Fuerzas Distribuidas

REPUBLICA BOLIVARINA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA EDUCACION SUPERIOR INSTITUTO UNIVERSITARIO DE TECNOLEGIA DEL ESTADO BOLIVAR (PNF) sección: 2m

FACILITADOR:

PARTIPANTE:

GABRIEL MATOS

VICTOR PONIETSKY HERNANDEZ ANDRES ESPINOZA MANUEL ROMULO YNFANTE

CUIDAD BOLIVAR, DICIEMBRE 2009

FUERZAS DISTRIBUIDAS

En ocasiones es posible que un área muy grande de un cuerpo esté sujeta a la acción de cargas distribuidas, tales como las causadas por el viento, fluidos, o simplemente el peso de material soportado por la superficie de dicho cuerpo. La intensidad de estas cargas en cada punto de la superficie se define como la presión p (fuerza por unidad de área), que puede medirse en unidades de libra/pie2 o pascales (Pa) donde 1 Pa = 1 N/m2. En esta sección hablaremos del caso más común de carga de presión distribuida, la cual presenta uniformidad a lo largo de uno de los ejes del cuerpo rectangular plano sobre el que se aplica la carga.* Un ejemplo de tal carga se muestra en la figura

Figura 1

Figura 2

La dirección de la intensidad de la carga de presión se indica por las flechas mostradas en el diagrama carga-intensidad. La carga completa sobre la placa es, por lo tanto, un sistema de fuerzas paralelas, infinito en número y donde cada una actúa sobre un área diferencial separada sobre la placa. Aquí la función de carga, p = p(x) Pa, es sólo una función de x, puesto que la presión es uniforme a lo largo del eje y. Si multiplicamos p = p(x) por el ancho a m de la placa, obtenemos w = [p(x) N/m2]a m = w(x) N/m. Esta función de carga, ilustrada en la figura 2, es una medida de la distribución de carga a lo largo de la línea y = 0, que está en el plano de simetría de la carga; ver figura 1. Ésta se mide como una fuerza por unidad de longitud, más que como una fuerza por unidad de área. En consecuencia, el diagrama carga-intensidad para w = w(x) puede representarse por un sistema de fuerzas paralelas coplanares, vistas en dos dimensiones en la figura 2. Utilizando los procedimientos explicados en la sección 4.9, este sistema de fuerzas puede simplificarse hasta representarse como una fuerza resultante única FR y con ubicación x específica.

Una fuerza distribuida viene medida en cada punto por su intensidad. Así, una fuerza distribuida sobre una superficie recibe el nombre de presión o esfuerzo y se mide como fuerza por unidad de superficie sobre la cual actúa. La unidad básica para la presión o esfuerzo es el newton por metro cuadrado (N/m2), llamada también un pascal (Pa). Esta unidad es sin embargo demasiado

pequeña para la mayoría de las aplicaciones y, resultan más útiles los múltiples kilo-pascal (kPa) igual a 1000 Pa, y el megapascal (MPa) igual a 1000 kPa. Otra unidad de presión o esfuerzo aceptada es el bar (b) igual a 105 Pa o 102 kPa. La palabra presión suele emplearse para designar la intensidad de fuerza distribuida debida a la acción de fluidos, mientras que la palabra esfuerzo se emplea más generalmente para designar la fuerza distribuida interiormente en los sólidos, Las fuerzas distribuidas sobre el volumen de los cuerpos reciben el nombre de fuerzas másicas y se miden como fuerzas por unidad de volumen (N/m3) o por unidad de masa (N/kg). Cuando la fuerza másica se debe a la atracción de la gravedad, la intensidad se escribe ñg, donde ñ representa el peso específico (peso por unidad de volumen) y g la aceleración de la gravedad. La unidad de ñg es, pues (kg/m3)(m/s2) =(N/m3). En este tema se describen los sistemas equivalentes y el equilibrio de diversos sistemas de fuerzas distribuidas. Los problemas de este tipo contienen siempre una variación continua en la región que se considera, por lo que la herramienta analítica adecuada es el Cálculo Infinitesimal. Centro de gravedad; centro de masa. La fuerza distribuida más conocida es la fuerza de atracción de la Tierra. Esta fuerza másica se distribuye por todas las partes de todos los objetos situados en el campo de influencia de la Tierra. La resultante de esta distribución de fuerza másica se conoce con el nombre de peso del cuerpo, y es necesario determinar su magnitud y posición en el caso de cuerpos cuyo peso sea apreciable. Consideremos un cuerpo tridimensional de tamaño, forma y peso cualesquiera. Sí se le suspende, como se indica en la figura 50, de un punto cualquiera tal como el A mediante una cuerda, el cuerpo se hallará en equilibrio bajo la acción de la tensión de la cuerda y la resultante de las fuerzas másicas o de gravedad que actúan sobre sus partículas. Es evidente que esta resultante tendrá, por línea de acción la recta definida por la cuerda, y se supondrá que puede señalarse su posición, por ejemplo, practicando en el cuerpo un hueco de tamaño despreciable a lo largo de su línea de acción. Se repite este experimente suspendiendo el cuerpo por otros puntos tales como el B y el C, y en todos los casos se marca la línea de acción de la resultante. Para todos los fines prácticos estas líneas de acción concurrirán en un punto al que se da el nombre de centro de gravedad o centro de masa del cuerpo. No obstante, un análisis preciso tendría en cuenta el hecho de que las direcciones de las, fuerzas de gravedad correspondientes a las distintas partículas que constituyen el cuerpo.

Son ligeramente diferentes a causa del hecho de que convergen hacia el centro de atracción de la Tierra. Además, como las partículas se hallan a diferentes distancias de la Tierra, la intensidad del campo de fuerzas de la Tierra no se mantiene exactamente constante sobre todo el cuerpo. Estas consideraciones llevan a la conclusión de que las líneas de acción de las resultantes de las fuerzas de gravedad, en los experimentos antes mencionados, no serán exactamente concurrentes y por tanto no existirá, en el sentido exacto, un centro de gravedad. Esta condición carece de importancia práctica mientras se trate con cuerpos cuyas dimensiones sean pequeñas frente a las de la Tierra. Por tanto, se supondrá un campo uniforme de fuerzas (paralelas) debido a la atracción gravitatoria terrestre y esta condición da como resultado el concepto de un centro de gravedad único. Para determinar matemáticamente la posición del centro de gravedad G de un cuerpo cualquiera, figura 5la, deberá escribirse una ecuación que establezca, por el teorema de Varignon, que el momento respecto a un eje de la resultante F de las fuerzas de gravedad es igual a la suma de los momentos respecto al mismo eje de las fuerzas de gravedad dP que se ejercen sobre todas las partículas consideradas como elementos infinitesimales del cuerpo. La resultante de las fuerzas de gravedad que se ejercen sobre todos los elementos es el peso del cuerpo y viene dado por la suma P  dP. Si se aplica el principio de los momentos respecto al eje y, por ejemplo, el momento respecto a este eje del, peso elemental será x dP y la suma de dichos momentos para todos los elementos del cuerpo es x dP . Esta suma de momentos debe ser igual al momento de la suma Px . Así pues, las' expresiones de los momentos respecto a los tres ejes darán, P x dP x  P y dP y  P z dP z  El numerador de cada expresión representa la suma de momentos y el producto de P por la coordenada correspondiente de G representa el momento de la suma. La tercera ecuación se obtiene girando el cuerpo y el sistema de referencia 90° alrededor de un eje horizontal de manera que el eje z quede horizontal.

Centroides de líneas, superficies y volúmenes. Siempre que el peso específico y de un cuerpo tenga el mismo valor en todos sus puntos, será un factor constante existente en los numeradores y denominadores de las ecuaciones anteriores y por lo tanto se suprimirá. Las expresiones definen entonces una propiedad puramente geométrico del cuerpo, ya que no hay referencia alguna a sus propiedades físicas. Cuando el cálculo se refiera solamente a una forma geométrica se utiliza el término centroide. Cuando se hable de un cuerpo físico real, se utilizará el término centro de gravedad o centro de masa. Sí el peso específico es el mismo en todos los puntos, las posiciones del centroide y del centro de gravedad

coinciden, mientras que si el peso específico varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general. En el caso de una varilla delgada o un alambre de longitud L, sección recta de área A y peso específico ã (fig. 52a), el cuerpo puede aproximarse a un segmento de línea y dP g A dL . Sí ã y A son constantes a lo largo de la varilla, las coordenadas del centro de gravedad coincidirán con las del centroide C del segmento de, línea, SEGUNDO MOMENTO O MOMENTO DE INERCIA DE UN ÁREA. Por ejemplo, considérese una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos ares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en flexión pura y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x como en la figura 9.1, se conoce como el eje neutro. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales _F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene: La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática: Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cual es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua ( eje x)?. Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA. Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas

elementales está dada por: Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área con respecto del eje x. Fuerzas distribuidas: Momentos de inercia Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x (figura 9.3b); el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y (figura); el momento de inercia dIy de la franja es x2dA.

dx dIy = x2dA

ÁREAS Y LÍNEAS

Para iniciar, considere una placa plana horizontal (figura 5.1). La placa puede dividirse en n elementos pequeños. Las coordenadas del pri-mer elemento se representan con x1 y y1, las del segundo elemento se representan con x2 y y2, etcétera. Las fuerzas ejercidas por la Tierra sobre los elementos de la placa serán representadas, respectivamente, con ∆W1, ∆W2,. ∆Wn. Estas fuerzas o pesos están dirigidos hacia el centro de la Tierra; sin embargo, para todos los propósitos prácticos, se puede suponer que dichas fuerzas son paralelas. Por tanto, su resultante es una sola fuerza en la misma dirección. La magnitud W de esta fuerza se obtiene a partir de la suma de las magnitudes de los pesos de los elementos. para obtener las coordenadas x_ y del punto G, donde debe aplicarse la resultante W, se escribe que los momentos de W con respecto a los ejes y y x son iguales a la suma de los momentos correspondientes de los pesos elementales Si ahora se incrementa el número de elementos en los cuales se ha dividido la placa y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento se obtienen, en el límite, Estas ecuaciones definen el peso W y las coordenadas x_ y del centro de gravedad G de una placa plana. Se pueden derivar las mismas ecuaciones para un alambre que se encuentra en el plano xy Se observa que usualmente el centro de gravedad G de un alambre no está localizado sobre este último.

x=

1 L

∫ x dL L

y=

1 L

∫ y dL L

Centroides de cuerpos compuestos

z=

1 L

∫ z dL L

Si puede dividirse una línea, superficie o volumen en partes cuyos respectivos centroides tengan posiciones conocidas, se podrá determinar sin integración el momento de la línea, superficie o volumen total obteniendo la suma algebraica de los primeros momentos (producto de la longitud, área o volumen por la distancia del centroide al eje o plano) de las partes en que se halla dividido la línea, superficie o volumen. Ejemplo: Si tenemos una superficie compuesta por las superficies A1, A2,…, An y las coordenadas de los centroides de las respectivas partes son tendremos: M y = ( A1 + A2 + ... + An ) x = A1 x1 + A2 x2 + ... + An xn n

M y = A x = ∑ Ai xi

o sea

x=

o sea

y=

i =1

My A

=

1 n ∑ Ai xi A i =1

análogamente n

M x = A y = ∑ Ai yi i =1

Mx 1 n = ∑ Ai yi A A i =1

Ejemplo: En el caso de la figura, como el peso específico de la parte inferior del cono es mayor que el de la parte superior, el C.D.G., que depende del peso de las dos partes, se hallará por debajo del centroide C que solo depende del volumen de dichas partes.

Flotación

BIBLIOGRAFÍA

MECÁNICA VECTORIAL PARA INGENIEROS ESTÁTICA FERDINAND P. BEER E. RUSSELL JOHNSTON JR. EDITORIAL: MC GRAW−HILL