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Fonctions eulériennes. Polynômes orthogonaux classiques par

Pascal MARONI Docteur ès Sciences Mathématiques Directeur de Recherche au CNRS

1. 1.1

L’outillage................................................................................................... Séries, produits, intégrales ......................................................................... 1.1.1 Suites, séries ....................................................................................... 1.1.2 Produits infinis .................................................................................... 1.1.3 Intégrales............................................................................................. Fonctions polynomiales. Orthogonalité .................................................... 1.2.1 Généralités .......................................................................................... 1.2.2 Orthogonalité régulière......................................................................

A 154 - 1 — 2 — 2 — 3 — 4 — 4 — 4 — 5

Fonctions eulériennes............................................................................. Fonction gamma.......................................................................................... 2.1.1 Définitions ........................................................................................... 2.1.2 Une formule d’Euler ........................................................................... 2.1.3 Formule des compléments ................................................................ 2.1.4 Formule de multiplication de Legendre-Gauss................................ 2.1.5 Formule de Stirling............................................................................. Fonction bêta ............................................................................................... 2.2.1 Définition ............................................................................................. 2.2.2 Formule généralisée des compléments............................................ 2.2.3 Applications ........................................................................................ Fonction digamma....................................................................................... 2.3.1 Définition ............................................................................................. 2.3.2 Série de Jensen .................................................................................. 2.3.3 Intégrale de Raabe.............................................................................. 2.3.4 Une représentation intégrale de la fonction psi............................... 2.3.5 Fonction de Binet................................................................................ 2.3.6 Retour sur la formule de Stirling....................................................... 2.3.7 Première intégrale de Binet ...............................................................

— — — — — — — — — — — — — — — — — — —

6 6 6 9 9 10 11 11 11 11 12 12 12 13 13 14 14 15 15

Polynômes orthogonaux classiques ................................................... Définitions .................................................................................................... 3.1.1 Définition de Hahn.............................................................................. 3.1.2 Équation fonctionnelle ....................................................................... 3.1.3 Équation différentielle linéaire du second ordre.............................. 3.1.4 Les deux relations de structure ......................................................... 3.1.5 Formule de Rodrigues........................................................................ Construction des polynômes classiques ................................................... 3.2.1 Système vérifié par β , γ , β˜ , γ˜ ..............................................

— — — — — — — —

16 16 16 17 18 19 21 21

3.2.2 Résolution du système (95)-(96)........................................................ 3.2.3 Les quatre situations canoniques...................................................... 3.2.4 Représentations intégrales ................................................................ 3.2.5 Retour sur la formule de Rodrigues..................................................

— — — — —

21 22 23 25 27

Références bibliographiques .........................................................................

—

28

1.2

2. 2.1

2.2

2.3

A 154

11 - 1994

3. 3.1

3.2

n

n+1

n

n+1

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A 154 − 1

FONCTIONS EULÉRIENNES. POLYNÔMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES ___________________________________________________________________________

es fonctions eulériennes ont une situation particulière : elles apparaissent dans presque toutes les questions touchant les autres fonctions spéciales, c’est-à-dire qu’elles interviennent, en particulier la fonction Gamma, dans la plupart des problèmes provenant de la physique mathématique. Il paraît donc nécessaire d’étudier ces fonctions avant toutes les autres. Historiquement, la fonction gamma est née de l’exigence de donner un sens à x ! pour x complexe quelconque. La formule de Stirling, fournissant une estimation de x ! pour x grand, fondamentale dans les questions de comportement asymptotique, achève de donner un statut primordial à la fonction Γ. L’étude de celle-ci fait intervenir dès le début les principes fondamentaux de la théorie des fonctions de variable complexe. Il est remarquable de constater que la justification de ses principales propriétés peut être exposée de façon élémentaire, sans cesser d’être rigoureuse. Longtemps au nombre de trois, les suites de polynômes orthogonaux classiques, comme les trois mousquetaires, sont en fait au nombre de quatre depuis 1949 : les polynômes d’Hermite, les polynômes de Laguerre (à un paramètre), les polynômes de Bessel (à un paramètre) et les polynômes de Jacobi (à deux paramètres). Les polynômes de Bessel ont tardé à obtenir le statut de polynômes classiques parce que la forme de Bessel n’est pas définie positive pour aucune valeur du paramètre. Algébriquement, une suite orthogonale est qualifiée de classique si la suite des dérivées est aussi orthogonale. Avec cette définition, les polynômes de Bessel sont classiques. D’autres définitions sont possibles ; les plus importantes sont exposées ici. À l’étude basée sur le caractère hypergéométrique des polynômes classiques, on a préféré une exposition purement algébrique qui a le mérite de relier les différentes caractérisations de manière naturelle. Avec ce point de vue, les questions de représentation des formes sont rejetées au second plan.

L

1. L’outillage Le contenu de ce paragraphe consiste en des rappels de résultats fondamentaux, utilisés dans la suite. Les fonctions spéciales sont, en général, construites à partir des procédés fondamentaux de l’analyse : passage à la limite dans une somme finie d’éléments où le nombre de ceux-ci croît indéfiniment, ce qui donne les séries, et passage à la limite dans un produit fini d’éléments, ce qui fournit les produits infinis. L’intégrale est définie comme limite d’une somme finie, mais il s’agit d’un processus plus complexe ; on suppose connue la théorie de l’intégrale de Riemann.

1.1 Séries, produits, intégrales

∑

n  0

uniformément quel que soit m  0 . C’est le critère de Cauchy. La série est dite absolument convergente si

u n de nombres réels ou complexes est dite conver-

∑ uν

ν=0

est une suite

convergente : Un → U. La définition est valable dans un espace vectoriel normé E : ||Un – U || → 0, n → + ∞.

A 154 − 2

un

converge.

Lorsque E est complet, elle est alors aussi convergente. Lorsque un (α ) dépend d’un paramètre α ∈ A (suite de fonctions) où A est une partie non vide de  ou  , par exemple, la série converge uniformément pour α ∈ A si l’entier N (ε, α ) ne dépend pas de α. La série de fonctions un converge normalement pour α ∈ A si :

où vn est le terme général d’une série convergente. La convergence normale entraîne la convergence uniforme, mais la réciproque est fausse. Rappelons que la limite uniforme d’une série de fonctions continues est continue.

n

gente si la suite des sommes partielles U n =

∑

n  0

u n ( α )  v n , ∀α ∈ A

1.1.1 Suites, séries La série

Lorsque E est complet, ce qui est le cas de  et , la suite { U n } n  0 est convergente si et seulement si, étant donné ε > 0, il existe N (ε ) tel que : U m + n – U n < ε , ∀n  N ( ε )

1.1.1.1 Un théorème sur la dérivation Le résultat suivant est fondamental.

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__________________________________________________________________________ FONCTIONS EULÉRIENNES. POLYNÔMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES

Soit { f n } n

une suite de fonctions fn ∈ C1  [ a, b ] ,   telles que :

 0

fn (c ) → f (c ) f n′ → g

,

n → + ∞ où c ∈ [a, b]

,

n → + ∞ uniformément sur [a, b]

fn ( x ) = fn ( c ) + f (x ) = f (c ) +

donc





c

f n′ ( t ) dt , a  x  b

x

c

g ( t )dt pour chaque x ∈ [ a, b ]

La convergence de { f n } n f – fn

∞

 0

Pn – 1 =

donc :

∑ aν Pν – 1

, n1

ν=1

Le produit Pn converge si et seulement si la série de terme général an Pn – 1 converge vers Q tel que 1 + Q ≠ 0. Une condition nécessaire de convergence est que an → 0, n → + ∞.

Lorsque a n  0 , le produit Pn converge si et seulement si converge.

est uniforme, car :

 f ( c ) – f n ( c ) + ( b – a ) g – f n′

En effet, P n  1 , n  1 et donc P n  1 +

∑ aν

∑

: la condition n

u n est une série de fonctions de classe C 1

sur un ouvert A de  à valeurs dans  , convergeant simplement sur A (c’est-à-dire pour chaque α ∈ A ) et telle que la série des dérivées converge uniformément sur tout compact de A, alors sa somme est de classe C 1 sur A et : ′  u  = ∑ u n′  ∑ n n  0

n  0

ν

n

Pn 

∑

ν=0

An An ---------<e
1.1.2.2 Produits absolument convergents

est absolument convergent si la série

(k) { f n } n  0 converge uniformément dans ∆ vers f (k ).

Soit ∆ : z – z 0  r un disque fermé contenu dans A et soit γ le lacet t → z0 + re it, 0  t  2 π ; la fonction f étant continue dans A,



1 f (ξ) il suffit de montrer que f ( z ) = ------------ --------------- d ξ pour |z – z0| < r, car 2iπ γ ξ – z le second membre est analytique dans le disque ouvert. On a par la formule de Cauchy : 1 f n ( z ) = -----------2iπ



γ

fn ( ξ ) r ---------------- d ξ = ---------2π ξ–z



2π

0

it

it

f n ( z 0 + re ) e d t -----------------------------------------------it z 0 + re – z

d’où le résultat, selon l’hypothèse de convergence uniforme et it puisque z – z 0 – re  r – z – z 0 . De même, pour la suite des dérivées, on a : (k )

ν=1

a facilement :

(k )

( z ) – fn



k! ( z ) = --------2iπ

γ

f ( ξ ) – fn ( ξ ) ------------------------------dξ → 0, n → + k+1 (ξ – z)

∞

uniformément dans tout disque z – z 0 r ′ < r .

1.1.2 Produits infinis Soit la suite { 1 + a ν } n

 1

, a n ∈  et considérons le produit :

n

Pn =

∏ ( 1 + aν )

ν=1

, n  1

∑

n  1

une suite de fonctions analytiques dans un ouvert

 0

∑ a ν , on

∏

ν  1

A de  , telle que pour tout disque fermé ∆ contenu dans A, elle converge uniformément dans ∆ vers f. Alors la fonction f est analytique dans A et pour tout entier k  1, la suite des dérivées

f

est nécessaire. Elle est suffisante, car si on pose A n =

Dans le cas général, on convient de dire que le produit

1.1.1.2 Théorème de convergence de Weierstrass Soit { f n } n

an

ν=1

Ce résultat est susceptible de plusieurs généralisations. n  0

∑

n  1

n

∞

où ||f || ∞ = sup x ∈ [a, b] |f (x )|. ■ Application : si

converge

1.1.2.1 Produits à termes positifs

f ’(x ) = g (x ) , x ∈ [a, b ]

Il en résulte

 0

n

Alors, il existe f ∈ C1  [a , b ] ,   telle que fn → f uniformément sur [a, b ] et f ’ = g. x Car

On dit que le produit Pn converge si la suite { P n } n vers P ≠ 0. On a : Pn – Pn – 1 = a n Pn – 1 , P 0 = 1

an

( 1 + aν )

est convergente.

Montrons que le produit converge et que sa limite P ne peut être nulle que si l’un des facteurs 1 + an est nul. n

Notant P˜ n =

∏ (1 +

ν=1

a ν ) , on a P˜ n → P˜ , n → +

∞

et puisque, si

m > n, P m – P n  P˜ m – P˜ n , on voit que P n → P, n → +

∞.

Par

a i l l e u r s , s i | a n | < 1 , n  1, o n a P ≠ 0 . C a r l e p r o d u i t n

–1

Pn

aν

converge. Dans le cas général, on écrit

∏ ( 1 + aν ) ∏

( 1 + a n + µ ) et puisque |an + µ | < 1 pour n assez

=

- ∏  1 – -------------1 + aν 

ν=1 n

P =

ν=1

µ  1

grand, on a le résultat. On peut vérifier que la limite P ne dépend pas de l’ordre des facteurs. 1.1.2.3 Produits de fonctions analytiques Soit { a n } n

 0

une suite de fonctions analytiques dans un ouvert

A de  et supposons que pour tout disque fermé ∆ de A, la série de terme général a n (z ) converge normalement dans ∆. Alors le produit infini f ( z ) =

∏  1 + an ( z ) 

est une fonction analytique

n  1

dans A. Ses zéros dans A sont ceux de chacun des facteurs 1 + a n (z ). En outre, pour tout disque fermé ∆ de A ne contenant a′n ( z ) aucun des zéros de f, la série de terme général --------------------------- est uni1 + an ( z ) formément convergente dans ∆ et on a : f ′(z ) ------------- = f (z )

∑

n  1

a′ ( z ) -------------------------- , z ∈ ∆ 1 + an ( z )

On applique le théorème de convergence de Weierstrass.

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1.1.3 Intégrales

π lorsque |z | → + ∞ dans le secteur arg z  ----- – ε . 2

De nombreuses fonctions spéciales sont définies par des intégrales, en général impropres. Une situation typique est la suivante :

En effet, il existe B > 0 telle que :



F (x) =



+∞

G ( x, t ) d t =

a

lim

n

n

n→+ ∞ a

f (t ) –

G(x, t )dt On en déduit :

1.1.3.1 Convergence uniforme

  c

a



G(x, t) dt dx =

  +∞

d

a

c



G(x, t )dx dt

où [c, d ] ⊂ A. Si l’intégrale converge simplement pour chaque x ∈ A ; 0

G x′ ( x, t ) ∈ C ( A × [ a , + ∞ [ ,  ) e t l ’ i n t é g r a l e



+∞ a



+∞

G ( x, t ) d t =

a



+ ∞

a

∂G ---------- ( x , t ) d t ∂x

Il suffit d’appliquer le théorème du paragraphe 1.1.1.1. 1.1.3.2 Critère de Tannery Ici A = [0, + ∞[. Si G (x, t ) → g (t ), x → + ∞ uniformément sur tout compact de [a, + ∞[ ; s’il existe M, intégrable sur [a, + ∞[ telle que G ( x, t )  M ( t ) , alors : lim

x→+ ∞





λ(x)

G(x, t )dt =

a

g (t )dt

avec λ (x ) → + ∞. On a lim G ( x, t ) = g ( t )  M ( t ) et donc g est intégrable sur [a, + ∞[. On choisit R > 0 pour que



+ ∞

M ( t ) d t  ε ; ensuite, x

R

assez grand pour que λ(x ) > R et on a :



λ(x )

a

+ ∞

n

e

– tz

avec :

Rn =



f (t )dt =

G ( x, t ) d t –



+ ∞

g (t )dt 

a



ν=0 + ∞

e

0

n

– tz 

ν  f ( t ) – ∑ a ν t d t   ν=0

(n + 1)! (n + 1)! -  B ------------------------------------------Or R n  B ------------------------------------, car Rez  z sin ε n+2 n+2 ( Re z – b ) ( z sin ε – b ) π –1 si arg z  ----- – ε . D’où le résultat si z  2 b ( sin ε ) . 2

1.2 Fonctions polynomiales. Orthogonalité 1.2.1 Généralités Soit  l’espace vectoriel des fonctions polynomiales définies sur  et à valeurs dans  . On note ′ son dual, c’est-à-dire l’ensemble des formes linéaires sur  et  u , f  l’action de u ∈ ′ sur l’élément f ∈  . En particulier, on notera (u )n : =  u , x  , n

n  0 les moments de la forme u par rapport à la suite { x } n

G(x, t ) – g (t ) dt + 2ε

d’où le résultat en vertu de la convergence uniforme sur [a, R ]. 1.1.3.3 Développement asymptotique On indique une version simplifiée du lemme de Watson. Soit la fonction f ∈ C 0 ([0,+ ∞[, ) admettant le développement asymptotique à l’origine : n

f (t ) =

∑

ν=0

ν

aν t + O ( t

n+1

f (x ) =

Si :

∑ aν x

ν

on a :

 u,f  =

∑ aν ( u )ν

ν=0

) , t → +0

1.2.1.1 Quelques opérations élémentaires dans le dual À partir d’applications linéaires de  dans , on définit par transposition les applications suivantes de ′ dans ′ . a ) La multiplication à gauche d’une forme par un polynôme  fu , p  :=  u , fp  , u ∈  ′ , f , p ∈  m

( fu ) n =

∑ aν ( u )ν + n

, n  0

ν=0

b ) La dérivée d’une forme  D u , p  := –  u , p ′  , u ∈  ′ , p ∈ 

Alors, l’intégrale de Laplace de f admet le développement asymptotique :

( Du ) n = – n ( u ) n – 1 , n  0 avec ( u ) –1 = 0



+ ∞

0

A 154 − 4

n

e

– tz

f (t )dt =

∑ aν

ν=0

.

ν=0 m

f (t ) = O (e bt ), t → + ∞ avec b  0

et telle que :

 0

Remarque : dans toute la suite, le terme polynôme sera considéré comme synonyme de fonction polynomiale.

R

a

ν! ------------ + Rn ν+1 z

∑ aν

m

x → +∞

, t  0

n

+ ∞

a

n+1

G x′ ( x, t ) d t

converge uniformément sur tout compact de A, alors, on a : d --------dx



0

Si l’intégrale converge uniformément sur tout compact de A, alors F est continue sur A. De plus : +∞

 Be bt t

ν=0

où G ∈ C 0 (A × [a, + ∞[,  ), A étant un intervalle de  .

d

∑ aν t ν

ν! – (n + 2) --------------+ O (z ) ν+1 z

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c ) La translatée d’une forme

La condition est suffisante, c’est évident. Elle est nécessaire, car si

 τ b u , p  :=  u , τ –b p  =  u , p ( x + b )  , u ∈  ′ , p ∈  , b ∈ 

on considère la forme v = u –

( τb u )n =

∑

ν+µ = n

p–1

∑ λν uν

où les coefficients sont

ν=0

 n  ( u ) bµ , n  0 ν  ν

arbitraires, on a selon l’hypothèse :  v , B n  = 0 , n  p ; on

d ) La dilatée d’une forme  h a u , p  :=  u , h a p  =  u , p ( ax )  , u ∈  ′ , p ∈  , a ∈  – { 0 }

détermine les λν en posant  v , B m  = 0 =  u , B m  – λ m , 0  m  p – 1. D’où le résultat, car alors v = 0. 1.2.1.3 Applications

n

( ha u )n = a ( u )n , n  0

Déterminons la suite duale dans deux cas. a )

De a ) et b ), on déduit : D(fu ) = f Du + f ’u

Considérons

 D ( fu ) , p  = –  fu , p ′  = –  u , fp ′ 

=  f Du, p  +  f ′u, p  =  f Du + f ′u, p  On obtient de même : f (τbu ) = τb ((τ–b f )u ) , f (hau ) = ha ((haf )u )

 0

 0

d é fi n i e

par

la suite duale de

Dv n = – ( n + 1 ) u n + 1 , n  0

= –  u , ( fp )′ – f ′ p  =  D u , fp  +  u , f ′ p 

D(τbu ) = τbDu , D(hau ) =

{ Qn }n

suite

B′n + 1 ( x ) Q n ( x ) = --------------------------,n  0. Notons { v n } n n+1 { Q n } n  0 . On a :

car :

a –1h

la

Car, par définition :  vn , Qm  = δn , m , n , m  0 ou ( m + 1 ) δ n, m =  v n , Bm ′ + 1  = –  D v n , Bm + 1  , n , m  0 En particulier :  D vn , Bn + 1  = – ( n + 1 ) ,  D vn , Bm  = 0 , m  n + 2

a Du

D’après le lemme :

1.2.1.2 Suite duale Soit { B n } n  0 une suite de polynômes ; on supposera toujours que deg B n n , n  0 . La suite { B n } n  0 est libre et engendre tout l’espace si et seulement si deg B n = n, n  0 . Dans ce cas, on peut toujours normaliser chaque polynôme et écrire Bn (x ) = x n + ..., n  0 . On dira que { B n } n  0 est normalisée. À une telle suite, on associe la suite duale { u n } n  0 , un ∈ ′ telle que :  u n , B m  = δ n, m , n , m  0 Les deux suites { u n } n  0 et { B n } n  0 sont dites biorthogonales. La suite duale existe toujours et est unique ; de plus, elle est libre. On appelle quelquefois u0 la forme canonique de { B n } n  0 . La division euclidienne de Bn + 2 par Bn + 1 permet d’écrire : n

B n + 2 ( x ) = ( x – β n + 1 )B n + 1 ( x ) –

∑ χn, ν B ν ( x )

, n  0

n+1

Dv n =

∑ λn, ν u ν

avec

= λ n, m

ν=0

et puisque λ n, m = 0 , 0  m  n ; λ n , n + 1 = – ( n + 1 ) , n  0 , on a le résultat. b ) Considérons la suite { B˜ n } n  0 définie par B˜ n ( x ) = a–nBn (ax + b ), n  0 où a ∈  – { 0 } , b ∈  . Soit {u˜ n } n  0 la suite duale. On a : n u˜ n = a ( h

–1



τ –b )u n , n  0

 u˜ n , B˜ m  = δ n , m

car : ou

a

m

a δ n, m =  u˜ n , ( h a  τ –b ) B m  =  ( τ b  h a ) u˜ n , B m 

–n ce qui implique nécessairement a ( τ b  h a )u˜ n = u n ,n  0 .

ν=0

B 0 (x ) = 1 , B 1 (x ) = x – β 0 On a, d’après la définition précédente :

β n =  u n , xB n ( x )  , n  0 χ n, ν =  u ν , xB n + 1 ( x )  , 0  ν  n , n  0 Lemme : soit u ∈ ′ et p  1 un entier. Pour que u vérifie :  u , Bp – 1  ≠ 0 ,  u , Bn  = 0 , n  p il faut et il suffit qu’il existe λ ν ∈  , 0  ν  p – 1 , λ p – 1 ≠ 0 tels que :

1.2.2 Orthogonalité régulière 1.2.2.1 Définition La suite { P n } n  0 est dite (régulièrement) orthogonale si il existe une forme u telle que : 2

 u , Pm Pn  = 0 , n ≠ m ,  u , P n  ≠ 0 , n  0 Une telle suite est libre, de sorte qu’on peut la supposer normalisée. Elle est alors unique. Une forme linéaire u est dite régulière si on peut lui associer une suite { P n } n  0 vérifiant les relations ci-dessus. Notant { u n } n  0 la suite duale de { P n } n  0 , on a alors nécessairement u = λu 0 , λ ≠ 0.

p–1

u =

∑ λν uν

ν=0

1.2.2.2 Caractérisation On a le résultat suivant : Pour chaque suite normalisée { Pn } n sont équivalents.

 0

, les énoncés suivants

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a ) La suite { Pn } n  0 est orthogonale (par rapport à u0). b ) χ n, ν = 0 , 0  ν  n – 1 , n  1 ; χ n, n ≠ 0 , n  0 . c ) Il existe { Φn } n  0 telle que deg Φn = n et u n = Φn u 0 , n  0 . –1

2

d ) un = (  u0 , Pn  ) Pn u0 , n  0 . a ) ⇒ b ). D’après l’hypothèse et le paragraphe 1.2.1.2 on a :  u0 ,

2 Pm

 χn , m = δn , m  u0 ,

2 Pn + 1

2. Fonctions eulériennes 2.1 Fonction gamma 2.1.1 Définitions

 , n, m  0

2.1.1.1 Définition de Gauss

b ) ⇒ c ). De l’hypothèse :

z

0 = χ n, ν =  xu ν , P n + 1  , n  ν + 1 , ν  0

ν+1

xu ν =

∑

µ=0

pour tout z ≠ –m , m  0 . Lorsque z = p est un entier positif, on a : — si p = 1 : n nn! --------------------------- = --------------n n+1 ∏ (1 + ν)

ν

ν

λ µ u µ avec λ ν + 1 = χ ν , ν ≠ 0 , ν  0

Il en résulte : ν

 –1  ν u ν + 1 = χ ν , ν  xu ν – ∑ λ µ u µ  , ν  0   µ=0 –1

ν=0

0

Pour ν = 0, u 1 = Φ1u 0 avec Φ 1 ( x ) = χ 0,0 ( x – λ 0 ) . D’où le résultat, par récurrence.

donc Γ (1) = 1 ; — si p  2 : p

■ Remarques : la proposition b ) montre que la suite { P n } n fie la relation de récurrence d’ordre deux :

 0

p

ν=0

véri-

( p – 1 )! = --------------------------------------------- 1 + --1- ...  1 + p ---  n  n

P0 ( x ) = 1 , P1 ( x ) = x – β0 P n + 2 ( x ) = ( x – β n + 1 )P n + 1 ( x ) – γ n + 1 P n ( x ) , n  0 où on a posé χ n, n : = γ n + 1 , n  0 . 2

2

β n =  u 0 , xP n ( x )  (  u 0 , P n  )

γ n + 1 =  u0 ,

2 Pn + 1

 (  u0 ,

2 Pn

)

–1

–1

, n  0

, n  0

La suite { P n } n  0 est réelle si et seulement si β n ∈  et γ n + 1 ∈  – { 0 },n  0 . Cela équivaut au fait que ( u 0 ) n ∈  , n  0 et donc que u0 est réelle. Si de plus, γ n + 1 > 0, n  0, on dit que u 0 est définie positive ; cela implique que  u 0 , p  0 pour chaque p ≠ 0 tel que p ( x )  0, x ∈ , puisqu’un tel polynôme peut 2 2 s’écrire p = p 1 + p 2 avec p 1 , p 2 réels. La forme u 0 est dite symétrique lorsque ( u 0 ) 2n + 1 = 0 , n  0 . Dans ce cas, il est facile de voir que β n = 0 , n  0 et réciproquement.

donc Γ (p ) = (p – 1)!. Posant par définition Γ (1) = 1 = 0!, on a ainsi :

Γ ( p ) = ( p – 1 )! , p  1

n

∏ (z + ν)

ν=0 ----------------------------- = e z n n!

z

∏  1 + ----ν- 

ν=1 n



1

n

Car

1

1 ------------- < n+1



n+1

n

1 On en déduit, posant γ n = ----- – n

+ ..., on aurait : 2



z

z

constante d ′ Euler

dx 1 ------- < --- , n  1 x n



n+1

n

dx --------- , n  1 : x

1 1 0 < γ n < ----- – --------------n+1 n Donc :

∑

n  1

A 154 − 6

n

 ν∑= 1 ----ν- – lnn  z z ν∏= 1   1 + ----ν-  exp – ----ν- 

 ∑ ----ν- – lnn  : = γ n→+ ∞ ν = 1 lim

0 =  Φ u , Pt  =  u , Φ Pt  = c  u , Pt  ≠ 0 D’où le résultat.

z

, n  1

où ln n désigne le logarithme népérien de n. Or on a :

Alors nécessairement Φ = 0 identiquement. Car si Φ ≠ 0, notant Φ(x ) =

n

– z lnn

 = exp  

Lemme : soit u régulière et soit Φ un polynôme tels que :

cx t

(2)

Lorsque z est quelconque, différent d’un entier négatif ou nul, considérons l’inverse :

Le résultat suivant est très utile.

Φu = 0

p

n n! ( p – 1 )! n n! n ( p – 1 )! ------------------------------ = ------------------------------------ = -------------------------------------------n ( p + n )! ( n + 1 )... ( n + p ) ∏ (p + ν)

c ) ⇒ a ). C’est évident. a ) ⇒ d ) et d ) ⇒ c ). C’est évident.

On a alors :

(1)

ν=0

χ ν , ν =  xu ν , P ν + 1  ≠ 0 , ν  0 Donc

n n! lim -----------------------------n n→+ ∞ z ( + ν ) ∏

Γ(z ) : =

γ n := γ

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(3)

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Une conséquence de (5) est la suivante : écrivant (1) sous la forme :

et ainsi : n

n

γ =

lim

n→+

∞ν∑ =1

γν

 n  1 = lim  ∑ ----- – ln n + ln --------------- n + 1 ν n→+ ∞  ν=1

n

∏ (z + ν )

ν=0

- Γ (z ) = 1 lim ---------------------------z n n! n→+∞

n

  1 = lim  ∑ ----- – ln n ν n→+ ∞  ν=1

on a :

Γ (z + n + 1) lim -------------------------------= 1 , z∈ z n n! n→+∞

Par ailleurs, le produit converge absolument et uniformément pour z  R , car si on définit αν(z ) par : z  1 + --z- exp – ---- = 1 + αν ( z )  ν ν

Cherchons une solution de l’équation (6) sous la forme intégrale suivante :

1 1 z2 α ν ( z ) = – --- -----2- + O  -----3- , ν → + ∞ 2 ν ν

on a :

(7)



F (z ) =

z–1

t

C

E ( t )dt

où E est une fonction à déterminer et C un chemin à choisir convenablement. Exprimant (6), on a :

2.1.1.2 Définition de Schlömilch



On a ainsi une seconde définition de la fonction gamma, proposée par Schlömilch en 1844 :  γz 1 z z ------------- = ze ∏   1 + ----- exp – -----   Γ(z) ν ν ν  1

z

C

t E ( t )dt = z

t

z–1

C

z

(4)

= t E(t )

–1

La fonction z →  Γ ( z )  est une fonction entière, admettant pour zéros les points z ν = – ν , ν  0 .



donc :



C

t

z

 E′ ( t )

E ( t )dt

C – C t z E′ ( t )dt

+ E ( t )  dt = t E ( t ) z

C

Si E vérifie les conditions : 2.1.1.3 Définition d’Euler

z

E ′(t ) + E(t ) = 0 , t E(t )

D’après (1), on a pour chaque m ∈  :

Γ (z + m) ------------------------------- = m–1

∏ (z + ν )

ν=0 z

=

alors la fonction F ainsi construite est une solution de (6), sous +∞ réserve de légitimer les opérations effectuées. z –t = 0 On trouve E (t ) = ke – t et prenant C = [0, + ∞[, on a t e 0 lorsque Re z > 0. On a ainsi :

z+m

n n! lim -------------------------------------------------------------------------m–1 n n→+∞ ( + ν ) ( z + m + ν ) z ∏ ∏

ν=0



ν=0

F(z ) = k

m

n n!n lim --------------------------------n+m n→+∞ ∏ (z + ν ) m

n = Γ ( z ) lim -------------------------------------n+m n→+∞ ( z + ν ) ∏

F(z ) =

ν = n+1

n ∏ ---νν = n+1 = Γ ( z ) lim ---------------------------------------n+m  1 + z---  n→+∞ ∏  ν

t

z – 1 –t

e dt , Re z > 0



+∞

t

0

z – 1 –t

e dt , Re z > 0

F (n ) = (n – 1)! = Γ (n )

F′ ( z ) =

m–1

(5)

ν=0

En particulier, pour m = 1 :

Γ (z + 1) = z Γ (z )

0

(8)

En fait, la fonction F est holomorphe dans Re z > 0, car :

ν = n+1

∏ (z + ν )Γ (z )

+∞

On constate que pour z = n , n ∈  * , on a :

n+m

Γ (z + m) =



On vérifie facilement que l’intégrale converge normalement pour A  Re z  α > 0 ; elle définit donc une fonction continue dans Re z > 0. Imposant la condition F (1) = 1, on a :

ν=0

donc :

C= 0

(6)

C’est la relation fonctionnelle fondamentale de la fonction gamma, valable pour z ≠ – ν , ν  0.



+∞

0

t

z – 1 –t

e lnt dt , Re z > 0

est aussi uniformément convergente pour 0 < α  Re z  A. La fonction F vérifie aussi la relation (5), ce qui permet de la définir pour tout z différent d’un entier négatif ou nul : F (z + m) - , Re z + m > 0 F ( z ) = -----------------------------m–1

∏

(9)

(z + ν)

ν=0

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A 154 − 7

FONCTIONS EULÉRIENNES. POLYNÔMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES ___________________________________________________________________________

Elle vérifie également (7), ce qu’on verra plus loin (§ 2.1.1.4) et donc, en vertu de (5), elle satisfait à la définition (1) : elle est identique à la fonction gamma. C’est la définition d’Euler :



Γ(z ) =

+∞ z – 1 –t

e dt , Re z > 0

t

0

(10)

Le prolongement analytique de l’intégrale (10) se fait aisément :

 

1

Γ(z ) = =

0 1

t

z – 1 –t

e dt +

∑

0 n 



+∞

t

1

e dt

n



+∞

t

1

n



+∞

t

1

+∞



e dt

n + 1 – ( n + 1 )t

e

t



+∞

t

x + n – ( n + 1 )t

e

0

n+1

n

–( n + 1 )

n! e dt < ----------------------------- + --------------------n+1 n+1 (n + 1)



+∞

t

x + n – ( n + 1 )t

e

dt

0 n

(13)

Il reste à voir que : –( n + 1 )

–( n + 1 )

n

n+1

e (n + 1) (n + 1) e ------------------------------------------- = -------------------------------------------------- → 0 , n → + ∞ ( n + 1 )! n! –n n

e n Posons u n = ------------------ , n  1 . On a : n! n

Γ(z + n + 1) -=1 lim -------------------------------z n n! n → +∞

lnu n = – n + nlnn –

∑ ln ν

ν=1

e dt , 0 < x < 1 , n  0

1 1 1  - = – --------- + r n lnu n + 1 – lnu n = – --------- + O  ------ n2  2n 2n

donc :

On en déduit :



1 lnu n + 1 = – 1 – ----2

+∞

t

x + n – ( n + 1 )t

e

dt

(11)

(n + 1)

– (n + 1)

(n + 1)

– (n + 2)

n! = n! =

 

 n – ( n + 1 )t t e dt  0  +∞  n + 1 – ( n + 1 )t t e dt   0 +∞

n + 1 –( n + 1 ) t 1 d = --------------- ---------  t e n + 1 dt

t n – t n + 1



1

0

t

n + 1 – ( n + 1 )t

e

n

∑ rν

ν=1

n

un + 1 = n

(12) avec

∑

ν  1

–1 ⁄ 2

n

n

 1  1 exp – 1 – -----  ∑ ----- – ln n + ∑ r ν 2  ν  ν=1 ν=1

r ν < + ∞ . D’où l’estimation : un + 1 = O  n

–1 ⁄ 2



, n → +∞

On en déduit la propriété annoncée, selon (11) et (13). Plus précisément, on a obtenu le résultat : 1 – n n + -----

on a, en intégrant entre zéro et un : dt –

ν=1

1 ----- + ν

n

d’où :



n

∑

 1 1  1 = – ----- ln n – 1 – -----  ∑ ----- – ln n + ∑ r ν 2 2  ν  ν=1 ν=1

0

Par ailleurs, de l’identité évidente :

A 154 − 8

t n + 1 < t x + n < t n si 0 < t < 1 t n < t x + n < t n + 1 si t > 1

–( n + 1 )

Faisant de même dans les intégrales Γ (n + 1) et Γ (n + 2), on a :

0

–( n + 1 )

n! e dt = ----------------------------- + --------------------n+1 n+1 (n + 1)

x + n –t

n+1

n – ( n + 1 )t

n – ( n + 1 )t

t e

+∞

(n + 1) F (x + n + 1) --------------------------------- = -----------------------------x n! (n + 1) n!

t e

1

(n + 1) e <1 + ------------------------------------------n!

Changeant t en (n + 1)t, on obtient :

1



–( n + 1 )

n! e dt = ----------------------------- – --------------------n+1 n+1 (n + 1)

0

n

0



dt +

–( n + 1 )

e dt

D’après ce qu’on a vu, il reste à montrer que la fonction F vérifie (7). Il suffit de le faire pour 0 < x < 1, en vertu du principe d’identité. On a :

– ( n + 1 )t

e

(n + 1) (n + 1) e 1 – ------------------------------------------- < -----------------------------n! n!

z – 1 –t

On peut caractériser la fonction analytique Γ par les trois conditions :

e

n + 1 – ( n + 1 )t

t

c’est-à-dire :

2.1.1.4 Une caractérisation de la fonction gamma



t

n! e ----------------------------- – --------------------- < n+1 n+1 (n + 1)

Γ ( z )  Γ ( Re z ) , Re z > 0

F (x + n + 1) =

1

0

+∞

1



dt +

–( n + 1 )

( –1 ) On constate que le résidu relatif au pôle z = – n est ---------------- . n! De (10), on a de façon évidente :

Γ(1) = 1 ; Γ(z + 1) = zΓ(z ) ;

n – ( n + 1 )t

t e

1

on a, d’après les deux égalités ci-dessus :

z – 1 –t

La seconde intégrale définit une fonction entière ; quant à la première, elle fournit la partie principale de la fonction gamma au voisinage de chaque pôle, car il est permis d’intervertir l’ordre des signes d’intégration et de sommation. On a donc : 1 ( –1 ) Γ ( z ) = ∑ ---------------- -------------- + n! z + n n  0



Puisque :

z – 1 –t

z–1+n ( –1 ) dt + ---------------- t n! 0

On en déduit, à l’aide des intégrales (12) :

–( n + 1 )

e dt = ------------------n+1

e n 2 - = k >0 lim ------------------------n! n → +∞

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(14)

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2.1.2 Une formule d’Euler

L’intégrale au second membre converge normalement pour ε > 0, grâce à l’hypothèse 0 < Re z < 1. Il en résulte, lorsque ε → 0 :



À partir de (4), on peut écrire : 1 ------------- = z Γ (z )





m

  1 lim exp  ∑ --- – lnm z m → +∞ ν = 1 ν 



m



 z z    lim ∏  1 + --ν- exp – --ν-   m → +∞ν = 1 

m

z 

z





ν=1

m

 –z z  = z lim  m ∏  1 + ---   ν  m → +∞ ν=1

1 Γ  ----- 2

+∞

0



(15)

Dans (10), changeons t en t ξ avec ξ > 0 : e

+∞

Par ailleurs, on a : Γ ε ( 1 – z ) =

–z –ξ

e

ε

+∞

Γ ( z ) Γε ( 1 – z ) =

(z )

ε +∞

=

ε

e

–ξ

 

=

t



z – 1





dt

z–1

x ------------------------ d x , – π < λ < + π , 0 < Re z < 1 iλ e x+1

On a :

= e

i λz 

 iz 

i λz 

 iz 



+∞



+∞

0

z–1

x dx ----------------------+i iλ e x+1





+∞

0

+∞

0

t

 x dx ------------------------------2-  iλ (e x + 1)  z

 1 z -  = 0 x d  --------------------- iλ  e x+1 

Re z

z – 1 – ξt

e

0

– ξ(1 + t )

t e ------------------------------------- d t 1+t

–i λ z

i λz

–i λ z

e –e θ ( z , –λ ) e – θ ( z , λ ) e θ ( z )sinλz = θ ( z ) ------------------------------- = ------------------------------------------------------------------------2i 2i

e dξ

+∞

e

0

z–1

x dx iλ ----------------------– ie iλ e x+1

On peut effectivement dériver sous le signe d’intégration, puisque si – π + ε  λ  π – ε , on a :

i λz

+∞ z – 1 – ε ( 1 + t )

0

+∞

La fonction θ est donc indépendante de λ : θ (z, λ ) = θ (z ). On en déduit :

dξ , ε > 0

–z –ξ

+∞

ε

(18)

x x xz - , x>0  ------------------------------------------------------------------------2- = -------------------------------------------2 2 iλ x – 2 x cos ε + 1 x + 2x cos λ + 1 (e x + 1)

dt d ξ 

Il est possible d’intervertir l’ordre des intégrations, car l’intégrale en t converge normalement pour ξ  ε . On a donc : +∞

(17)

Re z

z – 1 –ξ t

t

0



0

D λ θ ( z, λ ) = e

En effet, pour Re z = 0, z ≠ 0 et Re z = 1, z ≠ 1, la formule reste valable par continuité et pour un z différent d’un entier relatif, tel que Re z < 0 ou Re z > 1, il suffit de faire appel à (6).

∞  ξ  Γ ξ  

i λz

(16)

Il est instructif de déduire la formule (16) de la définition d’Euler (10). D’abord, remarquons qu’il suffit de démontrer (16) pour 0 < Re z < 1.

+

π

Dans le cas général, la méthode des résidus permet de calculer facilement l’intégrale. Il est possible également de la calculer par des moyens plus élémentaires.

θ ( z, λ ) = e

2  z  sin ( πz ) = πz ∏  1 – -------- 2 n  n  1

0

dξ ---------------- = π 2 1+ξ

π 1 Γ  n + ----- = ------(2ν – 1) , n  1 n ∏ 2 2 ν=1

On peut la démontrer à l’aide de (4), compte tenu de la représentation de sinus :



0

Considérons la fonction suivante :

π Γ ( z ) Γ ( 1 – z ) = ---------------------- , z ∈  –  sin ( πz )

Γ ( z ) Γε ( 1 – z ) =

+∞

n

 1 z –1  1 z Γ ( z ) = ---- ∏   1 + -----  1 + -----  , z ≠ – ν , ν  0 z ν  1 ν ν 

z



On en déduit, à l’aide de (6) :



Γ(z ) = ξ

1 – -----

t 2 ------------- d t = 2 1+t

1 Γ  ----- = 2

2.1.3 Formule des compléments

D’où :

 = 2

m

–z z  z 1 1   1 + ---= z lim  ∏  1 + ---  1 + --- -        ν ν m m → +∞  ν=1

Donc :

0

z–1

t ----------------- d t 1+t

1 d’où, puisque Γ  ----- > 0 , selon la définition (1) :  2

 z  1 –z = z lim  ∏  1 + --- ∏  1 + ---    ν ν  m → +∞ ν=1 ν=1 m

+∞

1 Un cas particulier élémentaire est obtenu lorsque z = ----- : 2

∏   1 + --ν- exp – --ν- 

m

   1 = z lim  exp  ∑ --- – lnm z m → +∞ ν = 1 ν 

m–1

Γ (z )Γ (1 – z ) =

d ξ dt 

1 = ----2i



+∞

0

= sin λ

x

 

z – 1

+∞

0 +∞

= sin λ =



0

+∞



1 1  dx ------------------------ – --------------------–i λ iλ  e x+1 e x+1 z

x dx ----------------------------------------------1 + 2 x cos λ + x 2 z

x dx ----------------------------------------------------2 2 ( x + cos λ) + sin λ z

cot λ

( ξ sin λ – cos λ) ------------------------------------------- d ξ en supposant 0  λ < π 2 ξ +1

Lorsque λ → π, on a :

θ ( z ) sin πz =



+∞

–∞

dξ ---------------- = π 2 ξ +1

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A 154 − 9

FONCTIONS EULÉRIENNES. POLYNÔMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES ___________________________________________________________________________

Re z

z ( ξ + 1) ( ξ sin λ – cos λ )  ------------------------------- , ξ∈ -------------------------------------------2 2 ξ +1 ξ +1

car :

On a, compte tenu de la définition (1) : 

 ν   z + ---  n  m! m   nz n ∏  lim -----------------------------------------m  m → +∞ ν ν = 0 ∏  z + ----n- + µ   µ=0   φ n ( z ) = ---------------------------------------------------------------------------------------nz m m! --------------------------------n lim m m → +∞ ∏ ( nz + µ ) n–1

λ ( ξ sin λ – cos λ ) – 1 = O  cos ---- , λ→π --------------------------------------------------- 2 2 ξ +1 z

uniformément quel que soit ξ  A . On a ainsi :



+∞

0

z–1

x dx π – i λz --------------- , – π < λ < +π , 0 < Re z < 1 ---------------------- = e iλ sin πz e x+1

µ=0

La formule des compléments en découle.

 n–1 ν    z + ---  n  n ( m! ) m   ∏ ν=0   - lim  -------------------------------------------------------m n – 1 m → +∞  ν  - + µ   ∏ ∏  z + -- n  µ=0 ν=0  nz – 1   ----------------------------------------------------------------------------------------------------------= n     nz   ( m + 1 )n – 1   ( m + 1 )n – 1  !  - lim  ----------------------------------------------------------------------------------( m + 1 )n – 1 m → +∞  ( m + 1 )n  n ∏  z + ----µ-    n µ=0

■ Applications La formule (16) donne :

et avec (6) :

π Γ ( iy ) Γ ( 1 – iy ) = ----------------------sin ( iπy ) π – iy Γ ( iy ) Γ ( – iy ) = ----------------------sin ( iπy ) π Γ ( iy ) =  ------------------------------- y sinh ( πy )

donc :

1 ----2

, y ∈  – {0}

(19)

On en déduit, puisque Γ (1 + i y ) = i y Γ (i y ) :

Mais, on voit que :

1

----πy 2 Γ ( 1 + iy ) =  -------------------------- , y ∈  sinh ( πy )

(20)

1 1 π π Ensuite : Γ  --- + iy Γ  --- – iy = ---------------------------------- = -----------------------2  2  cos ( iπy ) π   sin --- + iπy 2 

m

n–1

ν

∏ ∏  z + ----n- + µ

( m + 1 )n – 1

∏

=

µ=0 ν=0

µ=0

donc : 1 ----- ( n – 1 )

( m + 1 )n  Γ ( m + 1 )  m nz m 2 n lim ------------------------------------------------------------------------------------------nz m → +∞  ( m + 1 )n – 1  Γ ( mn + n ) n

φn ( z ) = n

1

--π 1 2 Γ  --- + iy =  -------------------------- , y ∈  cosh ( πy ) 2

donc :

nz – 1

(21)

n

2.1.4 Formule de multiplication de Legendre-Gauss n–1

ν

∏ Γ  z + ----n-

1 1 ----- ( n – 1 ) ----- – nz 2

= ( 2π ) 2

n

µ  z + --- n

=

(23)

1 ----- ( n – 1 ) ( m + 1 )n – 1 m2 n

Γ(m + 1) lim -------------------------------------------------------------------------------------Γ ( mn + n )

m → +∞

La fonction φn est donc indépendante de z.

Γ ( nz ) , n  2

ν=0

(22) 2.1.4.2 Seconde étape D’après la définition :

2.1.4.1 Première étape 1 φ n ( z ) = φ n  -----  = n

Considérons la fonction suivante : n–1

n

nz

ν

∏ Γ  z + --n-

ν=0

φ n ( z ) = -------------------------------------------- , n  2 n Γ ( nz )

n–1

ν

∏ Γ  ----n-

ν=1

n–1

=

ν

∏ Γ  1 – ----n-

ν=1

Il en résulte, d’après la formule des compléments (16)

 φn ( z ) 

n–1

2

=

n–1   ν  ν  π - Γ 1 – -----  = ------------------------------------ Γ  ---n–1    n n  ν nu = 1   π ---sin ∏  n

∏

ν=1

Par ailleurs, de l’identité : n

x –1 ----------------- = x–1

A 154 − 10

n–1

∑

µ=0

x

µ

n–1

=

2i µ π

- ∏  x – exp --------------n 

µ=1

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, n  2

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du calcul des probabilités. Une telle expression est fournie par la formule de Stirling :

on a, en prenant x = 1 : n–1

n =

n–1

2iµπ

- ∏  1 – exp -------------n 

iµπ  i µπ iµπ exp – ----------- – exp -----------  n  n

∏ exp ---------n

=

µ=1

µ=1

n! e n ---------------  --- = 1 2 π n  n

lim

n → +∞

(27)

Or, on a vu qu’il existe une constante k > 0 telle que, selon (14) : n–1

=

∏

µ=1

iµπ exp ----------n

n–1

 µ π  ∏  – 2 i sin  -----n   µ = 1

n! –1 lim --------------------------–n n + 1 ⁄ 2 = k n

n → +∞ e

Par ailleurs, on a de (26) où n = 2 :

Mais : n–1

n–1

 1 n–1 iµπ  exp – ----- iπ ( n – 1 ) = exp  ∑ ----------- = 2 2 µ=1 n 

i µπ

∏ exp ---------n

µ=1

n–1

∏ ( –2i )

n–1

= 2

n–1

µ=1

π

∏ exp – i --2-

= 2

n–1

µ=1

n–1

n = 2

donc :

n–1

∏

µ=1

2

Γ (m + 1) ---------------------------------Γ 2(m + 1)

1 exp – ----- iπ ( n – 1 ) 2

2

1 1 -k = ---- = ------k k2

µπ sin  ---------  n  on a :

n–1

( 2π ) = ----------------------n

1 d’où, puisque φ n  ----- > 0 :  n

m

1 ----3 2 – ---- – 2m 2 2

, m → +∞

Écrivant :

Il en résulte :

 φn ( z ) 

2π  ∼  -------

k

–1

2

1

2

=

1 2n + ----

– 2n

2 e ( 2n ) ( n! ) -------------------------------------lim ----------------------------– 2n 2n + 1 lim ( 2n )! n n → +∞ e n → +∞

1 – ----( n! ) 2n + ---2n 2 lim --------------- 2 n → +∞ ( 2n )!

= ( 2πn )

1⁄2

2

1 1 – ----- – 2n + 2n + ----2 2

n –1 ⁄ 2 = ( 2π )

1⁄2

D’où la formule (27).

n–1 ------------2

(2π) φ n ( z ) = ----------------------1⁄2 n

2.2 Fonction bêta

On en déduit (22).

2.2.1 Définition

2.1.4.3 Conséquences Accessoirement, on a les résultats suivants : l’un qui généralise (17) : 1 ---- ( n – 1 ) 2

n–1

B ( p, q ) =

ν ( 2π ) - , n  2 ∏ Γ  --n- = ---------------------------1⁄2 n ν=1

(24)

n

lim

Γ (m + 1) ---------------------------------- m Γ (m + 1)n n

1 ----- ( n – 1 ) 2 (m + 1)n – 1

n

Γ (m + 1) ou aussi : ---------------------------------- ∼ ------Γ  ( m + 1 )n   m 

n

1

t

p–1

0

(1 – t )

, m → +∞

 

B ( p, q ) = 2 B ( p, q ) =

0

0

ξ ξ

B ( p, q ) =

2.1.4.4 Formule de duplication de Legendre Pour n = 2 dans (22), on obtient la formule de duplication de Legendre :

π⁄2

+∞

(25)

valable pour chaque n ∈ .

1 – 2z 1 Γ ( z ) Γ  z + ----- = 2 π Γ ( 2z ) 2

q–1

d t , Re p , Re q > 0

À partir de quelques changements de variables simples, on constate qu’on peut aussi écrire :

1 ----- ( n – 1 ) 2

(2π) = ----------------------------1⁄2 n

1 1 ----- ( n – 1 ) ---- – ( m + 1 )n 2 2  2π 



Remarques : l’intégrale figurant au second membre est aussi appelée fonction eulérienne de première espèce, alors que l’intégrale définissant Γ par (10) est appelée fonction eulérienne de seconde espèce.

et l’autre de caractère asymptotique (d’après (23)) :

m → +∞

La fonction bêta, notée (p, q ) → B (p, q ), est définie par l’intégrale :

On a

0

sin

2p – 1

ϕ cos

2q – 1

ϕdϕ

p–1

t ---------------------------- dt p+q (1 + t ) 1–p–q

η

p–1

(ξ – η)

q–1

dη

B (p , q ) = B (q , p )

(26)

2.1.5 Formule de Stirling La connaissance d’une expression fournissant une valeur approchée de n ! pour n très grand (c’est-à-dire avec une erreur relative faible) est capitale en analyse combinatoire et dans les applications

2.2.2 Formule généralisée des compléments La formule suivante, reliant la fonction bêta à la fonction gamma, généralise celle des compléments :

Γ (p )Γ (q ) B ( p, q ) = ------------------------------Γ (p + q )

(28)

Elle est valable pour p, q différents d’un entier négatif ou nul. Elle réalise le prolongement analytique de la fonction bêta.

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A 154 − 11

FONCTIONS EULÉRIENNES. POLYNÔMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES ___________________________________________________________________________

Considérons pour Re p > 0 :



Γε ( p ) = Écrivant Γ ( q ) = t

Γε ( p ) Γ ( q ) = =

 

q



+∞

ξ

0

c’est-à-dire, compte tenu de la relation des compléments (16) : t

ε

p – 1 –t

e dt , ε > 0

q – 1 –t ξ

e

La formule reste valable si on suppose α ∈  – [ – 1 , 0 ] . d ξ , Re q > 0, on a : 2.2.3.3 Troisième exemple

+∞

ε +∞ ε

Γ ( q )t

p – 1 –t

e dt =

p + q – 1 –t

t

α p π 1 I = ---  ------------- --------------------α  1 + α sin ( pπ )

+∞

e

 



+∞

ξ

0



+∞ –q

t Γ ( q )t

ε

q – 1 –t ξ

e

p + q – 1 –t

Γε ( p ) Γ ( q ) =

 

=

ξ

0 +∞ 0

q – 1





+∞

t

ε

d ξ dt 

p + q – 1 –t ( 1 + ξ )

e

q–1

ξ  ----------------------------p+q  (1 + ξ)



+∞

ε(1 + ξ)

θ

p+q–1 –θ

e

Γ(p )Γ(q ) = Γ(p + q )



0

q–1

Fε , N ( ω ) =

1



0

ε

cos ( ω x ) -----------------------dx n x



N

cos ( ω x )  

ε





+∞

0

t

n – 1 – tx

e

d t d x 

+∞

t

0

n – 1 – tx

e

dt

1 2 ---- ---------------π Γ (n)



+∞

t

0

n – 1





N

ε

cos ( ω x ) e

– tx

d x d t 

cos ( ω x ) e

– tx

dx = A N ( t ) + Bε ( t )

ω 2  t cos ( ωε ) sin ( ωε )  –t ε - – ---------------------- e B ε ( t ) = ----------------- -------------------------2 ω ω + t 2 ω2 

x ( 1 – x ) dx

est ramenée à une intégrale eulérienne de première espèce en posant x m = u. On obtient : p+1 1 I = ------- B  -------------- , q + 1  m  m

De plus :



1 Γ -----  n 1 dx ---------------------- = π ----- ---------------------------- , n n 0 1 1 1–x Γ ----- + -----  n 2



+∞

t

n–1

0



Ainsi, on a facilement :



N

N

ε

m q

p



ω 2  sin ( ω N ) t cos ( ω N )  –tN -  ------------------------ – ----------------------------- e A N ( t ) = -----------------ω ω 2 + t 2 ω2 

avec :



cos ( ω x ) ----------------------- dx , 0 < n < 1 , ω > 0 n x

Cette dernière intégrale converge normalement dans l’intervalle [ε, N ] ; on peut donc intervertir l’ordre des intégrations :

2.2.3 Applications

I =

0

1 1 ------n- = ------------Γ (n) x

car :

Or, on a :

L’intégrale :

→+∞

1 2 ---- --------------π Γ (n )

=

C’est la relation (28) pour Re p, Re q > 0.

2.2.3.1 Premier exemple

2 ---π

Fε , N ( ω ) =

d θ d ξ 

ξ ----------------------------dξ p+q (1 + ξ)



se calcule en considérant :

dt d ξ 

La première intégrale converge normalement pour ε > 0. On a donc, lorsque ε → + 0 : +∞

2 ---π

F (ω ) =

L’intégrale en ξ converge normalement pour t  ε >0 ; on a donc : +∞

La transformée de Fourier en cosinus :

e dt

+∞

0

t

A N ( t ) dt 

n–1

Bε ( t ) d t

0

→

Les paramètres ne sont pas nécessairement entiers.

ω+t n – 1 – tN –n --------------------- t e dt = O (N ) 2 2 ω +t N → +∞



+∞

ε → +0 0

1

n>0

+∞

n

n–1

t dt πω ------------------ = ---------------------------------------2 2 π ω +t 2 sin  --- ( n + 1 ) 2 

Donc : F (ω ) =

n–1

π ω ----- ----------------------------------------2 πn Γ ( n ) cos  --------- 2

2.2.3.2 Deuxième exemple Dans l’intégrale : I =



1

x

0

p–1

(1 – x )

–p

dx --------------- , 0 < p < 1 , α ∈  – [ – 1 , 0 ] x+α

α t , il vient : posons : x = -------------------1+α–t 1 α p I = ---  --------------- α 1 + α 

2.3 Fonction digamma 2.3.1 Définition



1

0

t

p–1

–p

( 1 – t ) dt

2.3.1.1 Dérivée logarithmique de  On a donné le nom de fonction de Gauss psi ou de fonction digamma à la dérivée logarithmique de la fonction Γ :

Γ ′(z ) Ψ ( z ) = ---------------Γ (z )

A 154 − 12

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(29)

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Puisque la fonction gamma n’a que des pôles simples et ne s’annule jamais, la fonction digamma est aussi méromorphe dans tout le plan, avec des pôles simples de résidu respectivement égaux à – 1 aux points z = – ν, ν  0 .

2.3.2 Série de Jensen 2.3.2.1 Résultat asymptotique On peut préciser la relation (35). En fait, de :

2.3.1.2 Représentation de la constante d’Euler

lim  ln ( s + n ) – lnn  =

De la représentation (4), on a :

n → +∞

1 1 1 Ψ ( z ) + γ = – ---- – ∑  ------------ – ----- z ν1 z+ν ν

(30)

pour chaque s ∈ , où z → ln z désigne la détermination principale du logarithme dans z + |z | ≠ 0, on a : n

  1 γ = lim  ∑ --- – ln ( s + n )  ν n → +∞   ν=1

La série est absolument et uniformément convergente pour z dans un compact ne rencontrant pas – . De

∑

ν  1

1 1  -----------– --- = – 1 , on a Ψ (1) + γ = 0, c’est-à-dire :  1 + ν ν

γ =



+∞

0

1 –t e ln ---t dt

s lim ln  1 + --- = 0  n

n → +∞

(36) n

Puisque, des relations précédentes : Ψ ( 1 + n ) = en déduit : lim  Ψ ( z + n ) – ln ( s + n )  = 0

(31)

∑

ν=1

1 ----- – γ , on ν (37)

n → +∞

2.3.1.3 Une caractérisation À partir de (6), on voit que la fonction Ψ vérifie l’équation fonctionnelle : 1 (32) Ψ ( z + 1 ) – Ψ ( z ) = --z

2.3.2.2 Conséquence Le résultat précédent permet d’obtenir une série représentant la fonction psi. De l’identité : n–1

cos ( π z ) Ψ ( z ) – Ψ ( 1 – z ) = – π --------------------sin ( π z )

Ψ (z + n ) =

∑

(33)

ν=0

n–1

1 1 d’où : Ψ ( z + n ) – Ψ ( 1 + n ) = --- – --- + z n

n–1

(34)

 1



- – ln  1 + ------------  + Ψ ( z + n ) – ln ( z + n ) ∑  z---------- +ν z + ν 1

ν = 0



et donc, compte tenu de (37) :

- – ----- + Ψ ( z ) – Ψ ( 1 ) ∑  z----------+ ν ν 1

,n  2

on trouve, avec (34) :

Ψ ( z ) = lnz –

1 ------------ + Ψ ( z ) , n  1 z+ν

1

ν=1

Plus généralement, de (32), on a : n–1

- ∑ ln  1 + z----------+ ν

ln ( z + n ) – lnz =

La formule des compléments (16) fournit l’équation :

1

Ψ ( z ) = lnz –

ν=1

∑

 1 1  - – ln  1 + ------------   ---------- z+ν z + ν 

ν  0

(38)

Tenant compte de 2.3.1.2, on obtient : lim  Ψ ( z + n ) – Ψ ( 1 + n )  = 0

n → +∞

(35)

uniformément quel que soit z dans un compact ne contenant aucun des pôles de Ψ. La fonction digamma peut être caractérisée par les conditions : 1 F ( 1 ) + γ = 0 ; F ( z + 1 ) – F ( z ) = ---- ; z lim

F (z + n ) – F (1 + n )

n → +∞

= 0

2.3.3 Intégrale de Raabe



1

0

ln  Γ ( z + t )  dt = z lnz – z + ln ( 2π )

valable pour z + |z | ≠ 0. 2.3.3.1 Première étape L’équation fonctionnelle (32) peut aussi s’écrire :

où z ≠ – ν , ν  0 .

Ψ 1

Car des deux premières conditions, on obtient : 1 F ( z + n ) – F ( 1 + n ) = --- + z

n–1

- – --- – --- + F ( z ) + γ ∑  ----------z + ν ν n 1

1

ν=1

1

(39)

0

c’est-à-dire :

 

Ψ 1

0

1 ′ ( z + t )dt – --- = 0 z

′ ( z + t )dt – lnz = 0 , z + z ≠ 0 

Donc :

et de la troisième : 1 1 1 F ( z ) + γ = – --- – ∑  ------------ – ----- z ν  1z + ν ν  ce qui implique, selon (30) : F (z ) = Ψ (z ).

 Ψ 1

0



 Ψ 1

( z + t ) – lnz dt =

0



( z + n + t ) – ln ( z + n ) dt , n  0

D’où, en vertu de (37) :

Ψ 1

0

( z + t ) dt = lnz , z + z ≠ 0

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(40)

A 154 − 13

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2.3.3.2 Seconde étape

Il a été possible d’intervertir l’ordre des signes de sommation et d’intégration, car :

L’intégrale précédente est la dérivée de :



1

0

et donc :





ln  Γ ( z + t )  dt , z + z ≠ 0

+∞

0

e

–t ( z + ν )

–e

ln  Γ ( z + t )  dt = A + z lnz – z

ln Γ ( t )dt = A

n

∑

Il s’agit de calculer la constante A. D’après la formule des compléments, on a :



2A =



1

0

ln  Γ ( t ) Γ ( 1 – t )  dt =

2A = lnπ –



1

0

π ln  --------------------- dt  sin ( πt ) 

1 --- = ν

0

n

∑

ν=1

1



ln ( sin πt )dt n

1



π = ln 2 + ln  sin --2- t dt +   0 1



0

ln ( sin πt )dt = ln 2 + 2



1 --- – lnn = ν



π ln  cos --2- t dt   0 1



+∞

0

 



+∞

0



+∞

e

–t ν

dt =

0

+∞

0

n

1

n

 



e

– tx

1

 

+∞

e

– tx

0



Ψ(z ) + γ = –

= –

=

e

0





e

– tz

+ ∞ –t

0

∑

ν1

+∞

0

dt –

dt – – tz





0

dx dt = 

e



+∞ – t



+∞

0



+∞

0

1 –nt 1  ------------- – --- e dt  t  e –1 t

1 1 –t  ---------------– --- e dt –t  t 1–e



+∞

0

– tz   e –t e  ------- – --------------- dt , Re z > 0  t 1 – e –t

–e

–t ν

dt

ln  Γ ( z + 1 )  – zlnz + z – ln 2π =



(41)

(42)

1

0

t Ψ ( z + t )dt

On pose alors par définition : –t

1 µ ( z ) := ln  Γ ( z + 1 )  –  z + --- lnz + z – ln 2π 2

(43)

que l’on appelle la fonction de Binet, et on a :

µ(z ) =



1

0

1  t – ---- Ψ ( z + t )dt , z + z ≠ 0  2

2.3.5.2 Une représentation intégrale Introduisons la fonction suivante : 1 P 1 ( t ) = t – [ t ] – --- , t ∈  2

A 154 − 14

– nt

e –e ------------------------ d t t

0

Une intégration par parties dans l’intégrale de Raabe permet d’écrire (39) sous la forme :

e –e --------------------------------- dt –t 1–e

e –e ---------------------- d t , Re z > 0 –t 1–e

– nt

1–e –t -------------------e dt –t 1–e

2.3.5.1 Définition

–t ( z + ν )

+ ∞ –t ( z + 1 )

0

, ν  1 , Re z > 0

dt dx 

On peut écrire (30) sous la forme, si Re z > 0 : +∞

1⁄2

2.3.5 Fonction de Binet

2.3.4 Une représentation intégrale de la fonction psi

– tz

1⁄2

Finalement, on obtient la représentation suivante, due à Gauss :

ln ( sin π ξ )d ξ

Il en résulte A = ln ( 2π ). D’où l’intégrale de Raabe.

+∞

– tz 2

1–e -------------------- d t  t

1–e -------------------- d t  t

1 –t 1  ---------------– --- e dt – –t  t 1–e

γ =

Ψ(z ) =

1

0

1⁄2

Il en résulte facilement :

Posant t = 2ξ dans la première intégrale et t = 2ξ – 1 dans la seconde, on obtient : 1

∑

ν=1

π π ln  2 sin --2- t cos --2- t  dt   0

ln ( sin πt )dt =

e –1 -------------------- dt t

– tz 2

0

dx ------- = x

0

Donc :

1



d t 

+∞

– tz

–t ν

     n

lnn =

=

Mais :

0

ν=1

1

0

2 –2 t ν

t e

+∞

Ainsi :



+∞

te

Par ailleurs, la constante d’Euler admet également une représentation intégrale analogue, car :

1

0



+∞

0

1 1  = --- ---------2 ν3 ⁄ 2 

où A est une constante. Faisant z → 0 le long de l’axe réel positif, on a :





dt =

  

1

0

–t ν

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(44)

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où [t] dénote le plus grand entier inférieur ou égal à t. Cette fonction est périodique, de période un. Elle est continue partout sauf pour t = n ∈  : 1 1 P 1 ( n + 0 ) = – ----- , P 1 ( n – 0 ) = ----2 2 De plus :



n+1

P 1 ( t )dt = 0 , n ∈ 

(45)



(46)

n

Alors on a :

µ(z ) = –

→+∞

0

P1 ( t ) -------------- dt , z + z ≠ 0 z+t

l’intégrale étant semi-convergente. Montrons d’abord que l’intégrale existe ; posant Q(t ) =



t

0

P 1 ( τ )d τ pour t > 0, on a Q ( t ) 



1

0

P1 ( τ ) d τ = A , t > 0 ,

Il en résulte que µ (z ) → 0 lorsque |z | → + ∞, de sorte que argz  π – δ , δ > 0 . Cela implique selon (43) : z Γ ( z + 1 ) =  ---- e



a



donc :

→+∞ 0

P1 ( t ) Q(t ) -------------- dt = ------------z+t z+t



P1 ( t ) ---------------- dt = z+t

+∞

0

Q (t ) -dt a + a -----------------2 (z + t )

2.3.7.1 Construction de l’intégrale La fonction de Binet admet plusieurs représentations intégrales. L’une d’entre elles, due à Binet, est la suivante :



+∞

0

– tz

1 1 e 1  ------------- – --- + --- --------- d t , Re z > 0  t t 2 t e –1

b

Q(t ) ------------------2- d t , z + z ≠ 0 (z + t )

D’après (43), on a, compte tenu de (32) : 1 µ ′ ( z ) = Ψ ( z ) – lnz + -------2z D’après (42) et la représentation du logarithme, on obtient :





0

  

µ′(z ) =

n

P1 ( t ) --------------- dt = z+t

P1 ( t 0 n+1

=

= –

)Ψ (z + t + 1) – Ψ (z + t )dt

 

P1 ( t ) Ψ ( z + t ) d t –

1

1

0

n

0

P1 ( t ) Ψ ( z + t ) d t

P1 ( t ) Ψ ( z + t ) d t +

n

P1 ( t ) Ψ ( z + t ) d t

µ(z) – µ(1) =

1

  

+∞

=

n+1

P 1 ( t ) Ψ ( z + t )dt =

n

  z

n+1

=





0

1

0

P 1 ( t ) Ψ ( z + t + n )dt

1

0

P 1 ( t )  Ψ ( z + t + n ) – Ψ ( 1 + n )  dt → 0 , n → +∞

+∞

0

– tz 1 1 – 1 --- + --- – -------------- e d t t  2 t  e –1

Cette intégrale converge normalement pour Re z  α > 0 . On peut donc intégrer :

Mais :



(48)

b

Par ailleurs, en vertu de (32) : n

(47)

2.3.7 Première intégrale de Binet

µ(z ) = b

2πz  1 + o ( 1 ) 

dans les conditions indiquées. On retrouve la formule de Stirling qui permet de trouver un équivalent de Γ (z + 1) lorsque z complexe devient infiniment grand en restant dans le domaine obtenu en enlevant au plan un secteur contenant l’axe réel négatif.

d’après (45). Ensuite :

z

+∞

0

–t ζ  1 1 – 1 --- + --- – -------------- e d t d ζ t  2 t   e –1 – tz

1 1 1 e  ------------- – --- + --- --------- d t –  t  e –1 t 2 t



+∞

0

–t

1 1 1 e  ------------- – --- + --- ------- d t  t  e –1 t 2 t

Lorsque z → + ∞ en restant réel par exemple, la première intégrale tend vers zéro, donc :

µ(1) =

d’après (35). D’où (46).



+∞

0

–t

1 1 1 e  -------------- – --- + --- ------- dt  t  e –1 t 2 t

D’où (48).

2.3.6 Retour sur la formule de Stirling L’équation (46) fournit des informations sur le comportement asymptotique de la fonction de Binet. Posant z = re iθ où – π < θ < π, on a : t+z

2

2.3.7.2 Développement asymptotique de la fonction de Binet Les nombres de Bernoulli B 2n , n  1 sont définis par le développement suivant :

θ θ = ( t + r cos θ ) 2 + r 2 sin 2 θ = ( t + r ) 2 – 4tr sin 2 ---  ( t + r ) 2 cos 2 --2 2

θ 2 car ( t + r )  4tr . D’où t + r  ( t + r ) cos --- . On en déduit : 2 µ(z ) =



→+∞

0

P1 ( t ) ---------------- dt = z+t

θ   cos --2 

–2



+∞

0



+∞

0

Q (t ) ------------------2- d t (t + r )

Q (t ) A θ –2 ------------------2- d t  ------  cos -----    r 2 (t + r )

On a

1 ν – 1 B2 ν 2 ν t --------------t ------------- + ----- t = 1 + ∑ ( – 1 ) , t < 2π t ( 2 ν )! e –1 2 ν1 1 1 1 B 2 = ----- , B 4 = ------ , B 6 = ------ ,... 6 30 42

(49)

On en déduit pour la fonction qui intervient dans l’intégrale de Binet (48) : 1 1 1 1  ------------- – --- + --- --- =  e t – 1 t 2 t

∑

ν1

( –1 )

ν–1

B2 ν 2 ( ν – 1 ) -------------t , t < 2π ( 2 ν )!

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A 154 − 15

FONCTIONS EULÉRIENNES. POLYNÔMES ORTHOGONAUX CLASSIQUES ___________________________________________________________________________

D’après le lemme de Watson (§ 1.1.3.3), on a le développement asymptotique : n

µ(z ) =

∑ ( –1 )

ν–1

ν=1

B2 ν –( 2 ν – 1 ) – ( 2n + 1 ) ------------- Γ (2ν – 1) z + O z  ( 2 ν )!

(50)

π lorsque z → +∞ , arg z  τ < ---- . 2

3.1.1.2 Un exemple particulier : les polynômes d’Hermite Ceux-ci appartiennent à une classe très générale : les polynômes d’Appell. On dit que la suite { Pn } n  0 , non nécessairement orthogonale, est une suite d’Appell si elle est identique à la suite des dérivées : Q n = Pn , n  0

Notant respectivement { un } n  0 et { vn } n  0 les suites duales de { Pn } n  0 et { Q n } n  0 , on a vu que :

2.3.7.3 Encore la formule de Stirling

Dvn = – ( n + 1 )un + 1 , n  0

Dans (50), prenons n = 1. On a :

Du n = – ( n + 1 )u n + 1 , n  0

Selon (43), on peut écrire :

µ(z )

(56)

On en déduit par récurrence : z

2πz e

µ(z )

n

D u0 un = ( – 1 ) n -------------- , n  0 n!

Mais, en vertu de ce qui précède : e

(55)

Ici, on doit avoir vn = un , n  0 , donc :

B2 1 1 µ ( z ) = -------- --- + O  ------2 z z3

z Γ ( z + 1 ) =  --- e

(54)

Réciproquement, si { Pn } n  0 est telle que sa suite duale vérifie (57), alors elle est une suite d’Appell.

1 1 1 π 1 1 = 1 + ------ --- + ---------- -----2- + O  -----3- , arg z  τ < --z  2 12 z 288 z

n

Exemple : la suite { x } n  0 avec u0 = δ est une suite d’Appell.

D’où le développement asymptotique de la fonction Γ :  z z 1 1 1 1 1  -  Γ ( z + 1 ) =  --- 2πz  1 + ------ --- + ---------- -----2- + O  ------e 12 z 288 z z3  

(57)

3.1.1.3 Suites d’Appell orthogonales (51)

En fait, il est valable pour arg z  π – δ .

Supposons maintenant que la suite d’Appell { Pn } n  0 soit orthogonale ; ipso facto, la suite des dérivées l’est aussi et donc { Pn } n  0 est une suite classique. Par hypothèse, on a : 2

 ( u 0 , P n )  u n = Pn u 0 , n  0

3. Polynômes orthogonaux classiques

La relation (56) devient :

  u 0 , P n2   c’est-à-dire :

3.1 Définitions

3.1.1.1 Définition des suites classiques Sauf mention du contraire, les suites envisagées sont toujours normalisées. P n′ + 1 ( x ) - , n  0 est la suite des dérivées { Q n } n  0  Q n ( x ) = -------------------------  n+1 aussi orthogonale. Une forme régulière, dont la suite orthogonale associée est classique, sera appelée une forme classique. On a donc pour une suite classique :

Q 0 ( x ) = 1 , Q 1 ( x ) = x – β˜ 0

  Q n + 2 ( x ) = ( x – β˜ n + 1 )Q n + 1 ( x ) – γ˜ n + 1 Q n ( x ) , n  0 

(52)

(53)

Il s’agit de déterminer les éléments β n , γ n + 1 , β˜ n , γ˜ n + 1 , n  0 et les formes canoniques u0 , v0 .

A 154 − 16

–1

D ( Pn u 0 ) = – ( n + 1 )   u 0 , P n + 1   Pn + 1 u 0 2

n+1 D ( P n u 0 ) = – ------------- P n + 1 u 0 , n  0 γn+1

(59)

P1 ( x ) Du 0 = – --------------- u 0 γ1

(60)

On en déduit pour (59), puisque : n+1 Pn Du 0 + P n′ u 0 = – -------------- P n + 1 u 0 γn+1

On appelle suite classique toute suite orthogonale { P n } n  0 dont

  P n + 2 ( x ) = ( x – β n + 1 )P n + 1 ( x ) – γ n + 1 P n ( x ) , n  0 

–1

Pour n = 0 :

3.1.1 Définition de Hahn

P0 ( x ) = 1 , P1 ( x ) = x – β0

(58)

n+1 P ′ – P -----1- Pn  u 0 = – ------------- P n + 1 u 0  n γn + 1 γ1  c’est-à-dire, en vertu de la régularité de u0 : P1 ( x ) n+1 P n′ ( x ) – ---------------- Pn ( x ) = – ------------- P n + 1 ( x ) , n  0 γn + 1 γ1 Dans (61), faisons n → n + 1 P n′ + 1 ( x ) = ( n + 1 )P n ( x ), on a :

et

sachant

P1 ( x ) n+2 ( n + 1 )Pn ( x ) – ---------------- P n + 1 ( x ) = – ------------- P n + 2 ( x ) γ1 γn + 2 ou encore :

γ n + 2 P1 ( x ) n+1 P n + 2 ( x ) = ------------- ---------------- P n + 1 ( x ) – ------------- γ n + 2 Pn ( x ) , n  0 n+2 n + 2 γ1

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(61) que

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Comparant avec (52), on a :

γ n + 2 x – β0     n+1 - --------------- P ( x ) =  γ n + 1 – ------------- γ n + 2 Pn ( x )  x – βn + 1 – -----------n + 2 γ 1  n + 1 n+2    pour n  0, d’où, après examen des degrés :

3.1.2.1 Les conditions (62) et (63) sont nécessaires

γn + 2 1 γ n + 2 β0 n+1 1 – ------------- ----- = 0, ------------- ------ – β n + 1 = 0, γ n + 1 – ------------- γ n + 2 = 0 n + 2 γ1 n + 2 γ1 n+2

L’hypothèse se traduit par les relations : 2

γn + 1 βn + 1 = β 0 , ------------ = γ1 , n  0 n+1

En portant dans (55), on a :

Par une transformation affine convenable, on peut choisir β0 = 0 1 et γ 1 = ----- . On obtient alors les polynômes d’Hermite (normalisés) : 2 1 βn = 0 , γ n + 1 = --- ( n + 1 ) , n  0 2

 v0 , Qn   2

–1

–1

D  Q n v 0  = – ( n + 1 )   u 0 , P n + 1   P n + 1 u 0 (64) 2

pour n  0 . Lorsque n = 0, on a : 1 Dv 0 = – ----- P 1 u 0 γ1

À une transformation affine près, la suite d’Hermite est la seule suite d’Appell orthogonale. D’après (60), la forme d’Hermite u 0 =  vérifie l’équation : Du0 + 2xu0 = 0

3.1.2 Équation fonctionnelle

(65)

Compte tenu de D ( Q n v 0 ) = Q n Dv 0 + Q′n v 0 et de (65), on a pour (64) : 2

 v0 , Qn  1  - P n + 1 u 0 , n  0 (66) Q′n v 0 =  -----P 1 Q n – ( n + 1 ) -------------------------------------2 γ  u0 , Pn + 1   1  En particulier, pour n = 1, on a :

On a l’énoncé suivant : Pour que la suite orthogonale { P n } n  0 soit une suite classique, il faut et il suffit qu’il existe deux polynômes Φ et ψ, Φ normalisé, tels que : D(Φu0) + ψu0 = 0 (62)





1 –1 v 0 = ----- P 1 Q 1 – 2 γ˜ 1 γ 2 P 2 u 0 γ1

(67)

Le polynôme au second membre ne pouvant pas être identiquement nul, on pose : –1 P 1 ( x )Q 1 ( x ) – 2 γ˜ 1 γ 2 P 2 ( x ) := k Φ ( x )

et vérifiant : 1 deg Φ  2 , deg ψ = 1 , ψ ′ ( 0 ) – --- Φ ″ ( 0 )n ≠ 0 ,n  1 2

(63)

Lorsque deux polynômes Φ et ψ satisfont les conditions ci-dessus, on dit qu’il s’agit d’un couple admissible. ■ Remarques : l’équation (62) est équivalente à la relation de récurrence donnant les moments de u0 : n

 D ( Φ u0 ) + ψ u0 , x  = 0 , n  0

 D ( Φ u0 ) n +  ψ u0 n

= 0 , n0

Mais :

 D ( Φ u0 ) n

2

 u 0 , P n  u n = Pn u 0 ,  v 0 , Q n  vn = Qn v 0 , n  0

pour n  0 ; on en tire :

c’est-à-dire :

Lorsqu’une forme u vérifie (62) et qu’il existe n  1 tel que 1 2 Autrement dit, si une forme régulière u vérifie (62), cela signifie que le couple (Φ, ψ ) est admissible. ψ ′ ( 0 ) – --- Φ ″ ( 0 )n = 0 , cela implique que u n’est pas régulière.

= –n  Φ u0 n – 1 1  = – n  --- Φ ″ ( 0 ) ( u 0 ) n + 1 + Φ ′ ( 0 ) ( u 0 ) n + Φ ( 0 ) ( u 0 ) n – 1  2 

 ψ u0 n

= ψ ′ ( 0 ) ( u0 )n + 1 + ψ ( 0 ) ( u0 )n

(68)

où k est un facteur de normalisation. Alors avec (65), on a (62) où :

ψ (x ) = k –1P1(x )

(69)

Portant (67) dans (66), on obtient, compte tenu de (68) et (69) : 2

 v0 , Qn    - P n + 1 u 0 k Φ Q′n u 0 =  k ψ Q n – γ 1 ( n + 1 ) -------------------------------------2  u0 , Pn + 1    c’est-à-dire, en vertu de la régularité de u0 : 2

 v0 , Qn  γ1 - P n + 1 ( x ) = 0 (70) Φ ( x )Q′n ( x ) – ψ ( x )Qn ( x ) + ----- ( n + 1 ) ----------------------------------2 k  u0 , Pn + 1  pour n  0 . Cette relation est en réalité une équation différentielle linéaire du second ordre. On obtient ainsi une seconde condition nécessaire portant sur chaque polynôme de la suite (y compris P0). On verra plus loin qu’elle est aussi suffisante. En examinant les degrés dans (70), on a : 2

de sorte que :     1 +  ψ ( 0 ) – Φ ′ ( 0 )n  ( u 0 ) n – Φ ( 0 ) n ( u 0 ) n – 1 = 0  ψ ′ ( 0 ) – --- Φ ″ ( 0 )n ( u 0 ) n+1  2   

pour n  0. La nécessité de la condition (63) apparaît nettement.

 v0 , Qn  γ 1 - = 0 , n0 --- Φ ″ ( 0 )n – ψ ′ ( 0 ) + ----1- ( n + 1 ) -------------------------------------2 2 k  u0 , Pn + 1  d’où la condition (63). On peut ainsi écrire (70) sous la forme :   1 Φ ( x ) P n″ + 1 ( x ) – ψ ( x )P n′ + 1 ( x ) + ( n + 1 )  ψ ′ ( 0 ) – --- Φ ″ ( 0 )n  Pn + 1 ( x ) = 0 2  

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A 154 − 17

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3.1.2.2 Les conditions (62) et (63) sont suffisantes

donc :

Φ ( x )u 0 = Φ ( x ) ( τ b  h a )u˜ 0

Dans ce cas, la suite { Q n } n  0 est orthogonale par rapport à v = Φu0 . En effet : 1  v , x m Qn ( x )  = --------------- < Φ u 0 , x m P n′ + 1 ( x )  n+1 1 ′ = --------------  Φ u 0 ,  x m Pn + 1 ( x )  – mx m – 1 P n + 1 ( x )  n+1 –1 = --------------  D ( Φ u 0 ) , x m Pn + 1 ( x )> + m < Φ u 0 , x m – 1 Pn + 1 ( x )  n+1



= τ b  ( τ –b Φ ) ( h a u˜ 0 ) 

= τ b  h a  ( h a  τ –b ) Φ  u˜ 0  = τ b  h a [ Φ ( ax + b )u˜ 0 ]



D ( Φ u 0 ) = τ b D h a  Φ ( ax + b ) u˜ 0   1 = ----- ( τ b  h a ) D [ Φ ( ax + b ) u˜ 0 ] a

1 = --------------  u 0 ,  x m ψ ( x ) – mx m – 1 Φ ( x )  Pn + 1 ( x )  n+1 De (62), on a :

compte tenu de (62). Donc :  v,

xm Q

n

˜ u˜ 0 ) + ψ ˜ u˜ 0  = 0 τb  ha D ( Φ

(x )  = 0 , 0  m  n – 1 , n  1

Ensuite, pour m = n : 1 1  v , x n Q n ( x )  = --------------  ψ ′ ( 0 ) – --- Φ ″ ( 0 ) n   u 0 , x n + 1 P n + 1 ( x )  2 n+1 v0 , n  0 en vertu de (63). 3.1.2.3 Suites des dérivées Lorsque la suite { Pn } n  0 est classique, la suite des dérivées { Q n } n  0 est aussi une suite classique. Car la forme v = Φu0 vérifie l’équation : D(Φv ) + (ψ – Φ’)v = 0 et le couple (Φ, ψ – Φ’) est aussi admissible. Il suffit de multiplier par Φ les deux membres de (62). [k]

Plus généralement, la suite { Q n } n  0 définie par :

d’où (71) ˜,ψ ˜ ) est évidemment avec les expressions indiquées. Le couple ( Φ admissible. Ce résultat permet, par un choix convenable des paramètres arbitraires a et b (a ≠ 0), de mettre en évidence des situations canoniques. On l’a déjà fait dans le paragraphe 3.1.1.3 à propos des polynômes d’Hermite. Autrement dit, deux formes classiques u0 et u˜ 0 liées par l’équation u˜ 0 = ( h –1  τ )u 0 sont équivalentes (le vérifier). On verra plus a

–b

loin qu’il existe quatre classes d’équivalence, déterminées essentiellement par le polynôme Φ.

3.1.3 Équation différentielle linéaire du second ordre

 Q [nk+–11 ]  ′ ( x ) [k] Q n ( x ) = ---------------------------------- , n  0 , pour chaque k  1 n+1

Une caractérisation due à Böchner est la suivante. La suite orthogonale { Pn } n  0 est une suite classique si et seulement si il existe deux polynômes Φ et ψ et une suite { λn } n  0 , λ n ≠ 0 , n  0 tels que :

 avec Q[n0 ] = Pn  est une suite classique orthogonale par rapport à

Φ ( x ) P n″ + 1 ( x ) – ψ ( x ) Pn′ + 1 ( x ) = λn Pn + 1 ( x ) , n  0

[k]

v0

[k]

k

= ζ k Φ u 0 et la forme v 0 [k] D(Φv 0 )

+ (ψ –

vérifie :

[k] k Φ ′ )v 0

= 0, k  0 ,

avec deg Φ  2 et deg ψ = 1. [0] v0

On a vu précédemment que la condition (72) est nécessaire. Réciproquement, supposons qu’elle soit vérifiée. L’examen des termes de plus haut degré montre que :

= u0

3.1.2.4 Invariance du caractère classique par transformation affine –n La suite {P˜n } n  0 avec P˜n ( x ) = a Pn ( ax + b ) , n  0 est encore orthogonale par rapport à u˜ 0 = ( h –1  τ –b )u 0, si { Pn } n  0 est orthoa gonale par rapport à u0 . Lorsque { Pn } n  0 est une suite classique, alors {P˜n } n  0 l’est aussi, car u˜ 0 vérifie l’équation : ˜ u˜ 0 = 0 D (Φ˜ u˜ 0 ) + ψ ˜ ( x ) = a –t Φ ( ax + b ) , ψ où Φ ˜ ( x ) = a 1 – t ψ ( ax + b ) , t = deg Φ En effet, on a

(71)

1  ( n + 1 )  --- Φ ″ ( 0 )n – ψ ′ ( 0 )  = λ n ≠ 0 , n  0 2 

(73)

Le couple (Φ, ψ ) est donc admissible. Par ailleurs :  u 0 , Φ P ″n + 1 – ψ P n′ + 1  = λn  u 0 , P n + 1  = 0 , n  0 Mais : 2

 u 0 , Φ P ″n + 1 – ψ P n′ + 1  =  D ( Φ u 0 ) + D ( ψ u 0 ) , P n + 1  =  D  D ( Φ u0 ) + ψ u0  , Pn + 1  , n  0

u 0 = ( τ b  ha )u˜ 0

Puisque, de façon évidente :  D ( D ( Φ u0 ) + ψ u0 ) , P0  = 0 on a :

 D  D ( Φ u0 ) + ψ u0  , Pn  = 0 , n  0

Cela implique D(D(Φu0) + ψu0) = 0, donc D(Φu0) + ψu0 = 0. Les deux conditions (62) et (63) sont vérifiées.

A 154 − 18

(72)

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3.1.4 Les deux relations de structure

3.1.4.2 Cas où les deux suites sont orthogonales

3.1.4.1 Un lemme général

Supposons que dans (74) les deux suites { P n } n  0 et { Q n } n  0 soient orthogonales. Alors les énoncés suivants sont équivalents :

Soient { Pn } n  0 et { Q n } n  0 deux suites normalisées et soit Φ un polynôme normalisé de degré t. On a toujours la relation suivante :

n+t

ν=n

n+t

∑ λn, ν P ν ( x )

Φ ( x )Q n ( x ) =

ν=0

λ0,0v0 = Φu0

b)

2

m

c)

λ0,0 Pm ( x ) =

Pour que :

 u0 , Pm  - Qν ( x ) , m  t λν , m --------------------------------2  v0 , Qν  ν = m–t

∑

λ0,0 ≠ 0 > 1 = λm – t , m , m  t

n+t

∑

λn, ν P ν ( x ) , n  0

λn, n ≠ 0 , n  0

, n0

Dans quelle condition peut-on avoir λ n, ν = 0, 0  ν  n – 1, n  1 et λ n, n ≠ 0 , n  0 ? Notant respectivement { un } n  0 et { vn } n  0 les suites duales de { Pn } n  0 et { Qn } n  0 , on a l’énoncé suivant :

Φ ( x )Q n ( x ) =

∑

Φ ( x )Q n ( x ) =

a)

ν=n

λ n, ν P ν ( x ) , n  0

(74)

L’hypothèse se traduit par : 2

λ n, n ≠ 0 , n  0

(75)

2

 u 0 , P n  un = P n u 0 ,  v 0 , Q n  v n = Q n v 0 , n  0 a ) ⇒ b ) et c ). Car (76) devient :

il faut et il suffit que :

Φ Pm u 0 = Λ m v 0 , m  0

m

∑

Φ um =

ν = m–t

λν, m vν , m  t

(76)

λ m, m ≠ 0 , m  0

(77)

Supposons (74) et (75). On a : n+t

∑

 um , Φ Qn  =

ν=n

λn , ν  um , Pν  = 0 , n  m + 1 , m  0

, m0

Faisant m = 0, on a Φu0 = λ0,0v0 . Ensuite, remplaçant dans (78) on a λ0,0 Pmv0 = Λmv0 d’où, en vertu de la régularité de v0 : λ0,0 Pm = Λm . On a bien λ ν , m = 0 , 0  ν  m – t – 1 pour m  t + 1 . b ) ⇒ a ). Car si :

On a  Φ um , Q n  = τ m , n , 0  n  m et de (74) on déduit :  = λn , m , n  m  n + t  Φ um , Qn   , mn+t+1 = 0 D’où (76) et (77). Réciproquement, supposons (76) et (77). Considérons : n+t

∑ λ′n, ν P ν ( x )

ν=0

 u m , Φ Q n  = λ′ n , m , 0  m  n + t

En vertu de l’hypothèse : 2

λ0, 0  v 0 , P m Q n  = λn , m  u 0 , P m  D’où : λn, m = 0 , 0  m  n – 1 , n  1 ; λn, n ≠ 0 , n  0 c ) ⇒ b ) et a ). Il suffit d’échanger le rôle de { Pn } n  0 et { Q n } n  0 dans le lemme et de faire comme ci-dessus. 3.1.4.3 Première relation de structure La caractérisation suivante a été donnée par Al Salam et Chihara : Pour que la suite orthogonale { P n } n  0 soit une suite classique, il faut et il suffit qu’il existe un polynôme normalisé Φ de degré t au plus égal à deux tel que : n+t

Φ ( x )Q n ( x ) =

∑

ν=n

Compte tenu de (76) : m

∑ λν , m v ν , Qn 

m

=

ν=0

∑ λν , m δν , n

ν=0

m

∑ λν , m δ ν , n

, n0

2

avec τ m, m = λ m, m , m  0

Φ ( x )Qn ( x ) =

∑ λn, ν P ν ( x )

on a :  u 0 , Φ Q n P m  = λn , m  u 0 , P m  , 0  m  n + t

ν=0

Donc λ′n, m =

< v0 , Qv 

ν=0

m

∑ τm, ν v ν

 Φ um , Q n  = 

ν=0

n+t

Donc, il existe τm ,ν tels que :

Alors :

2

 u0 , Pm 

- Qν ( x ) ∑ λν , m --------------------------------2

Φ ( x )Q n ( x ) =

 um , Φ Q m  = λ m , m ≠ 0 , m  0

Φ um =

m

avec Λ m ( x ) =

(78)

, 0mn+t.

ν=0

I l e n r é s u l t e λ′n, m = 0 si n  m + 1 e t s i 0  n  m : λ′n, m = λn, m avec λ′n, n = λn, n ≠ 0 , n  0. D’où (74) et (75).

λn, ν P ν ( x ) , n  0

(79)

λ n, n ≠ 0 , n  0 P n′ + 1 ( x ) où Q n ( x ) = -------------------------- , n  0 n+1 La condition est nécessaire. Si { P n } n  0 est une suite classique orthogonale par rapport à u0 , alors u0 vérifie (62) et la suite { Q n } n  0 est orthogonale par rapport à v0 = ζ1Φu0 . Donc le point b ) de 3.1.4.2 est réalisé, ce qui implique le point a ), c’est-à-dire (79).

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A 154 − 19

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P n′ + 1 ( x ) où Q n ( x ) = -------------------------- , n  0 . n+1

La condition est suffisante. De (55) et (76), on a : m

D ( Φ um ) =

∑ λν , m Dv ν

m

= –

ν=0

∑ λν , m ( ν + 1 )u ν + 1

, m0

La condition est nécessaire. Car si { P n } n  0 est une suite classique, le point b ) du paragraphe 3.1.4.2 est réalisé et donc le point c ), c’est-à-dire (82) avec :

ν=0

c’est-à-dire, puisque { Pn } n  0 est orthogonale : D ( Pm Φ u 0 ) = – ψm + 1 u 0 , m  0

2

λ ν , m  u0 , Pm  - , 0m–tνm λ′ m, ν = ------------- --------------------------------λ 0, 0  v , Q 2  0 ν

(80)

avec : 2

m

ψm + 1 ( x ) =

 u0 , Pm 

- Pν + 1 ( x ) ∑ λν , m ( ν + 1 ) --------------------------------------2  u0 , Pν + 1 

ν=0

, m0

D’après l’hypothèse, on a deg ψ m + 1 = m + 1 , m  0 . Prenant m = 0 dans (80), on obtient :

et t est le degré de Φ figurant dans (62). La condition est suffisante. En opérant comme dans le lemme du paragraphe 3.1.4.1, on obtient la relation suivante reliant les suites duales { u n } n  0 et { v n } n  0 : n+t

D(Φu0) + ψ1u0 = 0

vn =

∑

ν=n

En remplaçant dans (80), on a facilement :

λ′ν , n u ν , n  0

(83)

De (55), on a :

Φ ( x ) Pm′ ( x ) – ψ 1 ( x )Pm ( x )

n+t 2

m

 u0 , Pm  Pν + 1 ( x ) = – ∑ λν , m ( ν + 1 ) -------------------------------------2  u0 , Pν + 1  ν = m–t (81) pour m  t . Lorsque t = 2, l’examen des termes de plus haut degré montre que : m – ψ 1′ ( 0 ) = – λm, m ( m + 1 ) γ

–1 m+ 1

ν=n

–1

où :

Remarques a ) La relation (81) avec λ n, n ≠ 0 , n  0 , n’est pas essentiellement différente de (79) et pourrait également servir de relation caractéristique. b ) Si, dans (79), le polynôme Φ est de degré t  3 , alors la suite { P n } n  0 n’est pas orthogonale ; car, dans le cas contraire, la relation (81) implique nécessairement 0  t  2.

À l’aide de (52), la relation (79) peut s’écrire :   1 Φ ( x )Q n ( x ) =  λn, n + 1 + --- Φ ″ ( 0 ) ( x – β n + 1 )  Pn + 1 ( x ) 2   1  –  --- Φ ″ ( 0 ) γ n + 1 – λn , n Pn ( x ) , n  0 2 

λ′ ν , n Du ν , n  0

c’est-à-dire, puisque la suite { P n } n  0 est orthogonale :

≠0 , m0

de sorte que le couple (Φ, ψ1) est bien admissible.

∑

– ( n + 1 ) un + 1 =

D ( Φn + t u 0 ) + k n ( n + 1 )P n + 1 u 0 = 0 , n  0

(84)

2 n+t  u0 , Pn + 1  λ′ν , n --------------------------------------2  u0 , Pν  ν=n

(85)

kn Φn + t ( x ) =

∑

Pν ( x ) , n  0

Pour n = 0 dans (84), on a : –1

D ( Φt u0 ) + k 0 P1 u0 = 0

(86)

Lorsque 0  t  1, le résultat est démontré : la suite { Q n } n  0 est orthogonale. On tire de (83) et (85) :

  v 0 , Q n2  

–1

–1

Qn v0 = kn   u0 , Pn + 1   Φn + t u0 2

–1

v0 = k0 γ 1 Φt u0

Pour n = 0 :

–1

–1

donc : k 0 γ 1   v 0 , Q n   Φ t Q n = k n   u 0 , P n + 1   Φ n + t 2

–1

c’est-à-dire encore :

Φ t ( x )Q n ( x ) = Φ n + t ( x ) , n  0

c’est-à-dire :

Φ ( x )P n′ + 1 ( x ) =  X n + Y n x Pn + 1 ( x ) – γ n + 1 Z n Pn ( x ) , n  0

2

(87)

avec :

avec, en particulier : 2

k0  u0 , Pn + 1  - , λ′n + t , k n = ----- ----------------------------------γ 1 v , Q 2 0 n

1 Z n = --- Φ ″ ( 0 ) ( 2n + 1 ) – ψ ′ ( 0 ) ≠ 0 , n  0 2 C’est la forme réduite de (79). On en déduit immédiatement une conséquence importante : Tout polynôme P n + 1 , n  1 d’une suite classique n’a que des zéros simples. En effet, si on avait P n′ + 1 ( x ) = 0 et Pn + 1 (x ) = 0, pour un indice n  1, on devrait avoir Zn γn + 1 Pn (x ) = 0, ce qui est impossible.

2

n

λ′t , 0  u0 , Pn + t  - ---------------------------------- ,n  0 = ----------------------------2 2  u0 , Pt   v0 , Qn 

Lorsque t = 2, effectuons la division euclidienne de Φn + 2 par Φ2 :

Φ n + 2 ( x ) = Q˜ n ( x ) Φ 2 ( x ) + R 1 ( n;x ) , degR 1  1 Alors (84) devient, compte tenu de (86) : D(R1u0) + Hn + 1u0 = 0

(88)

où : 3.1.4.4 Seconde relation de structure Pour que la suite orthogonale { P n } n  0 soit une suite classique, il faut et il suffit qu’il existe un entier 0  t  2 tel que :

–1 –1 H n + 1 ( x ) = Q˜ n′ ( x ) Φ 2 ( x ) – k 0 P 1 ( x )Q˜ n ( x ) + k n ( n + 1 )P n + 1 ( x )

Mais (86) peut s’écrire :



Pm ( x ) =

∑

ν = m–t

λ′ m, ν Q ν ( x ) , m  t λ′m, m – t ≠ 0 , m  t

A 154 − 20

–1



Φ 2 Du 0 + Φ 2′ + k 0 P 1 u 0 = 0

m

Multipliant par R1 : (82)





–1



Φ 2 D ( R 1 u 0 ) – R′1 u 0 + Φ 2′ + k 0 P 1 R 1 u 0 = 0

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Pour que la suite orthogonale { Pn } n  0 soit une suite classique, il faut et il suffit qu’il existe un polynôme normalisé Φ et une suite { ρ n } n  0 , ρ n ≠ 0 , n  0 tels que :

et avec (88), on obtient :

 Φ2′



–1



+ k 0 P 1 R 1 = Φ 2 H n + 1 + R 1′



Le premier membre est de degré deux au plus : cela implique deg Hn + 1 = 0, d’où la condition, en particulier, d’après l’expression de Hn + 1 : –1

–1

Il en résulte que le couple ( Φ t , k 0 P 1 ) est bien admissible. La r e l a t i o n ( 8 7 ) e s t d o n c a u s s i v é r i fi é e p o u r t = 2 e t o n a Q˜ n = Q n , R 1 = 0 , n  0. La forme u0 est une forme classique. Remarque : la relation (87) n’est pas autre chose que (79). En portant dans (84), on retrouve l’équation (70).

3.1.5 Formule de Rodrigues 3.1.5.1 Formule de Rodrigues fonctionnelle

n

n

Pn u0 = λn D ( Φ u0 ) , n  0

La condition est nécessaire. La forme u0 vérifie (62) et (63), la formule de Rodrigues est donc vraie pour n = 1 avec λ1 = – (ψ ’(0))–1 et la condition (*) est réalisée. n n n –1 Pour n  1, montrons que D ( Φ u 0 ) = ζ n ( – 1 ) n!u n ,où { ζ n } n  0 n [n] est définie par v 0 = ζ n Φ u 0 , dans 3.1.2.3.

n

(n)

n

[n]

–1

(n)

 D Φ u0 , Pn + µ  = ( –1 ) ζ n  v0 , Pn + µ  n

= ( –1 )

n

∏ (µ + ν) 

–1 ζn

[n ] v0 ,

ν=1 n

[n ] Qµ



–1

Par ailleurs, puisque la suite { P n } n  0 est orthogonale, on a : un = (  u0 ,

3.2.1 Système vérifié par n , n + 1 , ˜ n , ˜n + 1

xQ n ( x ) = Q n + 1 ( x ) + β˜ n Q n ( x ) + γ˜ n Q n – 1 ( x ) , n  0

= ( – 1 ) ζ n n! δ0, µ

2 Pn

On peut construire les suites orthogonales classiques à partir de l’une quelconque des caractérisations précédentes. On le fera ici à partir de (52) et (53).

pour n  0. Mais de (53) où n → n – 1 :

Pour m  n , posons m = n + µ , µ  0 ; alors : n

3.2 Construction des polynômes classiques

(n + 2)Qn + 1 (x ) = (n + 1)(x – βn + 1)Qn (x ) – n γn + 1Qn – 1 (x ) +Pn + 1 (x )

 D ( Φ u 0 ) , Pm  = ( – 1 )  Φ u 0 , P m  = 0

n

puisque v0 = ζ1Φu0 , d’après le paragraphe 3.1.2.3. On a ρ0 = – γ1ζ1 = λ1 . Réciproquement, si les conditions (*), (**) sont satisfaites, alors u0 vérifie (62) et (63) (en prenant n = 0 dans (*)).

Par dérivation des deux membres de (52), on a :

On a pour 0  m  n – 1 ,n  1 :

n

2

ζ1  u0 , Pn + 1  - , n0 ρ n = – ------------- -------------------------------------n + 1  v , Q2  0 n

(89)

deg Φ  2

n

Car si u0 est une forme classique, alors elle vérifie (64) et on a :

Remarque : la relation (*) n’est pas autre chose que l’équation différentielle (72).

Pour que la suite orthogonale { Pn } n  0 soit une suite classique, il faut et il suffit qu’il existe un polynôme normalisé Φ et une suite { λ n } n  0 , λ n ≠ 0 , n  0 tels que :

n

deg Φ  2

–1

n – k 0 + k n (n + 1) = 0 , n  0

(*)

Pn + 1 u0 = ρn D ( Qn Φ u0 ) , n  0

(*) ( ** )

–1

 ) Pn u 0 , n  0

d’où la formule de Rodrigues avec : n

( –1 ) 2 λ n = -------------- ζ n  u 0 , P n  , n  0 n! La condition est suffisante. Pour n = 1, on a : P1u0 = λ1D(Φu0) Compte tenu de (*) la forme u0 est bien classique.

On en déduit : P n + 1 ( x ) = Q n + 1 ( x ) + ( n + 1 ) ( β n + 1 – β˜ n )Q n ( x ) (91) +  n γ n + 1 – ( n + 1 ) γ˜ n  Q n – 1 ( x ) , n  0 On pose par convention Q –n ( x ) = 0 , n  1. Ensuite, toujours avec (90), on obtient :



+  γ˜ n + 1 + n γ n + 1 – ( n + 1 ) γ˜ n + ( n + 1 ) β˜n ( β n + 1 – β˜ n ) Q n ( x ) +  ( n + 1 ) γ˜ n ( β n + 1 – β˜ n ) + β˜n – 1  n γ n + 1 – ( n + 1 ) γ˜n  Q n – 1 ( x ) + γ˜n – 1  n γ n + 1 – ( n + 1 ) γ˜n Q n – 2 ( x ) , n  1

xPn + 1 ( x ) = Q n + 2 ( x ) + β˜ n + 1 + ( n + 1 ) ( β n + 1 – β˜ n ) Q n + 1 ( x )

On peut mettre en évidence une relation analogue à celle de Rodrigues.

(92)

On porte (91) et (92) dans (52) et on obtient le système :

Remarque : on retrouve facilement (79) à partir de (89).

3.1.5.2 Une formule alliée

(90)

( n + 3 ) β˜ n + 1

1 β˜ 0 = --- ( β 0 + β 1 ) 2 – ( n + 1 ) β˜ n = ( n + 2 ) βn + 2 – n βn + 1 , n  0

3 γ˜ 1 – γ 2 – γ 1 = ( β 1 – β˜ 0 )

2

(93)

    ( n + 1 ) γ˜ n  β˜ n – 1 + β˜ n – 2 β n + 1  + n γ n + 1  β n + 1 + β n – 2 β˜ n – 1  = 0 , n  1     ( n + 1 ) γ˜ n – 1 γ˜ n – 2 n γ˜ n – 1 γ n + 1 + ( n – 1 ) γ n γ n + 1 = 0 , n  2

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Posons :

La troisième équation s’écrit alors : n γ˜ n = ------------- γ n + 1 ϑ n , n  1 n+1

γn + 2

(94)

γn + 1

------------- – ------------- = c 2 , n  0 n+2 n+1

L’équation (93) s’écrit :



d’où :



γ n + 1 = ( n + 1 ) ( γ 1 + c 2 n ) , γ˜ n + 1 = ( n + 1 )  γ 1 + c 2 ( n + 1 ) 

( n – 1 ) γ n γ n + 1 – 2 ϑn – 1 + ϑn – 1 ϑn + 1 = 0 , n  2 c’est-à-dire, si n → n + 1 :

pour n  0 .

1 ϑ n + 1 + ------ = 2 , n  1 ϑn

(95)

Les autres équations deviennent :  

( n + 2 ) β˜ n – n β˜ n – 1 = ( n + 1 ) β n + 1 – ( n – 1 ) β n

ϑ n + 1 β˜ n + 1 + ( ϑ n + 1 – 2 ) β˜ n = ( 2 ϑ n + 1 – 1 ) β n + 2 – β n + 1 

  n+3 ( n + 1 ) 1 – ------------- ϑ n + 1 γ n + 2 + 1 + n ( ϑ n – 1 ) γ n + 1  n+2  2  + ( n + 1 )  β n + 1 – β˜ n  = 0 , n  0 





n++1 3.2.2.2 Cas B :  n = ----------------------- , n  1 n+ Le système (96) devient :

( n + 2 ) β˜ n – n β˜ n – 1 = ( n + 1 ) β n + 1 – ( n – 1 ) β n



(98)

(99)

( n + ρ + 2 ) β˜ n + 1 – ( n + ρ ) β˜ n = ( n + ρ + 3 ) β n + 2 – ( n + ρ + 1 ) β n + 1 (100)



2 2n + ρ 2n + ρ + 4 ---------------------------------------------- γ n + 2 – ------------------------------------ γ n + 1 = ( β n + 1 – β˜ n ) (101) (n + 2)(n + ρ + 1) (n + 1)(n + ρ)

(96)

où on a posé β˜ –1 = 0 et ϑ 0 = 1.

pour n  0. L’équation (100) peut s’écrire, compte tenu de (99) où n → n + 1,

β n + 2 – β n + 1 = τ ( β˜ n + 1 – β˜ n ) , n  0

3.2.2 Résolution du système (95)-(96)

avec τ = (ρ – 1)(ρ + 1)–1. On en déduit : D’abord, il s’agit de résoudre l’équation (95). C’est une équation de Riccati. Posant : ζn + 1 ϑ n = ------------- , ζ n ≠ 0 , n  1 ζn

β n + 1 – β 1 = τ ( β˜ n – β˜ 0 ) , n  0

(102)

Remplaçant dans (99) où n → n + 1, on obtient : { n + 3 – τ ( n + 2 ) } β˜ n + 1 – { n + 1 – τ n } β˜ n = 2 { β 1 – τβ˜ 0 } , n  0

on obtient l’équation :

Si on pose α n = ( n + 1 – τ n )  n + 2 – τ ( n + 1 )  β˜n , n  0, on a :

ζn + 2 – 2 ζn + 1 + ζn = 0 , n  1

α n + 1 – α n = 2 ( β 1 – τβ˜ 0 )  n + 2 – τ ( n + 1 ) 

dont la solution générale est ζ n = a + bn , n  1 . On en déduit :

α n = ( 2 – τ ) β˜ 0 + ( β 1 – τ β˜ 0 )n  ( 1 – τ )n + 3 – τ  , n  0

donc :

a + b(n + 1) ϑ n = --------------------------------- , n  1 a + bn

c’est-à-dire : 1 --- ( ρ + 3 ) β˜ 0 + ( β 1 – τ β˜ 0 ) n ( n + ρ + 2 ) 2 ˜ βn = 2 ( ρ + 1 ) ----------------------------------------------------------------------------------------------- , n  0 (2n + ρ + 1)(2n + ρ + 3)

Deux cas se présentent : A. b = 0, ϑ n = 1 , n  1 . n+ρ+1 a B. b ≠ 0, posant ρ = --- , on a ϑ n = ----------------------- , ρ ≠ – n , n  1 . n+ρ b

qu’on écrit aussi sous la forme :

Remarque : le cas A est un cas limite du cas B : ρ → ∞.

2

3.2.2.1 Cas A :  n = 1 , n  1

( n + 2 ) β˜ n – n β˜ n – 1 = ( n + 1 ) β n + 1 – ( n – 1 ) β n    β˜ n + 1 – β˜ n = β n + 2 – β n + 1 n 0  2 n+1 ˜ – ------------- γ n + 2 + γ n + 1 + ( n + 1 ) ( β n + 1 – β n ) = 0  n+2 

1 ρ–1 d = --- ( ρ + 1 )  β1 – ------------- β˜ 0  2 ρ+1 

(104)

1 c ( ρ2 – 1 ) ( ρ + 3 ) β n = d + --- --------------------------------------------------------------- , n  0 2 (2n + ρ + 1)(2n + ρ – 1)

(105)

On en déduit :

L’équation (101) s’écrit alors : 2n + ρ 2n + ρ + 4 ---------------------------------------------- γ – ------------------------------------ γ (n + 2)(n + ρ + 1) n + 2 (n + 1)(n + ρ) n + 1

Des deux premières équations, on a facilement :

1 où on a posé c = --- ( β 0 – β 1 ). 2

(103)

avec :

Le système (96) devient :

β n = β 0 – 2cn , β˜ n = β 0 – c ( 2n + 1 ) , n  0

1 c (ρ + 1) (ρ + 3) β˜ n = d + --- --------------------------------------------------------------- , n  0 2 (2n + ρ + 1)(2n + ρ + 3)

2

2

(ρ + 1) (ρ + 3) -, n0 = c 2 ---------------------------------------------------------------2 2 (n + ρ + 1) (2n + ρ + 3)

(97)

Posant : { 2 ( n – 1 ) + ρ + 2 } { 2n + ρ + 2 } δ n = --------------------------------------------------------------------------------- γ n + 1 , n  0 (n + 1)(n + ρ)

A 154 − 22

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on a :

Les deux relations de structure se réduisent à une seule :

2n + ρ + 2 - , n0 δ n + 1 – δ n = c ( ρ + 1 ) ( ρ + 3 ) -------------------------------------------------------------------2 2 (2n + ρ + 1) (2n + ρ + 3) 2

2

Qn ( x ) = Pn ( x ) , n  0

2

L’équation (72) devient :

D’où :

P n″ + 1 ( x ) – 2xPn′ + 1 ( x ) + 2 ( n + 1 )Pn + 1 ( x ) = 0, n  0 (113) n

  1 2 2 2 1 1 δ n + 1 – δ 0 = --- c ( ρ + 1 ) ( ρ + 3 ) ∑  ---------------------------------2 – ---------------------------------2  4 (2ν + ρ + 3)  ν = 0 (2ν + ρ + 1)

La forme d’Hermite u 0 : =  est symétrique et définie positive. Ses moments vérifient : 2 ( u0 )n + 1 = n ( u0 )n – 1 , n  0

2 2 n (n + ρ + 1) δ n = ( ρ + 2 ) γ 1 + c ( ρ + 3 ) ---------------------------------2- , n  0 ( 2n + ρ + 1 )

D’où facilement : ( 2n )! - , ( u 0 ) 2n + 1 = 0 , n  0 ( u 0 ) 2n = --------------2n 2 n!

Donc γn + 1

(112)

(n + 1)(n + ρ) = ( ρ + 2 ) γ 1 -----------------------------------------------------(2n + ρ)(2n + ρ + 2) n (n + 1)(n + ρ)(n + ρ + 1) 2 2 - , n0 + c ( ρ + 3 ) ---------------------------------------------------------------------------------------2 (2n + ρ)(2n + ρ + 1) (2n + ρ + 2)

qu’on écrit sous la forme plus commode :



2

2



( n + 1 ) ( n + ρ ) µ n + µ ( ρ + 1 )n + γ 1 ( ρ + 1 ) ( ρ + 2 ) γ n + 1 = ---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- (106) 2

( 2n + ρ ) ( 2n + ρ + 1 ) ( 2n + ρ + 2 )

3.2.3.2 Polynômes de Laguerre ■ A2 , c ≠ 0 γ D’après (109), on a k = – c, donc Φ ( x ) = x – β 0 – ----1-. Par une c transformation affine convenable, on peut choisir β0 et c de sorte γ1 que β 0 + ----- = 0 et c = 1. c Il reste un paramètre arbitraire γ1 ≠ 0. Posant γ1 = 1 + α, on obtient :

pour n  0 avec µ = 4(ρ + 2)γ1 + c 2(ρ + 3)2. Le système (95)-(96) est complètement résolu.

Φ(x ) = x , ψ (x ) = x – 1 – α β n = 2n + α + 1 , γ n + 1 = ( n + 1 ) ( n + α + 1 ) β˜ n = 2n + α + 2 , γ˜ n + 1 = ( n + 1 ) ( n + α + 2 )

3.2.3 Les quatre situations canoniques

(115)

n0

D’après (67) et (94), le polynôme Φ figurant dans (62) est donné par :  2  3 1 k Φ ( x ) = ( 1 – ϑ 1 )x +   ϑ 1 – --- β 0 +  ϑ 1 – --- β 1 x   2 2   (107) 1 + --- β 0 ( β 0 + β 1 ) – ϑ 1 ( β 0 β 1 – γ 1 ) 2 1 compte tenu de β˜ 0 = --- ( β 0 + β 1 ) . De même, le polynôme ψ est 2 donné par (68) : ψ (x ) = k –1(x – β0) (108) Dans le cas A, on a : k Φ(x ) = – cx + c β0 + γ1

(109)

D’après (91) et les formules ci-dessus, on a la relation (82) : P n + 1 ( x ) = Q n + 1 ( x ) + ( n + 1 )Q n ( x ) , n  0

x P n′ + 1 ( x ) = ( n + 1 )P n + 1 ( x ) + ( n + 1 ) ( n + α + 1 )Pn ( x ), n  0 (117) L’équation différentielle (72) devient : x P ″n + 1 ( x ) – ( x – 1 – α ) P n′ + 1 ( x ) + ( n + 1 )P n + 1 ( x ) = 0, n  0 (118) La forme de Laguerre, notée u0 :=  ( α ) est régulière si et seulement si α ≠ – n , n  1. Elle est définie positive si et seulement si α + 1 > 0. Ses moments vérifient :

2

1 2 2d µ d k Φ ( x ) = – ------------- x + ------------- x + --------------------- – ------------ρ+1 ρ+1 4(ρ + 1) ρ + 1

d’où :

Ici k = – (ρ + 1)–1 et donc : 2 1 Φ ( x ) = ( x – d ) – --- µ 4

(110)

Le polynôme Φ peut se trouver dans l’une des situations exclusives suivantes : A1 : deg Φ = 0 ; A2 : deg Φ = 1. B2 : Φ a deux racines distinctes.

3.2.3.1 Polynômes d’Hermite

(116)

En portant l’expression ci-dessus de Qn + 1(x ) dans (90), on obtient la forme réduite de (79) :

Dans le cas B, la relation (107) devient, compte tenu de (104) :

B1 : Φ a une racine double ;

(114)

( u0 )n + 1 – ( 1 + α + n ) ( u0 )n = 0 , n  0 Γ(1 + α + n) ( u 0 ) n = -------------------------------- , n  0 Γ(1 + α)

(119)

Si on met en évidence le paramètre α en posant Pn (x ) = Pn (x ; α ), on a Qn (x ) = Pn (x ; α + 1). 3.2.3.3 Polynômes de Bessel ■ B1 , µ = 0 D’après (110), Φ (x ) = (x – d )2. Par une translation, on peut toujours placer la racine à l’origine et donc poser d = 0 ; une homothétie permet de choisir γ 1 par γ 1 (ρ + 2)(ρ + 1)2 = – 4. On a ainsi avec la condition µ = 0 : c 2(ρ + 1)2(ρ + 3)2 = 16.

■ A1 , c = 0 D’après (109), on a k = γ1 . Par une transformation affine conve1 nable, on peut toujours supposer β0 = 0 et γ 1 = ---, de sorte que : 2 Φ (x ) = 1 , ψ (x ) = 2x 1 β n = 0 , γ n + 1 = --- ( n + 1 ) , n  0 2

(111)

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On choisit habituellement c = – 4 (ρ + 1)–1 (ρ + 3)–1, de sorte que, en posant ρ + 1 = 2α, on obtient :

Φ(x ) = x

2

, ψ (x ) = – 2(αx + 1)

2

Φ(x ) = x – 1 , ψ (x ) = – (α + β + 2) x + α – β 2 2 α–β α –β β 0 = ----------------------- , β n + 1 = -----------------------------------------------------------------------------------α+β+2 (2n + α + β + 2)(2n + α + β + 4)

1 1–α β 0 = – --- , β n + 1 = ----------------------------------------------- , n  0 α (n + α)(n + α + 1) (n + 1)(n + 2α – 1) - , n0 γ n + 1 = – --------------------------------------------------------------------------------------------2 (2n + 2α – 1)(n + α) (2n + 2α + 1)

On a dans ces conditions :

(120)

(n + 1)(n + α + β + 1)(n + α + 1)(n + β + 1) - (125) γ n + 1 = 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 (2n + α + β + 1)(2n + α + β + 2) (2n + α + β + 3)

β˜ n = β n ( α + 1, β + 1 ) , γ˜ n + 1 = γ n + 1 ( α + 1, β + 1 )

β˜ n = β n ( α + 1 ) , γ˜ n + 1 = γ n + 1 ( α + 1 ) , n  0 en notant βn = βn (α ), γ n + 1 = γ n + 1 (α ). D’après (91) : 1 P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = Q 1 ( x ) + ---------------------α(α + 1) (n + 2) P n + 2 ( x ) = Q n + 2 ( x ) + --------------------------------------------------------- Q n + 1 ( x ) (n + α + 1)(n + α + 2)

n0 D’après (91) :

α–β P 0 ( x ) = 1 , P 1 ( x ) = Q 1 ( x ) – 2 ----------------------α+β+4 (121)

(n + 1)(n + 2) - Qn ( x ) , n  0 + ------------------------------------------------------------------------------------------------------2 ( 2n + 2 α + 1 ) ( n + α + 1 ) ( 2n + 2 α + 3 )

2(n + 2)(α – β ) P n + 2 ( x ) = Q n + 2 ( x ) – ------------------------------------------------------------------------------------ Q n + 1 ( x ) (2n + α + β + 4)(2n + α + β + 6) (126) (n + 1)(n + 2)(n + α + 2)(n + β + 2) - Qn ( x ) – 4 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2 (2n + α + β + 3)(2n + α + β + 4) (2n + α + β + 5)

On en déduit, à l’aide de (90) et des formules précédentes, la forme réduite de (79) : 2 1 x P n′ + 1 ( x ) = ( n + 1 )  x – ------------- P n + 1 ( x )  n + α (122) – ( 2 n + 2 α + 1 ) γ n + 1 Pn ( x ) , n  0

n0 On obtient la forme réduite de (79) après quelques calculs :

α–β 2 ( x – 1 ) P n′ + 1 ( x ) = ( n + 1 )  x + ------------------------------------- P n + 1 ( x )  2n + α + β + 2 – ( 2 n + α + β + 3 ) γ n + 1 Pn ( x ) , n  0

L’équation différentielle (72) s’écrit : 2

x P n″ + 1 ( x ) + 2 ( α x + 1 )P n′ + 1 ( x ) – ( n + 1 ) ( n + 2 α ) Pn + 1 ( x ) = 0 , n  0

L’équation différentielle (72) devient : (123)

La forme de Bessel notée u 0 : = B (α ) est régulière si et seun lement si α ≠ – --- , n  0 . Ses moments vérifient : 2 ( n + 2 α ) ( u0 )n + 1 + 2 ( u0 )n = 0 , n  0 Γ(2α) n n ( u 0 ) n = ( – 1 ) 2 -------------------------- , n  0 donc : (124) Γ(n + 2α) 3.2.3.4 Polynômes de Jacobi ■ B2 , µ ≠ 0 2 1 D’après (110), on a Φ ( x ) = ( x – d ) – --- µ. 4 Une transformation affine convenable permet de placer les deux racines en – 1 et + 1 ; cela revient à poser d = 0 et µ = 4. Il reste deux paramètres arbitraires ρ et c qu’on remplace par deux autres paramètres α, β, liés aux racines du trinôme apparaissant au numérateur de (106) : 1 2 2 X + ( ρ + 1 ) X + --- γ 1 ( ρ + 2 ) ( ρ + 1 ) = ( X + α + 1 ) ( X + β + 1 ) 4 On en tire : 1 2 ρ = α + β + 1 , --- γ 1 ( ρ + 2 ) ( ρ + 1 ) = ( α + 1 ) ( β + 1 ) 4 la condition µ = 4 déterminant c (au signe près) :

α–β c = 2 -----------------------------------(ρ + 1)(ρ + 3)

(127)

( x – 1 ) P n″ + 1 ( x ) +  ( α + β + 2 )x – ( α – β )  P n′ + 1 ( x ) 2

– (n + 1)(n + α + β + 2) P n + 1(x ) = 0 , n  0

(128)

La forme de Jacobi notée u0 : =  ( α , β ) est régulière si et seulement si α, β ≠ – n , α + β ≠ – n – 1 , n  1 . Elle est définie positive si et seulement si α + 1 > 0 et β + 1 > 0. Elle est symétrique lorsque α = β : on appelle alors  ( α , α ) la forme de Gegenbauer. Plusieurs cas particuliers sont bien connus. Pour α = β = 0, on a la forme de Legendre. 1 Lorsque α = β = – ---, on a la forme de Tchebychev de première 2 espèce. 1 Lorsque α = β = ---, on a la forme de Tchebychev de seconde 2 espèce. Dans ces trois derniers cas, les formes sont définies positives. Les moments de  ( α , β ) vérifient la relation de récurrence : ( n + α + β + 3 ) ( u0 )n + 2 – ( α – β ) ( u0 )n + 1 – ( n + 1 ) ( u0 )n = 0 , n  0

α–β ( u 0 ) 1 = ----------------------α+β+2 On remarque qu’elle est du second ordre, contrairement aux trois cas précédents. La raison réside dans le choix des racines de Φ. Considérons la forme u˜ 0 = ( h –1  τ –b )u 0 ; elle vérifie (71). On a choisit a = 2 et b = – 1, de sorte que :

Φ˜ ( x ) = x ( x – 1 ) , ψ˜ ( x ) = – ( α + β + 2 ) x + α + 1 Les moments de u˜ 0 vérifient alors la relation de récurrence du premier ordre : ( n + α + β + 2 ) ( u˜ 0 ) n + 1 = ( n + α + 1 ) ( u˜ 0 ) n , n  0

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Sauf dans le cas de Bessel, on pourra choisir λ = 0 dans (133).

D’où :

Γ (n + α + 1) Γ (α + β + 2) ( u˜ 0 ) n = --------------------------------- ------------------------------------------- , n  0 Γ (α + 1) Γ (n + α + β + 2) De u 0 = ( τ –1

Exemple d’une fonction représentant la forme nulle : la fonction donnée par Stieltjes : 0 , x  0 s (x ) =  1 ⁄ 4 (136)  e –x sin ( x 1 ⁄ 4 ) , x > 0

h 2 )u˜ 0 , on déduit :



( u 0 ) n = n!

µ ν

( – 1 ) 2 ( u˜ 0 ) ----------------------------------ν , n  0 µ!ν! ν+µ = n

∑

La formule générale suivante fournit d’autres exemples :



c’est-à-dire : n

( u0 )n =

∑

ν=0

0

(ν + α + 1) Γ (α + β + 2)  n  ( –1 )n – ν 2 ν Γ --------------------------------- -----------------------------------------ν  Γ (α + 1) Γ (ν + α + β + 2)

n

n

∑  ν  ( –1 )

ν

ν=0

x

Γ ( p ) sin ( p θ ) sin (mx ) dx = --------------------------------------,p,a,m >0 2 2 p⁄2 (a + m )

p – 1 – ax

e

m π 2 2 1⁄2 avec sin θ = -----, 0 < θ < --- , r = ( a + m ) . r 2

Mais en prenant b = 1 et a = 2, on obtient aussi : ( u0 )n =

+∞

Γ (α + β + 2) ν Γ (ν + β + 1) 2 -------------------------------- -----------------------------------------Γ (β + 1) Γ (ν + α + β + 2)

3.2.4.1 Cas Hermite L’équation (133) s’écrit : U ’(x ) + 2 xU (x ) = λg (x )

D’où : n

( u0 )n =

n

∑  ν  2

Γ (α + β + 2) ------------------------------------------ F n, ν ( α, β ) , n  0 (129) Γ (ν + α + β + 2)

ν–1

ν=0

F n, ν ( α, β ) = ( – 1 )

Γ (ν + α + 1) ν Γ (ν + β + 1) --------------------------------- + ( – 1 ) -------------------------------Γ (α + 1) Γ (β + 1)

1  , f  = ------π

3.2.4 Représentations intégrales



+∞

–∞

U (x )f (x )dx, f ∈ P

(130)

= 0, f ∈ P

Φ ( x )U ( x ) f ( x )  – ∞ = 0 , f ∈ P



–∞

 ( Φ U )′ + ψ U  f ( x )

dx = 0 , f ∈ P

(131)

(132)

c’est-à-dire :





(133)

+∞

–∞

g(x )f (x )dx

n

–∞

(134)

Réciproquement, si U est une solution à décroissance rapide vérifiant (133), alors elle satisfait (131) et (132) et donc elle définit par (130) une forme u 0 solution de (62). Il s’agira alors de montrer que u 0 n’est pas la solution zéro (qui est toujours solution de (62)) et donc de voir que :



+∞

–∞

U ( x )dx ≠ 0

–x

2

f (x )dx

(137)



+∞

0

U ( x )dx = k 2



+∞ –x

α

e x dx = k 2 Γ ( α + 1 )

0

1   ( α ) , f  = ----------------------Γ (α + 1)



+∞

0

–x

α

e x f ( x ) d x , Re ( α + 1 ) > 0 (138)

Remarque : on constate qu’une représentation du type (130) n’est pas possible pour toutes les valeurs du paramètre α rendant la forme régulière. Pour les valeurs de α telles que Re α  – 1, mais α ≠ – n , n  1, il faudrait faire appel à des distributions parties finies de Hadamard : on ne le fera pas ici.

3.2.4.3 Cas Bessel

+∞

x g ( x )dx = 0 , n  0

e

D’où la représentation de la forme de Laguerre :

où λ ∈  est arbitraire et g ≠ 0 est une fonction localement intégrable à décroissance rapide, représentant la forme nulle :  0, f  =

–∞

 –x α  k1 e x , x < 0 U (x ) =   k 2 e –x x α , x > 0 

La condition (132) implique : (ΦU )’ + ψU = λg

+∞

Avec k1 = 0, k2 ≠ 0 et Re (α + 1) > 0, on voit que la condition (131) est vérifiée. Quant à (135), on a :

+∞

+∞



Prenant λ = 0, on a :

+∞

 ( Φ U )′ + ψ U  f ( x ) dx – Φ ( x )U ( x ) f ( x )  – ∞

donc :

, x∈

(xU (x ))’ + (x – α – 1)U (x ) = λg (x )

où U est une fonction à décroissance rapide possédant la régularité nécessaire. La forme u0 vérifiant (62), on a facilement :



2

L’équation (133) devient :

+∞

–∞

–x

3.2.4.2 Cas Laguerre

On cherche à représenter les formes classiques de la façon suivante :  u0 , f  =

U ( x ) = U ( 0 )e

La condition (131) est vérifiée ; d’où la représentation de la forme d’Hermite :

avec : n–ν

Prenant λ = 0, on a :

(135)

L’équation (133) s’écrit :

(x 2U (x ))’ – 2(α x + 1)U (x ) = λg (x ) dont une solution est : 0  U(x ) =  2 2(α – 1) exp  – ---  λx  x 



, x0 +∞

x

ξ

–2 α

2 exp  --- s ( ξ ) d ξ , x > 0  ξ

où λ ≠ 0 et s est donnée par (136).

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La condition (131) est vérifiée, car on a : 2

x U (x )  λ x

2

x U (x )  λ x

2Re α

2Re α

2 exp  – ---  x

2 exp  – ---  x

ξ 1



+∞

x

ξ

– 2Re α

x

où :

– 2Re α

2 –ξ1 ⁄ 4 exp  --- e dξ  ξ

2 exp  --- d ξ + o ( 1 ) , x → +0  ξ

1

2 exp  --- d ξ  ξ lim -----------------------------------------------------2 – 2Re α x → +0 x exp  ---  x – 2Re α

x

2 – 2Re α exp  --- x  x ----------------------------------------------------------------------------------------------------------2 – 2Re α – 1 – 2Re α – 2 exp  --- 2Re α x + 2x  x

= lim





x → +0

x2 = lim ------------------------------ = 0 x → +0 2Re α x + 2 Donc x 2U (x ) → +0 lorsque x → +0. Ensuite, lorsque x → +∞ : U (x )  λ x

2 ( Re α – 1 )



+∞

x

ξ

– 2Re α – ξ

1⁄4

e

1 1⁄4 d ξ = o  exp – --- x    2

Enfin, montrons que U est intégrable. Il suffit de le voir pour 0 < x  1 . On a dans cet intervalle : 2 ( Re U (x ) = ϑ (x ) + O x 

ϑ ( x ) = λx

avec :

2(α – 1)

2 exp  – ----  x

α – 1)

ξ 1

–2 α

x

2 exp  – ---   x 

2 exp  ---- s ( ξ ) d ξ ξ 

1

0

ξ 1

ϑ ( x ) dx  λ

– 2Re α

0

 2 exp  --- s ( ξ )   ξ 



ξ

x

2Re α – 2

0

 2 exp  – ---- d x d ξ  x 

Mais :



ξ

x

2Re α – 2

0

2 exp  – --- d x  x



0

x



2Re α – 1

ξ

0

x

2 exp  – ---- d x  x

2Re α – 2

2 exp  – ---- d x  x

Donc :

0

x

hα ( t ) =



(140)

t

3 – 8α

t

x

2α

0

2 exp  – ---- d x  x

Par une intégration par parties, on a pour (140) :



t

x

2α + 1

0

2 exp  – ---- d x  x

Faisant α → α – 1 et une seconde intégration par parties, on obtient : 1 2α 2 1 (141) h α – 1 ( t ) = --- t ( 1 – α t ) exp  – --- + --- α ( 2 α + 1 ) h α ( t )  t 2 2 De (141), (136) et (134), on a ainsi pour Sα : Sα = 2 α ( 2 α + 1 )



+∞

t

3 – 8α

0

2 4 –t exp  -----4 h α ( t )e sin t dt   t

Plus généralement, faisant α → α + m + 1, m ∈  dans (141) et à l’aide d’un raisonnement par récurrence, on obtient : 1 S α = --------2m 2

2m + 1

∏

(2α + µ)

µ=0



+∞

t

3 – 8α

0

2 4 –t exp  -----4 h α + m ( t )e sint dt   t (142) m  0, α ∈ 

On en déduit :

S –n ⁄ 2 = 0 , n  0

Ce résultat est en accord avec le fait que la forme de Bessel n’est pas régulière pour ces valeurs de α. On peut montrer que pour 2 4 α  6  --- , on a Sα > 0. Actuellement, on ne sait pas si les valeurs π αn = – n /2, n  0 sont les seuls zéros de Sα .

–1

  ( α ) , f  = Sα

  +∞

0

1 --x

+∞

x

x ---  ξ

2α

2 2 exp  --- – ---- s ( ξ ) d ξ f ( x ) d x (143) ξ x 

3.2.4.4 Cas Jacobi ξ

2 1 2Re α exp  – --- + Re α ξ  --- ξ  ξ 2

ξ

2 4 –t exp  -----4 h α – 1 ( t )e sin t dt   t

(139)

0

Remarque : il existe d’autres représentations de la forme de Bessel, en particulier, celle obtenue à l’aide d’une intégrale prise le long de la circonférence unité.

2 1 2Re α exp  – --- – Re α = --- ξ  ξ 2



+∞

Pour les valeurs de α telles que la condition (135) soit vérifiée, on a la représentation :

D’où :





1 2α + 2 2 exp  – --- – ( α + 1 ) h α ( t ) = --- t  t 2

On applique la règle de l’Hospital :

ξ

Sα = 4

2Re α – 2

2 2Re α ξ exp  – ---  ξ 2 1 1 exp  – ---- d x  --- ------------------------------------------ , 0  ξ < ---------------- x 2 1 – Re α ξ Re α

On en déduit :



1

0

ϑ ( x ) dx < +∞

La condition (135) devient ici :



((x 2 – 1)U (x ))’ + (– (α + β + 2)x + α – β )U (x ) = λg (x ) Prenant λ = 0, on a la solution :  k ( 1 + x )α ( 1 – x ) β , x < 1 U (x ) =  , x >1 0 Si on suppose que Re (1 + α ) > 0 et Re (1 + β ) > 0, on voit que la condition (131) est vérifiée. D’où la représentation : 1 Γ (α + β) --------------------------  ( α , β ), f  = -------------------α + β + 1 Γ (α)Γ (β) 2



+1

–1

α

β

(1 + x ) (1 – x) f (x )dx (144)

Re ( 1 + α ) > 0 , Re ( 1 + β ) > 0

+∞

0

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L’équation (133) devient :

U ( x )dx = λS α ≠ 0

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3.2.5 Retour sur la formule de Rodrigues

On traite successivement les quatre cas possibles.

On a le résultat suivant, plus fort que celui indiqué dans le paragraphe 3.1.5. Soit { Pn } n  0 une suite normalisée. Si il existe une forme régulière u, une suite { λ n } n  0 , λ n ≠ 0 , n  0 et un polynôme normalisé Φ, deg Φ  2 tels que : n

n

Pn u = λn D ( Φ u ) , n  0

De (146), on a : λn + 2 ------------- – λ n + 1 = 0 λ1

(145)

alors la suite { P n } n  0 est nécessairement orthogonale par rapport à u et, donc, est classique. Tout d’abord, on a u = ku 0 avec k ≠ 0, car de (145) on a : n

3.2.5.1 Hermite, Φ (x ) = 1

 u , Pn  = ( Pn u ) 0 = λ n  D ( Φ u 0 )  0 = 0 , n  1 n

λn + 2 λ n + 1 βn + 1 – β 0  2 ------------- – λ n + 1 = 0   λ1

β0 λn + 2 λn + 2 – ------  – ------------- β 0 + λn + 1 βn + 1  + ------------ + n λn + 1 + λn γ n + 1 = 0, n  0  λ1  λ1 λ1 On en déduit :

Ensuite, faisant n = 1 dans (145), on voit que u est une forme classique, puisqu’elle est régulière. Notant { P˜n } n  0 la suite (normalisée) orthogonale par rapport à u, on a, d’après ce qu’on a vu dans le paragraphe 3.1.5 :

n

λ n = λ 1 , βn + 1 = β0 , γ n + 1 = – ( n + 1 )λ 1 , n  0 Choisissant β0 = 0 et λ1 = – 1/2, on a bien (111) et : n

( –1 ) - , n0 λ n = ------------n 2

n n P˜ n u = λ˜ n D ( Φ u ) , n  0

Il en résulte :

–1 –1 λ˜ n P˜ n u = λ n P n u , n  0

3.2.5.2 Laguerre, Φ (x ) = x

c’est-à-dire, en vertu de la régularité de u :

De (146), on a : –1 –1 λ˜ n P˜n = λ n P n , n  0

λn + 2 ------------- – λ n + 1 = 0 λ1

λ˜ n = λ n , P˜n = P n , n  0

et donc :

Mais il est plus instructif de démontrer la propriété directement sans utiliser les résultats précédents. Il s’agit de montrer que (52) est satisfaite. Compte tenu de (145), cela revient à écrire : λn + 2 Dn + 2 (Φn + 2u ) = λn + 1(x – βn + 1)Dn + 1(Φn + 1u ) – λnγn + 1 Dn (Φnu ) Or, on a : = (x – βn + 1)D n + 1(Φn + 1u ) + (n + 1)Dn (Φn + 1u )

 λn + 2 D

2

(Φ

n+2

u ) – λn + 1 D  ( x – βn + 1 ) Φ

= –D

n

n+1

u



 λn + 1 ( n + 1 ) ( Φn + 1 u ) + λn γ n + 1 Φn u 

2

λn = ( –1 )

, n0

n

, n0

3.2.5.3 Bessel, Φ (x ) = x 2

c’est-à-dire : λn + 2 D ( Φ

β n 2 λ n = λ 1 , β n + 1 = – 2 ( n + 1 )λ 1 + β 0 , γ n + 1 = λ 1 ( n + 1 )  n – -----0-  λ 1 valable pour n  0. On choisit λ1 = – 1 et on pose β0 = α + 1 : on retrouve bien (115) et on a :

de sorte que : D

β   n – β -----0-  λ n + 1 β n + 1 + λ n + 2  n + 1 – -----0-  + λ n γ n + 1 = 0, n  0   λ 1  λ 1  On en tire :

Dn + 1((x – βn + 1 ) Φn + 1u )

n

β  λn + 2 1 ------  λ n + 1 βn + 1 + λ n + 2  n + 1 – -----0-  + ------------ + n λn + 1 = 0  λ1  λ 1  λ1

n+2

u ) – λn + 1 D  ( x – βn + 1 ) Φ = –  λn + 1 ( n + 1 ) Φ

n+1

n+1

De (146), on obtient :

u

u + λn γ n + 1 Φ u  , n  0 n

D’où, en utilisant deux fois (145) pour n = 1 et d’après la régularité de u : P1 ( x )   1(x ) P --------------- + n Φ ′ ( x )  λ n + 2  --------------- + ( n + 1 ) Φ ′ ( x ) – λ n + 1 ( x – β n + 1 )   λ1   λ1    1     + Φ ( x ) λ n + 2 ------- + ( n + 1 ) Φ ″ ( x ) + n λ n + 1 + λ n γ n + 1 = 0, n  0   λ1  

1 1 1  -----+ 2 ( n + 1 )  ------ + 2n + 1 λ n + 2 –  ------ + n λ n + 1 = 0  λ1   λ1   λ1  λn + 2 1 λn + 1 1  -----+ 2n λ n + 1 β n + 1 – 2 β 0 -------------  ------ + 2 n + 1 + β 0 ------------- = 0  λ1   λ1  λ1 λ1

β0  λn + 2  – ------  – ------------- β 0 + λ n + 1 β n + 1  + λ n γ n + 1 = 0 , n  0 . λ1  λ1 

(146)

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3.2.5.4 Jacobi, Φ (x ) = x 2 – 1

D’où, après quelques calculs : 1 Γ  ------ + n λ1 = ----------------------------------------1 Γ  ------ + 1 + 2n λ1

  λn + 1      1 ------ – 2  β0 λ1  β n + 1 = ------ -------------------------------------------------------------n  0 λ1  1 1     ------ + 2 n ------ + 2 n + 2  λ1   λ1     1  ( n + 1 )  ------ + n – 1   2  λ1 β0  γ n + 1 = –  ------ -----------------------------------------------------------------------------------------------------2 λ1  1  1 1 ------- + 2 n – 1  ------- + 2 n  ------ + 2 n + 1   λ1   λ1   λ1 

Les deux premières conditions sont identiques à celles trouvées dans le cas Bessel ; quant à la troisième, elle devient :

β0 2  β0 1   λ n γ n + 1 = λ n + 2  ------ + 2 ( n + 1 ) –  ------  + λ n + 1  n + ------ βn + 1    λ λ λ 1 1  1    pour n  0. Après quelques calculs, on trouve :

γn+1

1+β 1–β 1 ( n + 1 )  n + ------- – 1  n + --------------0-  n + --------------0-   λ1 2 λ1   2 λ1  = 4 -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------, n0 2 1 1 1  2 n + ------- – 1  2 n + -------  2 n + ------- + 1       λ1 λ1 λ1

1+β 1–β Posant --------------0- = α + 1 , --------------0- = β + 1 , on retrouve (125) et on a : 2 λ1 2 λ1

–1

On pose λ 1 = 2 α et on choisit β0 = – α –1 : on retrouve (120) et on a : Γ(n + 2α – 1) λ n = --------------------------------------- , n  0 Γ ( 2n + 2 α – 1 )

Γ(n + α + β + 1) λ n = ---------------------------------------------- , n  0 Γ ( 2n + α + β + 1 )

Références bibliographiques Ouvrages généraux

Monographies

Revues

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