Complexes

3. NOMBRES COMPLEXES

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I. INTRODUCTION HISTORIQUE. 1) Résolution de l’équation du troisième degré : (1 ) : 3 + 3 ¡ 2 = 0 par la méthode de Cardan (1501 - 1576, le même que celui qui a inventé les... cardans). D1 2) Résolution de l’équation de Bombelli (1526 - 1573) : (2 ) : 3 = 15 + 4 ) Par la recherche d’une solution ”évidente”. D2 ) par la méthode de Cardan. D3 Bien que cette équation possède trois solutions réelles, on s’aperçoit que la méthode de Cardan oblige à considérer des nombres ”imaginaires”, dont le carré est négatif... II) DÉFINITION DE C ET PREMIÈRES PROPRIÉTÉS. 1) Problème : trouver un sur-ensemble de R muni d’une addition et d’une multiplication prolongeant celles de R et conservant les mêmes règles opératoires, et tel qu’il existe un élément  dont le carré est égal à ¡1 Si c’est possible, on doit avoir, pour  et  réels : ( + ) + (0 +  0 ) =  + 0 +  ( + 0 ) ( + ) (0 +  0 ) = 0 ¡  0 +  ( 0 + 0 ) D4 d’où la DEF : l’ensemble C des nombres complexes est l’ensemble R2 des couples de réels, muni des deux opérations : ( ) + (0   0 ) = ( + 0   +  0 ) ( ) (0  0 ) = (0 ¡  0   0 + 0 ) 2) Propriétés de + dans C : P1 P2 P3 P4

: : : :

( ) + (0   0 ) = (0   0 ) + ( ) (commutativité) ( ) + ((0   0 ) + (00   00 )) = (( ) + (0   0 )) + (00   00 ) (associativité) ( ) + (0 0) = ( ) (d’où l’existence d’un élément neutre) ( ) + (¡ ¡) = (0 0) (donc tout élément possède un symétrique)

D5 Ces 4 propriétés font de (C +) un groupe commutatif. Propriétés de . dans C : P5 P6 P7 P8

: : : :

( ) (0   0 ) = (0   0 ) ( ) (commutativité) ( ) ((0   0 ) (00   00 )) = (( ) (0   0 )) (00  00 ) (associativité) ( ) ((0   0 ) + (00   00 )) = ( ) (0   0 ) + ( ) (00   00 ) (distributivité) ( ) (1 0) = ( ) (d’où l’existence d’un élément neutre)

D6 Adjointes aux 4 premières, ces 4 propriétés font de (C + ) un anneau commutatif. Il reste une neuvième propriété pour que (C + ) soit un corps commutatif : P9 : si ( ) 6= (0 0) alors il existe (0   0 ) tel que ( ) (0   0 ) = (1 0) (tout complexe non nul possède un symétrique pour la multiplication)

1

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On démontrera cette propriété ultérieurement : il est à noter qu’elle n’est pas évidente a priori ; par exemple si on avait dé…ni la multiplication par ( ) (0   0 ) = (0 +  0  0 + 0 ) (avec un + à la place du ¡ ), on aurait encore obtenu un anneau, mais plus un corps. 3) Écriture algébrique  +  d’un complexe. a) On remarque que : 1. ( 0) + (0  0) = ( + 0  0) 2. ( 0) (0  0) = (0  0) 3. L’application  7! ( 0) est une bijection de R vers l’ensemble des complexes de deuxième coordonnée nulle. D7 D’où l’identi…cation (abus d’écriture) : ( 0) =  D8

b) Si l’on pose  = (0 1)  alors 2 = ¡1

PROP et DEF : Tout complexe  = ( ) s’écrit sous la forme :  +  ;  est la partie réelle (notée Re ()) de  et  sa partie imaginaire (notée Im ()) Les complexes de partie réelle nulle sont appelés les imaginaires purs. REM 1 : la partie imaginaire d’un complexe est un réel ! REM 2 : on a donc  +  = 0 +  0 ,  = 0 et  =  0  mais attention ceci n’est valable que si   sont réels ; par exemple :  +  = ¡1 + 1 et pourtant  6= ¡1 Par convention, dans la suite de ce cours,  sera toujours un complexe de partie réelle  et de partie imaginaire  4) Conjugué d’un complexe. DEF :  =  ¡  est le conjugué de  Propriétés :

1.  =  1 ( + ) ;  est imaginaire pur ,  +  = 0 2 1 3.  ¡  = 2 d’où  Im () = ( ¡ ) ;  est réel ,  =  2 4.  = 2 + 2 2 R+ 5.  +  0 =  +  0 ;  0 =  0 2.  +  = 2 d’où Re () =

D9 5) Module d’un complexe. DEF : jj =

p

³ p ´  = 2 +  2 est le module de 

REM 1 : le module, comme sa notation l’indique, prolonge la valeur absolue sur R. REM 2 : il vaut mieux le plus possible utiliser cette relation au carré : jj2 =  = 2 +  2 . Propriétés : 6. jj = j¡j = jj 7.  = 0 , jj = 0 8. jjj ¡ j 0 jj 6 j +  0 j 6 jj + j 0 j (inégalités triangulaires gauche et droite) 9. j 0 j = jj j 0 j 10.  0 = 0 ,  = 0 ou  0 = 0 (un produit de complexes est nul ssi l’un d’eux est nul) D10 2

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6) application : (C + ) est un corps. PROP : si  6= 0 

µ

1  

¶

=1

 ¡ et  0 = 2 ; 2 +  2  + 2 tout complexe non nul possède donc un symétrique pour la multiplication : (C + ) est un corps. D11 la propriété P9 ci-dessus est donc véri…ée avec 0 =

1 1 1 1  Notation : le nombre  est noté  et, comme dans R : 0  =  0 est noté 0       A bien savoir : 1 =  = ¡  Les relations 2. et 3. ci-dessus peuvent donc s’écrire : Et on a aussi :

D12

+ 2 ¡ Im () = 2 Re () =

³´

 = 0 ( 0 6= 0) 0   ¯¯ jj ¯ ¯ ¯ 0 ¯ = 0 ( 0 6= 0)  j j  est de module 1 ssi son conjugué est égal à son inverse   et ( 6= 0) sont toujours de module 1. jj 

7) Problème de l’existence d’une relation d’ordre sur C. PROP : On peut trouver sur C des relations d’ordre total prolongeant l’ordre usuel sur R, c’est-à-dire, véri…ant : 1. 2. 3. 4. 5.

 6  6  0 et  0 6  )  =  0  6  0 et  0 6  00 )  6  00  ­  0 )  > 0 si  et  0 sont réels,  6  0 a la signi…cation habituelle.

par contre, on ne peut pas en trouver qui soit de plus compatible avec l’addition et la multiplication, c’est-àdire : 6.  6  0 )  +  00 6  0 +  00 7. si  00 > 0  6  0 )  00 6  0  00 D13 C’est la raison pour laquelle la relation notée 6 ne

concerne que les réels.

III) RACINES CARREES ET EQUATIONS DU DEUXIEME DEGRE ; méthode algébrique. 1) Racines carrées. DEF :  est une racine carrée de  ()  =  2  TH : On pose  =  +  et  =  +  ; alors : 8 2 <  +  2 = jj  est une racine carrée de  , 2 ¡  2 =  :  est du signe de  3

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Les deux racines carrées de  sont donc 0s p sp 1 2 2 2 2  + +  + ¡A §@ +  signe ( ) 2 2 D24

p REM : puisqu’il y a deux racines carrées, NE JAMAIS ÉCRIRE  sauf si  est réel > 0 ; voici ce qui peut arriver si vous le faites : p p p p ¡1 = 2 = ¡1 ¡1 = (¡1) (¡1) = 1 = 1 2) Application à la résolution de l’équation du deuxième degré à coe¢cients complexes. a) Forme canonique de  2 +  +  PROP : si  6= 0 ¢ = 2 ¡ 4 (discriminant) õ 2

 +  +  = 

 + 2

¶2

¢ ¡ 2 4

!

=

´ 1 ³ (2 + )2 ¡ ¢ 4

D25 b) Résolution de  2 +  +  = 0 PROP : si  6= 0 l’équation  2 +  +  = 0 possède toujours deux solutions, confondues si ¢ = 0 : ¡ §  où  est l’une des racines carrées de ¢ 2 D26 REM : si  = 20  alors ¢0 =

¢ = 02 ¡  est appelé le discriminant réduit et les solutions s’écrivent : 4 ¡0 §  0 où  0 est l’une des racines carrées de ¢0 

TOUJOURS UTILISER LE DISCRIMINANT RÉDUIT lorsque 2 se factorise dans  de façon apparente. E2 :  2 ¡ (2 + 2) + 1 = 0 IV) NOTATION EXPONENTIELLE 1) Formule de Moivre et formule d’Euler. PROP : formule de Moivre : si  () = cos  +  sin  alors ¡ ¢ ¡ ¢   +  0 =  ()  0

Cette propriété, similaire à celle de la fonction exponentielle, justi…e (partiellement) le fait que l’on pose :  = cos  +  sin 

Ceci n’est actuellement qu’une notation, et le lien avec la fonction exponentielle ne sera vu que plus tard. La formule de Moivre devient alors : 0 0   = (+ )

4

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On en déduit, pour tout entier relatif  :

¡  ¢  = 

D14 PROPRIÉTÉS :

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

0 = 2 = 1 ;  = ¡1 ;  2 =  1  =  = ¡  0  =  ,  0 =  mod 2  est de module 1 , 9 2 R   = 

et on a les formules d’Euler :

¢ ¡ ¢ 1 ¡   + ¡ cos  = Re  = 2 ¢ ¡ ¢ 1 ¡   ¡ ¡ sin  = Im  = 2

D15 2) Applications à la trigonométrie. a) Linéarisation.

On applique les formules d’Euler, puis on développe en utilisant la formule de Moivre, et on revient en sin et cos avec les formules d’Euler. Exemples : E1 b) Mise sous forme de polynôme en cos et sin (appelé ”polynôme trigonométrique”) PROP : On a les développements : cos  =

X

06 6  2

sin  = sin 

µ

(¡1) X

 2

¶



(¡1)

06 6 ¡1 2

¡ ¢ (cos )¡2 1 ¡ cos2 

µ

 2 + 1

¶

¡ ¢ (cos )¡2¡1 1 ¡ cos2 

D16 Ce qui donne, en posant pour tout réel  : ¶ ¡ ¢  ¡2 1 ¡ 2 2 06 6  2 µ ¶ X ¡ ¢   ¡1 () = (¡1) ¡2¡1 1 ¡ 2 2 + 1 ¡1  () =

X

(¡1)

06 6

les formules :

µ

2

cos  =  (cos ) sin  = sin ¡1 (cos )

Les polynômes  et ¡1 sont les polynômes de Tchebychev ( c) Factorisation de  §  PROP :

 ¡   +  2 2  ¡   +  ¡  = 2 sin  2 2  +  = 2 cos

D17 5

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) de première et seconde espèce.

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COURS PCSI d) Calcul de  =

 X

cos ( + ) et  =

=0

 X

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sin ( + )

=0

REM : cf. ex. 2 sur les fonctions circulaires pour une méthode sans complexe. PROP : si  6= 0 mod 2

+1 ³   ´ 2   = cos  +  2 sin 2 +1 ³  sin  ´ 2  = sin  +   2 sin 2 sin

D18 V) INTERPRÉTATION GÉOMÉTRIQUE ; ARGUMENT. 1) Interprétation géométrique. ³ ¡ ¡ ! ! ¡ !´ On a les correspondances suivantes ( est un plan rapporté à un repère orthonormé direct     et  l’ensemble des vecteurs du plan) : C

R2

 =  + 

( )

 + 0 jj j 0 ¡ j

0 0 ( p+   + ) 2 2  + ...........................................

 ¯ ¯   ¯¯   

¡ !  ! ¡ ! ! ¡¡! ¡   +  = ¡  =  ! ¡ !  +¡ 0 ! ¡ kk .............

! ¡ ¡ On dit que  est l’a¢xe de  et de ¡   ce qui s’écrit  () et !  () ;  est le point-image de  et !  son vecteur-image. ¡ ¡! Application 1 : si  () et  (),  a pour a¢xe ......... Application 2 : équation complexe du cercle () de centre ­ () et de rayon  :  () 2 () ,  ,  2) Argument d’un nombre complexe non nul. DEF : si  est un point d’a¢xe  6= 0 on appelle argument de  toute mesure en radians de l’angle orienté notation arg 

³¡ \ ¡¡!´ !    ;

REM 1 : cette notation arg  est pratique mais abusive dans la mesure où elle ne représente pas un seul réel, mais une in…nité, di¤érant d’un multiple de 2 ; on écrit ceci sous la forme : arg  =  mod 2 CNS : si  6= 0

arg  =  mod 2 ,  =

D19

 ,  = jj  jj

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PROPRIÉTÉS : avec  0 6= 0  ()   ()   ()   () ( 6=  et  6= ) 0 arg ( ) =  mod 2 ³´ arg 0 =  mod 2  arg () =  mod 2  est réel , arg  = 0 mod    est imaginaire pur , arg  = mod  2 ¶ µ ¶ µ ³¡ ´ ¡! \ ¡¡! ¡ ¡ \ mod 2 et (()  ()) = arg mod    = arg ¡ ¡ µ ¶ ¡ Les droites () et () sont parallèles ssi arg = 0 mod   ¡ µ ¶  ¡ = mod  Les droites () et () sont perpendiculaires ssi arg ¡ 2

D20 3) Coordonnées polaires d’un point et forme trigonométrique d’un complexe. PROP : ( ) 2 R2 est un couple de coordonnées polaires de  d’a¢xe  ssi  =  L’écriture  est appelée une forme trigonométrique (ou exponentielle, ou polaire) du complexe  ATTENTION : REM 1 : ici  n’est pas forcément supposé > 0 ; il vaut donc § jj et 8 < si   0 : jj =  et arg  =  mod 2  si   0 : jj = et arg  =  mod 2 :  =  , : si  = 0 :  = 0 D21

REM 2 : l’expression 2 cos

 ¡   +  2 constitue une forme exponentielle de  +   2

4) Interprétation géométrique de la multiplication des complexes. (R)appel : la composée de l’homothétie de centre ­ et de rapport  avec la rotation de même centre et d’angle  est appelée la similitude directe de centre ­ de rapport  et d’angle  PROP : multiplier un complexe par le complexe  revient à faire subir à son point image une similitude directe de centre  de rapport  et d’angle  D22 APPLICATION : 1. Si  0 ( 0 ) est l’image de  () par la similitude directe de centre ­ () de rapport  et d’angle  on a :  0 ¡  =  ( ¡ ) 2. Si  et  sont deux complexes, la transformation du plan  () 7!  0 ( 0 ) avec  0 =  +  est

¡ - soit la translation de vecteur !  () siµ = 1 ¶  - soit la similitude directe de centre ­ de rapport jj d’angle arg  si  6= 1 1¡

C’est une homothétie ssi  est réel, et une rotation ssi  est de module 1. 7

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D23 VI) RACINES n-IÈMES DES NOMBRES COMPLEXES. 1) Dé…nition et premières remarque. DEF : si  et  2 C et  2 N

 est une racine n¡ième de  si   = 

REM 1 : pour  > 1 0 a une et une seule racine -ième : lui-même. REM 2 : si  est pair et  est une racine ¡ième de  alors ¡ également. REM 3 : si  =  avec   2 N, les racines ¡ièmes de  en sont les racines ¡ièmes des racines ¡ièmes. REM 4 : les racines ¡ièmes du conjugué de  sont les conjugués des racines ¡ièmes de  REM 5 : si 0 est l’une des racines ¡ièmes de  6= 0 on obtient toutes les autres en multipliant 0 par les racines ¡ièmes du nombre 1 (que l’on nomme traditionnellement : racines ¡ièmes ”de l’unité”). D24

2) Résolution à l’aide de la forme exponentielle. TH p : si  6= 0 est de module  et d’argument £  possède exactement  racines ¡ièmes distinctes de même module égal à   et d’argument £ 2 + avec  2 [j0  ¡ 1j]   D27 REM p 1 : les points-images de ces racines forment un polygone régulier à  côtés inscrit dans un cercle de centre  et de rayon   ; on en déduit que la somme des racines ¡ièmes d’un complexe est nulle. REM 2 : puisqu’il y  racines n-ièmes, ON N’ECRIT JAMAIS DANS UN CALCUL Eventuellement on peut par contre considérer que l’écriture

p 

p 

 sauf si  est réel > 0

 représente L’ENSEMBLE des  racines -ièmes

p p p p p p Exemples E3 : ¡1 = f ¡g   = f g  1 +  = f g  3 ¡1 = f  g  4 ¡1 = f  g  6 ¡1 = f    g - Représenter graphiquement les 5 racines cinquièmes de 2 + 3 - Déterminer une valeur approchée d’une racine huitième de (¡3 + 4)5 à l’aide d’une machine à calculer ; faire une …gure avec les huit racines huitièmes. - Déterminer les racines cubiques de 2 + 11, avec l’aide d’une machine à calculer. 3) Groupe des racines ¡ièmes de l’unité. Remarque préalable : l’inverse, le conjugué, le produit de racines ¡ièmes de l’unité est encore une racine ¡ième de l’unité. D28 On verra plus tard que cela implique que l’ensemble  de ces racines forme un groupe multiplicatif ; on a: 1 = f1g 2 = f1 ¡1g 3 = f1 

2 3



4 3

= ¡

2 3

g

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3. NOMBRES COMPLEXES

COURS PCSI Si l’on pose  = 

2 3

 alors 3 = f1   2 g et l’on a : p ¡1 +  3 = (forme à utiliser le moins possible) 2 1 2 =  =  1 +  + 2 = 0

4 = fg 6 = fg Et si  = 

2 

n 2 o   =     2 Z = f1  2   ¡1 g

Si l’on pose  =  = 

D29

2 

 alors  = ¡ et ¯ ¯ f1   2  2      g si  = 2 + 1  = ¯¯ f1 g si  = 2

VII) ÉPILOGUE : RÉSOLUTION DE L’ÉQUATION DE BOMBELLI DANS C. D30

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