Fonctions Usuelles

Chapitre 7: fonctions usuelles Les objectifs du chapitre: - Savoir reconnaître les représentations graphiques des fonctions linéaires, affines, carrée, trigonométriques et valeur absolue. - Savoir caractériser les fonctions affines par le fait que l'accroissement de la fonction est proportionnel à l'accroissement de la variable. - Connaître les sens de variations des fonctions usuelles ainsi que leur parité. - Savoir déterminer la parité d'une fonction quelconque.

I) Courbes et symétrie, parité Définition: Soit f une fonction et D f son ensemble de définition. a) La fonction f est dite paire si et seulement si pour tout x appartenant à D f , on aussi  – x  qui appartient à D f et f  x = f  – x . b) La fonction f est dite impaire si et seulement si pour tout x appartenant à D f , on aussi  – x  qui appartient à D f et f −x =− f  x . Exemples de fonctions paires: Les fonctions suivantes sont des fonctions paires: f 1: x x 2 ; D f =ℝ f 2: x 3 ; D f =ℝ f 3: x cos x ; D f =ℝ 1 f 4:x ; D f =ℝ \ { – 1 ; 1} 2 x –1 1

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3

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Exemples de fonctions impaires: Les fonctions suivantes sont impaires: 3 g1 : x x  x ; D g =ℝ g2 : x 3 x ; D g =ℝ g3 : x sin x ; D g =ℝ 1 g 4: x ; D g =ℝ \ { – 1 ; 1} x  x 2 – 1 1

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Remarque: Lorsque l'on étudie la parité d'une fonction, il ne faut surtout pas oublier d'étudier la « symétrie » de son ensemble de définition! Propriétés: a) Dans le cas d'une f fonction paire, les points M  x ; f  x  et M ' – x ; f  – x sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées. 1

b) Dans le cas d'une f fonction impaire, les points M  x ; f  x  et M ' – x ; f  – x sont symétriques par rapport à l'origine O du repère. Exemple de représentation graphique d'une fonction paire:

M et M ' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées.

Exemple de représentation graphique d'une fonction impaire:

M et M ' sont symétriques par rapport à l'origine O du repère.

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II) Fonctions affines et fonctions linéaires 1) Définitions et représentations graphiques Définitions: –

–

On appelle fonction affine toute fonction s'écrivant sous la forme f  x =mx p , pù m et p sont deux réels. L'ensemble de définition d'une telle fonction est D f =ℝ . Dans la ca particulier où p=0 , c'est-à-dire où f  x =mx , on dit que f est une fonction linéaire. Une fonction linéaire est également définie sur ℝ.

Propriétés et définitions: –

–

La représentation graphique d'une fonction affine est une droite qui passe par le point 0 ; p  . Le réel p s'appelle l'ordonnée à l'origine de la droite: on a en fait p= f 0  . Le réel m s'appelle le coefficient directeur de la droite. La représentation graphique d'une fonction linéaire est une droite qui passe par l'origine du repère.

Remarque: Pour lire le coefficient directeur d'une droite, on regarde de combien “monte” ou “descend” la droite lorsque l'on avace de 1 en abscisse. (Voir les exemples suivants). Exemples: Fonction affine

Fonction linéaire

Remarque: Les fonctions affines (et donc aussi linéaires) sont les seules fonctions dont la représentation graphique est une droite. 3

Exercice: Donner deux exmples de fonctions affines et deux exemples de fonctions linéaires. 2) Propriétés, variations, accroissement Propriété 1: –

Si m0 , la fonction affine f : x

mx p est croissante sur ℝ.

–

Si m0 , la fonction affine f : x

mx p est décroissante sur ℝ.

–

Si m=0 , la fonction affine f : x

mx p est constante sur ℝ.

Démonstration: m0

m0

Soient a et b deux réels tels que ab ; on a: f b – f a =mb  p –  ma p f b – f a =mb p – ma – p 4

m=0

f b – f a =mb – a  Or, ab donc b – a0 , donc sgn[ f b – f a ]=sgn m . Par conséquent: – Si m=0 , f b= f  a et f est constante. – Si m0 , f b – f a 0 donc f b f  a et f est croissante.. – Si m0 , f b – f a 0 , donc f b f  a et f est décroissante. Propriété 2: Soit f une fonction définie sur ℝ. On a: mx p , alors l'accroissement des images est Si f est une fonction affine f : x proportionnel à l'accroissement des antécédents. Autrement dit, pour tous nombres réels x 1 et x 2 , l'accroissement f  x 2  – f  x 1  est proportionnel à x 2 – x1 , avec f  x 2  – f  x 1 =m x 2 – x 1 . – Réciproquement, toute fonction dont l'accroissement des images est proportionnel à l'accroissement des antécédents est une fonction affine. –

Remarque: Une fonction linéaire étant un cas particulier de fonction affine, le résultat précédent est bien sûr encore valable; dans ce cas particulier, puisque f  x =mx , chaque image est proportionnelle à son antécédent. Le coefficient de proportionnalité est m . Autrement dit, pour obtenir l'image d'un nombre x par f , on miultiplie ce nombre par m . 3) Signe d'une fonction affine Propriété: mx p une fonction affine. On a: Soit f : x – Si m=0 , f  x  est du signe de p , ∀ x ∈ ℝ. – Si m0 : p f  x 0 pour x– m p f  x =0 pour x=– m

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f  x 0 pour x–

–

p m

Si m0 :

p m p f  x =0 pour x=– m p f  x 0 pour x– m f  x 0 pour x–

Exercice: a) Démontrer la propriété précédente. b) Etudier le signe des fonctions suivantes: f :x – 2 x17 1 x g:x 4 h: x 18 x325

II) Fonction carré Définition: On appelle fonction carré la fonction définie sur ℝ par f  x =x 2 .

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La représentation graphique de la fonction carré s'appelle une parabole, de sommet O. Propriété 1: La fonction carré est une fonction paire. Propriété 2: La fonction carré est: – Croissante sur [0 ;∞[ (que l'on note aussi ℝ+ ) – Décroissante sur ] – ∞ ;0 ] (que l'on note aussi ℝ- ) On en déduit son tableau de variation:

Démonstration: –

–

Sur ℝ+ : Soient a et b réels tels que 0ab ; on a: f b – f a =b 2 – a 2 f b – f a =b – a ba Or, b – a0 et ba0 car a et b sont positifs avec ba . Par conséquent, f b – f a 0 , c'est à dire f b f  a et f est croissante sur [0 ;∞[ . Sur ℝ- : Soient a et b réels tels que ab0 ; on a, de la même façon: f b – f a =b – a ba Or, ab0 et b – a0 car a et b sont négatifs avec ba . Par conséquent f b – f a 0 , c'est à dire f b f  a et f est décroissante sur ] – ∞ ;0 ] .

Définition (complément): On appelle fonction polynôme du second degré toute fonction de la forme 2 f  x =ax bxc , où a ≠0 , et b et c sont des réels quelconques. La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est aussi une parabole. Exemple:

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Représentation graphique de f  x =–

1 2 1 x x . 4 2

Remarques: – –

La fonction carré est un cas particulier de polynôme du second degré, avec a=1 , et b=c=0 . Attention: toute les fonctions polynômes du second degré ne sont pas paires (voir l'exemple précédent pour s'en convaincre).

III)La fonction valeur absolue Rappel: Soit x ∈ ℝ . On appelle valeur absolue de x , notée ∣x∣ , le réel tel que: ∣x∣=x si x0 ∣x∣=– x si x0 Définition: La fonction valeur absolue est la fonction définie sur ℝ par f : x

Propriété 1: La fonction valeur absolue est une fonction paire. Propriété 2: La fonction valeur absolue est: – Croissante sur [0 ;∞[ – Décroissante sur ] – ∞ ;0 ] On en déduit son tableau de variation:

Démonstration: –

Sur [0 ;∞[ , on a f  x =∣x∣= x qui est croissante. 8

∣x∣ .

–

Sur ] – ∞ ;0 ] , on a f  x =∣x∣=– x qui est décroissante.

IV)La fonction inverse Définition: On appelle fonction inverse la fonction définie sur ℝ \ {0 } (que l'on note aussi ℝ* ) 1 par f : x . x

La représentation graphique de la fonction inverse s'appelle une hyperbole. Propriété 1: La fonction inverse est une fonction impaire. Propriété 2: La fonction inverse est: – Décroissante sur ] – ∞ ;0 [ – Décroissante également sur ]0 ;∞[

V) La fonction cubique Définition: On appelle fonction cubique la fonction définie sur ℝ par f  x =x 3 . 9

La représentation graphique de la fonction cubique s'appelle une cubique. Propriété 1: La fonction cubique est une fonction impaire. Propriété 2: La fonction cubique est croissante sur ℝ.

VI)La fonction racine carré Définition: La fonction racine carré est la fonction définie sur ℝ+ par f  x = x .

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Remarques: – –

La fonction racine carré n'est ni paire, ni impaire. La courbe représentative de la fonction racine carré est symétrique de la partie sur ℝ+ de celle de la fonction carré par rapport à la droite d'équation y=x . C'est une demi-parabole horizontale.

VII)Représentations graphiques, comparaisons Si l'on représente toutes les fonctions précédentes sur le même graphique, on obtient:

En bleu: y=∣x∣ En rouge: y=x 2 1 En orange: y= x 3 En gris: y=x En violet: y= x

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