Fisika Reaktor Nuklir

Pengantar Fisika Reaktor Nuklir (Intro. To Nuclear Reactor Physics) Topan Setiadipura ([email protected]) Bidang Komputasi BATAN - INDONESIA Januari 2008

Review 1. 2. 3. 4.

Reaksi Nuklir Konsep Penampang Lintang Aspek Kuantitatif Kritikalitas Nuklir Fisika dan Matematika Deplesi Bahan Nuklir.

Pendahuluan Tujuan utama dari desain dan operasi reaktor nuklir adalah pemanfaatan dari energi atau radiasi yang dihasilkan dari reaksi fisi berantai yang terjadi pada teras reaktor. Teras reaktor nuklir :

Tampang lintang Fuel-pin

Fuel pin

Lebih detail, reaksi fisi terjadi pada bahan bakar yang terdapat pada teras reaktor. Pada tipe PWR, bahan bakar berbentuk pellet tersusun menjadi batangan (fuel pin) yang dibundel (fuel-assembly) dan disusun dalam teras reaktor.

Fuel-Assembly (penampang lintang)

teras reaktor

Pendahuluan Akan dipelajari Aspek Fisika Nuklir dari reaksi fisi berantai yang terjadi. Pemahaman yang kuat terhadap aspek fisika nuklir ini sangat diperlukan untuk lebih jauh mempelajari aspek neutronik dari reaktor nuklir, dimana seorang desainer reaktor nuklir harus mampu memonitor dan mengontrol keadaan reaksi fisi berantai. Secara garis besar pembahasan akan terbagi kedalam dua bagian yaitu :

•

Reaksi Nuklir, membahas konsep dasar dan berbagai reaksi nuklir.

•

Reaksi Fisi, secara khusus dan mendalam membahas mengenai reaksi Fisi sebagai salah satu reaksi nuklir. Reaksi Fisi Berantai

Notasi • Inti nuklir ‘X’dilambangkan sbb : A

• • •

XZ

Z  jumlah proton : A  Nomor massa yaitu jumlah neutron (N) dan proton (Z); A=N+Z. Massa inti : m(AXZ) = A x u Isotop : inti dengan Z sama, (jumlah proton sama) Isobar : inti dengan A sama, (jumlah neutron +proton sama)

•

Isoton : inti dengan N sama, (jumlah proton sama)

1. Reaksi Nuklir Secara mendasar terdapat dua jenis reaksi nuklir yang penting dalam studi reaktor nuklir, yaitu :

1. peluruhan spontan dari inti nuklir,misalnya peluruhan radioaktif dari inti produk fisi yang pada umumnya tidak stabil. Reaksi peluruhan ini hanya tergantung pada sifat dari inti tersebut.

2. interaksi antara dua inti nuklir atau inti dengan partikel lain, termasuk dalam katagori ini misalnya tumbukan neutron dan neutron. Reaksi ini tidak hanya bergantung pada sifat inti yang berinteraksi, namun juga terhadap kecepatan (atau energi) dari inti dan partikel yang terlibat dalam interaksi.

Peluruhan Radioaktif Radioactive Decay

1.A. Peluruhan Radioaktif Beberapa nuklida bersifat tidak stabil, yaitu nuklida tersebut dapat bertransformasi menjadi nuklida lain secara spontan untuk memperoleh keadaan yang lebih stabil, yang diiringi pemancaran partikel berenergi. Fenomena diatas Peluruhan Radioaktif Terdapat tiga peluruhan alami yaitu : •

Peluruhan alpha, inti memancarkan inti 4He2.

•

Peluruhan beta, pemancaran elektron sebagai akibat konversi neutron dalam inti menjadi proton.

•

Peluruhan gamma, pemancaran foton (sinar gamma) karena transisi inti ke level energi lebih rendah.

Contoh Peluruhan alpha :

Contoh Peluruhan beta :

1.A. Peluruhan Radioaktif Hukum fundamental yang menerangkan peluruhan radioaktif berdasar pada pengamatan eksperimental bahwa probabilitas nuklida akan meluruh pada interval waku tertentu adalah konstan, tidak dipengaruhi oleh lingkungan dan waktu hidup nuklida tersebut. Laju perubahan jumlah populasi inti awal proporsional dengan jumlah inti pada waktu tersebut. Secara matematis konstanta proporsional kita sebut λ (konstanta peluruhan radioaktif). Bila N(t) adalah populasi nuklida pada waktu t, maka perubahan populasi neutron sbb :

dN − =λ⋅ N (t ) dt Sehingga, bila diawal kita punya populasi nuklida tertentu No maka pada waktu tertentu populasinya adalah

N (t ) = N O ⋅ e − λ ⋅t

Maka, laju peluruhan nuklida :

dN = λ ⋅ N O ⋅ e −λ⋅t dt Didapat bahwa probabilitas sebuah inti akan meluruh pada selang waktu antara t dan t+dt adalah

p (t )dt = λ ⋅ e

− λ ⋅t

dt

1.A. Peluruhan Radioaktif Peluruhan radioaktif adalah fenomena statistik, waktu terjadinya peluruhan radioaktif tidak dapat kita tentukan secara tepat. Namun terdapat beberapa parameter yang bisa digunakan untuk menjelaskan keadaan nuklida terkait sifat peluruhannya Waktu-hidup rerata, t, yaitu rerata waktu hidup sebuah nuklida sebelum meluruh.

∞

∞

0

0

t = ∫ dt ⋅ t ⋅ p (t ) = λ ⋅ ∫ dt ⋅ t ⋅ e

−λ⋅t

=

Artinya, inti dengan konstanta peluruhan λ,pada umumnya (istilah untuk menggambarkan rerata) meluruh setelah waktu 1/ λ. Waktu-paruh,T1/2,, yaitu waktu yang diperlukan bagi sebuah nuklida untuk meluruh sehingga populasinya menjadi setengah populasi awal.

No N (T0.5 ) = = N o ⋅e −λ⋅T0.5 2 ln 2 0.693 T0.5 = =

λ

λ

1

λ

1.A. Peluruhan Radioaktif Kebanyakan proses peluruhan radioaktif, tidak sesederhana seperti digambarkan dengan persamaan sebelumnya. Misalnya, nuklida yang meluruh tersebut juga diproduksi oleh nuklida lain. Sehingga persamaan kesetimbangan nuklida nya :

dN = −λ ⋅ N (t ) + R(t ) dt

Maka untuk proses yang melibatkan beberapa nuklida seperti berikut :

λx

λY

R(t) adalah laju produksi nuklida, satuannya

nuklida.cm-3.s-1

λY

X → Y → Z →

Untuk memperoleh populasi tiap nuklida kita harus memecahkan sistem persamaan berikut :

dN X = − λ X ⋅ N X (t ) + R X dt dN Y = − λ Y ⋅ N Y + λ x ⋅ N x + RY dt dN Z = − λ Z ⋅ N Z + λY ⋅ N Y + R Z dt

1.A. Peluruhan Radioaktif Parameter yang lebih praktis untuk digunakan adalah Aktivitas (A) dari suatu inti radioaktif, yaitu total jumlah peluruhan yang terjadi per detik.

A = λ ⋅ N (t ) Satuan dari Aktivitas (A) adalah curie, dimana 1 curie adalah aktivitas dari 1 gram Radium yang besarnya 3.7x1010 peluruhan per detik. Satuan lain yang lebih umum digunakan adalah bacquerel, dimana 1 bq = 1 peluruhan per detik.

Reaksi Interaksi Nuklir Nuclear Collision Reactions

Notasi Reaksi Nuklir Studi mengenai reaksi tumbukan nuklir dapat diformulasikan mirip seperti reaksi kimia berikut :

a+b→c+d

Karena pada reaksi nuklir, biasanya, salah satu menjadi penumbuk (proyektil) dan yang lainnya sebagai target diberikan pula notasi berikut :

a (b, c)d target Contoh :

c b

proyektil 1 0

n+ U → 235 92

sebelum 236 92

U ( n, γ ) 236 92 U

235 92

a

U +γ

d

setelah

Jenis reaksi mirip seperti ini biasa disebut reaksi (n,γ).

Energi Reaksi Nuklir Reaksi nuklir selalu terkait dengan penyerapan atau pelepasan energi. Energi yang dilepas (atau diserap) dalam reaksi nuklir dapat dihitunga dengan memanfaatkan rumus pa Einstein berikut : C kecepatan cahaya di ruang hampa

E = mc 2

Untuk reaksi nuklir

M  selisih massa yang dikonversi ke energi

a (b, c)d

Maka energi reaksinya, Q, dapat dihitung sbb :

Q = [( M a + M b ) − ( M c + M d )] ⋅ c 2

• Bila Q>0, maka reaksi mengeluarkan energi. Disebut reaksi eksotermik • Bila Q<0, maka reaksi memerlukan pasokan energi. Disebut reaksi endotermik Dari pembahasan ini, reaksi yang harus di ‘maintain’ untuk menghasilkan listrik (energi) adalah reaksi eksotermik..salah satunya reaksi fisi.

Jenis Reaksi Nuklir

Ex.

Jenis – jenis reaksi / interaksi nuklir, yaitu antara neutron dan nuklida, dapat digambarkan sebagai berikut :

Dua tipe umum interaksi neutron dengan nuklida, sebagaimana terlihat diatas, adalah : • Tumbukan (scattering), dimana neutron tidak pernah menembus inti. Bertumbukan dengan potensial nuklir, seperti tumbukan antara dua kelereng. •

Penyerapan (absorption), dimana neutron sempat diserap oleh nuklida ZXA (menembus inti), dan membentuk nuklida gabungan ZXA+1 (coumpound nucleus).

Bergabung dan Meluruh Reaksi penyerapan memiliki dua langkah yaitu pembentukan dan peluruhan nuklida gabungan.

Kong??? Skema peluruhan yang dapat terjadi sangat beragam..misal untuk nuklida gabungan (13Al27)* berikut :

Waktu hidup nuklida gabungan ( yaitu waktu neutron bersafari didalam nuklida ) cukup lama. (Nilainya untuk neutron lambat dengan kecepatan 105 cm/s adalah 10-17 s  lamanya reaksi fisi ~10-14 s). Maksudnya, cukup lama untuk membuat nuklida gabungan ‘lupa’ asal-usulnya. Proses disintegrasi setelah itu tidak dipengaruhi modus pembentukan nuklida gabungan.

Mekanisme nya? Pemilihan peluruhan yang terjadi selanjutnya berbasis pada kesetimbangan massa (balance of mass) sbb: Misalnya : Maka kesetimbangan massa-nya : Massa

:

26.99081

Massa neutron

:

1.008986

Jumlah Masa ‘nuklida gabungan’

:

27.999067

Massa 13Al28

:

27.990771

Selisih

:

+ 0.008296

13

Al27

Sedangkan perhitungan yang sama untuk reaksi lain : Reaksi pertama yang akan terjadi..tapi ingat secara prinsip hal ini bersifat statistik. Dalam perhitungan biasa dipergunakan data nuklir hasil eksperimen.

Contoh

reaksi penyerapan

Reaksi Fisi

resume

Penampang Lintang Cross-Section

• Penampang

lintang mikroskopik

(microscopic cross section) • Penampang

lintang makroskopik

(macroscopic cross section)

• Penampang lintang diferensial tumbukan (differensial scattering cross section)

Pen.Lintang Mikroskopik Probabilitas terjadinya suatu reaksi neutron-nuklida ditentukan oleh nilai penampang lintang nuklirnya.

Bila neutron dan nuklida dianggap sebagai partikel klasik, σ merupakan luas penampang lintang nuklida ‘dilihat’ oleh neutron. Radius nuklida ~ 10-12 cm, maka luas penampang lintang ~ 10-24 cm2 (sehingga dipakai satuan Barn = 10-24). NAMUN, pemahaman diatas tidak selalu benar karena terkadang timbul efek (mekanika) quantum dari neutron dan nuklida. Misalnya σa dari 54Xe135 untuk neutron lambat lebih besar sekitar sejuta kali lipat penampang lintang geometrisnya.

Pen.Lintang Mikroskopik

Pen.Lintang Makroskopik

Interpretasi

Contoh kasus Misalnya kita akan menghitung jarak bebas rerata, λ, dari neutron termal pada graphit. Data nuklida carbon, σs = 4.8 b ; σa = 4.0 x 10-3 b ; Rapat massa, ρ, 1.6 g.cm-3 Konsep :

Alur : - Hitung N dari carbon (sebagai penyusun graphit)  Nc= 0.0803 x 10 24 cm-3 - hitung Σs,Σa, dan Σt .  Σs= 0.385 cm-1 ; Σa = 3.2 x 10-4 cm-1 ; Σt = 0.385 cm-1 ~ Σs - λ = (Σt)-1 = 2.6 cm.

Perhatikan : betapa besar - Jarak bebas rerata, λ, adalah resiprok dari penampang lintang tumbukan penampang lintang makroskopik total, Σt. dibanding serapan bagi nuklida -Penampang lintang makroskopik total adalah graphit. Secara rerata neutron termal mengalami 1200 tumbukan jumlah dari penampang lintang makroskopik sebelum pada akhirnya diserap tumbukan, Σs, dan serapan, Σa. oleh nuklida. Sehingga graphit - Penampang lintang makroskopik adalah adalah bahan yang sangat baik perkalian antara p.l. mikroskopik dengan sebagai moderator. rapat atom nuklida,N.

Penampang lintang differensial tumbukan Sebelumnya…

Pengantar

• telah dibahas mengenai konsep penampang lintang mikroskopik dan makroskopik yang dapat memberi informasi mengenai probabilitas terjadinya interaksi antara neutron dengan nuklida tertentu.

Namun … • Kedua konsep penampang lintang sebelumnya hanya memberi probabilitas terjadinya suatu reaksi, ketika telah terjadi reaksi tumbukan, tidak dapat lebih jauh memberi informasi mengenai perubahan arah atau energi neutron setelah interaksi tersebut.

Sehingga… • konsep penampang lintang perlu diperluas untuk menjelaskan ‘reaksi tumbukan’ secara lebih detail. • Informasi mengenai perubahan arah dan energi neutron setelah reaksi tumbukan sangatlah penting. Untuk itu perlu dikenalkan konsep ‘penampang lintang differensial tumbukan’.

Notasi dan Konsep Jadi, penampang lintang diferensial tumbukan (pldt) memberi informasi mengenai arah dan energi baru neutron setelah tumbukan. Untuk itu perlu dibahas terlebih dahulu mengenai variabel kecepatan neutron.

pldt adalah probabilitas neutron dengan kecepatan awal v menjadi vektor berkecepatan v’ setelah tumbukan. Lebih jauh, dalam analisa reaktor, pergerakan neutron biasa ditunjukkan oleh dua variabel yaitu energi dan arah:

Kecepatan neutron , v

Energi, digunakan energi kinetik neutron yang berkaitan langsung dengan laju gerak neutron. Arah, diberikan oleh satuan vektor arah berikut : ˆ = v = eˆ sin θ cos φ + eˆ sin θ sin φ + eˆ cos θ Ω x y z v

1 m ⋅v2 2 2⋅E v= m E=

Ilustrasi Variabel Arah

Koordinat bola

Integrasi terhadap kecepatan Integrasi terhadap variabel kecepatan sangat sering dilakukan, hal tersebut dilakukan sbb:

∫

∞

∞

∞

∞

2π

π

−∞

−∞

−∞

0

0

0

f (v)d 3v = ∫ dv x ∫ dv y ∫ dvz f (v) = ∫ v 2 dv ∫ dφ ∫ dθ ⋅ sin θ ⋅ f (v) Koordinat kartesian

Koordinat bola

Pada koordinat bola, integrasi terbagi untuk bagian radial dan angular. Kita perhatikan lebih jauh bagian angular berikut : 2π π Dari sini kita dapat ˆ ≡ dφ sin θ ⋅ dθ ‘differential solid angle’ dΩ ˆ

∫π

4

∫ ∫ 0

dΩ = sin θ ⋅ dθ ⋅ dφ

0

Karena, kecepatan neutron dinyatakan oleh variabel energi dan arah, maka integrasinya biasa dilakukan sbb : ∞ 3 f ( v ) d v = ∫ dE ∫ 0

ˆ ⋅ f (E, Ω ˆ) ∫πdΩ

4

Konsep p.l.diferensial tumbukan Pldt terkait dengan perubahan energi dan arah, namun untuk lebih sederhana dan mudah difahami kita hanya perhatikan perubahan energi terlebih dahulu. Misalnya berkas neutron dengan intensitas I, semua dengan energi E, menumbuk target dengan kerapatan atom, NA.

E’

Maka, laju terjadinya neutron dengan energi awal E terhambur dengan energi akhir E’ dan (E’ + dE’)

proporsional dengan intensitas (I), kerapatan atom (NA) dan cakupan dE’ dari energi akhir.

pldt

E Nuklida pada target

jumlah _ reaksi = σ s ( E → E ') ⋅ dE '⋅I ⋅ N A 2 cm

Variabel yang diberikan sebagai skala proporsionalitas  menunjukkan probabilitas bahwa tumbukan merubah energi

neutron dari E ke E’ pada dE’. Satuannya cm2/eV.

Konsep p.l.diferensial tumbukan Konsep yang sama berlaku juga untuk variabel arah, berikut : Ωˆ

Ωˆ '

(

)

jumlah _ reaksi ˆ →Ω ˆ ' ⋅ dΩ ˆ '⋅I ⋅ N =σs Ω A 2 cm

Nuklida pada target

Variabel yang diberikan sebagai skala proporsionalitas  menunjukkan probabilitas bahwa tumbukan merubah arah neutron dari Ω ke Ω’. -Pada perhitungan reaktor nuklir pldt tidak bergantung pada arah awal neutron karena orientasi nuklida pada bahan yang tidak beraturan, sehingga efeknyanya saling menghilangkan. - Namun, pldt terkait dengan besarnya perbedaan antara arah awal dengan arah akhir neutron, yang disebut sudut hamburan,θ, atau cosinus-nya yaitu μ o.

(

) (

)

σ s Ωˆ → Ωˆ ' = σ s Ωˆ • Ωˆ ' = σ s ( µ 0 )

p.l ‘diferensiasi’ ?? Hubungan antara pldt dengan p.l mikroskopik yang sebelumnya dibahas dapat ditunjukkan sbb : σs(E) adalah probabilitas neutron dengan energi E akan bertumbukan dengan nuklida, mencakup semua keadaan energi akhir dari neutron, maka σs(E) dapat diperoleh dengan integrasi pldt untuk semua energi akhir. Atau pldt adalah ‘diferensiasi’ dari pldt.

Energi ∞

σ s ( E ) = ∫ dE '⋅σ s ( E → E ') 0

Arah

( )

(

)

σ s Ωˆ = ∫ dΩˆ '⋅σ s Ωˆ → Ωˆ ' = σ s 4π

Berlaku pula untuk variabel arah. Integrasi terhadap semua arah.

Double p.l.d.t Konsep untuk variabel energi dan arah dapat digabungkan sehingga dikenal pldt ganda (double differential scattering cross section) ˆ ',E’ Ω

ˆ ,E Ω

Nuklida pada target

(

)

jumlah _ reaksi ˆ →Ω ˆ ' ⋅ dΩ ˆ '⋅I ⋅ N = σs E → E', Ω A 2 cm berlaku hubungan – hubungan berikut :

(

ˆ '⋅σ E → E ' , Ω ˆ →Ω ˆ' σ s ( E → E ') = ∫ d Ω s

)

Dapat juga diperluas untuk makroskopik :

Σ s ( E → E ' ) ≡ N ⋅ σ s ( E → E ') ˆ →Ω ˆ ') = dE '⋅σ ( E → E ' , Ω ˆ →Ω ˆ ') σ (E, Ω ∫ Σ s Ωˆ → Ωˆ ' ≡ N ⋅ σ s Ωˆ → Ωˆ ' ˆ ' dE '⋅σ ( E → E ' , Ω ˆ →Ω ˆ ') σ ( E ) = ∫ dΩ ∫ σ ( E → E ' ) = σ ( E ) ⋅ P ( E → E ') 4π

(

∞

s

s

0

∞

s

s

4π

0

s

)

(

s

)

Aspek Kuantitatif Kritikalitas Nuklir

Sejarah Neutron pada Reaktor Nuklir

Sistem misalnya teras reaktor Satu generasi neutron adalah sejak ‘lahir’ pada reaksi fisi, hingga ‘mati’ pada kejadian yang mengeluarkan neutron dari sistem. Khusus reaksi fisi, neutron yang hilang digantikan dengan sejumlah neutron fisi yang dengan ini reaksi berantai bisa dipertahankan. Probabilitas dari tiap kejadian diatas dapat didefinisikan sbb: PNL  probabilitas bahwa neutron tidak akan bocor dari sistem sebelum diserap. PAF  probabilitas bahwa bila neutron diserap pada sistem, akan diserap pada bahan bakar.

Dlm terminologi reaktor PAF = f

Pf  probabilitas bahwa bila neutron diserap pada bahan bakar, akan menyebabkan reaksi fisi.

Formulasi (awal) Faktor Multiplikasi Dengan data probabilitas semua kejadian neutron, dapat diformulakan Faktor Multiplikasi (k), yaitu rasio antara populasi neutron dari dua generasi berturutan. Misalnya, diawal kita mulai dengan N1 pada suatu generasi. Dengan memahami sejarah neutron dan data semua probabilitas kejadiannya maka populasi neutron pada generasi selanjutnya, N2, adalah

N 2 = υ ⋅ Pf ⋅ PAF ⋅ PNL ⋅ N1 atau

N 2 = η ⋅ f ⋅ PNL ⋅ N1 Dimana :  σ Ff η = υ ⋅  F σa

 Jumlah neutron fisi per  reaksi penyerapan neutron   pada bahan bakar.

Maka, N2 k= = η ⋅ f ⋅ PNL N1

Bila dimisalkan sistem yang diamati berdimensi tak hingga, maka PNL=1, artinya tidak ada kebocoran dari sistem. Maka dapat didefinisikan Faktor Multiplikasi tak-hingga berikut :

kinf = η ⋅ f

Meskipun sistem seperti ini tidak ada, kinf adalah parameter penting yang menunjukkan sifat multiplikasi dari material yang diamati.

Efek Spektrum Neutron Pada formulasi sebelumnya, spektrum energi dari neutron belum diperhatikan!!! • • •

Padahal nilai penampang lintang reaksi sangat bergantung pada energi. Neutron yang ‘lahir’ dari reaksi fisi memiliki energi pada orde MeV (disebut neutron cepat). Pada orde ini, probabilitas terjadinya fisi nilainya rendah (tapi ada!). Reaksi fisi cenderung banyak terjadi pada energi neutron yang rendah (neutron termal). Dalam sejarahnya neutron akan mengalami degradasi energi, dari berenergi tinggi hingga energi-nya rendah (diistilahkan sebagai peristiwa moderasi). Dan kejadian ini belum dimasukkan dalam formulasi sebelumnya.

Maka perlu ditambahkan : •

•

Kontribusi neutron fisi dan kebocoran neutron dari spektrum energi berbeda. Kontribusi diserapnya neutron pada saat ‘moderasi’, yang disebut ‘penangkapan resonansi’.

Parameter tambahan

• Є : faktor fisi neutron cepat (energi tinggi) fraksi neutron fisi dari reaksi fisi neutron cepat terhadap terhadap total.

• p : Fraksi neutron fisi yang ‘berhasil’ termoderasi dari energi fisi ke energi termal tanpa diserap.

• PFNL : Probabilitas bahwa neutron cepat tidak akan bocor dari sistem.

• PTNL : Probabilitas bahwa neutron termal tidak akan bocor dari sistem.

Jumlah neutron fisi total (dari reaksi fisi neutron cepat dan neutron termal) Є≡

Jumlah neutron fisi dari reaksi fisi neutron termal

PNL = PFNL.PTNL

Formulasi Faktor Multiplikasi Maka, kritikalitas nuklir yang diwakili oleh Faktor Multiplikasi diberikan oleh formula berikut :

Sejarah neutron pada sistem nuklir dengan spektrum energi

Fisika dan Matematika Peristiwa Deplesi Bahan Nuklir

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC • Production/removal equations :

Using the above rate information, a general coupled set of linear first-order differential equations can be developed for all of the isotopes of interest. Due to the fact that a large number of coupled equations can result, a numerical solution technique is the only practical solution method.

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC • NEUTRON INTERACTION :

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC • Explicit diff.equation for each nuclide :

Time rate of change in concentrat ion of isotope i

Production rate per unit volume of isotope i

from fission of all fissionable nuclides

from neutron transmutatio n of all isotopes including (n,gamma), (n,alpha), etc.

from decay of all isotopes including beta,alpha, etc.

Removal rate per unit volume of isotope i

by fissions

by neutron capture (excludin g fission)

by decay

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC Fission production rate All fissionable nuclide

Fission fraction for the production of isotope i from fission of isotope j , n/cm2-s

Concentration of isotope j , atoms/cm3 Neutron flux , n/cm2-s

Microscopic fissions crosssection of isotope j, cm2

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC of Capture production Concentration isotope k , atoms/cm rate

3

Neutron flux , n/cm2-s

Integrated over all isotopes

Microscopic capture crosssection (minus fissions) of isotope k, cm2

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC Decay production rate

Integrate over all isotopes

Concentration of isotope l , atoms/cm3

Decay constant (equal to ln(2)/half-life) of isotope l, 1/s

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC Fission removal rate

Concentration of isotope l , atoms/cm3

Neutron flux , n/cm2-s Microscopic fissions crosssection of isotope j, cm2

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC Capture removal rate

Concentration of isotope l , atoms/cm3

Neutron flux , n/cm2-s Microscopic capture crosssection of isotope j, cm2

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC Decay removal rate

Decay constant (equal to ln(2)/half-life) of isotope l, 1/s

Concentration of isotope l , atoms/cm3

PHYSICS_OFBURNUPPLUS_MATHEMATIC •

Note that, although not explicitly defined as such, the neutron flux and cross sections are energy dependent. While, the neutron flux and isotope concentration are both position and time dependent.

• Hence, the flux, cross section, and concentration defined as : φ ⇒φ( x, y , z , E , t ) σ ⇒σ( E ) N i ⇒N i ( x, y , z , t )

• Since only the flux and the cross sections are energy dependent, the

energy dependence can be integrated out of the differential equation as follow ∞

σNφ ⇒ N ( x, y, z , t ) ∫σ ( E ) ⋅φ( x, y, z , t ) ⋅ dE 0

Computational Solution

• BURNCAL solve the above coupled set of linear first order differential equation using 1st order Runge-Kutta Methode with sufficiently small time steps to ensure adequate accuracy in the results. Initial value problems of ODEs Possible ‘better’ solution on the above problem : 2. Use Predictor-Corrector “ In fact the standard predictor-corrector algorithm is the proven algorithm for burnup calculation for all licensing-level reactor physics codes…. It is conceptually simpler and numerically more accurate than the middletimestep approach.” [Zhiwen Xu,2003]

4. Divide the complex chain to simple chain and solve it analitically using Bateman method.[Zaki Su’ud,1996] 5. Matrix exponential method [Origen2.1]. 6. Krylov Method [A Yamamoto,2007]

PARALLEL COMPUTATION ON

PUBLIC CLUSTER

Tambahan • Aspek neutronik hanyalah salah satu tugas seorang desainer reaktor nuklir. • Dia juga harus mampu memanfaatkan energi fisi yang dihasilkan selama reaksi fisi berantai tersebut. • Tugas terakhir ini terkait dengan banyak hal seperti transfer panas, aliran fluida, analisa struktur material, analisa sistem energi dan lainnya.