Exercices Complexes

Exercices : nombres complexes ´brique et exponentielle Notations alge Exercice 1 : Mettre sous forme alg´ebrique les nombres complexes suivants :  2 3 + 6i 1 − 7i 2 + 5i 2 − 5i 1+i z1 = , z2 = + , z3 = + . 3 − 4i 2−i 4 + 3i 1−i 1+i Exercice 2 : Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes : √ √ ( 6 − i 2)(1 + i) (1 + i)3 (1 − i)4 3 , z3 = , z2 = + . z1 = 1−i 1−i (1 − i)2 1−i Exercice 3 : Soient θ, θ0 deux nombres r´eels. θ+θ 0

0

1. Transformez eiθ + eiθ en factorisant par ei 2 sous la forme ρeiθ o` u ρ et θ sont des r´eels. 2. En d´eduire la forme exponentielle des nombres complexes z1 = 1 + eiπ/3 , z2 = e4iπ/3 − 1 Exercice 4 : Soit n ∈ N? . Simplifiez les nombres complexes suivants : √ !n  √ √
n  √ √
n

1+i 3 , z2 = + . z1 = 3−1 +i 1+ 3 3−1 −i 1+ 3 1−i Exercice 5 : D´emontrez que pour tous u et v dans C, |u + v|2 + |u − v|2 = 2 (|u| + |v|). Racines nie`mes & Equations polynomiales Exercice 6 : D´eterminez les racines carr´ees de 9 + 40i et les racines quatri`emes de −7 − 24i. Exercice 7 : 1. Mettre sous forme exponentielle les nombres complexes √ 1+i 3 1−i √ , v= √ u= 1−i 3 1+i 3 2. R´esoudre dans C les ´equations z 6 = u et z 4 = v. Exercice 8 : R´esoudre dans C les ´equations suivantes 1. z 5 = 1.

3. z 6 − (1 + 2i)z 3 + 3(1 + i) = 0.

√ 2. z = 1 + i 3. 7

4. z 6 z¯ = 1. z 2 − (2 + 3i)z + 3i − 1 = 0.

Exercice 9 : R´esoudre dans C l’´equation :  Exercice 10 : R´esoudre dans C l’´equation

z z−1

n = 1.

` la trigonome ´trie Applications a Exercice 11 :

√ 1 √ ( 6 − i 2) et v = 1 − i. 2 2. En d´eduire une pr´esentation trigonom´etrique de u/v, puis les valeurs exactes de cos π/12 et sin π/12.

1. Pr´esentez sous forme trigonom´etrique les nombres complexes u =

Exercice? 12 : Lin´eariser cos2 x sin2 x, et cos5 x sin x. Exercice? 13 : Soient a, b, r ∈ R et n ∈ N? . Calculez : n−1 n−1 X  X

n−1 X

´mentaires Exercices supple

´brique et exponentielle Notations alge Exercice 14 : Soit z un nombre complexe de module 1, montrez que

i¯ z−1 = −¯ z. z−i 

Exercice 15 : Soient a et b des nombres r´eels.R´esoudre dans C le syt`eme

z + |z| = a + ib z − |z| = a − ib

Exercice 16 : Ecrire sous forme exponentielle les nombres complexes suivants : 1. z = (1 + i tan ϕ)2 , o` u ϕ ∈ [0, π/2[. 1 + cos ϕ + i sin ϕ , o` u ϕ ∈]0, 2π[. 2. z = 1 − cos ϕ − i sin ϕ 1 + cos ϕ + i sin ϕ √ 3. z = √ , o` u ϕ ∈ [0, π/2[. 1 + sin 2ϕ + i 1 − sin 2ϕ Exercice 17 : D´eterminez l’ensemble des entiers naurels n ∈ N pour lesquels (1 + i)n ∈ R. Exercice 18 : D´eterminez l’´ecriture trigonom´etrique de eiπ/6 − i , eiπ/3 + 1 Exercice 19 : D´emontrez que

√ eiθ + e2iθ ,

1−

3−i 2

(∀(z, z 0 ) ∈ C × C? ) ,

!43

1 − cos θ − i sin θ . 1 + cos θ − i sin θ

,


|z + z 0 | = |z| + |z 0 | ⇐⇒ ∃λ ∈ R+ ; z = λz 0 .

Racines nie`mes √ Exercice 20 : D´eterminez les racines carr´ees de 22 + i8 3. Exercice 21 : D´eterminez les racines quatri`emes de 28 + 96i. 2π

Exercice 22 : Soit n ≥ 2. On pose ω = ei n . D´emontrez que

n−1 Y

ω k = (−1)n .

k=0

Exercice 23 : Soit n ∈ N un entier sup´erieur ou ´egal `a 2 et ω une racine ni`eme de 1 diff´erente de 1 lui-mˆeme. Calculez les sommes suivantes : n−1 n−1 X n  X 1. ωk . 3. (k + 1)ω k . k 2.

k=0

k=0

n−1 X

n X

ω kp .

4.

(2 + ω k )n .

k=1

k=0

Equations Exercice 24 : Soit n ∈ N? . R´esoudre dans C l’´equation (z − 1)n = (z + 1)n . On donnera la r´eponse sous forme exponentielle ou trigonom´etrique. Exercice 25 : R´esoudre dans C l’´equation z 2n − 2z n cos(na) + 1 = 0