

(C.17)

V P1/2 ' λ1 ν 2 [1] + los dos valores propios son: V P1 ' f

ν2 ; ν∆

Se calculan los vectores propios con MatLab se utiliza la aproximaci´on anterior y se ortonormaliza de tal forma que se obtienen los siguientes vectores propios:     Cθ3 −Sθ3 V1 = V2 = (C.18) Sθ3 C θ3 con:

hp i p √ 1 − N12 + N1 /N2 1 − N22 N2 1 − N 2 , Sθ3 = q p 2 2 1 − 2N1 N2 − 1/N1 N2 + N2 /N1 + N1 /N2 − 2 (1 − N1 )(1 − N2 ) (C.19) √ N2 1 − N 2

C θ3 = q , p 2 2 1 − 2N1 N2 − 1/N1 N2 + N2 /N1 + N1 /N2 − 2 (1 − N1 )(1 − N2 ) (C.20) y con: N1 = r

1+

yn=

1 . 2ν(f −Σλ ν∆ )

1 n2



2λ1

ν2

−f

ν2 ν∆

2

1 N2 = q 1 + n2 (2λ1 ν 2 − λ1 ν 2 )2

(C.21)

(C.22)

Ap´ endice D Reglas de Feynman

Figura D.1: Diagramas de Feynman Delta-Delta-Vector-Vector

85

Figura D.2: Diagramas de Feynman Delta-Delta-Vector

86

Figura D.3: Diagramas de Feynman Delta-Vector-Vector

Ap´ endice E Par´ ametros utilizados en los c´ alculos num´ ericos Se presentan los valores num´ericos utilizados para la simulaci´on num´erica. Para la matriz U (matriz de Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata), ϕ2

ϕ1

U = V diag(1, ei 2 , ei 2 ),

(E.1)

con  c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ V = −c23 s12 − s13 s23 c12 eiδ c23 s12 − s13 s23 s12 eiδ s23 c13  , s23 s12 − s13 c23 c12 eiδ −s23 c12 − s13 c23 s12 eiδ c23 c13 

sij ≡ sin θij ,

(E.2)

cij ≡ cos θij

Se toma [7]: θ12 = 34.5◦ = 0.602Rad,

θ13 = 0◦ ,

θ23 = 42.3◦ = 0.738Rad

ϕ1 = ϕ2 = δ = 0◦

(E.3)

 0.8242 0.5662 0 V = −0.4189 0.6097 0.6728 , 0.3810 −0.5545 0.7398

(E.4)

obteniendo para (E.1): 

88 Las masas de los neutrinos en jerarqu´ıa normal (NH) est´an dadas por [7]: m1 = 0ev, m2 = 0.00876ev, m3 = 0.0495ev,

(E.5)

y en jerarqu´ıa inversa (IH) [7]: m1 = 0.0487ev, m2 = 0.0495ev, m3 = 0ev,

(E.6)

con un valor para ν∆ = 1ev, que respeta los par´ametros experimentales se 1 obtiene para Y nm = √2ν U Mν U T , los siguientes reultados para NH y IH ∆ respectivamente son:   0.0019 0.0021 −0.00194 Y nm =  0.00213 0.0181 0.0153  , (E.7) −0.00194 0.0153 0.0210   0.0346 0.00019 −0.00017 0.0190 −0.0173  . (E.8) Y nm =  0.00019 −0.00017 −0.0173 0.0157

Ap´ endice F Cinem´ atica → − La cinem´atica de una part´ıcula se especifica por el vector momento, P , y la masa en reposo, m. El vector momento relativista tiene cuatro com→ − ponentes, Pµ = (E, P ), donde E es la energ´ıa de la part´ıcula. La relaci´on entre E, p P , y m es definida por la velocidad con respecto a c, β = ν/c, γ = 1/ 1 − β 2 . Ahora si al ubicarse en el espacio de fase para una part´ıcula no relativista, la ecuaci´on para la part´ıcula est´a dada por [39]: → − d P = dPx dPy dPz = P 2 dP dΩ = dP|| PT dPT dφ,

(F.1)

donde el momento paralelo es P|| y el perpendicular PT . El elemento de a´ngulo solido es dΩ y el a´ngulo acimutal es φ. La generalizaci´on relativista de la ecuaci´on anterior en el espacio de fase esta dado por: → − d4 δ(E 2 − P 2 − m2 ) = d P /E = PT dPT dφdy,

dy = dP|| /E

(F.2)

donde y es una variable cinem´atica llamada rapidez. El espacio de fase para una part´ıcula es simplemente el volumen de momento cuadridimensional con una restricci´on, que la part´ıcula tiene un conjunto de masas dadas por la funci´on delta de Dirac, δ. La rapidez es el an´alogo relativista de la velocidad longitudinal. Si el momento transversal es limitado por la din´amica, se espera una distribuci´on uniforme en y para cualquier part´ıcula producida en colisiones inel´asticas, si el momento para producir la part´ıcula es peque˜ no. En general, se observa que casi todas las part´ıculas se distribuyen uniformemente en la rapidez, en casi todos los ´angulos (peque˜ na rapidez) con respecto al haz. La rapidez es la generalizaci´on relativista de la velocidad.

90 La rapidez es aproximada a la pseudorapidez si las masas de las part´ıculas son peque˜ nas con qrepecto al momento transversal. Integrando la ecuaci´on (F.2), dy = dP|| / P||2 + PT2 + m2 , para encontrar la relaci´on entre la energ´ıa y la rapidez: E = mT cosh y,

m2T = m2 + PT2 .

(F.3)

Por consiguiente, para part´ıculas no masivas, o part´ıculas con masa mucho menor que el momento transversal, mT ∼ PT , donde PT = E sin θ: cosh y = 1/ sin θ,

sinh y = 1/tanθ,

tanh y = cos θ.

(F.4)

En este caso, se puede encontrar una relaci´on entre el a´ngulo polar y la rapidez. Usando la ecuaci´on (F.4) se muestra que: e−y = tan(θ/2),

(F.5)

al despejar y se tiene una expresi´on para la pseudorapidez, η. η = y = − ln tan(θ/2),

(F.6)

Ahora es necesario describir la din´amica de dos part´ıculas. Asumimos que el marco de referencia usado es el marco del centro de masa de la colisi´on prot´onprot´on. Como se observa en la figura (F.1), los partones tienen momento p1 = x1 P y p1 = x2 P respectivamente, donde P es el momento del prot´on en el centro de masa de la colisi´on p-p. La cantidad x es la fracci´on del momento del prot´on transportada por el part´on o un punto fundamental que constituye la estructura del prot´on.

P

P p1

p2

Figura F.1: Representaci´on de un estado inicial en la dispersi´on part´on-part´on empezado de una colisi´on p-p en el centro de masa. La masa, M , y la fracci´on de momento, x, de un estado inicial se encuentra por la conservaci´on de la energ´ıa y el momento relativista. El cuadrimomento

91 → − Pµ = (E, P ) tiene una “Longitud” de Pµ · P µ = M 2 . La masa de un sistema de dos partones, asumiendo que los partones son no masivos y no tienen momento transversal esta dado por: M 2 = (p1 + p2 )µ · (p1 + p2 )µ ∼ P 2 [(x1 + x2 )2 − (x1 − x2 )2 ], √ x = p|| /P ∼ 2p|| / s.

(F.7)

Un poco mas de algebra permite encontrar M y x para el estado inicial en terminos de x1 y x2 , x1 x2 = M 2 /s = τ , x1 − x2 = x. Un valor tipico hxi, para la fracci´on de momento del part´on producido en un estado de masa M √ √ en el centro de masa ( s) ocurre cuando x1 = x2 o cuando hxi es igual a τ .

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