Etude Bibliographique

Etat de l’art sur les méthodes de désentrelacement d’impulsions

Etudes bibliographiques sur :

L’Etat de l’art sur les méthodes de désentrelacement d’impulsions

Par GAYE Elhadji Doudou

Responsable de stage :

Master 2 TSM UNSA

FERRARI Andrea/ Laboratoire Fizeau

impulsions entrelacees bruitees mais identifiables 1.5

1

0.5

0

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0

5

10

15

20 toa(i)

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30

35

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Etat de l’art sur les méthodes de désentrelacement d’impulsions

SOMMAIRE ABSTRACT INTRODUCTION METHODES:  SPECTRALE  HISTOGRAMME  FILTRE DE KALMAN ETENDU CONCLUSION GENERALE BIBLIOGRAPHIES

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Etat de l’art sur les méthodes de désentrelacement d’impulsions

Abstract : Nowadays the ESM (Electronic Support Measure) take a very important part in military and civil applications. Thus almost very developed countries do their best in this domain. However it’s not a simple task always because often, signals are transmitted as periodic pulse trains and are received on the one communication channel for example in radar systems, communications systems... Thus, the pulse trains are interleaved. In order to use information, we need to identify which pulses are from which source. This sorting task is called deinterleaving. So the aim of my internship is to develop methods and algorithms to de-interleave pulse trains using Matlab.

SIGLES : PRI : Pulse Repetition Intervals PRF : Pulse Repetition Frequencies TOA : Time Of Arrivals TDOA : Time Difference Of Arrivals CDIF: Cummulative Difference Of Arrivals SDIF: Sequence search Difference Of Arrivals PST : Pulse Sorting Transform

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Introduction Aujourd’hui, la guerre électronique occupe une place très importante dans les télécommunications. Ainsi tant dans l’aviation civilo-militaire (radar) que dans les centres d’études spatiales (satellite) l’enjeu majeur demeure et reste le développement de méthodes capables de détecter et de localiser un émetteur à partir de certains caractéristiques. Parmi ces derniers nous retiendrons les mesures des temps d’arrivée, de fréquence d’arrivée et parfois d’angles d’arrivée. L’art d’extraire les trains d’impulsions chevauchés est appelé méthode de désentrelacement. Se faisant le but majeur de notre stage consiste à passer en revue et à disséquer les différentes méthodes de désentrelacement existantes dans les publications et la littérature en général. Notre étude sera principalement basée sur les TOA d’impulsions de radar. Donc nous utiliserons les méthodes : 

Spectrales (fft , périodogramme, PST)



Par histogramme ( SDIF, CDIF)



De Filtre de Kalman étendu

Toutes ces méthodes seront programmées et simulées sous Matlab.

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I.

La méthode spectrale :

Une approche pour le traitement des temps d’arrivées des impulsions entrelacées provenant de plusieurs radars consiste à considérer le signal temporel suivant : s(t) =

𝑁 𝑖=1 𝛿(𝑡

− 𝑡𝑜𝑎(𝑖))

(1.1)

formé par les impulsions de Dirac aux instants d’arrivée et à faire une analyse de ce signal . 𝑁 −𝑗 2𝜋𝑓𝑡𝑜𝑎 (𝑖) 𝑖=1 𝑒

La transformée de Fourier de (1.1) est :

S(f) =

D’où l’expression du périodogramme suivant :

P(f) = 𝑁 |

Sous forme de pulsation :

P(w) = 𝑁 |

1

1

(1.2)

𝑁 −𝑗 2𝜋𝑓𝑡𝑜𝑎 (𝑖) 2 | 𝑖=1 𝑒

(1.3)

𝑁 −𝑗 𝑤𝑡𝑜𝑎 (𝑖) 2 | 𝑖=1 𝑒

(1.4)

I.1 PRI multiples entrelacées Pour des temps d’arrivée périodiques tels que : toa(i) = ki T +φ +ŋ(i)

(1.5) où

*ki : entiers positifs pas nécessairement consécutifs à cause d’impulsions manquantes, *φ : phase des PRI et * ŋ(i) : bruit cummulatif La position des pics de P(f) donne un estimateur de T : T̂ =

1 −𝑗 2𝜋𝑓𝑡𝑜𝑎 (𝑖) |) 𝑎𝑟𝑔𝑚𝑎𝑥 (| 𝑁 𝑖=1 𝑒

(1.6) Maintenant on va considérer cette méthode en présence de bruit blanc gaussien et d’impulsions manquantes dues à une probabilité p symbolisant les pertes. On va tracer le périodogramme P(f). Pour cela on génère un signal toa bruité pour se mettre dans les situations réelles (voir la fonction genersig.m).Le script de P(f) est donné dans «periodogramme.m ». On obtient son tracé à la figure 1 en lançant le main.m, programme principal ou PRF =[1 ;1.5;2]. On note des pics aux abscisses inversement proportionnelles aux PRF et à ses multiples. Periodogramme de s (t), P(f) 50 45 40 35 30 25 20 15 10 5 0

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0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 1.2 frequenc e en Hz

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1.6

1.8

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figure 1 : Périodogramme de P(f)

1.1 Fonction non-linéaire du périodogramme Une autre méthode du périodogramme consiste à considérer le repliement des données sur un cercle i.e effectuer un modulo. On considère : 𝑡𝑜𝑎 (𝑖)

Φ(toa(i))2π = 2π(

𝑇

-

𝑡𝑜𝑎 (𝑖) 𝑇

)

(1.7)

où . représente la partie entière la plus proche de la valeur inférieure. Pour détecter la présence de périodicité , on forme une statistique circulaire dont le test Z2m est : 2

m l=1

Z 2m = N

N−1 i=0 cos

lΦ toa i

2

+

N−1 i=0 sin

2

lΦ toa i

(1.8)

Ce test est lié à (1.4) par : 𝑚 𝑙=1 𝑃(𝑤𝑙 )

Z 2m = 2

où 𝑤𝑙 =

2𝜋𝑙 𝑇

(1.9)

(1.9) est programmé dans la fonction pdgnl.m est illustré à la figure 2. On remarque, en plus des pics aux harmoniques, notés dans la figure1, d’autres pics intermédiaires apparaissent. Il faut atténuer ces dernier pour mieux exploiter l’information. Pour se faire on va utiliser une transformée de Fourier particulière dénommée PST pour Pulse Sorting Transform. Fonction non lineaire du Periodogramme de s(t), Pnl(f) 300

250

200

150

100

50

0

0

0.2

0.4

0.6

0.8 1 1.2 frequence en Hz

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1.8

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Figure 2 : Périodogramme non linéaire pour m = 2

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1.2 Pulse Sorting Transform C’est est une transformée de Fourier un peu plus « générale » car pour β = 1 et φ =π le PST est égal à TF (cf 2.1 et 2.2). Cependant elle ne présente toutes les propriètés de la transformée de Fourier et vice-versa. Elle est plus efficace pour désentrelacer des trains d’impulsions de même période ou de période proportionnelle. C’est une technique développée par K. Overman , J. Lookado et Dix. +∞ 𝑣(𝑡)𝑒 −𝑗 Ω𝑡 𝑑𝑡 −∞

TF : 𝑉 Ω =

(2.1)

où V: Transformée de Fourier de v et Ω : la

pulsation en rd/s et par ailleurs seule variable de V Cependant la PST est une fonction à 3 variables données par : V(Ω, φ, β) =

𝛷 +𝜋/Ω𝛽 Ω 𝛷 −𝜋/Ω𝛽 Ω

∞ 𝑙=−∞

𝑣(𝑡 + 𝑙/𝐹)𝑒 −𝑗𝛽 Ω𝑡 𝑑𝑡

(2.2) où β>1, 0<φ>2π et F =

Ω/2π Β est le facteur bin, φ la phase et l’intervalle de longueur 2π/Ωβ est centré φ/Ω à la phase bin. Après quelques simplifications (2.2) devient : V(Ω, φ, β) =

∞ 𝑣̂(𝑡)𝑒 −𝑗 Ω𝑡 𝑑𝑡 −∞

(2.3), valable uniquement pour β entier où

𝑣 𝑡 𝑠𝑖 𝛷 − 𝑚𝑜𝑑2𝜋 (Ω𝑡) < 𝜋/𝛽 (2.4) Cette équation est facile à 0 𝑠𝑖𝑛𝑜𝑛 implémenter sur ordinateur . Ce que nous avons programmé dans Pst_ok.m. Le tracé est donné dans la figure 3 où l’on remarque nettement l’apparition des pics définis par une fréquence et une phase, donc en 3D d’une manière beaucoup plus conviviale. 𝑣 𝑡 =

Pulse Sorting Transform

25 20 15 10 5 0 40 30

8 6

20

4

10 frequence [ 0 40]

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2 0

0

phi [0 2pi]

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II. Methode par histogramme C’est une technique développée par D.J. Milosevic et B.M Popovic dans les années 90. Elle est basée sur le calcul de toutes les différences entre les temps d’arrivée (TDOA). On trace ainsi l’histogramme de ces différences qui présente des pics aux valeurs de PRI ,2PRI…Cependant on distingue principalement deux algorithmes : le CDIF (Cumulative Difference) qui calcule et cumule les différences adjacentes d’ordre 1,2… et le SDIF (Sequential Difference) qui est la version améliorée de CDIF qui n’a pas besoin de calculer des cumuls. Pour les deux approches on définit un seuil qui permettra de déterminer les potentiels PRI. Le choix de ce seuil est un peu crucial car dépendant de l’écart entre les impulsions de l’histogramme. Il est défini dans [3] par : seuil(𝜏)= x(E-c)𝑒 −𝜏/(𝑘𝑁) (2.6) où E est le nombre total d’impulsions, N nombre total d’intervalles dans l’histogramme, c la différence de niveau, x et k sont déterminés de manière expérimentale . Ici on a choisi de PRI de 5 et 8 dans nos programmes cdif.m et sdif.m . 10 étant un multiple de 5. Remarquez l’effet cumulatif dans le premier et l’amélioration et la précision dans le second. CDIF,ordre 3 20 tdoa seuil

18 16 14

pulses

12 10 8 6 4 2 0

1

2

3

4

5

6

7 8 9 delta toa

10

11

12

13

14

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SDIF ordre2 25

20

val histo

15

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5

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10 12 potentiel PRI

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III. L’approche de Kalman Jusqu’ici les méthodes proposées étaient basées sur des recherches séquentielles et d’histogramme. Celles-ci marchent bien mais uniquement dans les cas où le bruit n’est pas prépondérant. Aussi cela nécessitait des efforts de calcul de l’ordre de 𝑁 2 ou plus. Ce qui est considérablement réduit avec le Filtre de Kalman étendu qui n’en demande pas plus que N (nombre d’impulsions). Ainsi le principe dans [4] et [5] consiste à définir un vecteur 𝑥𝑘𝑇 = [𝑓𝑘1 , … , 𝑓𝑘𝑀 , 𝛳𝑘1 , … , 𝛳𝑘𝑀 ] où 𝑥𝑘 est la variable d’état à k ; 𝑓 𝑖 et 𝛳𝑖 sont les PRF et les phases ; i = *1,2…,M+, et k = 0,1,2… Le modèle est le suivant : 𝑥𝑘+1 = 𝑥𝑘 + 𝑣𝑘

(2.7)

𝑦𝑘 = 𝑕 𝑘𝑠 (𝑥𝑘 ) + 𝑤𝑘 𝑠(𝑖)

𝑜ù 𝑕𝑘

𝛳𝑖

= (𝑓𝑘𝑖 ∗ 𝑘 − 2𝜋𝑘 − 1/2) +

𝑠(𝑖) 𝑀 𝑖=1(𝑕𝑘 )

𝑕𝑘𝑠 =

𝐴 𝑖=1 sin

2𝜋 ∗ 𝑎𝑓𝑘𝑖 − 𝑎𝛳𝑘𝑖 /𝑎𝜋

(2.8)

Comme on peut le constater on a un filtre de kalman non linéaire, donc on passe au filtre de Kalman étendu. On linéarise 𝑕𝑘𝑠 (𝑥𝑘 ) ce qui donne : 1

1

𝐻𝑘𝑠 = [… , k + 2 ∗ kcos 2𝜋 ∗ 𝑎𝑓𝑘𝑖 − 𝑎𝛳𝑘𝑖 , … , − 2π − π ∗ cos 2𝜋 ∗ 𝑎𝑓𝑘𝑖 − 𝑎𝛳𝑘𝑖 ] . (2.9) Une fois la linéarisation faite on passe au filtre de Kalman pour estimer les phases et PRF : Initialisation : 𝑥0

−1

= 𝑓0′ 𝛳0′

𝑇

et 𝑃0

−1

= 𝑃0

Boucle de calcul : k =0,1,… 𝑥𝑘+1

𝑘

= 𝑥𝑘

𝐾𝑘 = 𝑃𝑘 𝑃𝑘+1

𝑘

𝑘−1

= 𝑃𝑘

𝑘−1

+ 𝐾𝑘 𝑦𝑘 − 𝑕𝑘 (𝑥𝑘

𝐻𝑘𝑠 (𝐻𝑘𝑇𝑠 𝑃𝑘 𝑘−1

𝑘−1

𝑘−1

)

𝐻𝑘𝑠 + 𝑅𝑘 )−1

− 𝐾𝑘 𝐻𝑘𝑇𝑠 𝑃𝑘

𝑘−1

+ 𝑄𝑘

: Valeur prédite à 1 pas : Gain de Kalman : Variance de l’erreur de prédiction

Algorithme du filtre de Kalman pour estimer les PRF et les phases

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Conclusion générale: Comme vous pouvez le constater, plusieurs méthodes et techniques ont été développées pour désentrelacer. Mais aucune ne résout le problème de manière définitive ou absolue. Cependant on retiendra que pour des trains d’impulsion de PRF différentes on peut utiliser la Transformée de Fourier, si PRF identiques ou proportionnelles il faut penser à la PST ou aux méthodes d’histogramme. Si on est dans un environnement très bruité on fait appel au filtre de Kalman qui permet une meilleure estimation.

Bibliographies [1] : G. Alengrin, A. Ferrari, C. Theys, M.Vieira : “ Methodes de desentrelacement basées sur les temps d’arrivée des impulsions ” Juillet 99 [2] : K. Overman, F. Dix,J. Lookadoo : “Pulse Sorting Transform” IEEE Transaction on Circuits and Systems , vol 37, Num 10, October 1990 [3] : D.J. Milojevic, B.M. Popovic : “ Improved algorithm for the deinterleaving of radar pulses ” Proc .Inst.Elect.Eng.F, vol.139, pp.98-104, 1992 [4] : T.L. Conroy, J.B. Moore : “ Deinterleaving Pulse Trains Using Discrete-Time Stochastic Dynamic-Linear Models” .IEEE Transaction on Signal Processing , vol.42, num 11, November 1994 [5] : T.L. Conroy, J.B. Moore : “ On the estimation of Interleaved Pulse Train Phases” .IEEE Transaction on Signal Processing , vol.48, num 12, December 2000 [6]: B. Anderson, J.B. Moore : “Optimal Filtering Englewood Cliffs, NJ: Prentice Hall,1979” [7] : M.S. Grewal, A.P. Andrews : “Kalman Filtering Theory and Practise using Matlab, second Edition”, 2001 [8] : G.Favier : “Cours de Master 1 STIC sur Modélisation et Filtrage ”, 2008

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