Doca3 - Fonctions

Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques

Doc. A3 : Fonctions Fonctions réciproques Fonction bijective (UK : ‘one-to-one’) Une fonction y = f(x) est bijective s’il n’existe pas deux valeurs de x distinctes qui donnent la même valeur y. Par exemple, la fonction f ( x ) = x 2 n’est pas bijective pour x ∈ ℜ , mais elle l’est pour x ∈ ℜ + . Notation f  g Pour deux fonctions f et g, on note : ( f  g )( x) = f ( g ( x)) (f opère sur g) Soient deux fonctions bijectives f(x) et g(x). Elles sont dites réciproques (ou inverses) l’une ( g  f )( x) = x de l’autre si ( f  g )( x) = x ET Dans ce cas, on peut alors adopter les notations suivantes : g ( x ) = f − 1 ( x ) et f ( x) = g − 1 ( x) Attention : cette dernière notation n’est pas une notation ‘exposant’ formelle. En particulier, 1 f − 1 ( x) ≠ . f ( x) x+ 2 −1 Exemple : f ( x) = g − 1 ( x ) = 3x − 2 et g ( x) = f ( x ) = 3 y = f (x ) Procédure pour inverser une fonction - remplacer x par y et inversement - résoudre en y ( et non pas classiquement en x) l’équation obtenue, ce qui donne y = f − 1 ( x) - vérifier que ( f  f − 1 )( x ) = x et que ( f − 1  f )( x ) = x Exemple : soit g ( x ) = x − 3 . Trouver g − 1 ( x) et vérifier que ( g − 1  g )( x) = x Solution : g − 1 ( x) = x 2 + 3 Représentation des 2 exemples de fonctions réciproques.

Fonctions exponentielles Frédéric Quignon

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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Pour b > 0 et b ≠ 1, une fonction exponentielle est de la forme f ( x) = b x . Pour b = 1, il s’agit d’une fonction constante : f ( x) = 1 . Pour b = 0 et x ≠ 0, il s’agit aussi d’une fonction constante : f ( x) = 0 . Pour b < 0, les valeurs obtenues sont tour à tour réelles ou complexes. On évite… x

 1 Exemple : les fonctions f ( x ) = 2 et g ( x) =   , pour x ∈ [ − 2,2] , ont pour allure :  2 x

Propriétés de la fonction f ( x) = b x f(0) = 1 ; toutes les fonctions exponentielles partagent le point (0, 1) en commun f(x) ≠ 0 ; pour les très petits ou les très grands x, la fonction tend vers 0 mais ne l’atteint jamais f(x) > 0 ; la fonction est toujours positive, quel que soit x Pour 0 < b < 1 , alors f ( x ) → 0 lorsque x → ∞ et f (x) → ∞ lorsque x → ∞ Pour b > 1 , alors f (x) → ∞ lorsque x → ∞ et f ( x ) → 0 lorsque x → ∞ Fonction exponentielle naturelle On appelle fonction exponentielle naturelle ou de base e la fonction f ( x) = e x ou f ( x) = exp( x) , avec e = 2.7182818... Exemple : la fonction h(t ) = 1 − 5e  1− 2  , pour x ∈ [ − 2,2] , a pour allure : 

t

Fonctions logarithmiques Frédéric Quignon

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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Les fonctions logarithmiques sont définies pour x positif ( x ∈ ℜ + * ). Elles sont les réciproques de fonctions exponentielles. Autrement dit :

Pour x ∈ ℜ + et pour b > 0 et b ≠ 1,

y = log b x ⇔ x = b y

« log b x » se dit « log en base b de x » Les bases de logarithme les plus communes sont :

log e x = ln x - la base 10 : log10 x = log x - la base e :

On remarquera que ln x → ∞ lorsque x → ∞ , et que ln x → − ∞ lorsque x → 0 Propriétés des logarithmes

log b 1 = 0 log b b = 1 log b b x = x b logb x = x log b xy = log b x + log b y  x log b   = log b x − log b y  y log b x r = r log b x Formule de changement de base : log b x =

log a x log a b

log x =

ln x ln 10

De façon plus courante :

Remarque : ln 10 ≅ 2.303 ; vous savez maintenant la provenance de cette valeur qui émaille différentes formules de physique (ex : potentiel de Nernst, loi d’Arrhenius…) Cette formule de changement de base est très importante. En effet, si la réponse à : log 7 49 est facile dès lors que 49 = 2 7 , il n’en est pas de même avec log 7 50 , par exemple.

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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Aussi, la formule de changement de base permet d’écrire que log 7 50 =

ln 50 log 50 = et ln 7 log 7

d’interroger toute calculatrice pour l’un ou l’autre de ces ratios. Equations à base d’exponentielles et de logarithmes Résoudre 7 + 15e (1− 3 z ) = 10 Solution : 1 . 5 Puis, pour sortir la variable z de l’exposant, on utilise la fonction réciproque :  1 ln e (1− 3 z ) = (1 − 3 z ) = ln   5 − 1  1    ln  − 1 Pour donner finalement : z = 3   5   (1− 3 z ) = Il vient facilement : e

(

)

La même technique est utilisée pour résoudre les exemples suivants. 2 Exemple : résoudre 10 (t − t ) = 100 Solution : {-1, 2} Exemple : résoudre x − xe ( 5 x + 2 ) = 0 Solution : {-2/5, 0} Exemple : résoudre 5( x 2 − 4) = ( x 2 − 4)e ( 7 − x ) Solution : {-2, 2, (7-ln[5])} Exemple : résoudre 4e (1+ 3 x ) − 9e (5− 2 x ) = 0 1  9  Solution : {  4 + ln   } 5  4 

Représentations graphiques Droites L’équation de type y = mx + b est l’équation d’une droite de pente m et d’intersection avec l’axe Oy en b. Exemple : y = f(x) = -2/5 x + 3 Il s’agit de l’équation d’une droite de pente négative (y chute de -2/5 unités lorsque x augmente d’une unité) et qui coupe l’axe Oy (i.e. pour x = 0) en y = 3. Exemple : y = f(x) = | x | Ici, il faut successivement considérer 2 cas : Si x < 0, alors y = - x Si x ≥ 0, alors y = x

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Paraboles L’équation d’une parabole est de la forme y = f ( x) = ax 2 + bx + c  − b  − b  , f   . Son sommet a pour coordonnées   2a  2 a   Elle est tournée vers le haut si a est positif, vers le bas si a est négatif. Si la parabole coupe (ou si, cas limite, la courbe est tangente en un seul point à) l’axe Ox, c’est que l’équation ax 2 + bx + c = 0 admet 2 racines distinctes (ou, cas limite, une racine double), x1 et x2, que l’on peut lire sous la forme factorisée du polynôme : a ( x − x1 )( x − x 2 ) Ainsi, les coordonnées des points d’intersection, lorsqu’ils existent, de la parabole avec l’axe Ox valent (0, x1) et (0, x2). Rappel (sera revu dans le cours ‘Dérivées’) : La tangente à la parabole est horizontale en son sommet. En ce point, la dérivée de l’équation qui décrit cette parabole est donc nulle et nous avons : f ' ( x) = 2ax + b = 0 −b La coordonnée du point x pour lequel f ' ( x ) = 0 vaut donc x = 2a 2 Exemple : Représenter y = f ( x ) = − x + 2 x + 3 Il s’agit de l’équation d’une parabole. Elle est tournée vers le bas (a = -1).  − 2   = 1 et y = − (1) 2 + 2(1) + 3 = 4 Son sommet a pour coordonnées x =  2 ( − 1 )   Les racines de l’équation − x 2 + 2 x + 3 = 0 soit de : − ( x 2 − 2 x − 3) = 0 = ( x − 3)( x + 1) valent x1 = -1 et x2 = 3 La parabole coupe donc l’axe Ox en (0, -1) et (0, 3).

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Université de Metz IUT Thionville – Yutz S1M1 – Mathématiques Cercle L’équation d’un cercle centré sur le point (h, k) et de rayon r est de la forme : ( x − h) 2 ( y − k ) 2 2 2 2 ( x − h) + ( y − k ) = r ou + =1 r2 r2 Ellipse Une ellipse peut être décrite par la position de son centre et par les longueurs de son ‘petit axe’ et son ‘grand axe’. Ceux-ci, s’ils étaient de même longueur, correspondraient au rayon du cercle. Soient a la distance entre le centre et les 2 points de l’ellipse les plus éloignés, dans la direction de l’axe Ox, et b la distance entre le centre et les 2 points de l’ellipse les plus éloignés, dans la direction de l’axe Oy. L’équation de l’ellipse est de la forme : ( x − h) 2 ( y − k ) 2 + =1 a2 b2 Hyperbole L’équation d’une hyperbole centrée sur (h, k) peut prendre l’une des 2 formes suivantes, selon l’orientation des branches de l’hyperbole. ( x − h) 2 ( y − k ) 2 ( x − h) 2 ( y − k ) 2 − =1 − + =1 a2 b2 a2 b2 La première équation correspond à une hyperbole qui s’ouvre de part et d’autre d’un axe vertical (parallèle à Oy) et dont les sommets sont situés à une distance a de son ‘centre’. La seconde équation correspond à une hyperbole qui s’ouvre de part et d’autre d’un axe horizontal (parallèle à Ox), et dont les sommets sont situés à une distance b de son ‘centre’. b Les asymptotes aux branches (symétriques) sont de pente ± a ( x − 2) 2 + 4( y + 2) 2 = 1 9 Réponse : On reconnaît là l’équation d’une ellipse centrée sur le point (2, -2) avec les points de l’ellipse les plus éloignés selon une parallèle à Ox situés à une distance du centre de a = √9 = 3, et selon une parallèle à Ox, à une distance du centre de b = √(1/4) = ½ Exemple : Représenter

Exemple : Représenter x 2 + 2 x + y 2 − 8 y + 8 = 0 Réponse : Pour savoir si l’on a affaire à une figure remarquable, il faut tenter de retrouver une forme d’équation standard, et ‘compléter les formes quadratiques’, en x comme en y. En reprenant la technique de ‘complémentation du carré’ décrite comme l’une des technique de résolution de l’équation du type ax 2 + bx + c = 0 (cf. DocA1), il vient : Frédéric Quignon 6

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(

2

)

2

b  b  2 à x + 2 x , on ajoute   = 1, pour obtenir la forme  x +  = ( x + 1) 2  2  2

(

2

)

2

b  b  2 à y − 8 x , on ajoute   = 16, pour obtenir la forme  y +  = ( x − 4 ) 2 2     puis on ajuste les valeurs constantes pour satisfaire l’équation initiale : x 2 + 2 x + 1 − 1 + y 2 − 8 y + 16 − 16 + ( 8) = 0 , soit

(

2

)

(

)

( x + 1) 2 + ( x − 4) 2 − 1 − 16 + 8 = ( x + 1) 2 + ( x − 4) 2 = 9

0 , ou enfin

On reconnaît là l’équation d’un cercle centré sur le point (-1, 4) et de rayon 3.

( x + 1) 2 ( y − 2) 2 − =1 9 4 Réponse : Il s’agit là de l’équation d’une hyperbole centrée sur le point (-1, 2). Ses branches se développent de part et d’autre de l’axe vertical (x = -1), à partir d’un sommet situé à une distance a = 3 du centre. 2 Les asymptotes (en pointillé sur le graphe) aux branches de l’hyperbole sont de pente ± 3 Exemple : représenter

Frédéric Quignon

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