Funcoes

Capítulo 2 Funções, Limite e Continuidade Introdução O QUE É UMA FUNÇÃO? Considere o seguinte exemplo: No verão de 1990, a temperatura no estado do Arizona ficou alta durante todo o tempo (tão alta, de fato, que algumas empresas aéreas decidiram que talvez não fosse seguro aterrissar seus aviões lá). As altas diárias de temperatura na cidade de Phoenix, de 19 a 29 de junho são dadas na tabela abaixo: Data

19

20

21

22

23

24

25

26

27

28

29

Temperatura (ºC)

43

45

46

45

45

45

49

50

48

48

42

Tabela 1 - Temperatura em Phoenix, Arizona, junho de 1990

Trata-se de uma função: cada data tem uma única temperatura mais alta associada a ela. Uma grandeza y é uma função de outra grandeza x, se a cada valor de x estiver associado um único valor de y. Dizemos que y é a VARIÁVEL DEPENDENTE e x é a VARIÁVEL INDEPENDENTE. Escrevemos y = f(x), onde f é o nome da função. DOMÍNIO da função

é o conjunto dos possíveis valores da variável independente.

IMAGEM da função

é o conjunto correspondente de valores da variável dependente.

REPRESENTAÇÃO DE UMA FUNÇÃO Uma função pode ser representada por TABELAS, GRÁFICOS e FÓRMULAS.

Gráfico 1 - Temperatura em Phoenix, Arizona, junho de 1990

Na Tabela 1 acima, temos a temperatura em função da data, representada através de uma tabela. Se designarmos essa função por f e a temperatura por T, podemos escrever, por exemplo, f(21) = 46, isto é, f(x) = y. Um gráfico dessa função é mostrado no Gráfico 1.

Função Linear Uma função linear é dada por:

onde y é a variável dependente, x a variável independente e m e b são constantes (números reais). A constante m é a inclinação da reta determinada por y = f(x) (coeficiente angular);

onde θ é o ângulo de inclinação da reta e (x1,y1 ) e (x2,y2) são dois pontos pertencentes a reta. b é a ordenada do ponto em que a mesma corta o eixo vertical (coeficiente linear); zero

ou raiz da função é a abcissa do ponto em que a mesma corta o eixo horizontal.

Por exemplo, a fórmula usada para converter graus Fahrenheit para graus Centígrados define uma função linear:

é uma função do tipo: y = mx + b, onde m = 5/9 e b = -160/9. Seu gráfico é uma reta com inclinação 5/9, que intercepta o eixo vertical no ponto em que C = -160/9. Plotar o gráfico desta função, achar os zeros da função e interpretar o resultado.

Solução: Para plotar o gráfico desta função, vamos utilizar o método da marcação de pontos. MÉTODO DA MARCAÇÃO DE PONTOS Esse método consiste em atribuir alguns valores para a variável independente e calcular os respectivos valores da função. Cuidado, pois poucos pontos podem levar a uma interpretaçao errada da função. Exemplo: Os quatro pontos da figura 1, podem representar qualquer das funções mostradas abaixo:

Figura 1 É importante obter os pontos de intersecção ou os interceptos dos eixos x e y.

O gráfico da função dada no exercício é mostrado abaixo:

Os zeros desta função são calculados abaixo: O zero da função é o valor de F que intercepta o eixo das abcissas e que anula a função C(F), isto é:

a raiz ou o zero da função é F = 32 e significa que quando a temperatura em graus centígrados for zero, ela será igual a 32 em graus Fahrenheit. Observe que:

• •

Se m=0 então a função linear f(x)=b é uma FUNÇÃO CONSTANTE Se b=0 então temos f(x)=mx. Trata-se de um conjunto de retas com inclinação m, todas passando na origem (0,0).

Por exemplo:

Vamos obter, no mesmo sistema de eixos, as seguintes retas paralelas:

Por quê são retas paralelas? Porque todas têm a mesma inclinação ou coeficiente angular, isto é, só se encontram no infinito.

Exercícios de Fixação 1 - Esboce o gráfico da equação e calcule e marque os interceptos: a-y=x b - y = -3x + 2 c-y=x+3 d - y = 2x - 3

2 - Determine o coeficiente angular da reta que passa pelos pontos: a - (-2,0) e (3,1) b - (-1,2) e (2,2) c - (0,4) e (1, -1) d - (3,4) e (3,1) 3 - Determine a equação da reta que passa pelo ponto (2,-1) e é paralela à reta 2x - 3y = 5 4 - Determine a equação da reta que passa pelos pontos abaixo e plotar seu gráfico: a - (4,3) e (0,-5) b - (0,0) e (-1,3) c - (2,3) e (2,-2) d - (1,-2) e (3,-2)

Função polinomial Uma função polinomial de grau n é da forma:

onde x é a variável independente, n ∈N, e ao, a1,.....,an são constantes reais. Observe que uma função polinomial de grau 0 é uma FUNÇÃO CONSTANTE e uma função polinomial de grau 1 é uma FUNÇÃO LINEAR. Alguns exemplos de funções polinomiais:

g(x) é chamada de função quadrática. Vejamos o caso particular, das funções polinomiais da forma

1) para n ímpar: Exemplos: x, x3, x5, x7

O que se observa? Se n=1, obtemos a equação de uma reta. São calculados tantos valores negativos quanto positivos para as funções.

2) n é par Exemplos: x2, x4 e x6

O que se observa? O valor da função é sempre positivo, independente dos valores de x.

Exercícios Resolvidos 1 - Um tomate é jogado verticalmente para o alto, no instante t=0, com velocidade de 15 metros por segundo. Sua altura y, acima do solo, no instante t (em segundos), é dada pela equação

Faça uma análise da função quadrática definida por esta equação, isto é:

•

Esboce um gráfico de posição versus tempo

•

Determine os zeros desta função e interprete o que representam

•

Determine as coordenadas do ponto mais alto da curva e interprete o que este ponto representa

•

Responda: durante quanto tempo ocorreu o movimento do tomate?

Gráfico da função:

Determinação dos zeros da função:

Pelo gráfico: t =0 e t=3 Confirmando pelas equações:

Os zeros da função representam que nesses instantes de tempo, o tomate está no solo. Coordenada no ponto mais alto da curva: O ponto mais alto da curva é o vértice xv:

Substituindo este valor na equação fornece a ordenada:

Significa que o tomate atingiu uma altura máxima de 11,25m no instante t = 1,5 seg. 2 - Considerando a função polinomial definida por: determine os pontos de intersecção com os eixos horizontal e vertical.

, construa seu gráfico e

Os pontos de intersecção com o eixo horizontal (das abcissas) são: P1=(1/3,0), P2=(-2,0) e P3=(4,0) Para determinar os pontos de intersecção com o eixo vertical, basta tomar para ordenada, o termo independente da função. Assim, o ponto de intersecção com o eixo vertical é dados pelo valor de f(x) quando x = 0. P4=(0,8) 3 - Esboce os gráficos das funções e determine seus zeros. a)

0,5x-5=0 0,5x=5 x=10 raiz: x = 10

b) f(x) = 2 - 5x

2 - 5x = 0 x= 2/5 raiz: x = 0,4

c) f(x) = 10 – x2

10 - x2 = 0 x2 = 10 x=

d) f(x) = x2 - 2x + 4

não tem raizes reais.

4 - Detemine graficamente o número de soluções reais de cada equação a seguir:

a) x3 - 7x + 3 = 0

R: 3 soluções

b) x4 - 3x2 + 4x - 5 = 0

R: 2 soluções. c) senx = x3-3x+1

R: 3 soluções.

d) cosx = x4 - x

R: 2 soluções.

e) 10-x = log10x

R: 1 solução.

5 - Uma caixa retangular de base quadrada, tem volume 125 un3. Expresse a área A, de sua superfície total, como função da aresta x, de sua base. O volume da caixa retangular é o produto da área da base pela altura. A área da superfície total de uma caixa retangular é obtida pela soma das áreas de todas as suas faces.

x = medida da aresta da base h = altura V(x) = Ab(x)*h Ab(x) = x*x = x2 V(x) = x2*h

125 = x2*h ⇒ A área da superfície total da caixa é dada por: A = 2x2 + 4xh

6 - Considere o gráfico abaixo para responder as perguntas a seguir.

a.

Quantos zeros tem a função? Dê suas localizações aproximadas.

b.

Dê valores aproximados para f(2) e f(4)

c.

A função é crescente ou decrescente na vizinhança de x = -1? E na vizinhança de x = 3?

d.

O gráfico é côncavo para cima ou para baixo na vizinhança de x = 5? E na vizinhança de x = -5 ?

e.

Dê os intervalos (aproximados) onde a função é crescente.

a.

A função tem 5 zeros e suas localizações aproximadas são -5, 1, 3.5, 4.5 e 8.2.

b.

f(2) ≈ -7 e f(4) ≈ 2

c.

Próxima de x = -1 a função é decrescente e próxima a x = 3 ela é crescente.

d.

Na vizinhança de x = 5 o gráfico é côncavo para cima; na vizinhança de x = -5, ele é côncavo para baixo

e.

I1 = (-∞ ,-1); I2 = (2,4); I3 = (6.5, ∞ )

7 - Sabendo que a área de um terreno retangular pode ser expressa em função de sua largura x, por

, determine: a.

O domínio desta função, isto é, os valores de x que dão sentido real ao problema;

b.

A largura do terreno para a qual a área é máxima

Sugestão: construa uma tabela com os possíveis valores de x e a área correspondente a cada um.

a.

o domínio é o intervalo [0,30]

b.

a área máxima ocorre no vértice da parábola, isto é, a área máxima é a imagem da abscissa do vértice (xv = -b/2a = -30/(2(-1)) = 15).

8 - Esboce o gráfico de uma função definida para x ≥ 0 com as seguintes propriedades. (Existem várias respostas possíveis) a.

f(0) = 2

b.

f(x) é crescente para

c.

f(x) é decrescente para

d.

f(x) é crescente para x 3

ε.

f(x) → 5 quando x →∞

9 - Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos apresentados a seguir: ( 4 ) y = -x ( 2 ) y = x3 – 4x – 2 ( 5 ) y = - 28 + 34x – 9x2 ( 1 ) y = -x2+x-2 ( 6 ) y = x2 + 2 ( 3 ) y = 2x – 6

10 – Uma companhia descobre que o número médio de passageiros para um cruzeiro de jantar é 75 se o preço for de R$50 por pessoa. Ao preço de R$35, o número médio de passageiros é 120. a. Suponha que a curva de demanda seja uma reta. Escreva a demanda q, com função do preço p. b. Use sua resposta da parte (a) para escrever a receita R, como função do preço p. c. Use o gráfico da função receita para decidir qual preço deveria ser pedido para obter a maior receita. Solução: a) Dois pontos da reta são (p,q) = (50,75) e (p,1) = (35,120). A inclinação da reta é

Para achar o intercepto vertical da reta, usamos a inclinação e um dos pontos: 75 = b + (-3)(50) 225 = b A função demanda é q = 225 – 3p b) Como R = pq e q = 225 – 3p, vemo que R = p(225 – 3p) = 225p – 3p2. c) O gráfico da função receita é dado na figura abaixo, onde vemos que a receita máxima é obtida aproximadamente quando p = 37,5. Para maximizar a receita, a companhia deveria cobrar cerca de R$37,50.

Exercícios de Fixação 1- Se f(x) = x2 + 1, encontre: (a) f(t+1) (b) f(t2+1) (c) f(2) (d) 2 f(t) (e)[f(t)]2+1

2- Uma empresa de aluguel de automóveis oferece carros a R$40,00 por dia mais 15 centavos o quilômetro rodado. Os carros do seu concorrente estão a R$50,00 por dia e 10 centavos o quilômetro rodado. a.

Para cada empresa, obtenha uma fórmula que dê o custo de alugar o carro por um dia em função da distância percorrida.

b.

No mesmo sistema de eixos, esboce os gráficos de ambas as funções.

c.

Como você deve decidir que empresa está com o aluguel mais barato?

3 - Expresse a área de um quadrado como função de seu perímetro. 4 – Uma companhia de ração para cachorro verifica que seu lucro (em reais) é dado como uma função de p, o preço (por kilo) da ração (em centavos), por

a.

Esboce o gráfico da função lucro

b.

Aproximadamente que preço deve ser pedido para maximizar o lucro? Qual o lucro a esse preço?

c.

Para quais preços a função lucro é positiva?

5 – Um atacadista de produtos para esportes verifica que quando o preço de um produto é R$25, a companhia vende 500 unidades por semana. Quando o preço é R$30, 0 número vendido por semana decresce a 460 unidades. a.

ache a demanda, q, como função do preço, p, assumindo que a curva de demanda é linear.

b.

Use sua resposta da parte (a) para escrever a receita como função do preço

c.

Esboce um gráfico da função receita achada na parte (b). Ache o preço que maximiza o rendimento. Qual é a receita e esse preço?

6 – Um clube de saúde particular tem funções de custo e receita dados por C = 10000+35q e R = pq, onde q é o número de membros anuais do clube e p é o preço da anuidade. A função de demanda para o clube é q = 3000 – 20p. a.

Use a função de demanda para escrever custo e receita como funções de p

b.

Esboce gráficos de custo e rendimento em função de p, sobre os mesmos eixos. (Para obter uma boa visão dos gráficos, você pode usar o fato que o preço não passa de R$1790 e que o custo anual de manter o clube chega a R$120000.)

c.

Explique por que o gráfico da função receita tem a forma que tem.

d.

Para quais preços o clube tem lucro?

e.

Avalie a anuidade que maximiza o lucro. Marque esse ponto no seu gráfico.

LIMITE Palavra de uso comum no cotidiano, por exemplo, limite de velocidade, limite de peso de um lutador, limite de uma mola, etc. Exemplo: Suponhamos que uma mola se romperá apenas se lhe for apenso um peso de 10Kg ou mais. Para sabermos quanto a mola se distenderá sem romper, vamos anexando pesos cada vez maiores e medindo o comprimento (s) de cada peso (w). Matematicamente:

Exercício resolvido 1 - Ache o

x

0,9

0,99

0,999

1

1,1

1,01

1,001

F(x)

1,9

1,99

1,999

∉R

2,1

2,01

2,001

Como tanto pela direita quanto pela esquerda o limite vai para o mesmo valor, esse função tem limite e seu valor é 2.

Exercício de fixação

Função Racional Uma função racional é da forma

onde p e q são polinômios. O domínio de uma função racional é o conjunto de todos os números reais, com exceção daqueles que anulam o denominador (as raízes de q). O gráfico de uma função racional tem assíntotas(1) verticais nestes pontos em que o denominador se anula. Também, pode ter assíntotas horizontais, que ocorrem se f(x) se aproxima de um valor finito quando x → ∞ ou x → -∞ . O comportamento de uma função quando x →± ∞ é chamado limite no infinito.

Por exemplo, consideremos a função racional f, definida por

Na forma fatorada podemos escrever: sendo os zeros do

, de modo que podemos

identificar

como

denominador, ou seja:

•

é o seu domínio.

•

são as assíntotas verticais.

•

Se y = 0, então (x-2)(x+2) = 0 ou x = ± 2 , isto é, em x = ± 2 ocorrem as intersecções com o eixo x.

•

Se x = 0, temos y = 4, isto é, em y = 4 ocorre a intersecção com o eixo y.

•

Para ver o que acontece quando x → ± 10 , complete a tabela a seguir x

x

10

0.969697

-10

0.969697

100

0.9996999

-100

0.9996999

1000

0.9999970

-1000

0.9999970

No que f(x) se aproxima de 1 quando x assume valores muito grandes ou muito pequenos. Dizemos que "o limite de f(x) quando x tende a ± ∞ é 1" e escrevemos:

• •

A assíntota horizontal é, então, a reta definida por y = 1 Como vimos, f não está definida para x = 1. Podemos analisar o que ocorre com os valores de f quando x tem valores próximos de 1. Isto pode ser feito como acima, através de uma tabela de valores. Complete você, a tabela a seguir: x

f(x)

0.9

16.79

0.99

151.75

0.999

1501.75

0.9999

15001.75

Donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua esquerda, f(x) cresce indefinidamente e escrevemos:

lendo: " o limite de f(x) quando x tende a 1 pela esquerda é +∞ "

De forma análoga, investigamos o limite a direita. Vejamos: x

f(x)

1.1

-13.2857

1.01

-148.254

1.001

-1498.25

1.0001

-14998.25

Donde podemos concluir que, para valores próximos de 1, à sua direita, f(x) decresce indefinidamente e escrevemos:

lendo: o limite de f(x) quando x tende a 1 pela direita é - ∞ Graficamente, temos:

Recomendamos bastante atenção ao construir um gráfico de uma função com assíntotas verticais. A maioria dos softwares tem limitações, fornecendo, às vezes, resultados confusos, com os dois ramos da curva conectados. Por isso, fique "de olho" na função que está sendo analisada.

Exercícios Resolvidos

1 - Faça uma análise da função racional definida por , determinando seus zeros, pontos de intersecção com os eixos, assíntotas horizontais e verticais. Construa o gráfico de g e confirme sua análise.

•

Os zeros do denominador ou assíntotas verticais: x = ± 1 são assíntotas verticais.

•

Domínio:

•

Raízes da função são ou intersecção com o eixo x: g(x) = 0 , x2(x-2) = 0 , x - 2 = 0, x = 2

•

Intersecção com o eixo y: Se x = 0, g(x) = 0

•

Assíntotas horizontais (os valores de y quando x → ± 10 ) x

x

10

0.8979

-10

0.8979

100

0.98999

-100

0.98999

1000

0.998999

-1000

0.998999

Assíntota horizontal é a reta definida por y = 1

•

Limites

o limite quando x tende a infinito é um. x

f(x)

0.9

-46.895

0.99

-4974.38

0.999

-499749.38

0.9999

1.1

-51.86

1.01

-5024.37

1.001

-500249.37

1.0001

O limite quando x tende a ± 1 pela direita ou pela esquerda é - ∞

2 - Calcule o

e confirme seu resultado algébrica e graficamente.

=75

A função é contínua para todo x diferente de cinco. Costuma-se extender a função definindo-a em x = 5 como sendo igual a 75. Assim, a função passa a ser contínua em x = 5.

Exercícios de Fixação 1 – Para as funções racionais abaixo, determine, as intersecções com os eixos x e y, o domínio, todas as assintotas e esboçar o gráfico.

Função definida por partes Existem funções que em função da faixa de valores da variável independente tem um comportamento diferente. Por exemplo:

A função valor absoluto

é uma função definida por duas expressões.

Exemplos:

Exercícios Resolvidos

1 - A função degrau de Heavside, H, é definida por o

. Construa seu gráfico e determine

.

Como os limites laterais são diferentes, não existe limite, a função é descontínua 2 - Construa o gráfico da função h, definida por a.

Quais os zeros de h?

b.

Quais os valores de x que tornam h(x) um número positivo?

c.

Quais os valores de x que tornam h(x) um número negativo?

d.

Calcule o

Solução: primeiro caso:

segundo caso:

e responda às seguintes questões:

primeiro caso:

h(x)=x2 – 4 – 3 h(x) = x2 – 7 Portanto, h(x)= x2 – 7 se e somente se x2 – 4 ≥ 0 Ao invés de usarmos a inequação x2 – 4 ≥ 0, vamos indicar essa condição através de intervalos, utilizando o teste do intervalo: A inequação x2 – 4 ≥ 0 é válida no intervalo { x : -∞ < x ≤ -2 } U { x : 2 ≤ x < ∞ }= (-∞ ,-2] U [2, ∞ )

Segundo caso: x2 – 4 < 0 h(x)= -( x2 – 4 ) − 3 h(x)= - x2 + 1 Portanto, h(x) = - x2 + 1 se e somente se x2 – 4 < 0 Ao invés de usarmos a inequação x2 – 4 < 0, vamos indicar essa condição através de intervalos, utilizando o teste do intervalo: A inequação x2 – 4 < 0 é válida no intervalo { x :-2 < x <2 }= (-2, 2 ) Resumindo:

x

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

h(x)

18

9

2

-3

0

1

0

-3

2

9

18

a.

zeros de h(x): x2 – 7 = 0 x = ± 2,65

b.

-∞ < x ≤ -2,65 -1 ≤ x ≤ 1 2,65< x ≤ ∞

c.

–2,65 < x < -1

1 < x < 2,65 3 - Apesar de o avanço da tecnologia resultar na produção de calculadoras cada vez mais potentes e compactas, atualmente, o preço das mesmas baixou. Imagine que, daqui a x meses, o preço de certo modelo será reais.

de a.

Qual será o preço daqui a 5 meses?

b.

De quanto será a queda no preço durante o 5°ordm; mês?

c.

Quando o preço será de R$43,00?

d.

O que você observa em relação ao preço, à medida que o tempo passa?

a.

b.

c.

d.

P(1) = 55

P(7)=43,75 P(10)=42,727 P(12)=42,308 P(50)=40,59 P(100)=40,30

Portanto,

Exercícios de Fixação 1- Considerando a função H de Heavside, dada em aula, determine a função H(x-1) e construa seu gráfico.

2 - Represente graficamente a função g, definida por

Determine: a) g(-1) b) g(1) c)g(2,5) d) g(4) e) g(5)

3 - Suponha que o custo total para se fabricar q unidades de um certo produto seja dado pela função a.

Calcule o custo de fabricação de 20 unidades.

b.

Calcule o custo de fabricação da 20ªordf; unidade.

4 - Suponha que, às t horas da madrugada, a temperatura, em uma certa cidade, seja de graus centígrados. a.

Qual era a temperatura, às 14 horas?

b.

De quanto a temperatura aumentou ou diminuiu entre 18 e 21 horas?

5 - Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de milhares. a.

Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade?

b.

De quanto a população crescerá durante o 9ºordm; ano?

c.

Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população?

6 - Para estudar a taxa do nível de aprendizagem dos animais, um grupo de estudantes de psicologia fez uma experiência na qual um rato branco era colocado, repetidamente, em um labirinto. Os estudantes notaram que o tempo requerido para o rato percorrer o labirinto, na n-ésima tentativa, era de, aproximadamente, minutos. a.

Qual é o domínio da função?

b.

Para que valores de n, no contexto do problema, f(n) possui significado?

c.

Quanto tempo o rato gastou para percorrer o labirinto na 3ªordf; tentativa?

d.

Em que tentativa o rato percorreu o labirinto em 4 minutos ou menos?

e.

De acordo com a função f, aumentando-se ou diminuindo-se o número de tentativas, o que acontecerá com o tempo requerido para o rato percorrer o labirinto? O rato conseguirá percorrer o labirinto em menos de 3 minutos?

7 - Um estudo ambiental realizado em certa comunidade indica que o nível médio diário de partículas de poeira em suspensão no ar será de

unidades, quando a população for de p milhares de habitantes.

Estima-se que, daqui a t anos, a população seja de

mil pessoas.

a.

Exprima o nível de partículas de poeira no ar em função do tempo.

b.

Qual será o nível de partículas de poeira daqui a 3 anos?

c.

Quando o nível de partículas de poeira atingirá 5 unidades?

Funções Trigonométricas Os primeiros estudos sobre Trigonometria tiveram origem nas relações entre lados e ângulos num triângulo e datam de muito tempo. (Trigonon: triângulo e Metria: medição). Nosso objetivo principal, agora, é o estudo de funções trigonométricas. Podemos definí-las usando o círculo unitário, que é a definição que as torna periódicas ou com repetições. Essas funções são muito importantes, pois inúmeros fenômenos que ocorrem em nossa volta são periódicos: o nível da água em uma maré, a pressão sanguinea em um coração, uma corrente alternada, a posição da moléculas de ar transmitindo uma nota musical, todos flutuam com regularidade e podem ser representados por funções trigonométricas. Usaremos somente as três funções trigonométricas: seno, co-seno e tangente. Medidas de arcos de circunferência Usamos, basicamente, duas unidades de medidas para arcos de circunferência:

•

Grau

•

Radiano

Para relacionar o radiano com o grau, basta notar que o ângulo de uma volta mede 360 graus (360o) é 2π rd. (π = 3,14). 2π rd = 360º Portanto:

Definição 1: Considere um ângulo t, medido em radianos, num círculo de equação . Seu lado terminal intercepta o círculo num ponto P(x,y). O seno de t é definido como sendo a ordenada do ponto P e o co-seno de t é definido como sendo a abscissa do ponto P. Isto é: sen t = y e cos t = x Sobre o círculo abaixo, de raio 1, marque um ponto P e identifique o seno e o co-seno do ângulo que ele representa em cada um dos seguintes casos: a) P ∈ 1º quadrante b) P ∈ 2º quadrante c) P ∈ 3º quadrante d) P ∈ 4º quadrante

figura 1

a)

b)

c)

d)

Observe que à medida que o ponto P movimenta-se sobre o círculo, os valores de sent e cos t oscilam entre –1 e 1. Como consequência imediata da definição, temos que :

Veja, no mesmo sistema de eixos cartesianos, os gráficos das funções f e g, definidas, respectivamente, por f(t) = sent e g(t) = cos t. Identifique cada uma delas.

Figura 2

Observe que os valores máximos e mínimo do seno e do co-seno são +1 e –1. Depois do ponto P dar uma volta completa no círculo, os valores de cos t e sem t começam a se repetir; dizemos que essas funções são periódicas. A amplitude de uma oscilação é a metade da distância entre os valores máximo e mínimo. O período de uma oscilação é o tempo necessário para que a oscilação complete um ciclo. A amplitude de cos t e sen t é 1 e o período é 2π .

Exercícios Resolvidos

1 - Considere a função f, definida por

.

•

Determine, mostrando através de uma tabela, alguns pares ordenados de f.

•

Construa o gráfico de f e confirme os dados obtidos na tabela.

•

Qual o domínio da função f? Qual o valor de f(0) ?

•

Quais os valores de

•

Quais são os zeros de f ?

Domínio: D = R – {0} f(0) = indeterminado Cálculo dos limites: x

F(x)

-0,1

0,998

-0,01

0,99998

-0,001

0,9999998

0,1

0,998

0,01

0,99998

0,001

0,9999998

Como os limites laterais vão para o mesmo valor, a função tem limite e seu valor é 1. Cálculo dos zeros da função: Se, sen(x) = 0, então: X=0 X = ± π , ± 2π , ± 3π , ± 4π .,......, n π (n ∈ I)

2 -Relacione cada gráfico com a função que ele representa: a.

f(x) = 1 + senx

b.

g(x) = senx –2

c.

h(x) = sen (2x)

d.

l(x) = 2senx

e.

m(x) = 5sen2x

f.

n(x) = -

Qual a amplitude e o período de cada uma das funções?

Solução: M(x)

F(x)

L(x)

G(x)

N(x)

H(x)

F(x): A = 1 e p = 2π G(x): A = 1 e p = 2π H(x): A = 1 e p = π L(x): A = 2 e p = 2π M(x): A = 5 e p = π N(x): A = 5 e p = 4π

TANGENTE Definição : Consideremos

um número qualquer t, com cost ≠ 0. A função tangente é definida por

Geometricamente, a tangente representa a inclinação da reta que une os pontos O(0,0) e P (cost, sent). Volte a figura 1 e verifique!

•

Observe

o gráfico da função f, definida por f(t) = tgt, para responder as perguntas a seguir:

a.

Por quê o gráfico é "interrompido"? Em que pontos isto acontece? Como são chamadas as retas que passam por estes pontos?

b.

Qual o período da função tangente?

c.

Faz sentido falar sobre a amplitude da função tangente?

d.

Qual o valor do

e.

Quais são os zeros de f ?

? Quais são os "limites laterais", neste caso?

Solução: a.

o gráfico é interrompido nos pontos onde a função é descontínua, isto é, quando zera o denominador. As retas que passam por esses pontos são chamadas assíntotas verticais.

b.

O período da função tangente é π

c.

Não.

d. e.

Se, sen(x) = 0, então:

X=0 X = ± π , ± 2π , ± 3π , ± 4π .,......, n π (n ∈ I)

Exercícios de Fixação 1 – Associar cada gráfico a sua função: a.

f(x) = cosx + 2

b.

g(x) = 1 – cosx

c.

h(x) =

d.

l(x) =

e.

m(x) = 4cos2x

f.

n(x) =

()()

2 - Resolver os limites abaixo:

a)

b)

c)

3 - Qual a diferença entre senx2, sen2x e sen(senx) ? Apresente exemplos. 4 - Localize, no círculo trigonométrico, o ângulo de π /2 e determine o seno, o co-seno e a tangente do mesmo.

5 - Dado que

e

calcule as grandezas a seguir (sem usar calculadora). Você pode usar uma figura dos ângulos envolvidos. Só então, confirme os resultados na calculadora.

Relações Trigonométricas no Triângulo Retângulo Em algumas profissões as pessoas precisam, frequentemente, determinar distâncias inacessíveis. Vejamos alguns exemplos:

• • • • • •

O capitão de um navio situado nas proximidades do litoral, precisa saber a que distância se encontra da costa. Um topógrafo, situado na praia, precisa determinar a distância entre duas ilhas. Um engenheiro deve construir uma ponte de emergência sobre um rio, e, para tanto, necessita saber a largura do mesmo(sendo que não há condições, no momento, de atravessá-lo). Os gregos, há mais de 2000 anos, conseguiram determinar o raio da Terra (distância inacessível), por um processo incrivelmente simples. Os astrônomos precisaram, no passado, determinar a distância da Terra à Lua. Para fazer o mapa de determinada região, o cartógrafo necessita alguns dados que lhe são fornecidos pelo topógrafo. Um dos problema que este enfrentará é a determinação da altura do morro.

Estes e outros problemas podem ser resolvidos usando-se a noção de semelhança de triângulos. Esta maneira de se calcular distâncias, é muito antiga. A própria palavra Trigonometria se refere a esta idéia. Conta-se que Tales já a havia usado para determinar a altura de uma pirâmide egípcia. O episódio é relatado por Paulo Karlson, no livro A Magia dos Números, em que descreve como, na presença do rei Amasis, de Mileto (cidade da Ásia Menor), Tales determinou a altura da pirâmide real, sem escalar o monumento: ele cravou sua bengala no chão e a seguir mediu as sombras da bengala e da pirâmide (Tales soube escolher uma posição conveniente do Sol, para a qual a medição da sombra da pirâmide fosse simples). Valendo-se da semelhança de triângulos, Tales obteve a altura desejada. Com o passar do tempo, o método utilizado por Tales foi sendo aprimorado (observe que tal método não seria praticável num dia nublado, por exemplo) e as relações são dadas abaixo:

•

seno de

•

co-seno

•

um ângulo: o valor que se obtém dividindo o cateto poposto a ele, pela hipotenusa do triângulo. de um ângulo: o valor que se obtém dividindo o cateto adjacente a ele, pela hipotenusa do triângulo. tangente de um ângulo: o valor que se obtém dividindo o cateto oposto a ele, pelo cateto que lhe é adjacente.

Resumindo, dado um ângulo α , escrevemos:

Exercícios Resolvidos 1 - Dado um triângulo retângulo isósceles, cujos lados iguais têm medidas a, determine a medida da base, em função de a. Determine, agora: a.

sen45º

b.

cos 45º

c.

tg 45º

Solução: Triângulo isósceles: 2 lados e 2 ângulos iguais:

sen45º = 0,707 cos 45º = 0,707 tg 45º = 1

2 - Dado um triângulo equilátero cujos lados têm medida L, determine a medida de sua altura em função de L. Determine, agora: a.

sen60º

b.

cos 60º

c.

tg 60º

d.

sen30º

e.

cos 30º

f.

tg 30º

sen60º = 0,866 cos 60º = 0,5 tg 60º = 1,732 sen30º = 0,5 cos 30º = 0,866 tg 30º = 0,577 3 - Prove, usando o teorema de Pitágoras, que, se α e β são ângulos agudos de um triângulo retângulo, então,

Exercícios de fixação Resolva, usando as relações trigonométricas no triângulo retângulo, os seguintes problemas: 1 - Quais as medidas dos catetos de um triângulo cuja hipotenusa mede 4cm e um dos ângulos mede 30º? Resp.:

.

2 - Qual o comprimento da sombra de um poste de 5m no instante em que os raios solares estão formando um

ângulo de 60º com o solo? (Resp.:

)

3 - Em uma hora ensolarada, um bastão de 50cm projeta uma sombra de 30cm no solo. Na mesma hora uma árvores projeta sobre o chão uma sombra de 5m. Qual é a altura da árvore? (Resp.:

).

4 - Uma pessoa cujos olhos distam 170cm do chão afasta-se 2m de um poste e passa a ver sua extremidade sob um ângulo de 60º em relação à horizontal. Qual é a altura do poste? (Resp.:

).

5 - Um técnico dispõe de um teodolito de 1,5m de altura. Apontando esse teodolito contra o topo de um edifício, registra um ângulo de 60º. Afastando-se 100m, registra 30º. Qual é a altura do edifício? Resp.:

6 - Sabendo que

, obtenha senα e tgα . ( Resp.:

7 - Classifique cada uma das proposições seguintes como verdadeira (V) ou falsa (F): ( ) Qualquer que seja o ângulo agudo α , cosα senα ( ) Para todo ângulo agudo α , senα cosα ( ) Para todo ângulo agudo α , tgα cosα ( ) Para todo ângulo agudo α , tgα senα ( ) Não existe ângulo agudo α , tal que cosα = 1000 ( ) Existe ângulo agudo α , tal que cosα = 5 ( ) Se α = 45ºordm;, então senα = cosα

.

).

8 - Observando o gráfico abaixo, determine: a) tgα

9 - Num triângulo ABC, retângulo em A, sabe-se que se β = 0,8 radianos e que a altura relativa à hipotenusa mede 4,8cm. Determine o perímetro desse triângulo (Resp.: 24cm) 10 - Uma escada está encostada numa parede formando um ângulo de 60ºordm; com o chão. Se a escada tem 20m de comprimento, que altura ela atinge? (Resp.:

)

11 - Uma estrada tem inclinação de 70%, isto é, eleva-se 70m a cada 100m. Calcule a medida do ângulo de inclinação dessa estrada. (Sugestão: Construa um triângulo retângulo de catetos 7cm e 10cm e utilize as relações trigonométricas adequadas). 12 - Um posto telegráfico é fixado ao solo por um cabo que forma um ângulo de 54ºordm; com o chão. A distância entre as extremidades inferiores do poste e do cabo é de 30m. Determine a mediada da altura do poste. (Dados:

)

13 - Mostre que: a) cos (90º-α ) = senα b) sen(90º-α ) = cosα Sugestão: Construa um triângulo retângulo qualquer e utilize as relações trigonométricas adequadas.

Função Exponencial Estamos habituados com funções de variáveis elevadas à uma potência constante, como: f(x)=x2, f(x) = 5x3, etc. Se ocorrer o inverso, isto é, um número elevado a uma potência variável, caímos em uma classe de funções chamadas funções exponenciais, por exemplo: f(x) = 2x, 32x, 10x, etc.

Definição F(x) = C a kx C = valor inicial K = constante de proporcionalidade a = base (a>0 e a ≠ 1) Exemplo: F(x) = 5 (2)x C = 5, a = 2, k = 1

Propriedades dos Expoentes

Gráfico de funções exponenciais com a >1 F(x) = ax (base > 1)

Crescimento exponencial

(0
decaimento exponencial

A Função Exponencial Geral de base a f(x) = C akx onde Cé

o valor inicial (quando x = 0)

aé

o fator pelo qual f(x) varia quando x cresce em 1 unidade

k = constante de proporcinalidade x = variável independente

Função Exponencial de base e f(x) = C ekx onde Cé

o valor inicial (quando x = 0)

aé

o fator pelo qual f(x) varia quando x cresce em 1 unidade

k = constante de proporcinalidade x = variável independente O número e vale 2,718281828, sendo considerada a base natural do cálculo, facilitando bastante o estudo da derivada de funções exponenciais.

Exercício Resolvidos

1 - Crescimento Populacional

Considere os dados para a população do México no início da década de 80, apresentados na Tabela 1. Para observar como a população está crescendo, você pode olhar para o crescimento da população ano a ano como mostra a terceira coluna. Se a população estivesse crescendo linearmente, todos os números da terceira coluna seriam iguais. Mas as populações costumam crescer mais rapidamente, à medida que ficam maiores, pois há mais pessoas para terem filhos. Assim, você não deveria ficar surpreso ao ver os números da terceira coluna crescendo. População do México (estimada), 1980 - 1986 Ano

População (milhões)

Variação da população (milhões)

1980

67,38

1,75

1981

69,13

1,80

1982

70,93

1,84

1983

72,77

1,89

1984

74,66

1,94

1985

76,60

1,99

1986

78,59 Tabela 1

Suponha que dividamos a população de cada ano pela população do ano anterior. Obtemos, aproximadamente,

O fato de ambos os cálculos darem 1,026 mostra que a população cresceu em, aproximadamente 2,6% entre 1980 e 1981. Se você fizer cálculos semelhantes em outros anos, descobrirá que a população cresceu um fator de aproximadamente, 1,026 ou 2,6% a cada ano. Sempre que se tem um fator de crescimento constante (aqui, no caso, 1,026), tem-se crescimento exponencial. Se t é o número de anos desde 1980, Quando t = 0, população = 67,38 = 67,38 (1,026)0 Quando t = 1, população = 69,13 = 67,38 (1,026)1 Quando t = 2, população = 70,93 = 69,13 (1,026) = 67,38(1,026)2 Quando t = 3, população = 72,77 = 70,93 (1,026) = 67,38(1,026)3

Logo, t anos após 1980, a população é dada por (1) A função definida em (1) é uma função exponencial com base 1,026. É chamada de exponencial porque a variável t está no expoente. Aqui, a base representa o fator pelo qual a população cresce a cada ano. Se considerarmos que a fórmula permanecerá válida durando os próximos 50 anos, mais ou menos, a população terá a forma mostrada no gráfico abaixo. Como o número de habitantes está crescendo, a função é crescente. Observe, também, que a população cresce cada vez mais rápidos a medida que o tempo passa. Esse comportamento é típico de funções exponenciais. Compare isto com o comportamento de uma função linear, que cresce sempre com a mesma taxa e, por isso mesmo, tem uma reta como gráfico. Como o gráfico da função exponencial é voltado para cima, dizemos que ele é côncavo para cima. Mesmo as funções exponencial que crescem lentamente no início, como esta, tendem a crescer eventualmente com extrema rapidez. É por isso que crescimento exponencial de populações é uma ameaça para o futuro. Eis o gráfico da função definida em (1).

Mesmo que os dados sejam confiáveis, o gráfico suave, acima é, na verdade, somente uma aproximação do gráfico real da população do México. Como não podemos Ter frações de pessoas, o gráfico deveria, de fato, ser cheio de saltos, saltando de uma unidade, para cima ou para baixo, cada vez que alguém nasce ou morre. Porém, com a população na casa dos milhões, os saltos são tão pequenos que se tornam invisíveis na escala que estamos usando. Portanto, o gráfico suave é uma aproximação extremamente boa.

2 - Supondo que a população do México continue a crescer exponencialmente, com o mesmo fator de crescimento inicial, faça uma previsão para a mesma no ano: a.

2007

b.

2034

c.

2061

3 - Removendo Poluentes de Combustível de Jatos

Veremos, agora, um exemplo onde uma quantidade diminui em vez de aumentar. Antes que o querosene possa ser usado como combustível de jatos, regulamentações do governo americano exigem que os poluentes sejam removidos, passando o querosene através da argila. Vamos supor que a argila esteja no interior de um tubo e que cada metro de tubo remove 20% dos poluentes que entram nele. Logo, cada metro de tubo não retira 80% dos poluentes. Se P0 é a quantidade inicial de poluentes e se p = f(n) é a quantidade de poluentes que ainda permanece após n metros de tubulação: f(0) = P0 f(1) = (0,8) P0 f(2) = (0,8)(0,8)P0 = (0,8)2P0 f(3) = (0,8)(0,8)2P0 = (0,8)3P0 e então, após n metros,

Neste exemplo, n precisa ser não-negativo. Entretanto, a função de decaimento exponencial

faz sentido para todo x real.

4 - Complete a tabela de valores da função de decaimento exponencial, sugerida abaixo, com P0 = 1 e, a seguir, tente obter o seu gráfico, como na figura (2)

Observe o modo como a função da figura (2) está decrescendo: cada passo para baixo é menor do que o anterior. Isso acontece porque, à medida que o querosene vai ficando mais limpo, existe menos sujeira para se remover e, então, cada metro de argila retira menos poluentes do que o anterior. Compara com o crescimento exponencial da figura (1), onde cada passo é maior do que o anterior. Note, no entanto, que ambos são côncavos para cima.

5 - Responda: Por que não queremos

?

Para reconhecer se uma função p = f(t), dada por valores em tabela, é uma exponencial, procure identificar razões constantes de valores em p para valores em t igualmente espaçados. Lembre que no caso da função linear, identificamos diferenças constantes de valores em p para valores em t igualmente espaçados.

6 - Cada função da tabela 2 é decrescente, mas cada uma decresce de um modo diferente. Qual dos gráficos da figura 3 melhor se ajusta a cada função? x 1

F(x)

G(x)

H(x)

100

22

9,3

2

90

21,4

9,1

3

81

20,8

8,8

4

73

20,2

8,4

5

66

19,6

7,9

6

60

19

7,3

Tabela 2

Testando a função linear para G(x):

Testando a função exponencial para F(x), calculando a base:

a1 = 60/66 = 0,909

Função Logarítmica No exemplo dado anteriormente sobre a população do México, obtivemos uma função que aproximava a população (em milhões), dada, em (1) por (1) onde t é o número de anos desde 1980. Escrevendo a função desta forma, mostrra que estamos pensando na população como uma função do tempo. Agora, suponhamos que, em vez de calcular a população, queiramos saber quando é que a população deve atingir 100 milhões. Isso significa que queremos encontrar o valor de t para o qual (5) Poderíamos, então, aproximar o valor de t por tentativa e erro. Porém, a função logarítmica nos permitirá calcular este valor.

Função Logarítmica comum: base 10

Função Logarítmica Natural ou Neperiana: base e O logaritmo de base "e" é chamado logaritmo natural ou neperiano e é denotado por "ln". Definimos a função logaritmo natural por

Observações: ln (1) = 0 ln (e) = 1 ln (1/e) = -1 ln (e)x = x ln(x) ∈ R, se x>0 e0 = 1 e1 = e e-1 = 1/e eln(x) = x

Gráfico da função ln (x) Obtenha os gráficos da função logaritmo natural e de sua inversa.

gráfico 1 = y(x) = ln (x) gráfico 2 = y(x) = ex

Propriedade dos logarítmos

Relação entre logarítmo de base a e logaritmo natural:

Exercício Resolvido Relacione as seguintes fórmulas com os gráficos dados: a.

y = tgx

b.

y = 2x+1

c.

y = 1 - 2-x

d.

y = 1 - x2

e.

y = 2-xsenx

f.

y = log(x+1)

g.

y = 2cosx

h.

y = x3 - x2 - x + 1

i.

y = 1 + cos x

Solução: A

D

B

G

I

E

C

H

F

Exercícios de fixação 1)

a.

Considere a função logarítmica, definida por y = log2x. Obtenha alguns de seus pares ordenados e complete a tabela 3, abaixo. A seguir, construa seu gráfico.

b.

Considere agora, a função exponencial, definida por y = 2x. Obtenha alguns de seus pares ordenados, completando a Tabela 4, abaixo. A seguir, construa seu gráfico.

c.

Finalmente, obtenha os dois gráficos no mesmo sistema e eixos. Observe que há uma relação entre ambos: são simétricos em relação à bissetriz do 1° e 3º quadrantes, que é a reta dada por y = x.

Obtenha-a no mesmo gráfico e verifique a última afirmação.

Tabela 3

Tabela 4 2) Resolva a equação dada para crescimento populacional e determine quando a população do México deve atingir 100 milhões, aproximadamente, supondo que a mesma era de 67,38 milhões em 1980 e estava crescendo a uma taxa de 2,6% ao ano.

3) Qual é maior: log57 ou log83 ? 4) Relacione as funções da Tabela 5 com as fórmulas:

onde a,b e c são constantes, e os valores das funções foram arredondados.

S

h(s)

s

f(s)

s

g(s)

2

1,06

1

2,20

3

3,47

3

1,09

2

2,42

4

3,65

4

1,13

3

2,66

5

3,83

5

1,16

4

2,93

6

4,02

6

1,19

5

3,22

7

4,22

Tabela 5

5- Encontre uma fórmula que se ajuste às funções representadas pelos dados:

X

0

1

2

3

f(x)

4,3

6,02

8,43

11,8

T

0

1

2

3

G(t)

5,5

4,4

3,52

2,82

6 - O tempo médio entre chamadas em uma mesa telefônica é de três minutos. Imediatamente após uma chamada, a probabilidade de que a próxima ocorra dentro dos próximos t minutos é dada por

Encontre: (a) P(1/2) (b) P(2) (c) P(5) 7 - Um determinado carro faz 11 quilômetros por litro, a velocidade de até 80Km/h. A velocidades maiores do que 80Km/h, o número de quilômetros por litro cai a uma taxa de 7,5% para cada 10Km/h. Se s é a velocidade (em quilômetros por hora) e y é o número de quilômetros por litro, então

Use essa função para completar a tabela a seguir:

Velocidade (s)

80

85

90

95

Quilômetros por litro (y) 8 - A população em uma cultura de bactérias é dada pela função logística de crescimento

onde y é o número de bactérias e t é o tempo em dias. a.

Encontre o limite desta função quando t tende ao infinito

b.

Esboce o gráfico dessa função.

9 - Dada a função

100

a.

esboçar o gráfico de f

b.

achar todas as assíntotas horizontais

c.

encontrar

(se existir)

10 - O que acontece com o valor de y = x4 quando x→ +∞ ? E quando x→ - ∞ ?