Mat Funcoes

Cap´ıtulo 1

Fun¸ c˜ oes reais 1.1 1.1.1

Conjuntos num´ ericos Defini¸c˜ ao

• Conjunto de N´ umeros Inteiros positivos ou Naturais; N = {1, 2, 3, . . .} ; • Conjunto de N´ umeros Inteiros negativos; N− = {-1, -2, -3, . . .} ; • A uni˜ ao do conjunto dos N´ umeros Inteiros positivos com os negativos e o zero, define o conjunto dos N´ umeros Inteiros; Z = {. . . -3, -2,-1, 0, 1, 2, 3 . . .}; • N´ umeros da forma m ao chamados frac¸c˜oes e formam o conjunto dos n´ umeros n s˜ racionais:  , m, n ∈ Z ∧ n = 6 0 ; Q= x:x= m n √ • Conjunto de N´ umeros Irracionais (Q0 ) incluem n´ umeros tais como: 2 = 1, 414 . . . ; π = 3, 14 . . . ; e = 2, 71 . . . , etc. • Conjunto de N´ umeros Reais: R = Q ∪ Q0 ;

1.1.2

Propriedades

No conjunto de N´ umeros Reais a adi¸c˜ao e a multiplica¸c˜ao satisfazem os seguintes axiomas:   existe um e um s´o n´ umero real chamado soma, tal que: a + b 1. Se a e b ∈ R, existe um e um s´o n´ umero real chamado produto, tal que: a · b 2. Comutatividade: Se a e b ∈ R, a + b = b + a ∧ a · b = b · a 3. Associatividade: Se a , b e c ∈ R, a + (b + c) = (a + b) + c ∧ a · (b · c) = (a · b) · c 4. Distributividade: Se a , b e c ∈ R, a · (b + c) = (a · b) + (a · c) 1

5. Existˆencia de Elementos Neutros: ∃ 0 e 1 ∈ R : a + 0 = a ∧ a · 1 = a, ∀ a ∈ R 6. Existˆencia de sim´etricos: ∀ a ∈ R, ∃ (−a) ∈ R : a + (−a) = 0 7. Existˆencia de Inversos: ∀ a ∈ R, ∃ a1 (a 6= 0) ∈ R : a ·

1 a

=1

8. Subtrac¸c˜ ao: Se a e b ∈ R, a − b = a + (−b)
9. Divis˜ ao: Se a e b ∈ R, ∧ b 6= 0, ab = a · 1b

1.2

Desigualdades

Axioma de Ordem No conjunto dos n´ umeros reais existe um subconjunto denominado de n´ umeros positivos: 1. se a ∈ R, uma das trˆes afirma¸c˜oes ocorre: a = 0 ∨ a ´e positivo ∨ − a ´e positivo; 2. a soma de dois n´ umeros positivos ´e positiva; 3. o produto de dois n´ umeros positivos ´e positivo. Defini¸ c˜ ao O n´ umero real a ´e negativo se e s´o se −a ´e positivo. Desigualdades Estritas Os simbolos < (menor que) e > (maior que) s˜ao definidos: 1. a < b ⇔ b − a > 0; 2. a > b ⇔ a − b > 0 Desigualdades n˜ ao Estritas Os simbolos ≤ (menor ou igual que) e ≥ (maior ou igual que) s˜ao definidos: 1. a ≤ b ⇔ a < b ∨ a = b; 2. a ≥ b ⇔ a > b ∨ a = b.

2

Propriedades Sejam a, b, c e d ∈ R, 1. Se a > b ∧ b > c ⇒ a >c; 2. Se a > b ∧ c > 0 ⇒ ac > bc; 3. Se a > b ∧ c < 0 ⇒ ac < bc; 4. Se a > b ⇒ a + c > b+c, ∀ c ∈ R; 5. Se a > b ∧ c > d ⇒ a + c > b + d; 6. Se a > b > 0 ∧ c > d > 0 ⇒ ac > bd, ∀ c ∈ R;

1.3

Valor Absoluto

Defini¸ c˜ ao O valor absoluto de a, |a|, ´e definido como:  

|a| = a,

se a ≥ 0

 |a| = −a,

se a < 0

Interpreta¸ c˜ ao Geom´ etrica O m´odulo de a representa a distˆ ancia entre a e 0, tal que: |a| = Propriedades 1. |x| < a ⇔ −a < x < a ⇔ −a < x e x < a, com a > 0 2. Se a e b ∈ R, |a · b| = |a| · |b| a |a| 3. Se a e b ∈ R ∧ b 6= 0, = b |b| 4. Desigualdade triangular: Se a e b ∈ R, |a + b| ≤ |a| + |b| 5. Se a e b ∈ R, |a − b| ≤ |a|+|b| 6. Se a e b ∈ R, |a| − |b| ≤ |a − b|

3

√

a2

1.4

Intervalos

Intervalos s˜ ao conjuntos infinitos de n´ umeros reais. • Intervalo Aberto: {x : a < x < b} = (a, b) =]a, b[ • Intervalo Fechado: {x : a ≤ x ≤ b} = [a, b] • Intervalo Fechado ` a Direita e Aberto ` a Esquerda: {x : a < x ≤ b} = (a, b] =]a, b] • Intervalo Aberto ` a Direita e Fechado ` a Esquerda: {x : a ≤ x < b} = [a, b) = [a, b[ • Intervalos Infinitos: 1. {x : x > a} = (a, +∞) =]a, +∞[ 2. {x : x ≥ a} = [a, +∞) = [a, +∞[ 3. {x : x < a} = (−∞, a) =] − ∞, a[ 4. {x : x ≤ a} = (−∞, a] =] − ∞, a] Exemplo 1.1 3 + 7x < 8x + 9 ⇔ −x < 6 ⇔ x > −6 ⇔ x ∈ {x : x > −6} ⇔ x ∈] − 6, +∞[ Exemplo 1.2 |5x − 3| = 7 ⇔ 5x − 3 = 7 ∨ 5x − 3 = −7 ⇔ 5x = 10 ∨ 5x = −4 ⇔ x = 2 ∨ x = − 54 Exemplo 1.3 7−2x 4+x ≤ 2 ⇔

|7−2x| |4+x|

≤ 2 ⇔ |7 − 2x| ≤ 2 |4 + x| Elevar ambos os lados ao quadrado:
(7 − 2x)2 ≤ 22 (4 + x)2 ⇔ 49 − 28x + 4x2 ≤ 4 16 + 8x + x2 15 ⇔ −60x − 15 ≤ 0 ⇔ x ≥ − 60 ⇔ x ∈ [−1/4, +∞[

1.5 1.5.1

Fun¸ c˜ oes Defini¸c˜ oes

Uma fun¸c˜ ao associa elementos de um conjunto a elementos de outro conjunto. As fun¸c˜ oes definidas em R com valores em R s˜ao chamadas fun¸c˜oes reais de vari´avel real.

4

Defini¸ c˜ ao Sejam A e B subconjuntos de R. Uma fun¸c˜ao f : A→B ´e uma lei ou regra que a cada elemento de A faz corresponder um u ´ nico elemento de B. O conjunto A ´e chamado Conjunto de partida de f . O conjunto B ´e chamado Conjunto de chegada de f . O Dom´ınio de f ´e o conjunto de todos os elementos de A para os quais a fun¸c˜ao f est´a definida (ou seja que tˆem um elemento associado em B), e ´e denotado Df . Exemplo 1.4

Sejam A = {1, 2, 3, 4} e B = {2, 3, 4, 5}. Definimos a fun¸c˜ao g como,

g : A −→ B x

7−→ x + 1

Podemos representar g com um diagrama:

1

X2

X

3

2 X

X

3 X

X4

4X

Exemplo 1.5

X5

Sejam A = {3, 4,5} e B = {1,2} e f a fun¸c˜ao,

f : A −→ B x

7−→ x − 3

Podemos representar f com um diagrama:

3X

X 1

4 X X 2

5X Nota: O Dom´ınio de f ´e Df = {4, 5}

5

Imagem: dado x ∈ A, o elemento f (x) ∈ B ´e chamado o valor da fun¸c˜ao f no ponto x ou imagem de x por f . Conjunto Imagem ou Contradom´ınio de f : ´e o conjunto de todos os valores assumidos pela fun¸c˜ ao e ´e denotado por Im(f ), If ou Df0 . Uma fun¸c˜ ao f : A→B ´e dita Injectiva se elementos diferentes no dom´ınio tˆem imagens distintas, tal que: f ´e Injectiva se e s´o se f (a) = f (b) ⇒ a = b. Equivalentemente, podemos dizer que f ´e injectiva se e s´o se a 6= b ⇒ f (a) 6= f (b). Uma fun¸c˜ ao f : A→B ´e dita Sobrejectiva se todo o b ∈ B ´e imagem de algum a ∈ A logo, f ´e sobrejectiva se e s´o se Im(f ) = B. Uma fun¸c˜ ao ´e Bijectiva se f for injectiva e sobrejectiva. Exemplo 1.6 a) f (x) =

Determinar o dom´ınio e o contradom´ınio das fun¸c˜oes abaixo:

1 x

Esta fun¸c˜ ao n˜ ao ´e definida para x = 0, logo Df = R \ {0}; O contradom´ınio ´e If = R \ {0} √ b) f (x) = x Esta fun¸c˜ ao n˜ ao ´e definida para x < 0, logo Df = R+ 0 = [ 0, +∞ [ ; O contradom´ınio ´e If = [ 0, +∞ [ √ c) f (x) = − x − 1 Esta fun¸c˜ ao n˜ ao ´e definida para x < 1, logo Df = [ 1, +∞ [ ; O contradom´ınio ´e If = ]−∞, 0 ]

1.5.2

Opera¸c˜ oes

Dadas as fun¸c˜ oes f e g, podemos realizar as seguintes opera¸c˜oes: 1. Soma: (f + g) (x) = f (x) + g (x) 2. Diferen¸ ca: (f − g) (x) = f (x) − g (x) 3. Produto: (f · g) (x) = f (x) · g (x)   f f (x) 4. Quociente: (x) = g g (x) Os dom´ınios das fun¸c˜ oes f + g, f − g e f · g s˜ao a intersec¸c˜ao dos dom´ınios f e g. O dom´ınio de fg ´e a intersec¸c˜ao dos dom´ınios f e g, excluindo os valores de x onde g(x) = 0. 6

Exemplo 1.7

Sejam f (x) =

√

5 − x e g(x) =

√

x − 3.

Os dom´ınios destas fun¸c˜ oes s˜ao Df = ]−∞, 5 ] e Dg = [ 3, +∞ [ . As quatro opera¸c˜ oes ficam, √ 5 − x+ x − 3 com o dom´ınio Df +g = [ 3, 5 ] . √ √ • (f − g) (x) = f (x)−g (x) = 5 − x− x − 3 com o dom´ınio Df −g = [ 3, 5 ] . p • (f · g) (x) = f (x) · g (x) = (5 − x)(x − 3) com o dom´ınio Df ·g = [ 3, 5 ] . • (f + g) (x) = f (x)+g (x) =

• ( fg )(x) =

f (x) g(x)

√ √5−x x−3

=

√

com o dom´ınio D f = ]3, 5 ] . g

5. Se f ´e uma fun¸c˜ ao e k ´e um n´ umero real, definimos kf por: (kf ) (x) = k × f (x). O dominio de kf ´e o dominio de f . 6. Fun¸ c˜ ao Composta Dadas as fun¸c˜ oes f e g, a fun¸c˜ao composta de g com f , denotada por g ◦ f , ´e definida por: (g ◦ f ) (x) = g (f (x)). f

g

g ◦ f : x −−→ f (x) −−→ g(f (x)). O dom´ınio de g ◦ f ´e o conjunto de todos os pontos do dom´ınio de f tais que f (x) pertence ao dom´ınio de g: Dgof = {x : x ∈ Df e f (x) ∈ Dg }. √ Exemplo 1.8 Sejam f (x) = x e g(x) = x − 1 √ √ Temos ent˜ ao (g ◦ f )(x) = g( x) = x − 1. + Df = {x : x ≥ 0} = R+ 0 e If = R0 , enquanto que Dg = R. Como If ⊂ Dg o dom´ınio da fun¸c˜ao composta fica Dg◦f = Df = R+ 0. √ Exemplo 1.9 Sejam f (x) = 2x − 3 e g(x) = x. Df = If = R e Dg = Ig = {x : x ≥ 0} = R+ 0. √ • (g ◦ f )(x) 3) =3 2x − 3 e o dom´ınio fica  = g(2x3− Dg◦f = x : x ≥ 2 = [ 2 , +∞ [ . √ √ • (f ◦ g)(x) = f ( x) = 2 x − 3 e o dom´ınio fica Df ◦g = R+ 0. • (f ◦ f )(x) = f (2x − 3) = 2(2x − 3) − 3 = 4x − 9 com o dom´ınio Df ◦f = R. p√ √ √ x = 4 x com o dom´ınio Dg◦g = R+ • (g ◦ g)(x) = g( x) = 0.

1.6 1.6.1

Exemplos de fun¸c˜ oes Gr´ aficos

Seja f (x) uma fun¸c˜ ao. O gr´ afico de f ´e o conjunto de todos os pontos (x, f (x)) = (x, y) de um plano coordenado. O gr´ afico de uma fun¸c˜ao ´e ent˜ao representado pela curva y = f (x). 7

plano coordenado: y

6 5 4

y = f (x)

3 2 1

−2

−1

0

1

2

3

4

5

6

−1

x

−2

1.6.2

Fun¸c˜ oes comuns

1. Fun¸ c˜ ao Constante: f (x) = k, com k ∈ R constante. Df = R e If = {k}. Ordenada na origem: f (0) = k. Exemplo 1.10

f (x) = 2 y 3

y=2 2 1

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

x −1

2. Fun¸ c˜ ao Identidade: f (x) = x Df = R e If = R 4

y

3

y=x

2 1

−4

−3

−2

0

−1 −1

1

2

3

4

x

−2 −3 −4

8

3. Fun¸ c˜ ao Linear: f (x) = ax + b (com a 6= 0). Df = R e If = R Recta com declive a. Se a > 0 a recta ´e crescente, e se a < 0 a recta ´e decrescente. Ordenada na origem: f (0) = b Se tivermos dois pontos de uma recta, (x1 , y1 ) e (x2 , y2 ) podemos calcular o 1 declive da recta com a = xy22 −y ao ser −x1 . O valor da ordenada na origem pode ent˜ obtido por b = y1 − ax1 . f (x) = 2x + 3

Exemplo 1.11 y

4 3 2

y = 2x + 3

1

−4

−3

−2

0

−1

1

2

3

4

x

−1 −2 −3 −4

4. Fun¸ c˜ ao M´ odulo: f (x) = |x| Df = R e If = R+ 0 Ordenada na origem: f (0) = 0 5

y

4

y = |x| 3 2 1

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

4

x

−1

5. Fun¸ c˜ ao Quadr´ atica: f (x) = ax2 + bx + c (com a 6= 0). Df = R O gr´ afico de uma fun¸c˜ ao quadr´atica ´e uma par´abola. Se a > 0 a par´abola est´a voltada para cima. Se a < 0 a par´abola est´a voltada para baixo. Ordenada na origem: f (0) = c 9

A intersec¸c˜ ao da par´ abola com o eixo dos x pode-se obter calculando as ra´ızes (valores de x onde a fun¸c˜ ao ´e zero). Para isso podemos usar a f´ormula resolvente. Primeiro calculamos o discriminante ∆ = b2 − 4ac. • Se ∆ < 0 n˜ ao existem ra´ızes e a fun¸c˜ao n˜ao intersecta o eixo dos x. A fun¸c˜ ao ´e sempre positiva (se a > 0) ou sempre negativa (se a < 0). b . • Se ∆ = 0 a fun¸c˜ ao intersecta o eixo dos x num u ´nico ponto x = − 2a

• Se ∆ > 0 a fun¸c˜ ao intersecta o eixo dos x em dois pontos x = x=

√ −b− ∆ . 2a

Exemplo 1.12

√ −b+ ∆ 2a

e

f (x) = 2x2 + 2x − 4

y = 2x2 + 2x − 4 10

y

8 6 4 2 −4

−3

−2

−1

0

1

2

x −2 −4

6. Fun¸ c˜ ao Polinomial: f (x) = an xn + an−1 xn−1 + . . . + a1 x + a0 . an , an−1 , . . . , a0 s˜ ao os coeficientes do polin´omio e n ´e o grau do polin´omio. Df = R. O gr´ afico de uma fun¸c˜ao polinomial ´e uma curva que pode apresentar pontos de m´ aximos e m´ınimos. n=0

Fun¸c˜ ao constante: f (x) = a0

n=1

Fun¸c˜ ao linear: f (x) = a1 x + a0

n=2

Fun¸c˜ ao quadr´ atica: f (x) = a2 x2 + a1 + a0

n=3

Fun¸c˜ ao c´ ubica: f (x) = a3 x3 + a2 x2 + a1 x + a0

p(x) onde p(x) e q(x) s˜ao polin´omios. q(x) Df = {x ∈ R : q(x) 6= 0} = R \ {x : q(x) = 0}.

7. Fun¸ c˜ ao Racional: f (x) =

Exemplo 1.13

f (x) =

x−1 x+1

Df = R \ {−1} 10

y 8 6 4

y=

x−1 x+1

4

6

2 0 −8

−6

−4

−2

2

8

x

−2 −4 −6 −8

1.6.3

Fun¸c˜ ao inversa

Se f ´e uma fun¸c˜ ao injectiva (ou seja, se para cada imagem y existe um u ´nico valor de x tal que f (x) = y), ent˜ ao existe a fun¸c˜ao inversa de f que se representa por f −1 . Temos ent˜ ao, y = f (x) ⇔ x = f −1 (y). Ou seja, se f ´e uma fun¸c˜ ao injectiva, temos f : A −→ B x

e

f −1 : B −→ A

7−→ f (x) = y

y

7−→

f −1 (y)

(1.1) =x

Nota 1: O dom´ınio de f −1 ´e o contradom´ınio de f , e vice-versa. Ou seja, Df −1 = If e Df = If −1 . Nota 2: A nota¸c˜ ao para inversa, f −1 , n˜ao deve ser confundida com a nota¸c˜ao da 1 = (f (x))−1 potˆencia −1 de uma fun¸c˜ ao, f −1 (x) n˜ ao ´ e o mesmo que f (x) Exemplo 1.14

f (x) = 2x − 5

y = 2x − 5 ⇔ x =

y+5 2

e a fun¸c˜ao inversa de f ´e f −1 (x) =

x+5 2 .

Exemplo 1.15 f (x) = x2 A fun¸c˜ ao f (x) = x2 n˜ ao ´e uma fun¸c˜ao injectiva (por exemplo 32 = (−3)2 = 9). Mas se definirmos a fun¸c˜ ao s´ o para valores positivos de x, g : R+ −→ R+ 0 0 x

7−→ x2

obtemos uma fun¸c˜ ao injectiva que tem por isso uma inversa, a fun¸c˜ao ra´ız quadrada: g −1 : R+ −→ R+ 0 0 √ x 7−→ x

11

3

y

y=

√

x

2

1

0

−1

1

2

3

4

5

x −1

1.6.4

Exponencial e Logaritmo

Fun¸ c˜ ao Exponencial f (x) = ex onde e ≈ 2,718 . . . ´e a constante de Neper (ou n´ umero de Euler). O dom´ınio de f ´e Df = R. O contradom´ınio de f ´e If = R+ , ou seja ex > 0. A exponencial nunca ´e igual a zero. A fun¸c˜ ao exponencial ´e uma fun¸c˜ao crescente e bijectiva. A ordenada na origem ´e f (0) = e0 = 1, e o valor em x = 1 ´e f (1) = e1 = e, o pr´oprio n´ umero e. A fun¸c˜ ao exponencial tem propriedades semelhantes `a potˆencia de um n´ umero, nomeadamente Com x e y ∈ R, • ex · ey = ex+y • (ex )y = ex·y • e−1 = 1e , ou em geral e−x = 12

1 ex .

y

y = ex

10 8 6 4 2

x −2

−1

0

1

2

3

12

Fun¸ c˜ ao Logaritmo f (x) = ln(x) ´e o logaritmo Neperiano (ou logaritmo natural), e ´e a fun¸c˜ao inversa da exponencial. Ou seja, y = ln(x) ⇔ ey = x. Como a fun¸c˜ ao logaritmo ´e a inversa da exponencial, podemos obter as seguintes propriedades para ln(x) das propriedades de ex . O dom´ınio de ln(x) ´e Dln = R+ . O contradom´ınio de ln(x) ´e Iln = R. ln(1) = 0 e ln(e) = 1. O logaritmo n˜ao est´a definido em x = 0 (n˜ao existe ordenada na origem). O logaritmo tamb´em ´e uma fun¸c˜ao crescente. Finalmente, das propriedades da exponencial podemos ainda obter estas trˆes propriedades do logaritmo: Com x e y ∈ R+ , • ln(x · y) = ln x + ln y • ln(xy ) = y ln x • ln( x1 ) = − ln x y 2

y = ln x 1

−1

0

1

2

3

4

5

x

−1

−2

−3

Exponencial e logaritmo de base arbitr´ aria O logaritmo pode ser definido com uma base arbitr´aria a da seguinte forma, loga (x) =

ln x ln a

A base a tem que ser positiva e diferente de 1, a > 0 e a 6= 1. Se a > 1, loga x ´e uma fun¸c˜ ao crescente, mas se 0 < a < 1, loga x ´e uma fun¸c˜ao decrescente. A fun¸c˜ ao loga (x) tem propriedades semelhantes a ln(x). • loga 1 = 0 Com x e y ∈

e

loga a = 1

R+ , 13

• loga (x · y) = loga x + loga y • loga (xy ) = y loga x • loga ( x1 ) = − loga x H´a dois casos particulares importantes. Se a = e, temos loge x = ln x, o logaritmo Neperiano. Se a = 10, definimos o logaritmo com base 10, log10 (x) = log x =

ln x ln 10

para o qual temos, log 1 = 0, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1000 = 3, etc. A inversa do logaritmo de base a ´e a exponencial de base a (continuamos a considerar a > 0 e a 6= 1): ax = ex ln(a) Se a > 1, ax ´e uma fun¸c˜ ao crescente. E se 0 < a < 1, ax ´e uma fun¸c˜ao decrescente. 0 1 x a = 1, a = a e a nunca ´e igual a zero. Com x e y ∈ R, • ax · ay = ax+y • (ax )y = ax·y • a−1 = a1 , ou em geral a−x =

1 ax .

14