Fuerza Distribuidas

Prof.: Gabriel Matos. Integrante: Rodríguez Keyla. Rondón Oriana. Rodríguez Jorge. Guzmán Angelín.

Ciudad Bolívar, Diciembre de 2009.

Índice

Pág. Introducción…………………………………………………………… ……...……..3 Fuerzas Distribuidas: Centroide…………………………….………………….…….4 Centroides de Áreas Compuestas………...……………………………….........……4 Centroides de Áreas y Líneas…………………………………………...……..…..4/5 Fuerzas Distribuidas: Momento de Inercia…………………………………………..6 Momento de Inercia de un Área…...………………………………………………6/8 Ejercicio.…………………………………….…………………………..………..9/16 Conclusión……………………………………………………………………… .…17 Bibliografía………………………………………………………………………… 18

Introducción. El centroide es un punto que define el centro geométrico de un objeto. Su localización puede determinarse a partir de formulas semejantes a las utilizadas para determinar el centro de gravedad o el centro de masa del cuerpo. El momento de inercia de un área se origina cuando es necesario calcular el momento de una carga distribuida que varia linealmente desde el eje de momento. Un ejemplo característico de esta clase de carga lo tenemos en la carga de presión debida a un líquido sobre la superficie de una placa sumergida. Cuando las fronteras de un área plana pueden expresarse mediante funciones matemáticas, las ecuaciones pueden integrarse para determinar los momentos de inercia para el área. Si el elemento de área escogido para la integración tiene un tamaño diferencial en dos direcciones, debe efectuarse una doble integración para evaluar el momento de inercia.

Ø Fuerzas Distribuidas: Centroides. ü Centroides de Áreas Compuestas. en los trabajos de ingeniería rara vez tenemos que localizar Centroides por integración, porque los Centroides de figuras geométricas comunes ya se conocen y se encuentra tabulados; sin embargo, con frecuencia necesitamos localizar los Centroides de áreas compuestas de varias partes, en las que cada parte tiene una forma geométrica familiar, como un rectángulo o un circulo. Ejemplo de tales áreas compuestas son las secciones transversales de vigas y columnas que usualmente consiste en elementos rectangulares. Las áreas y momentos estáticos de las áreas compuestas pueden calcularse sumando las propiedades correspondientes de las partes componentes. Supongamos que un área compuesta se divide en un total de n partes y denotemos el área de la parte iesima como Ai. Entonces podemos obtener el área y los momentos estáticos con las siguientes sumas: n

n

A= Σ Ai

n

Q x = Σ yi A i

Qy = Σ x i Ai

i=1

i=1

i=1

En donde xi y yi son las coordenadas del Centroides de la parte i-ésima. Las coordenadas del centroide del área compuesta son:

x=

=

∑ ∑

y=

=

∑ ∑

ü Centroides de Áreas y Líneas. En el caso de una placa plana homogénea de espesor uniforme, la magnitud ∆w del proceso de un elemento de la placa puede expresarse como. ∆w= γt ∆A Donde γ= peso especifico (peso por unidad de volumen) del material t= espesor de la placa ∆A= área del elemento.

En forma similar, se puede expresar la magnitud w del peso de toda la placa como W = γtA Donde A es el área total de la placa. Si se emplean las unidades de uso común, se debe expresar el peso especifico γ en lb/ft3, el espesor t en pies y las áreas ∆A y A en pies cuadrado. Entonces, se observa que ∆W y W estarán expresados en libras. Si se usan las unidades del sistema internacional, se debe expresar γ en N/mt3, at en metros y a las ares ∆A y A en metros cuadrados, entonces, los pesos ∆W y W estarán expresados en newtons1. Si se sustituye a ∆W y W en las ecuaciones de momento y se divide a todos los términos entre γt, se obtiene. ΣMY: xA= X1 ∆A1 + X2 ∆A2 +…… + Xn ∆An ΣMx: yA= y1 ∆A1 + Y2 ∆A2 +…… + Yn ∆An Si se incrementa el número de elementos en los cuales se divide el área A y simultáneamente se disminuye el tamaño de cada elemento, y se obtiene en el límite: xA = ∫ x dA yA = ∫ y dA Estas ecuaciones define las coordenadas x; y del centro de gravedad de una placa homogénea. El punto cuyas coordenadas son x; y también se conoce como el centroide C del área A. Si la placa no es homogénea, estas ecuaciones no se pueden utilizar para determinar el centro de gravedad de la placa; sin embargo, estás aún definen al Centroides del área. En el caso de un alambre homogéneo de secciones transversal uniforme, la magnitud ∆W del peso de un elemento de alambre puede expresarse como: ∆W = γa∆L Donde γ = peso especifico del material a = área de la sección transversal del alambre ∆L = longitud del elemento

Ø Fuerzas Distribuidas: Momento de Inercia. Estas integrales que se conocen como los momentos rectangulares de inercia del área A, pueden calcularse fácilmente si se escoge para dA una franja angosta paralela a uno de los ejes coordenados. Para calcular Ix, escogemos una franja paralela al eje x, tal que todos los puntos que la componen estén a la misma distancia y del eje x; el momento de inercia dIx de la franja se obtiene, entonces, multiplicando el área dA de la franja por y2. Para calcular Iy, la franja se escoge paralela al eje y tal que todos los puntos que la forman estén a la misma distancia x del eje y; el momento de inercia dIy de la franja es x2dA. Dx dIy = x2dA.

Ø Momento de Inercia de un Área.

Considere una viga de sección transversal uniforme la cual está sometida a dos pares iguales y opuestos que están aplicados en cada uno de los extremos de la viga. Se dice que una viga en tales condiciones está en “flexión pura” y en la mecánica de materiales se demuestra que en las fuerzas internas en cualquier sección de la viga son fuerzas distribuidas cuyas magnitudes varían linealmente con la distancia y que hay entre el elemento de área y un eje que pasa a través del centroide de la sección. Dicho eje representado por x, se conoce como el “eje neutro”. Las fuerzas en un lado del eje neutro son fuerzas de compresión, mientras que las fuerzas en el otro

lado son fuerzas de tensión; sobre el propio eje neutro de las fuerzas son iguales a cero. La magnitud de la resultante R de las fuerzas elementales F que actúan sobre toda la sección está dada por la fórmula: R = ∫ ky dA = k ∫ y dA La última integral obtenida se conoce como el primer momento Qx de la sección con respecto del eje x; dicha cantidad es igual a YA y por lo tanto, es igual a cero puesto que el centroide de la sección está localizado sobre el eje x. Por consiguiente el sistema de fuerzas F se reduce a un par. La magnitud m de dicho par debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = Ky2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre toda la sección se obtiene: M = ∫ ky2 dA = k ∫ y2 dA La última integral se conoce como segundo momento o momento de inercia, de la sección de la viga con respecto del eje x y se representa con Ix. El segundo momento se obtiene multiplicando cada elemento de área dA por el cuadrado de su distancia desde el eje x e integrándolo sobre la sección de la viga. Como cada producto y2 dA es positivo, sin importar el signo de y, o cero, la integral Ix siempre será positiva. Otro ejemplo de un segundo momento, o momento de inercia de un área lo proporciona el siguiente problema de hidrostática:

Una compuerta circular vertical utilizada para cerrar el escurridero de un gran depósito está sumergida bajo agua como muestra la figura. ¿Cuál es la resultante de las fuerzas ejercidas por el agua sobre la compuerta y cuál es el momento de la resultante con respecto de la línea de intersección del plano de la compuerta y la superficie del agua (eje x)?. Si la compuerta fuera rectangular, la resultante de las fuerzas de presión se podría determinar a partir de la curva de presión tal y como se hizo en los capítulos anteriores. Sin embargo puesto que la compuerta es circular, se debe utilizar un método más general. Representado por y la profundidad de un elemento de área A y

por el ángulo gamma al peso específico del agua, la presión en el elemento es p = y la magnitud de la fuerza elemental ejercida sobre A es F = pA =yA. Por lo tanto, la magnitud de la resultante de las fuerzas elementales está dada por: R = ∫ γy dA = γ ∫ y dA Y puede obtenerse el primer momento QX = ydA del área de la compuerta con respecto del eje x. El momento Mx de la resultante debe ser igual a la suma de los momentos Mx = yF = y2 A de las fuerzas elementales. Integrando sobre el área de la compuerta, se tiene que Aquí, nuevamente, la integral obtenida representa el segundo momento o momento de inercia, Ix del área con respecto del eje x. Mx = ∫ γy2 dA = γ ∫ y2 dA Determinación del momento de inercia de un área por integración. En la sección anterior definimos el momento de segundo orden, o momento de inercia de un área A con respecto al eje x. De manera similar el momento de inercia Iy del área A con respecto al eje y, se define como: Ix = " y2 dA Iy = " x2 dA

dIx = y2dA dIy = x2dA

Ejercicios. Centroides. 1. Las cuatro fuerzas concurrentes mostradas en la figura tienen una resultante igual a cero. Si│FB│ = 400N, │FC│= 500N y │FD│= 400N. Determine la magnitud de FA y el ángulo α. FB

FC

70°

30°

∝

20°

FA

FD

ΣFX = FC cos30 + FD cos20 – FB cos70 – FA cos α = 0 ΣFY = FC sin30 – FD sin20 + FB sin70 – FA sin α = 0

FA cos α = 500 cos30 + 400 cos20 – 400 cos70 = 672,082 FA sin α = 500 sin30 - 400 sin20 + 400 sin70 = 489,069 FA = √ (672,082)2 + (489,069)2 = 831,193 tang α = α = 36,04°

, ,

=

0,727

2. Cuatro fuerzas actúan sobre una viga como se indica en la figura. La resultante de las cuatro fuerzas es cero y además │FB│ = 8000, │FC│= 4000. Determine las magnitudes de FA y FD. FD 30° FA

FA cos30 – FD = 0 FA sin30 – FB + FC = 0

FA cos30 – FD = 0 FA sin30 – 8000 + 4000 = 0

FA =

= 8000

FD = FA = cos30 = 4000 √3

FB

FC

3. Seis fuerzas actúan sobre una viga que forma parte de la estructura de un edificio, como se indica en la figura, en los extremos, punto medio y a un cuarto de la longitud de la viga. Se sabe que la resultante de todas ellas es cero y que │ FB│ = │ FE│ = 5KN. │ FC │ = 4KN. │ FD│ = 2KN. Determine las magnitudes de FA y FG. FA

FC

FD

70°

FG 50°

FB

FE

-FA cos70 – FC cos40 + FD cos40 + FG cos50 = 0 FA sin70 + FC sin40 – FB + FD sin40 – FE + FG sin50 = 0

-FA cos70 + FG cos50 = 2 cos40 FA sin70 + FG sin50 = 10 – 6 sin40

FG =

= 4, 0886 KN.

FA =

= 3, 204 KN.

4. Tres fuerzas actúan sobre la esfera mostrada en la figura. La magnitud de FB es de 60N y la resultante de las tres es igual a cero. Determine las magnitudes de FA y FC.

FA

30°

FB

ΣFX = - FC cos30 + FA = 0 ΣFY = FC sin30 – FB = 0 = FC sin30 - 60 = 0

FC = 120N FA = 120 cos30 FA= 103,92 N

FC

Ejercicios Momento de Inercia. 1. Un cilindro y una esfera homogéneos se sueltan en la misma cota de un plano inclina; primero el cilindro y un segundo después la esfera. No hay rozamiento ni deslizamiento. ¿alcanzara la esfera al cilindro? En caso afirmativo, ¿cuánto tiempo lleva moviéndose el cilindro cuando lo alcanza la esfera? N

Mg sin α

FF

mg

Ic= nR2

α

Ie= mR2

Fneta = mg sin S FF MR = IJ

FF R= IJ = I

ma = mg sin S I Cilindro:

maC = mg sin S

ac = g sin S

Esfera:

mae = mg sin S

ae =

sin

>

sin

sin

; ae > ac, por tanto suponemos que la esfera alcanza al cilindro,

con lo cual los dos cuerpos habrán recorridos el mismo espacio ÝsÞ S=

=

Ý 1Þ2

sin St2 =

sin Ý

t = 29,491 s t = 0,50862 s (no valido porque la esfera parte 1 seg mas tarde)

1Þ2

=

(t 1)2

2. Dos varillas uniformes e idénticas se encuentran unidas entre si por uno de sus dos extremos a través de un pivote horizontal sin rozamiento, de manera que ambas pueden girar en el mismo plano vertical. Inicialmente, las dos varillas están en reposo, encontrándose alineadas verticalmente una sobre la otra. Cuando la varilla superior se desplaza ligeramente, encontrar el ángulo máximo respecto a la vertical que ambas varillas pueden girar después de chocar, suponiendo que se mueven juntas después del impacto.

+CM I ½

½-x x

Momento de inercia de una varilla respecto a un eje que pasa por el extremo: I = ml2. AEp = AEc

mgl = Ig2

ml2 g2,

mgl =

g=

p CM = mv CM = mgr CM = m

En una colisión: Ap = 0

mv CM = mv vv CM,

Vv CM = gv rCM

gv =

AEc = AEP

IV gv2 = 2mgx

m

= 2mvvCM,

vv CM =

= √6 2ml2 ( √6

)2 = 2mgx

x= l

En la figura: cos S =

;S=

ᴧ

60E

3. Una esfera rueda por un plano inclinado que forma un ángulo J con la horizontal. A) ¿bajo qué condiciones solamente rueda o solo desliza? B) ¿cuánto ha de valer el ángulo J para que el rodamiento tenga lugar? El coeficiente de rozamiento entre la esfera y el plano es W = 0.2.

N FF V mg

Cuando la esfera rueda sin deslizar, la superficie de la esfera y el plano están en reposo relativo, con lo que se trata de una condición de rozamiento estático, aunque en general la fuerza de fricción no alcanzara su valor limite Wmg cosJ.

ma = mg sinJ? FF

ma = mg sinJ?

FFR = I

I = mR2

, a= g sinJ

m g sinJ = mg sinJ? FF, FF = mg sinJ. mg sinJ2 Wmg cosJ ; tagJ2 W condición para que solo ruede. Si solo rueda se cumple que a = JR FFR = IJ a = g sinJ? Wg cosJ

Wmg cosJR= mR2 ,

a=

Wg

Wg

= g sinJ? Wg cosJ

Si W = 0.2

= tanJ? W ;

J = arctan W

= 34.992E

J = arctan 0.2 = 0.61073rad = 0.61073

4. Una atracción de feria consiste en un cilindro hueco vertical que gira alrededor de su eje, siendo su diámetro igual a 6m. el cilindro gira con una velocidad tal que las personas introducidas en su interior quedan pegadas a la pared si caer. Para que esto ocurra, ¿cuál debe ser el valor mínimo de la velocidad angular de rotación, si el coeficiente de rozamiento de la pared es W = 0.5? La condición mínima para que no caigan es: mg = FF FF = WN = WFC = Wmg2 R g=

.

√0.5

3

,

mg = Wmg2R

9.8 = 2,556rad s = 2,556

;

= 24.408 rpm.

g=

WRg

Conclusión Cabe destacar que el punto principal de un cuerpo se llama centro de masa. El centro de masa es el punto en el que hay que fijar la tensión cundo se calcula la velocidad y la aceleración de un cuerpo compuesto. Cuando ninguna fuerza externa neta actúa sobre un sistema compuesto independientemente de lo que suceda en sus componentes, el centro de masa del mismo continua moviéndose con velocidad constante en línea recta. Las expresiones definen entonces una propiedad del cuerpo puramente geométrico, sin referencia alguna a sus propiedades físicas, cuando el cálculo se refiera únicamente a una figura geométrica, se utilizará el término centroide. Si una figura geométrica posee un centro de simetría, este punto es el centroide de la figura. Cuando se hable de un cuerpo físico real, hablaremos de centro de masa. Si la densidad de la misma en todos los puntos, las posiciones del centroide y el centro de masa coinciden, mientras que si la densidad varía de unos puntos a otros, aquellos no coincidirán, en general, y debido a esto las aplicaciones de la inercia nos ayuda a encontrar el punto en el que se concentra las fuerzas que actúan sobre una figura irregular, o figuras geométricas no muy conocidas De igual manera el Momento de inercia es una medida de la inercia rotacional o la tendencia de un cuerpo a resistirse al cambio en su movimiento rotacional. Aunque se dice que debe ser constante para un cuerpo rígido, y que es el análogo rotacional de la inercia, corresponde a un eje determinado y puede tener valores diferentes para ejes. El momento de inercia depende también de la distribución de la masa referente al eje de rotación.

Bibliografía. https://www.u-.cl/ingenieria/2008/2/ME46A/2/material_docente/objeto/195338

http://highered.mcgrawhill.com/sites/dl/free/9701061039/468032/capitulo_muestra_estatica_9e_05m.pdf

http://74.125.93.132/search?q=cache:9quwyD9ME6AJ:html.rincondelvago.com/mo mento-de-inercia-en areasplanas.html+fuerzas+distribuidas+momentos+de+inercia&cd=2&hl=es&ct=cln k&g l=ve

http://74.125.93.132/search?q=cache:9quwyD9ME6AJ:html.rincondelvago.com/mo mento-de-inercia-en-areasplanas.html+producto+de+inercia+de+un+area&cd=2&hl=es&ct=clnk&gl=ve