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EL CAMPO MAQGNETICO ESTATICO

1.

Introducción

A partir de 1820 comienza a gestarse el descubrimiento de la relación entre electricidad y magnetismo, cuando el físico danés Hans C Oersted comunicó a la Academia Francesa de Ciencias el descubrimiento de la interacción entre las corrientes eléctricas y los imanes. Pocas semanas después, André Marie Ampère, anunció a la misma academia que una bobina con corriente se comporta como un imán para todos los efectos magnéticos. Continuando con sus experimentos, en 1826 Ampère culmina sus trabajos con la publicación de Theórie des Phénomènes Electro-Dinamiques, en donde se compilaban los resultados obtenidos por él mismo, así como los realizados por otros cientí…cos de los años anteriores. En esta parte del curso se establecen las leyes del campo magnético para el caso estático. En tal sentido, se presenta la de…nición de campo magnético y se formulan las leyes de Biot-Savart, la de Ampére y la de Gauss del magnetismo. Agujas magnetizadas

Líneas de campo N

N N N

Im S án (a )

N I

I

N S S (b)

(c)

S

(d)

Figura 1: (a) Agujas magnetizadas en la vecindad de un imán. (b) La interacción de las mismas agujas con una bobina con corriente. (c) y (d) Representación de los campos del imán y la bobina mediante líneas campo

2.

Las fuentes del campo magnético

Los imanes y la aguja de una brújula, son cuerpos generalmente de hierro o de algunas de sus aleaciones, que presentan dos polos: uno llamado polo norte y el otro polo sur, los cuales buscan, respectivamente, los polos norte y sur de la Tierra. Siempre ocurre que los polos opuestos de dos imanes se atraen y los polos iguales se repelen. Se dice que los imanes presentan una interacción que puede ser atractiva o repulsiva lamada interacción magnética. Pero vamos a ver enseguida que las corrientes eléctricas también pueden interactuar con umanes. En la …gura 1 (a) se muestra la forma como se alínea un conjunto de agujas magnetizadas en la vecindad de un imán. Los polos sur y norte de cada aguja se dirigen, respectivamente, hacia el norte y sur del imán. Un fenómeno análogo se presenta al ubicar las agujas en cercanía de una bobina con corriente, como se ha representado enla …gura 1 (b). Cuando la corriente en dicha bobina circula en el sentido indicado, (antihorario), la misma se comporta como el imán de la …gura 1 (a). Si la corriente se invierte, los polos de la bobina también lo hacen. Por otra parte, se encuentra además, que la interacción entre la bobina con corriente y el imán es análoga a la interacción entre la bobina y la aguja magnetizada. La orientación de estas agujas sugiere introducir un conjunto de líneas cuya tangente en cualquier punto P , nos indique la dirección en que se alinearía una aguja magnetizada colocada en P , suponiendo que 1

ésta es afectada únicamente por su interacción con el imán. Dichas líneas se denominan líneas campo magnético. Las corrientes eléctricas están constituidas por cargas en movimiento; es de suponer entonces, que el efecto generado por la bobina sobre el imán es debido al movimiento de las cargas libres del conductor de que está hecha la bobina. Tenemos así que las cargas en movimiento ejercen alguna in‡uencia sobre los imanes. Surge la pregunta ¿ejerce un imán alguna in‡uencia sobre las cargas en movimiento?. La respuesta es a…rmativa: un imán es capaz de interctuar con una partícula cargada que se encuentre en movimiento y cambiar la dirección de la velocidad de aquélla. Estos fenómenos de atracción o repulsión que se presentan entre imanes o entre cargas en movimiento e imanes, constituyen la manifestación de la interacción magnética y ella se describe mediante el concepto de campo magnético. Podemos a…rmar por ahora que las fuentes de los campos magnéticos son las corrientes y los imanes. Puede pensarse, en analogía con el caso eléctrico, que por ejemplo, un imán perturba el espacio que lo circunda, creando su espacio físico que se caracteriza por medio del concepto de campo magnético, cuya presencia se mani…esta cuando en cualquier punto o región de este espacio se coloca otro imán o se encuentra allí, una partícula cargada en movimiento. Se caracteriza el campo magnético en cualquier punto P; mediante una cantidad vectorial llamada inducción magnética o densidad de ‡ujo magnético, el cual se representa por B y cuya dirección en cualquier punto es la determinada por la tangente a las líneas de campo magnético.

3.

De…nición de la densidad de ‡ujo magnético

Cuando una partícula con carga q se dispara con una velocidad v en una región donde existe una campo magnético, sobre ella se ejerce una fuerza F; que tiene las siguientes caraterísticas: 1) si la partícula está en reposo o se mueve en la misma dirección o en dirección opuesta al campo magnético, entonces la fuerza es cero; 2. cuando la partícula se mueve de tal manera que su velocidad v; forma un ángulo con las líneas campo, entonces la fuerza es proporcional a v; a B y a sen y 3. la fuerza es perpendicular a v y a B: Estas observaciones se resumen en la ecuación F = qv

B

(1)

la cual de…ne la fuerza sobre una partícula cargada, originada por a la interacción de la misma con un campo magnético. En el sistema internacional de unidades, la densidad de ‡ujo magnético se expresa en la inidad denominada Tesla (T ); de…nida por N 1T = : Am La tesla es una unidad muy grande y por eso se usa la militesla (mT ) y el gauss, siendo 1gauss = 1 10 4 T: Diferencia entre las fuerzas eléctrica y magnética: La fuerza eléctrica es independiente de la velocidad; ella actúa bien sea sobre partículas cargadas en reposo o en movimiento; además, como puede ser paralela o tener una componente paralela a la velocidad, tiene la posibilidad de incrementar la rapidez de la partícula sobre la cual actúa y por consiguiente realizar trabajo sobre la misma. En cambio, la fuerza magnética depende de la velocidad, actúa sólo sobre partículas cargadas en movimiento y nunca realiza trabajo sobre ellas puesto que es perpendicular a la velocidad de las mismas.

Ejemplo 1. 2

N

C

v

Fm

v

Fm B

q

S

B

(a)

(b)

Figura 2: Movimiento de una partícula cargada en un campo magnético uniforme, cuando su velocidad es perpendicular a las líneas de campo.

En la …gura 2 se muestra una partícula con carga q y masa m que se mueve con una velocidad v en un campo magnético uniforme cuya densidad de ‡ujo es B: Se supone que v es perpendicular a B; de tal manera que éste es vertical y v se mueve en un plano horizontal.

Solución La fuerza magnética sobre la partícula es perpendicular a B y por lo tanto no tiene componente vertical, lo cual indica que la partícula no se acelera verticalmente y permanecerá en el plano donde fue lanzada. Dado que la fuerza es perpendicular a la velocidad, y la magnitud de ésta no cambia, el movimiento es circular uniforme, como se muestra en las …guras (2) (a) y (b). Según (1), el módulo de la fuerza magnética es F = qvBsen90o = qvB y podemos aplicar la segunda ley de Newton, recordando que la aceleración cetrípeta es v 2 =r; para obtener F = qvB =

mv 2 r

donde r es el radio de la trayectoria. De la ecuación anterior resulta que r=

mv qB

(2)

la cual muestra que el radio de la trayectoria es proporcional a la magnitud del momento lineal de la partícula. Puesto que en el movimiento circular v = 2 f r; donde f es la frecuencia del movimiento, de (2) se deduce que qB ; f= 2 m la cual se denomina frecuencia ciclotrónica y es independiente de la velocidad de la partícula.

4.

Fuerza magnética sobre una corriente eléctrica

Se ha dicho que una corriente eléctrica consiste en el movimiemnto de partículas cargadas en una determinada dirección. Es de esperar entonces que un campo magnético origine una fuerza sobre un conductor con corriente. Determinaremos una expresión para esta fuerza. Consideremos un alambre muy delgado con una corriente I , el cual se encuentra en un campo magnético B que penetra perpendicularmente en la …gura 3 (a). Sea dl un segmento in…nitesimal de este alambre

3

(a)

z

(b)

B

(c) F

B

-F1

-F1

C

B

C I

dF dl

μm

θ

C

F2 A

θ

b

x D

θ

y

θ

E y

a

μm

D

F1

F1

Figura 3: (a) Un alambre AC, con una corriente I, en un campo magnético B. (b) Espira con corriente en un campo magnético uniforme B. (c) Per…l de la espira anterior.

y dq la carga de los portadores contenidos en este elemento, los cuales se mueven con una velocidad v: Usando (1), la fuerza magnética sobre dq es dF = dqv

B

(3)

Si dt es el tiempo en que los portadores recorren el desplazamiento dl; entonces dl = vdt; además, por de…nición de intensidad de corriente eléctrica, dq = Idt; de tal manera que, dqv =Idtv =Idl; sutituyendo este valor en (3) ésta puede escribirse así: dF = Idl

B

(4)

Esta ecuación constituye una expresión para la fuerza magnética sobre el elemento de alambre con corriente Idl; la fuerza sobre todo un segmento AC es Z C F=I dl B: (5) A

Si el campo magnetico es uniforme, se saca B de la integral y (5) se reduce a FAC = IlAC

B

(6)

donde LAC es la distancia dirigida de A hasta C; lo cual indica que la fuerza magnética sobre el alambre es independiente de la fora que éste tenga. Un caso especial de (6) se presenta cuando el alambre constituye un circuito cerrado, de tal forma que A coincide con C y LAC = 0: En estas condiciones FAC = 0: la fuerza originada por un campo magnético uniforme sobre un circuito cerrado es nula.

5.

Momento de rotación magnético

La …nalidad es hallar una expresión para el momento de rotación magnético que experimenta una espira o bobina cuando se encuentra en un campo magnético uniforme. En la …gura 3 (b) se representa una espira CDEF que tiene una corriente I en sentido antihorario y sus lados son DE = F C y CD = EF; con DE = a y F E = b. En la región existe un campo magnético uniforme B; en cuya dirección se ha tomado el eje z: El lado DE; vectorialmente apunta en la dirección del eje x negativo y se expresa por ai; la fuerza magnética sobre el mismo es F1 = I( ai) B k =IaBj y su magnitud viene dada por F1 = IaB (7) 4

La fuerza sobre el lado F C tiene igual magnitud y dirección opuesta a F1 : También se ha dibujado la fuerza sobre el lado CD.y ella constituye un par colineal con la fuerza que actúa sobre el lado EF; por lo que no contribuyen a hacer rotar la espira. Dado que ésta forma un circuito cerrado, la fuerza magnética total sobre ella se anula, ya que se ha supuesto que B es uniforme. Sin embargo, el otro par de fuerzas genera sobre la espira, un momento de rotación cuya magnitud calcularemos a continuación. En la …gura 3 (c) se ha dibujado un per…l de la espira en donde solo se ve su lado CD y las fuerzas F1 y F1 : El momento de rotación respecto del eje x es = F1 ACsen =F1 bsen : Remplazando F1 según (7) en la ecuación anterior, resulta: = IaBbsen = IABsen

(8)

donde A = ab es el área de la espira. Se de…ne el momento dipolar magnético de espira por m

= IA;

entonces (8) se expresa por =

m Bsen

=k

m

Bk

El vector m asociado a la espira es perpendicular al plano de ésta y su dirección se determina por la regla de la mano derecha, como se explicará en el siguente párrafo. En forma vectorial el torqu puede expresarse en la forma == m B: En la …guras 4 (a) y (b) se ilustra la regla de la mano derecha para determinar la dirección del momento dipolar magnético de una espira con corriente: se coloca el borde posterior de la mano sobre el plano de la espira, de modo que los dedos se curven en la dirección de la corriente; luego se estira el pulgar y entonces m apunta en la dirección del pulgar. El momento magnético m depende del área y de la corriente de la espira y permite determinar en que forma rota la espira por la acción del momento de rotción magnético o torque ejercido sobre ella: la acción de este torque es tal que trata de alinear a m con B: μm

B

I

I

(a)

(b)

Figura 4: Ilustración de la regla de la mano derecha para determinar la dirección del momento dipolar magnético de una espira: (a) espira rectangular inclinada y (b) espira circular en posición horizontal.

5

6.

Flujo magnético y la ley de Gauss para el campo magnético

El ‡ujo magnético se de…ne en la misma forma que el ‡ujo eléctrico, cambiando la intensidad E del campo eléctrico por el vector densidad de ‡ujo magnético B: Así, si tenemos una super…cie S cortada por un campo magnético B; como se muestra en la …gura 5 (a), el ‡ujo magnético sobre S está de…nido por Z B dA m = S

y se mide en Webers (Wb). De aquí se obtiene la equivalencia 1T = W b=m2 : Un hecho muy importante es que hasta ahora, experimentalmente sólo se han detectado dipolos magnéticos y, por consiguiente, cuando se representa el campo magnético por medio de líneas de fuerza, éstas tienen que ser curvas que se cierran sobre si mismas, análogas a las de un dipolo eléctrico formado por dos cargas puntuales. La situación se ilustra en la …gura 5 (b): Se tiene por consiguiente la ley de Gaus para el campo magnético, la cual establece que: el ‡ujo magnético a través de cualquier super…cie cerrada es nulo, lo cual se expresa por medio de la siguiente ecuación: I B dA = 0

S

Esta es una ley general que se considera válida para todo campo magnético independientemente de la fuente que lo origine. B

Líneas de campo

dA

S

S (a)

(b)

Figura 5: (a) Una super…cie S cortada por un campo magnético B. (b) Dado que sólo existen dipolos magnéticos, toda línea de campo magnético que penetra en una supr…cie cerrada sale de ella y por ello el ‡ujo en toda super…cie cerrada es cero.

7.

Ley de Biot-Savart

Hasta ahora se ha dicho que las fuentes del campo magnético son los imanes y las corrientes eléctricas, pero no se ha especi…cado como determinar la densidad de ‡ujo magnético B. Jean-Baptiste Biot y Felix Savart descubrieron de manera experimental, una ley para determinar el valor de la densidad de ‡ujo magnético debido a una corriente eléctrica. Esta relación se conoce con el nombre de ley de Biot-Savart. Consideremos un elemento de línea de longitud dl; como se muestra en la …gura 6 (a), el cual hace parte de un circuito y está orientado en la misma dirección de la corriente. El elemento Idl; produce un campo magnético cuya densidad de ‡ujo en cualquier punto P; locaalizado a una distancia r del origen de dl; viene dado por I dl r^ I dl r dB = o = o (9) 2 4 r 4 r3

6

I

C

P

dl r

B

B

r I

r

A

I (a)

dl

I

(c)

(b)

Figura 6: (a) Un alambre AC que origina un campo magnético en el punto P. (b) Campo magnético de una espira circular. (b) Regla de la mano dercha para determinar la dirección del campo de la espira

donde r es el vector dirigido desde el origen de dl hasta el punto P; r^ es un vector unitario en la dirección de r y Tm 10 7 = 1;2566370614 10 6 N A 2 ) o =4 A es la permeabilidad del vacío. Para obtener la densidad de ‡ujo magnético B; debido a todo el alambre integramos (3), esto es, Z dl r oI B= (10) 4 r3 Esta ecuación da el valor de la densidad de ‡ujo magnético para todo el circuito C. Debe aclararse que el óvalo sobre el símbolo integral indica que la integración se efectúa sobre todo el circuito cerrado, C:

Ejemplo 2. En la …gura 6 (b) se muestra una espira circular de radio r que transporta una corriente I en el sentido indicado. Halle la densidad de ‡ujo magnético en el centro de la espira.

Solución Aplicando la ley de Biot-Savart, la densidad de ‡ujo magnético del elemento Idl en el centro de la espira es I dl r^ dB = o : 4 r2 Pero dl y r^ son perpendiculares entre sí y el producto vectorial dl r^ está dirigido perpendicularmente hacia arriba del plano de la espira. Por consiguiente, la magnitud de dB =

oI

4

dlsen90 dl = o 2: 2 r 4 r

El campo de la espira se obtiene integrando dB en toda la trayectoria cerrada, o sea, I I I oI B= dl = o 2 2 r = o 2 4 r 4 r 2r donde 2 r es el valor de la integral de dl.y, como se ha indicado en la …gura, B está dirigido perpendicularmente hacia arriba del plano de la espira. La dirección de B para la espira anterior se determina colocando el borde de la mano sobre el plano de la espira, de tal forma que los dedos de la mano sigan la dirección de la corriente. Entonces B apunta en la dirección del pulgar estirado. La situación se ilustra en la …gura 6 (c).

Ejemplo 3 7

En la …gura 7 (a) se muestra un alambre AC que transporta una corriente I en el sentido indicado. Muestre que la densidad de ‡ujo magnético originada por este alambre en el punto P indicado viene dada por I B = o (sen 2 sen 1 ) 4 R donde R es la distancia desde P hasta el alambre.

Soluciòn. En la …gura 7 (b) se muestra un sistema coordenado para hacer los cálculos. Se ha tomado el eje z hacia arriba y el eje y hacia la deracha, de tal manera que el punto P esté sobre este eje. Usaremos la ecuación (10) y para ello obtendremos r y dl en forma apropiada. Tomamos dl en el punto (0; 0; z); tal elemento tiene la forma dl = dzk; el vector que va desde el origen de dl hasta P es r = Rj zk C

Dzk=dl

z I

I r

z

θ2 θ1

B

θ

P

y

R

B A

x

R (a)

(b)

(c)

Figura 7: (a) Alambre aludido en el ejemplo 3. (b) Sistema coordenado para el mismo ejemplo. (c) línea de campo de un alambre largo.

y dl

r = dzk (Rj

zk) =

Rdzi:

(3.3.1)

Puesto que r y z varían en el proceso, hagamos el cambio de variable, z = R tan ; entonces dz = R sec2 d y remplazando este valor en (3.3.1), resulta que dl

R2 sec2 d i:

r=

(3.3.2)

Por otra parte, de la …gura 7 (b), puede verse que r = R sec ;

(3.3.3)

de tal forma que, remplazando (3.3.2) y (3.3.3) en (10) se tiene que B=

oI

4

i

Z

2

1

R2 sec2 d = (R sec )3

oI

4 R

i

Z

2

cos = 1

oI (sen 4 R

2

sen 1 )i:

Si el alambre es muy largo hacia ambos lados, entonces 2 ! =2 y por lo tanto sen que 1 ! =2 y sen 1 ! 1: Haciendo estos remplazos en (3.3.4), ésta se reduce a: B=

oI

2 R

i:

2

(3.3.4) ! 1; mientras (3.4.5)

El signo negativo en las ecuaciones (3.3.4) y (3.3.5) indica que el campo magnético apunta en la dirección negativa del eje x: Es muy importante notar que B es perpendiculara a la distancia radial R; así que, si dibujamos una circunferencia que pase por P y esté centrada sobre el alambre, B será tangente a esta 8

circunferencia y lo mismo ocurrirá para cualquier otro punto. Se concluye que el campo magnético del alambre puede ser representado por líneas circulares con centro en dicho alambre, como se indica en la …gura 7 (c).

Ejemplo 4 Hállese la fuerza magnética por unidad de longitud entre dos alambres delgados y muy largos que transportan corrientes I1 e I2 como se muestra en la …gura 8 (a).

Solución Podemos considerar que el alambre DE se encuentra en el campo magnético del alambre AC: El valor de la densidad de ‡ujo magnético debida a AC en los puntos donde está DE es o I1

B1 =

(4.4.1)

2 d

y penetra perpendicularmente en la …gura. Por lo tanto, la fuerza magnética que experimenta un segmento L del alambre DE; según (6) es F = I2 kL

B1 k = I2 L

o I1

2 d

o I1 I2

sen90o =

2 d

L:

(4.4.2)

La fuerza por unidad de longitud corresponde a F

=

L

o I1 I2

2 d

:

(4.4.3)

Esta fuerza está dirigida hacia la izquierda, es decir hacia el alambre AC; el lector puede veri…car que la fuerza sobre AC se dirige hacia la derecha, de tal forma que los alambres se atraen. Es fácil comprobar que si éstos tienen corrientes opuestas la fuerza entre ellos es repusliva.

Ejemeplo 5 En la 8 (b) se muestra una espira rectangular que tiene una corriente I2 y se encuntra en la vecindad de un alambre muy largo que lleva una corriente I1 : La espira posee las medidas indicadas y tiene dos lados paralelos al alambre. Halle la fuerza magnética que éste sobre la espira.

C

E

I1

I2

y

D

I1

I2 A

d A

D

a

E

y

c

I

C I A

F x

b

D

a

a

E

θ a

x

Figura 8: (a) Ejemplo 4. (b) Ejemplo 5. (c) Ejercicio propuesto

Solución La fuerza magnética sobre la espira es debida únicamente a la que ejerce el alambre sobre los lados AD y EF; ya que las fuerzas sobre DE y F A; son opuestas y de módulos iguales y por consiguiente se anulan entre sí. Usando la ecuación (4;4;2); con L = c y d = a; la fuerza sobre el lado DE apunta en la dirección negativa del eje x y su módulo es I1 I2 FAD = o c: 2 a 9

Análogamente, puesto que el lado EF de la espira está a una distancia d = a + b del alambre, la fuerza sobre este lado es opuesta a la anterior y su módulo corresponde a FEF =

o I1 I2 c

2 (a + b)

:

La fuerza magnetica F sobre la espira se obtiene sumando vectorialmente las dos fuerzas anteriores, o sea, I1 I2 1 1 F = FAD FEF = o 2 a a+b la cual va el dirección x negativa.

Observación: El campo magnético del alambre largo no es uniforme. La ecuación (6) que se dedujo para campos uniformes, se aplicó en el ejemplo anterior porque los lados AD y EF de la espira son paralelos al alambre. Se pide al estudiante que repita este ejemplo para la espira de la …gura 8 (c) en donde AC y DE no son paralelos al alambre. R= F = 2o I tan ln 34 i:

8.

Ley de Ampère.

A continuación se verá la ley de Ampère que constituye una forma más elaborada de la ley de Biot-Savart. Realmente estas leyes se consideran equivalentes, porque si se admite la validez de una de ellas se pude deducir la otra. Realmente la ley de Ampère es la que …gura como una de las cuatro leyes básicas del electromagnetismo, denominadas ecuaciones de Maxwell. La ley de Ampère es una ley experimental y la enunciamos a continuación: Sea C una curva cerrada y S una super…cie limitada por C, como se ha representado en l afgura 9. Si I es la corriente que pasa a través de S; la circulación de la densidad de ‡ujo magnético B; a través de C es igual a o I. Matemáticamente esta ley se expresa así I Z B dl = o I = o J ds: (11) c

S

B S

dA

C

Figura 9: Una super…cie S limitada por una curva cerrada C. I es la corriente que corta a S.

Ejemplo 6 En la …gura 10 se muestra una bobina toroidal que tiene N vueltas, radio medio R y radio de la sección transversal a; la cual transporta una corriente I: Hállese la densidad de ‡ujomagnético, en cualquier punto P del interior de esta bobina en función de la distancia r que hay desde P hasta el eje:

Solución: 10

En la …gura 10 se muestra una de las líneas de campo, las cuales por simetría tienen que ser circulares. También se indica una curva C; de radio r y sobre ella se ha tomado un elemento de línea dl orientado paralelamente al campo. Aplicando la ley de Ampère a C; tenemos

Figura 10: Una bobina toroidal que tiene n vueltas y una corriente I. I

B dl =

C

oN I

(3..3.1)

Dado que B y dl son paralelos, entonces B dl =Bdl cos 0 = Bdl; además, por la simetría que presenta el toroide y la corriente aplicada, es de esperar que la magnitud de B se mantenga constante sobre la curva C; por lo que se puede extraer de la integral, y el valor de ésta es B2 r y así, de (3.3.1)) se obtiene B=

NI : 2 r

(3.3.2)

Si el radio de la sección transversal del toroide es muy pequeño, comparado con su radio medio, se puede suponer que el campo en el interior tiene magnitud uniforme. En estas condiciones N =n 2 r es el número de vueltas por unidad de longitud y (3.3.2) se reduce a o nI

B=

(3.3.3)

Ejemplo 7 En la …gura 11 (a) un solenoide que tiene n vueltas por unidad de longitud y transporta una corriente I: Obtenga la expresión para el campo en el interior del solenoide, suponiendo que es muy largo y que su sección transversal tiene radio muy pequeño, de modo que se puede suponer que: la densidad de ‡ujo magnético dentro del dispositivo es uniforme y la curvatura de las líneas de campo en los extremos se puede ignorar.

Solución El solenoide lo podemos considerar como un arco correspondiente a un toroide de radio medio muy grande, el cual tiene n vueltas por unidad de longitud y una corriente I: Por consiguiente podemos aplicar (3.3.3), de tal manera que en el interior del solenoide B=

o nI:

La anterior es una expresión aproximada para la densidad de ‡ujo magnético en el interior del solenoide y cuando se considera válida esta aproximación se dice que el solenoide es ideal.

11

B I (a) (b)

Figura 11: (a) Un solenoide ideal que tine n vueltas por unidad de longitud y una corriente I. (b) La dirección de la densidad de ‡ujo magnmético de una espira se determina por la regla de la mano derecha.

9.

Propiedades magnéticas de los materiales

En esta sección se presentan algunas ideas básicas sobre las propiedades magnéticas de la materia. Desde un punto de vista clásico, la interacción de una muestra de un determinado material con un campo magnético, o el hecho mismo de que esta muestra pueda originar su propio campo, se explica como consecuencia del movimiento de cargas en los átomos o moléculas que constituyen el material, como se detalla a continuación. Para los …nes que aquí se persiguen, se puede considerar que cada átomo está constituido por un núcleo central con carga positiva y una nube de carga negativa formada por electrones que orbitan alrededor del núcleo. El movimiento de las cargas en cada átomo puede considerarse que constituye un diminuto circuito al cual se le asocia una corriente I, un área s y un momento dipolar m;según se muestra en la 12: Se dice que un material es magnético si en sus átomos, m es diferente de cero. m

∆s

I

Figura 12: Representación de un átomo mediante una diminuto espira con corriente. En algunos materiales el momento magnético total de cada átomo se anula y, la interacción de tales materiales con un campo externo, genera efectos muy débiles. Esta clase de materiales se denominan diamagnéticos, porque la muestra genera su propio campo opuesto al campo externo al que es sometida, de modo que, la interacción de estos materiales con otro cuerpo magnétizado siempre es repulsiva. Por ejemplo, el cobre, el plomo, el agua, el cloro, el cinc el nitrógeno y el carbono son diamagnéticos. En otros materiales, el momento magnético resultante de cada átomo no se cancela y éste posee un momento dipolar magnético, el cual le permite originar su propio campo magnético, o interactuar de manera relativamente fuerte con un campo magnético externo. La interacción de una muestra de estos materiales con un imán siempre es atractiva.

9.1.

Magnetización

En ausencia de un campo magnético aplicado, los momentos dipolares magnéticos de una muestra de un determinado material, es posible que se encuentren orientados al azar, en virtud de la agitación térmica 12

B

(a) B=0

(a) B≠0

Figura 13: (a) Una muestra magnética sin campo magnético aplicado: los momentos dipolares magnéticos están en total desorden. (b) La misma muestra, con un magnético diferente de cero, se magnetiza.

que tienen los átomos o constituyentes de este material, como se indica en la …gura 13(a). Pero si a la muestra se le aplica un campo magnético, los momentos dipolares se tratan de alinear con el campo, según se muestra en la …gura 12 (b). Este fenómeno se denomina magnetización. El ordenamiento nunca es total porque los efectos térmicos siempre están presentes, pero a temperaturas no muy elevadas, la magnetización puede ser tan alta que permite que la muestra origine su propio campo y de esta manera puede obtenerse un campo más intenso que el original. En los llamados materiales paramagnéticos, la fracción de dipolos que se alínea con el campo externo es pequeña y, al eliminar dicho campo, los dipolos se desordenan de nuevo. Ejemplo de materiales paramagnéticos son el Al, O y el N a. En otro tipo de materiales, denominados ferromagnéticos, el alineamiento dipolar pude ser muy alto. Al suspender el campo externo, los dipolos no se desordenan totalmente y en la muestra queda con una magnetización remanente o permanente. (forma un imán). Otra característica de los materiales ferromagnéticos consiste en que presentan ciertas regiones, llamadas dominios magnéticos, en donde existe un ordenamiento dipolar espontáneo, es decir, sin necesidad de aplicar un campo externo a la muestra. Así, cada dominio posee un momento dipolar permanente y, cuando a un material se le aplica un campo magnético, la frontera de los dominios cambia y la dirección de su momento dipolar trata de coincidir con la del campo. Entre los materiales ferromagnéticos están: el Fe, Co, Ni y sus aleaciones.

9.2.

Campo magnético de un cuerpo magnetizado

La materia magnetizada puede representarse en un modelo simple, como si ella estuviese formada por pequeños circuitos con corrientes que circulan en el mismo sentido. En el interior de un medio magnetizado uniformemente, las corrientes en los distintos circuitos se eliminarán entre sí, y no habrá corriente neta en el interior del material. Pero en la super…cie de la muestra, aun con magnetización uniforme, se presentan corrientes super…ciales de magnetrización IM ; como se indica en la …gura 13 (a): En esta …gura se represnta una muestra magnética de forma cilíndrica, inicialmente desmagnetizada, que se introdujo en un solenoide con corriente I; que cuando estaba vacío, originaba un campo magnético Bo en su interior. Las corrientes de magnetización del cilindro originan su propio campo magnético Bm que apunta en la dirección de Bo , de tal manera que el campo total en el interior del solenoide es B = Bo + B m y B pude ser mucho mayor que Bo si el cilindro es de un material ferromagnético.

13

(12)

A

A

IM

IL IM

(a)

(b)

Figura 14: (a) Una muestra magnetizada uniformemente. Su efecto magnético se describe por medio una corriente super…cial de magnatización, IM :

9.3.

Permeabilidad magnética de un material

Por lo general, el campo en el interior de un material que se encuentra en un campo magnético externo, como el caso del cilindro mencionado en la sección anterior, se relaciona con Bo mediante la expresión B = Bo :

(13)

donde es la permeabilidad de lmaterial. Si la permeabilidad no depende de (Bo o de la corriente del solenoide en el caso del cilindro en mención), se dice que el material es magnéticamente lineal. Los materiales paramagnéticos son magnéticamente lineales y su permeabilidad es ligeramente mayor que o ; los materiales ferromagnéticos no son lineales y en muchos casos o : Los materiales diamagnéticos tienen permeabilidades ligeramente menor que o debido a que ellos se magnetizan en dirección contraria al campo aplicado. En los materiales ferromagnéticos la susceptibilidad disminuye en la medida en que se incrementa la temperatura, hasta tal punto que por encima de una temperatura determinada, característica de cada material, y denominada temperatura de Curie, la muestra se vuelve paramagnética. PROBLEMAS 1*. A) En cierto instante un electrón tiene velocidad v = (5;0i 6;0j) 103 m=s y se encuentra en un capo magnético B = (3;84i 3;20j + 2;40k)mT . Halle la fuerza magnética sobre el electrón y explique si su trayectoria será circular. 1. B) En cierto instante t; un electrón tiene velocidad v = (40i + 35j) 103 m=s, y se encuentra en un campo magnético uniforme B; tal que Bx = 0: Si la fuerza magnética sobre el electrón es F = ( 4;2i + 4;8j)f N; determine el valor de B. 2* Un protón, un electrón, un deuterón y una partícula alfa, cada una con una energía cinética de 1;0KeV , penetran perpendicularmente a las líneas de un campo magnético uniforme, de 50mT . a) Explique si experimenta algún cambio la energía cinética de cada partícula, cuando ellas penetran en el campo. b) En un diagrama, dibuje las trayectorias de la partículas y c) calcule el radio de cada una de estas trayectorias. 3*. Un electrón tiene velocidad v = (3;0i + 4;0j) 103 m=s, en un campo magnético uniforme B; dirigido a lo largo del eje z: La fuerza sobre el electrón es de 2;4 10 19 N y forma un ángulo de 143;13o con el eje x positivo. Represente la situación en forma esquemática y halle B. 14

4*. Una partícula con carga q y masa m, viaja con una velocidad v en un campo magnético uniforme, de densidad de ‡ujo B. Si la velocidad de la partícula forma un ángulo con la dirección del campo magnético, demostrar que la trayectoria de la partícula es una hélice de radio, período y paso dados respectivamente por mvsen 2 m 2 mv cos r= ; T = y p= . jqj B jqj B jqj B

5*. Iones con carga q y masas m1 y m2 cruzan en línea recta por la región 1 mostrada en la …gura 15 (a); allí existen dos campos cruzados y uniformes: uno eléctrico de intensidad E; dirigido verticalmente hacia abajo y otro magnético, de inducción B, que penetra perpendicularmente en la …gura. Los iones continúan hacia una segunda región en la que sólo existe el campo magnético, en donde describen trayectorias semicirculares. a) Analice el movimiento de las partículas en la región 1 y demuestre que la velocidad de las mismas es E v= : B b) Si la diferencia entre los radios de las trayectorias de los iones es r, analice el movimiento en la región 2 y demuestre que la diferencia entre sus masas m=

B

qB 2 r E

E

B

(a) r

(b)

r

B

(c)

I

B

v

v Región 1

Región 2

Región 1

Región 2

V

Figura 15: (a) Problema 5. (b) Problema 6. (c) Problema 7 6*. En un espectrógrafo de masas, iones positivos de masa m y carga q, son acelerados desde el reposo a través de una diferencia de potencial V; en una región 1 y después entran en otra región 2, en donde hay un campo magnético uniforme de densidad de ‡ujo magnético B: Como se muestra en la …gura 15 (b), en la región 2 la velocidad de los iones es perpendicular a B y las partículas describen una semicircunferencia de radio r. Use el principio de consevación de la energía, la segunda ley de Newton y la de…nición de B; para demostrar que 2V q = 2 2: m B r 7. Un circuito tiene una parte de masa m que está formado por un alambre constituido por un segmento horizontal de longitud 2l y dos brazos verticales cada uno de longitud l; los cuales están metidos en sendos tubos …jos que contienen mercurio, como se muestra en la …gura 15 (c). En la región existe un campo magnético B que es uniforme y penetra perpendicularmente. Repentinamente se cierra el circuito, el cual adquiere una corriente I y el alambre sale disparado hacia arriba por la acción de la fuerza magnética que experimenta. Halle la máxima altura que alcanzará el alambre, en función de m, I, l, B y g. Desprecie los efectos de fricción y la resistencia del alambre. 8. Una espira cuadrada de lado 0;25m, se encuentra sobre el plano xy, está centrada en el origen de coordenadas, tiene dos lados paralelos al eje x y transporta una corriente de 4;0A en sentido antihorario. a) Determine el mometo dipolar magnético de la espira y represéntelo en un diagrama. b) Si en la región existe un campo magnético uniforme B = 4;0imT , dibuje y obtenga la fuerza magnética sobre cada uno 15

de los lados de la espira y c) halle el momento magnético de torsión que la misma experimenta y explique en que sentido rota. 9. Repita elproblema anterior, pero ahora suponga que B = (4;0j + 4;0k)mT: 10*. Una espira cuadrada de lado l; tiene dos de sus vértices en (0; 0; 0), (0; 0; l) y suplano se encuentra en el primer octante, pormando un ángulo de 45o con el plano xy. La corriente de la espira es I , y en el lado que está sobre el eje z, apunta en la dirección z positiva. Represente la situación esquemáticamente, dibuje la fuerza sobre cada lado y el momento dipolar magnético de la espira, luego determine el momento de torsión magnético sobre ésta y explique en que sentido rota, si en la región el campo magnético es uniforme y B = 0;1T j: C

I

D

A A

v 1.0cm P

A

v

a

1.0cm

C v

a

P x I

E

a

a

E

a

D

C (a)

(b)

(c)

Figura 16: (a) Problemas 11. (b) Problema 12. (c) Problema 13

11. En la …gura 16 (a) se muestran dos alambres muy largos AC y DE, que transportan corrientes de igual valor I = 10A, pero en direcciones opuestas. Un eléctrón se dispara paralelamente a los alambres con una velocidad de 1;0 106 m=s en un punto P equidistante de aquellos. Determine: a) la densidad de ‡ujo magnético debida a los alambres en P y b) la fuerza magnética sobre el electrón. 12*. En la …gura 16 (b) se muestran dos alambres muy largos A y C, que transportan corrientes de igual valor I , en donde la de A va en la dirección z positiva (sale perpendicularmente) y la de C tiene dirección opuesta. Un eléctrón se dispara en el punto (a,0,0), con una velocidad v = vj: Demuestre que la la fuerza magnética sobre el electrón es ev o I F= k: 2 a 13. En la …gura 16 (c) se muestran las secciones transversales de cuatro alambres muy largos cada uno de los cuales transporta una corriente de valor I. Cada una de estas secciones está centrada en un vértice de un cuadrado de lado a. Las corrientes de los alambres superiores penetran perpendicularmente en la …gura y las de los otros dos son opuestas a las de los anteriores. Una partícula con carga q se dispara con una velocidad v en la dirección indicada. a) Dibuje la densidad de ‡ujo magnético debido a los alambres en el centro del cuadrado y halle la magnitud de la resultante. b) Determine la magnitud y dirección de la fuerza magnética que actúa sobre la partícula. 14*. En la …gura 17 (a) se muestra un alambre formado por dos segmentos semi-in…nitos y un arco semicircular de radio a, el cual transporta una corriente I . Halle la densidad de ‡ujo magnético en el centro de curvatura de la parte semicircular en función de I y de a: 15*. En la …gura 17 (b) se muestra un circuito formado por tres segmentos rectilíneos y un arco semicircular de radio a, el cual transporta una corriente I . Cada segmento horizontal tiene longitud a y el segmento vertical tiene longitud 2a. Pruebe que la densidad de ‡ujo magnético en el centro de curvatura de la parte semicircular está dada por p ! 2 2 I 1+ B= o 4a

16

I C

D

a

a

I

a (a)

(b)

I A

E (c)

Figura 17: (a) Problema 14. (b) Problema 15 (c) Problema 16

16*. En la …gura 17 (c) se muestra un circuito formado por dos segmentos rectos y dos arcos semicirculares de radio a. La corriente del circuito es I y las líneas mostradas a trazos son perpendiculares entre sí. Halle la densidad de ‡ujo magnético en el centro de curvatura de los arcos, en función de I y de a. 17*. Un cable coaxial consta de un …lamento central de radio a y de una cubierta en forma de cilindro hueco de radio 2a cuyo espesor es despreciable, colocada coaxialmente con el …lamento. Éste tiene una densidad lineal de carga estática ; mientras que la cubierta tiene una corriente I = 10A. Una partícula con carga positiva e, que se dispara paralelamente al eje longitudinal del cable con una velocidad de 1.0 106 m=s sigue en línea recta porque la fuerzas eléctrica y magnética que el cable ejerce sobre ella se cancelan entre sí. Determine el valor de y esquematice la situación, dibuje el cable y muestre las direcciones de la velocidad de la partícula y de la correinte. 18. Se tiene un solenoide ideal de 2000vueltas=m el cual tiene una sección transversal de radio 1;0cm y transporta una corriente de 1;0A. Determine la rapidez máxima con que se puede mover un protón dentro del solenoide en una trayectoria circular completa. Halle la frecuencia ciclotrónica y el período del movimiento. Represente la situación esquemáticamente. 19. Una bobina plana de 10 vueltas tiene una corriente de 1;0A y su diámetro es de 1cm. Determine el máximo momento magnético de rotación que puede experimentar cuando interactúa con el campo magnético del solenoide del ejercicio anterior. Ilustre su procedimiento esquemáticamente. 20. Una bobina toroidal tiene la forma de un segmento de cilindro hueco de radio menor a, radio mayor b y altura c. Halle los valores de a y b; así como el número de vueltas requeridas para que se satisfagan las siguientes características: a) la densidad de ‡ujo magnético en el centro de la sección transversal es de 6mT ; b) la sección transversal tiene las dimensiones a b = 10 = c, c) la densidad de ‡ujo magnético no debe variar más del 10 % respecto del valor en el centro de la sección transversal. Suponga que tiene un alambre de cobre, que con su revestimiento aislante, tiene 1;5mm de diámetro y es capaz de tolerar una corriente máxima de 7;5A. Elija el diseño de modo que que utilice la menor cantidad de alambre. 21* Dos láminas planas in…nitas de corriente ubicadas en z = a y z = a; tienen densidades de corriente super…cial J1 = js i y J2 = js i expresadas en A=m: Determine la densidad de ‡ujo magnético en cualquier punto. 22*. Dos bobinas de Helmholtz se pueden considerar planas, se encuentran en planos paralelos al plano xy y tienen sus centros en (0; 0; z). Las bobinas tienen forma circular de radio R, cada una tiene n vueltas y una corriente I en sentido antihorario. Halle el valor de la densidad de ‡ujo magnético en (0; 0; 0).

Bibliografía consultada: Jaime Rodríguez Lara Notas de Física Teórica U. Nal , Bogotá, 1992 Alonso, M. y Finn, E. Física. Pearson. México, 1995 Johnk, K. T. Teoría Electromágnetica. Editorial Limusa. México, 1981(1995) Sanjurjo, R. Electromagnetismo. MacGraw-Hill Madrid, 1988. 17