2 Oscilaciones.pdf

1.

Introducción

Uno de los fenómenos más importantes que estudia la física es el movimiento oscilatorio. En mecánica este tipo de movimiento se presenta cuando a un sistema físico que tienen una posición de equilibrio estable, se le imprime un desplazamiento inicial respecto de ésta; entonces entra en acción una fuerza o un momento de torsión (fuerza recuperadora o momento recuperador) que trata de volverlo al equilibrio. Sin embargo, cuando el sistema llega allí, ya ha adquirido cierta energía cinética que le permite alcanzar un desplazamiento en dirección contraria al que se le imprimió inicialmente, hasta detenerse en algún punto. Desde esta nueva posición, la fuerza o el momento de torsión lo impulsará de nuevo al equilibrio, posición que nuevamente sobrepasará, de modo que, si el sistema es conservativo volverá a la posición que alcanzó cuando se le desplazo inicialmente. Se dice que el sistema ha completado un ciclo. Si el sistema no es conservativo, se detendrá porque los deplazamientos a uno y otro lado de la posición de equilibrio irán disminuyendo en la medida en que transcurre el tiempo, debido a la disipación de energía. Cuando en el sistema está presente solo la fuerza recuperadora (o el moemnto recuperador) se dice que la oscilación es libre y no amortiguada; si además estan presentes fuerzas disipativas, se dice que la oscilación es libre y amortiguada. Bajo la presencia de solo estas dos fuerzas el sistema se detendría, pero es posible mantenerlo en movimiento, aplicándole una fuerza externa dependiente del tiempo, generalmente períodica (fuerza impulsora). Se logra así lo que se denomina una oscilación amortiguada y forzada. En esta unidad se estudiará las oscilaciones de algunos sistemas simples que tienen un solo grado de libertad, es decir, aquellas cuya posición queda bien de…nida con una sola coordenada.

2.

El ocilador armónico simple (OAS)

En esta sección se estudia un modelo físico que consiste en un cuerpo (partícula o cuerpo rígido) cuya posición se …ja por medio de una sola coordenada y en donde la fuerza recuperadora o el torque recuperador es directamente proporcinal y opuesto al desplazamiento relativo a la posición de equilibrio: el oscilador armónico simple. A continuación se presentarán algunos ejemplos concretos que caen dentro del modelo aquí descrito.

2.1.

El sistema masa resorte

Un ejemplo de OAS lo constituye el sistema masa resorte. Suóngase que uno de los extremos de un resorte de masa despreciable como se indica en la …gura 1 se …ja al punto E. En el otro extremo del resorte se acopla un cuerpo de masa m que pude moverse en una super…cie horizontal sin rozamiento. Si m se desplaza a lo largo del eje x y se suelta, el resorte ejecerá sobre ella una fuerza recuperadora que la trata de llevar de nuevo a la posición de equilibrio. Según la ley de Hook, la fuerza está dada por F = kx y, al aplicar la segunda ley 2 de Newton, se obtiene F = kx = m ddt2x , ecuación que puede escribirse de nuevo en la siguiente forma

1

k

m

F=-kx

a)

m m

b)

Figura 1: a) Sistema masa resorte sin fricción. b) Diagrama de cuerpo libre para este sistema

m

d2 x + kx = 0 dt2

(1)

o también x• + ! 2o x = 0: La cantidad

(2)

r

k (3) m se llama frecuencia natural del sistema, en tanto que (2) constituye su ecuación diferencial (o modelo matemático). !o =

Para resolver la ecuación diferencial (1), debe recordarse que la velocidad es v = d2 x = dv ; de manera que, si multiplicamos (1) por v, ésta se transforma en dt2 dt mv

dv dx + kx =0 dt dt

dx dt

y que

(4)

Esta ecuación puede integrarse para obtener la constante 1 2 1 2 mv + kx = E: 2 2

(5)

Se designó por E esta cantidad porque corresponde a la energía total del sistema ya que K = 12 mv 2 es la energía cinética de la masa m; mientras que U = 21 kx2 es la energía potencial elástica del resorte. Para continuar con la solución de (1), de (5) se tiene que q q dx 1 k 2E 2 v = dt = (2E kx ) = ( kx2 ) m m k

q q k Haciendo A = 2E y recordando que ! = ; la ecuación escrita en la línea anterior o k m se convierte en la siguiente: v=

dx = dt

!o

p (A2

x2 )

(6)

ecuación que expresa la velocidad en función de la posición y de la cual se sigue que (tomando el signo negaitivo) 2

Z -

p dx A 2 x2

= !o

Z

dt

Realizando las integrales se obtiene ar cos Ax = ! o t +

de donde (7)

x(t) = A cos(! o t + )

La función x(t) es la solución de (1), representa el desplazamiento de la masa m respecto de la posición de equilibrio, se denomina elongación y su valor máximo, A; es la amplitud del movimiento; la cantidad ! o t + recibe el nombre de fase; se le llama constante de fase o fase inicial y, junto con A; se determinan a partir de las condiciones iniciales. El movimiento de este sistema es períodico y su período es 2 : (8) !o Esto signi…ca que si en un instante t; cualquiera el sistema se encontraba en una determinada posición y con cierta velocidad, después de un período estos valores se repitirán y se dice que el sistema a completado un ciclo. T =

La frecuencia cíclica del sistema, o número de ciclos por unidad de tiempo, es !o 1 = T 2 La velocidad y la aceleración de la masa m; están dadas respectivamente por f=

dx = dt dv = a = dt v =

A! o sen(! o t + ) y A! 2o cos(! o t + ) =

(9)

(10) ! 2o x

(11)

La …gura 2 muestra las grá…cas para x; v y a como funciones del tiempo. En ellas se observa que la velocidad está desfasada 90 respectodel desplazamiento y la aceleración está desfasada 180 respecto del mismo. El análisis hecho aquí para el sitema masa resorte, es válido para cualquier sistema físico 2 que esté descrito por una coordenada y que obedezca a una p ecuación diferenncial ddt2 + c = 0; con c > 0. La frecuencia natural del sistema es ! o = c.

3. 3.1.

El oscilador armónico amortiguado (OAA) El Modelo Fisico del OAA

En esta sección se estudia el OAA, el cual está constituido por un oscilador armónico simple que se encuentra en un medio que origina una fuerza resistiva (…gura 3a). Se supone que esta fuerza es proporcional a la velocidad ( ley de Stokes), esto es Ff =

bv = 3

bx_

(12)

B

a(t)

a0 v0

A 0

v(t) T

0.5T

1.5T

2T

t x(t)

0

Figura 2: Grá…cas de la posición, la velocidad y la acelración en función del tiempo para la masa del OAS.

Fluido

k

m

F=-kx

m

Ff=-bv b)

a)

Figura 3: a) Esquema de un oscilador armónico amortiguado: b) Diagrama de cuerpo libre de este sistema

4

3.2.

Ecuación de movimiento para el OAA

(modelo matemático) Del diagrama de cuerpo libre de m (…gura 3b) y de la segunda ley de Newton del movimiento, se tiene que: m x• = bx_ kx donde ax = x• y v = x: _ Dividiendo ambos miembros de la ecuación anterior entre m y haciendo ! 2o = obtiene: x• + mb x_ + ! 2o x = 0

k ; m

se

(13)

Esta es la Ecuación Diferencial para el OAA; ! o denota la frecuencia angular natural de vibración del sistema y a b se le llama la constante de amortiguamiento. Como puede apreciarse, la anterior es una ecuación diferencial ordinaria, lineal, homogénea y de segundo orden. Solución de la ecuación (13) Supóngase que : x(t) = e t (14) es una solución para (13). Derivando una y dos veces con respecto al tiempo se obtiene respectivamente que: x_ = e t y x• = 2 e t Sustituyendo estos valores y el dado por (14), en (13), después de factorizar e t ; se obtiene: e Como e t = 6 0; entonces:

2

t

+

b + ! 2o m

=0

b + ! 2o = 0 m esta es llamada ecuación característica de (13) y sus raices son: s 2 b b ! 2o = 1;2 2m 2m 2

+

(15)

(16)

De (16) puede verse que existen tres posibles soluciones para (13), las cuales dependen de b < !o; la relación que existe entre las cantidades m; b y ! o . Estas posibilidades son: 2m b b = ! y > ! y se analizan a continuación. o o 2m 2m b Caso A Si la fricción no es muy fuerte de modo que, 2m < ! o ; Se dice que el sistema está sub-amortiguado. En estas condiciones (16) puede expresarse así:

1;2

=

b 2m

5

i! s

(17)

en la cual !s =

s

b 2m

! 2o

2

(18)

se denomina frecuencia angular de las oscilaciones sub- amortiguadas. Entonces b son complejas y (13) tiene dos soluciones que son x1 = Ae 2m t+!s t y x2 = Be por lo que su solución general es bt 2m

x=e

(Aei!s t + Be

i! s t

1

b t 2m

y

2 !s t

;

(19)

)

Para que x sea real, A y B deben ser complejas conjugadas, es decir, A = B . Podemos hacer A = Ao ei y B = Ao e i (20) Así que, sustituyendo (20) en (19) se tiene bt 2m

x = Ao e

(ei(!s t+ ) + e

i(! s t+ )

(21)

)

Desarrollando las exponenciales resulta: x = Ao e siendo Ao y

bt 2m

(22)

(cos ! s t + )

dos constantes que se determinan por medio de las condiciones iniciales.

X

XS

XC

0,0

t TS

0

3

6

Figura 4: Posición para el oscilador armónico amortiguado: xc caso críticamente amortiguado, xs caso sub-amortiguado. La ecuación (22) expresa la posición en función del tiempo para la masa de un oscilador armónico sub-amortiguado que ha recibido un impulso cuando se encontraba inicialmente en el origen de coordenadas. A partir de su grá…ca (xs en la …gura 4), puede verse que el sistema empieza a oscilar con una amplitud decreciente A(t) y …nalmente se detiene después de haber efectuado algunos ciclos. La amplitud de las oscilaciones viene dada por A(t) = Ao e 6

bt 2m

(23)

b Caso B. Si el coe…ciente de amortiguamiento b es tal que 2m = ! o ; se dice que el sistema b y se propone está críticamente amortiguado. Bajo esta condición se tiene que 1 = 2 = 2m al lector veri…car que la solución de (13) es:

x(t) = (C1 + C2 t) e

bt 2m

t

donde C1 y C2 son constantes a determinar por medio de las condiciones iniciales. Cuando un un oscilador armónico está críticamente amortiguado, no puede oscilar libremente; si la masa se aleja de la posición de equilibrio y se deja en reposo, vuelve a dicha posición de manera relativamente rápida, pero sin sobrepasarla, esto es, si la masa se deja en reposo a la derecha de la posición de equilibrio, no pasará a la izquierda y, si se deja a la izquierda, no podrá cruzar a la derecha de la menconada posición. En la …gura 4 se ha representado la posición en función del tiempo para la masa de un oscilador armónico críticamente amortiguado( xc ). b > ! o ; se dice que el Caso C Cuando el coe…ciente de amortiguamiento es tan alto que 2m sistema está sobre- amortiguado. En estas condiciones puede demostrarse que la solución de (13) es: q q 2 2 b b bt 2 ! 2o t ( ) 2m 2m x(t) = e (C e + C e ( 2m ) !o t ) (24) 1

2

En este caso, al igual que el críticamente amortiguado, no puede haber oscilaciones. Cuando el sistema se aleja de la posición de equilibrio pude regresar a ella sin sobrepasarla, pero de manera más lenta que cuando hay amortiguamiento crítico. La grá…ca de posición es semejante con la de la oscilación crítica y se pide al lector que la realice.

4. 4.1.

Oscilador armónico amortiguado y forzado (OAAF) El modelo físico

El OAAF se presenta cuado un OAA se somete a la acción de una fuerza impulsora, F (t): Se supone que esta fuerza es peródica de la forma F = Fo cos!t

(25)

donde Fo es la amplitud de F y ! su frecuencia angular (…gura 5) En este caso hay disipación de energía debido al rozamiento, pero de otro lado, la fuerza F puede proporcionar al sistema la energía que le resta la fuerza de rozamiento. Cuando esto ocurre se dice que el sistema se encuentra en estado estacionario.

4.2.

Ecuación de movimiento

En la …gura 5 se muestra un esquema de un oscilador armónico forzado y amortiguado. Según la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento de este sistema es: Fo cos ! t

bx_ 7

kx = m• x;

k

m

F

m

F=-kx Ff=-bv

F=Fo coswt b)

a)

Figura 5: a) Esquema de un OAAF b). Su diagrama de cuerpo libre la cual dividida por m y cambiando ! 2o =

k m

se convierte en la siguiente:

m• x + bx_ + m! 2o x = Fo cos !t Esta es la ecuación diferenical del OAAF. Si se supone que se cumple la condición de sub- amortiguamiento ! o > general de (26) es la forma

(26) b ; 2m

la solución

(27)

x = xs + xp donde xs es la solución general de (13) y xp es una particular de (26).

A continuación hallaremos la solución particular. Para tal …n supondremos que la ecuación (26) corresponde a la parte real de una ecuación diferencial compleja, cuando la fuerza obedece a la forma F = Fo ei!t (28) Se puede suponer x = Aei!t

(29)

de donde se obtiene x_ = i!Aei!t

! 2 Aei!t

(30)

( m! 2 + i!bx_ + m! 2o )Aei!t = Fo ei!t

(31)

y

x• =

Sustituyendo x y esta derivadas en (26), resulta:

Así se tiene que A=

Fo m! 2 + i!bx_ + m! 2o

(32)

El denominador de la ecuación anterior puede expresarse en su forma polar, así: m! 2 + i!bx_ + m! 2o = Zei donde 8

(33)

p m2 (! 2o

! 2 )2 + b2 ! 2 b! = arctan : 2 m(! o !2)

Z =

y

(34) (35)

Si se remplaza (33) en (32) se obtiene A=

Fo Fo = e i Ze Z

i

(36)

Así resulta que al remplazar (36) en (29), esta se convierte en x=

Fo e Z

i

ei!t =

Fo i(!t e Z

)

(37)

La parte real de x es la solución particular de (26), es decir xp =

Fo cos(!t Z

) = Af cos(!t

siendo Af =

4.3.

(38)

)

Fo Z

(39)

Análisis

b ; xs que se denomina la parte transitoria de (31), decae a Después de un tiempo t >> 2m cero y se dice entonces que el oscilador se encuentra en estado estacionario y la posición de la masa m queda de…nida por xp : La amplitud de las oscilaciones estacionarias es Af ; es la diferencia de fase entre la posición y la fuerza impulsora y Z se denomina impedancia del oscilador.

La velocidad de m corresponde a v=

dxp dt

= Af ! Cos (! t

) = vo Cos (! t

)

donde vo = Af ! es el valor máximo de la velocidad. La aceleración a es: a=

A ! 2 Sen (! t

)

Se puede concluír que, en el estado estacionario, el sistema oscila con la misma frecuencia de la fuerza impulsora y la amplitud de las oscilaciones permanece constante. El período del movimiento es, por supuesto, Tf =

9

2 : !

La potencia instantánea de la fuerza F es P(t) = F(t) v(t) = Fo vo cos ! t cos (! t lo tanto la potencia promedio en un ciclo es Z Tf 1 cos !t cos(!t )dt P = Fo vo Tf 0

); por

Para realizar la integral, hacemos u = ! t, entonces du = ! dt. Cuando t = 0, u = 0: si 2 t = Tf ; u = !Tf = 2 ; con este cambio y remplazando Tf por ; se deduce que !

1 P = Fo vo : : 2

Z

2

cos u cos(u

0

1 )du = Fo vo cos 2

Esta es la potencia requerida para reponer la que se disipa en el sistema por causa del rozamiento. Para ver esto tenemos encuenta que cuando el sistema ejecuta un ciclo completo, el trabajo neto hecho sobre él, al igual que el trabajo de la fuerza elástica, es cero. En consecuencia, el trabajo por ciclo de la fuerza impulsora, solo se emplea para vencer la fuerza de fricción que ejerce el medio sobre el sistema, por lo tanto, las potencias promedio de estas dos fuerzas deben tener igual valor absoluto.

4.4.

Resonancia en el OAAF

Ahora veremos para que valor de la frecuencia ! de la fuerza impulsora, la amplitud Af de las oscilaciones de un OAAF, es máxima. Según (39), Af es máxima si Z es mínima, es decir, si su derivada respecto de ! es cero. Así que derivando Z respecto de ! e igualando a cero, se obtiene el valor r b2 ! r = ! 2o 2m2 Esta cantidad, denominada frecuencia de resonancia, permite obtener la máxima amplitud de las oscilaciones amortiguadas y forzadas. Cuando el sistema oscila con la máxima amplitud se dice que está en resonacia. b Note que si ! o >> ; la frecuencia ! r ! o : Esto signi…ca que un sistma con bajo 2m amortiguamiento, entra en resonancia con una frecuencia muy próxima a la frecuencia natural. En la …gura 6 se muestra como varía la amplitud de la oscilación en función de la frecuencia de la fuerza impulsora, para un OAAF en estado estacionario. Allí se puede apreciar que la amplitud de la oscilación toma su valor máximo cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia de resonancia del sistema.

10

Amplitud de la oscilación

Af

0

w

wr

0

Frecuencia de la fuerza impulsora

Figura 6: Amplitud del OAAF en función de la frecuencia !; de la fuerza impulsora. Nótese que la amplitud es máxima cuando la frecuencia ! = ! r

5.

Estabilidad del equilibrio

Ahora se analizará bajo que condiciones una partícula puede efectuar pequñas oscilaciones alrededor de un punto de eqilibrio xo , cuando se encuentra sólamente bajo la acción de una fuerza F que deriva de una energía potencial V; caso para el cual F =

dU dx

(40)

Para tal …n, desarrollemos V en una expansión de Taylor alrededor de xo ; como sigue: V = V (xo ) + V (1) (xo ) (x

1 xo ) + V (2) (xo ) (x 2

xo )2 + ::::

(41)

donde V (n) denota la derivada enésima de V en el punto xo . Según (40), la primera derivada que …gura en (41) corresponde a la fuerza ejercida sobre la partícula en xo ; y como este es un punto de equilibrio, la fuerza allí debe ser nula. Por otra parte, se puede ajustar la enrgía potencial haciendo V (xo ) = 0; de modo que, para desplazamientos x xo que sean pequeños, en una primera aproximación, (41) se reduce a 1 V = V (2) (x xo )2 (42) 2 La fuerza ejercida sobre la partícula en un punto x es F =m

d2 x = dt2

dV = dx

V (2) (xo ) (x

xo )

(43)

de donde se deduce la ecuación m

d2 x + V (2) (xo ) (x dt2 11

xo ) = 0

(44)

V

E

x x1

x2

x3

x4

Figura 7: Energía potencial V; en función de la posición x, para una partícula con energía E; que se mueve sobre el eje x: Haciendo el cambio de variable u = x y (44) puede escribirse como sigue

xo ; la segunda derivada de u y la de x son iguales

d2 u V (2) (0) + u=0 (45) dt2 m Si V tiene un mínimo en xo , su segunda derivada en este punto es positiva, por lo que el coe…ciente de u; en (45), también es positivo y esta cuación tiene la misma forma que (1), lo cual indica que la partícula oscilará alrededor de u = 0; (o de x = xo ); con una frecuencia natural r V (2) (0) != : (46) m Bajo estas condiciones, la solución de (45) es u=x

xo = a cos(!t + );

(47)

la cual describe una oscilación xo ; de frecuencia natural ! y amplitud A; a uno y otro lado del punto xo :

Ahora podemos considerar una partícula sometida a una fuerza que deriva de una energía potencial V (x); como la mostrada en la …gura 7. Si esta partícula tiene una energía E; y se encuentra en la región x2 x x3 ; se detendrá en x2 y x3 ; porque en estos puntos la energía potencial es igual a la total. Dicha partícula describirá un movimiento períodico entre los puntos x2 y x3 ; los cuales se denominan puntos de retorno. Este movimient se dice que es limitado. Si la partícula está a la izquierda de x1 y se mueve hacia la derecha, al llegar x1 ; se detendrá, y rebotará hacia la izquierda; en forma análoga, si la partícula está a la derecha de x4 ; al llegar este punto; se detendrá instantáneamente y regresará de nuevo hacia la derecha. En estos casos el movimiento no es limitado pero los puntos x1 y x2 también son puntos de retorno. Las regiones x1 < x < x2 y x3 < x < x4 son inaccesibles para la partícula con energía E; y se llaman regiones clásicamente prohibidas.

12

5.1.

Ejercicios.

1. Determine la energía relativa por ciclo que se disipa en un OAA. 2. Cuando un OAAF en estado estacionario, oscila, de modo que, la energía cinética es máxima, se dice que hay resonancia en la energía. Demuestre que este tipo de resonancia ocurre cuando la frecuencia de la fuerza impulsora es igual a la frecuencia natural del sistema. 3. Demuestre, que en el estado estacionario de un OAAF, la potencia de entrada es igual a la rapidez de disipación de energía generada por el medio. 4. Un OAA consta de un resorte de constante de fuerza k = 50N=s y una masa de 5Kg que se mueve en un ‡uído de manera que el coe…ciente de amortiguamiento es de 6Kg=s: Determine si este sistema es sub, sobre o críticamente amortiguado. Escriba la posición de la masa en función del tiempo, si ésta se aleja 0;1m de la posición de equilibrio y se deja en reposo en t = 0: 5 Un electrón está sujeto a una fuerza que se deriva de la energía potencial V (x) =

p

360eV 8 + (x

4)2

donde x está en A. a) Gra…que V en función x b) Determine si existe algún punto de equilibrio estable y en caso a…rmativo; calcule la frecuencia de oscilación del electrón alrededor de tal punto. y calcule la amplitud de la oscilación, suponiendo que el electrón tiene una energía total de -120eV:

13