Complexes Exercices

COMPLEXES  : EXERCICES

Exercice C1 : (N0 ) Enoncé 1) Dans le plan complexe, dans chaque cas, représenter l’ensemble des points M d’affixe z tels que : a) Im z = 2

b) Im z = 5

c) z − i = 2

2) Répondez aux questions suivantes, en utilisant rapidement une représentation graphique a) Si z ′ = z , que peut-on dire de z ′ et de arg(z’) en liaison avec z et de arg(z) ? b) Si z ′ = −z , que peut-on dire de z ′ et de arg(z’) en liaison avec z et de arg(z) ? c) Si z ′ = iz , que peut-on dire de z ′ et de arg(z’) en liaison avec z et de arg(z) ?

Exercice C2 : (N1 ) Enoncé Dans le plan complexe, dans chaque cas, préciser l’ensemble des points M d’affixe z tels que : b) z = 2eix où x ∈ π ;π   2 

a) z + 2i = z − 1 + 3i

c) arg(

d) a étant un réel positif fixé , z = z0 + aeiθ avec θ ∈ ]0,π [

z − 2i π ) = [ 2π ] z+2 2

Exercice C3 : (N1 ) Enoncé Résoudre dans ^ les équations suivantes a) z 2 + a 2 = 0

b) z 2 = 1 + i

où a>0

c) z 3 = 5

d) z 3 = −8

e) z 4 = i

Exercice C4 : (N0 ) Enoncé 1) Calculer le module de a) z1 = (3 + 2i )5

b) z2 =

1 1 − 1 + i 1 − 2i

2) Soit z = x + iy , exprimer en fonction de x et de y le module de z3 = z 2 − 1 et celui de z4 = 1 −

1 z

Exercice C5 : (N1 ) Enoncé Déterminer le module et un argument des nombres complexes suivants :

G JJJJJG a) z1 = −2 − i (donner une valeur approchée de la mesure en degrés de l’angle (e1 , OM1 ) où M1 ( z1 = −2 − i ) )

a) z 2 = e iα où α ∈R b) z3 = −3eiα où α ∈R d) z 4 = 1 + e iθ , θ ∈ ]- π , π [ (indication : écrire z 4 = e

iθ

2

× (...) = e

iθ

2

× z ′ puis exprimer z ′ en fonction de cosθ 1

2

et de sin θ ) 2

Exercice C6 : (N2 ) Enoncé Déterminer la valeur des complexes suivants (plusieurs cas peuvent être envisagés pour chaque question) (pensez à vous aider d’un dessin) π i ( + kπ ) ik π (k ∈ ]) b) zk = e 2 (k ∈]) a) zk = e

Exercice C7 : (N1 ) Enoncé Linéariser sin 3 x et cos 4 x (c’est à dire exprimer ces expressions en sommes ou différences de termes de type cos kx ou sin kx )

Remarque : la linéarisation est notamment utile pour intégrer

Exercice C8 : (N1 ) Enoncé On considère l’ équation (e) : z 3 + (2 + 2i ) z 2 + (5 − 4i ) z − 10i = 0 Montrez que (e) admet une solution imaginaire pure, puis résoudre (e)

Exercice C9 : (N1 ) Enoncé 1) Soit z0 = a0 + ib0 . Préciser la transformation géométrique qui, à tout point M d’affixe z fait correspondre M’( z ’) tel que z ′ = z + z0 2) Soit k un réel non nul. Préciser la transformation géométrique qui, à tout point M d’affixe z fait correspondre M’( z ’) tel que

z ′ = kz

Exercice C10 : (N1 ) Enoncé Résoudre dans ^

les équations a) z 2 = (1 + i 3) z

b) z 2 − (2θ +1 cos θ ) z + 2 2θ = 0

Exercice C11 : (N1 ) Enoncé Déterminer la forme cartésienne de z=

1 − e ix 1 + e ix

pour x ≠ kπ ( k ∈ Z )

Exercice C12 : (N1 ) Enoncé Soit j= e

i

2π 3

1) préciser les valeurs de j 3 ; j et 1 + j + j 2

2) Simplifier puis donner module et argument de z1 = (1 − j )(1 − j 2 ) et de z 2 = ( j − 1)( j − j 2 ) 2

Exercice C13 : (N1 ) Enoncé Soit f ( z ) =

1 3

4z imaginaires positives. 2) f ( z1 ) + f ( z 2 ) =

1) Résoudre dans C l’équation z 4 + 1 = 0 . Soient z1 et z 2 les deux solutions de parties

1 4 z13

2) Calculer f ( z1 ) + f ( z 2 ) +

1 4 z 23

=

z1 4 z14

+

z2 4 z 24

=

−i 2 −1 ( z1 + z 2 ) = 4 4

Exercice C14 : (N2 ) Enoncé

Montrer que si θ ∉ 2π ] alors

n

∑ e ikθ = e

k =0

inθ

sin( 2

n +1 θ) 2

θ

sin( ) 2

3