Etude Fct

‫ﻣﻠﺨﺺ دراﺳﺔ اﻟﺪوال‬ ‫‪ - 1‬اﻻﺷﺘﻘﺎق ورﺗﺎﺑﺔ داﻟﺔ‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺗﻨﺎﻗﺼﻴﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ ‪ I‬اذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ )ﻗﻄﻌﺎ( ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ f‬ﺛﺎﺑﺘﺔ ﻋﻠﻰ ‪ I‬إذا آﺎﻧﺖ اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻤﺸﺘﻘﺔ ' ‪ f‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﺎل‬ ‫‪ -2‬ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﻻﺷﺘﻘﺎق و اﻟﻤﻄﺮاف‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬داﻟﺔ ﻣﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ﻓﺘﻮح ‪ I‬و ‪x0 ∈ I‬‬

‫اذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0‬و ﺗﻘﺒﻞ ﻣﻄﺮاﻓﺎ ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ x0‬ﻓﺎن ‪f ' ( x0 ) = 0‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‪ :‬اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ ﻻ ﺗﻘﺒﻞ اﻟﻤﺒﺮهﻨﺔ اﻟﻌﻜﺴﻴﺔ ) ﻣﺜﺎل ﻣﻀﺎد ‪f ( x ) = x3‬‬

‫;‬

‫‪( x0 = 0‬‬

‫‪ -1‬ﺗﻘﻌﺮ ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ‪ --‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬ ‫‪1-1‬ﺗﻌــﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟـﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑـﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘــــــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﻣﺤﺪب إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﻓﻮق ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ‬

‫ﻧﻘﻮل إن اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ )‬

‫‪ (C f‬ﻣﻘﻌﺮ إذا آﺎن ﻳﻮﺟﺪ ﺗﺤﺖ ﺟﻤﻴﻊ ﻣﻤﺎﺳـﺎﺗﻪ‬

‫‪ 2-1‬ﺗﻌـــﺮﻳﻒ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘـــﻘﺎق ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪ I‬و ) ‪ (T‬ﻣﻤـﺎﺳﺎ ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫)‬

‫‪ (C f‬ﻓﻲ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ) ‪. M 0 ( x 0 ; f ( x 0‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ M‬و ‪ P‬ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻟﻬــــــﻤﺎ ﻧﻔﺲ اﻻﻓﺼﻮل وﻳﻨﺘﻤﻴﺎن ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ إﻟﻰ ) ‪ (C f‬و ) ‪ (T‬إذا اﻧﻌﺪم ‪ PM‬ﻓﻲ ‪x0‬‬ ‫و ﺗﻐﻴﺮت إﺷﺎرﺗﻪ ﻓﻲ ﻣﺠﺎل ﻣﻔﺘﻮح ﻣﺮآﺰﻩ ‪ x0‬ﻓﺎن اﻟﻨﻘــــــــــﻄﺔ ‪ M0‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫) ‪(C f‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫‪ 3-1‬ﺧـــﺎﺻﻴﺎت‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ ﻗﺎﺑﻠﺔ اﻻﺷﺘــــــــﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ ﻋﻠﻰ ﻣﺠﺎل ‪I‬‬ ‫* إذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﻣﻮﺟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻓﺎن ) ‪ (C f‬ﻳﻜﻮن ﻣﺤﺪﺑﺎ ﻋﻠﻰ ‪I‬‬ ‫* إذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﺳﺎﻟﺒﺔ ﻋﻠﻰ‪ I‬ﻓﺎن‬ ‫*‬

‫)‬

‫‪ (C f‬ﻳﻜﻮن ﻣﻘﻌﺮا ﻋﻠﻰ ‪I‬‬

‫اذا آﺎﻧﺖ " ‪ f‬ﺗـﻨﻌﺪم ﻓﻲ ‪ x0‬ﻣﻦ اﻟــﻤﺠﺎل ‪ I‬وآﺎن ﻳـﻮﺟﺪ \ ∈ ‪ α‬ﺑﺤﻴﺚ إﺷﺎرة " ‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪[x0, x0 +α‬‬ ‫ﻣﺨﺎﻟـﻔﺔ ﻹﺷﺎرة " ‪ f‬ﻋﻠﻰ] ‪ ]x0 −α,x0‬ﻓﺎن ) ) ‪ M 0 ( x 0 ; f ( x 0‬ﻧﻘـﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪(C f‬‬ ‫*‬ ‫‪+‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈــــــــﺔ ﻗﺪ ﻻ ﺗﻜﻮن اﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻗﺎﺑﻠﺔ ﻟﻼﺷﺘﻘﺎق ﻣﺮﺗﻴﻦ وﻳﻜﻮن ﻣﻊ ذﻟﻚ ﻟﻤﺒﻴﺎﻧﻬﺎ ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف‬ ‫ اﻟﻔﺮوع اﻟﻼﻧﻬـــــﺎﺋﻴﺔ‬‫‪ 1-2‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫إذا ﺁﻟﺖ إﺣﺪى إﺣﺪاﺛــــﻴﺘﻲ ﻧﻘـﻄﺔ ﻣﻦ ‪ C‬ﻣﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ إﻟﻰ اﻟﻼﻧﻬﺎﻳﺔ ﻓﺈﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل إن ‪ C‬ﻳﻘﺒﻞ ﻓﺮﻋﺎ ﻻﻧﻬﺎﺋﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪ 2-2‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻘﺎرب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ‬ ‫* اذا آﺎن ∞‪ lim f ( x ) = ±‬أو ∞‪ lim f ( x ) = ±‬ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ x = a‬ﻣﻘﺎرب ل ‪Cf‬‬ ‫‪x→ a +‬‬

‫‪x→ a −‬‬

‫* اذا آﺎن ‪ lim f ( x ) = b‬ﻓﺎن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y =b‬ﻣﻘﺎرب ل‬ ‫∞‪x→±‬‬

‫‪.Cf‬‬

‫** ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪ y =ax + b‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ Cf‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪lim (f (x ) − (ax + b )) = 0‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﺧﺎ ﺻﻴﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذو اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = ax + b‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ‪ Cf‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪‬‬ ‫‪= a‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→+‬‬

‫‪‬‬ ‫; ‪( f ( x ) − ax ) = b‬‬ ‫‪ xlim‬‬ ‫∞‪ →+‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫أو‬

‫‪‬‬ ‫‪= a‬‬ ‫‪‬‬

‫)‪f ( x‬‬ ‫‪x‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫‪‬‬ ‫; ‪( f ( x ) − ax ) = b‬‬ ‫‪ xlim‬‬ ‫∞‪ →−‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ دراﺳﺔ إﺷﺎرة ) )‪ ( f (x) – (ax + b‬ﺗﻤﻜﻨﻨﺎ ﻣﻦ ﻣﻌﺮﻓﺔ وﺿﻊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ (C f‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻘﺎرب اﻟﻤﺎﺋﻞ‪.‬‬ ‫‪ -3 -2‬اﻻﺗﺠﺎهﺎت اﻟﻤﻘﺎرﺑﺔ‬ ‫ﺗﻌﺎرﻳﻒ‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫∞‪= ±‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫أ – إذا آﺎن ∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﻣﻘﺎرب‪.‬‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫ب ‪ -‬إذا آﺎن ∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﻣﻘﺎرب‪.‬‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫ج ‪ -‬إذا آﺎن ∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫‪lim‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫ﺑﺼﻔﺔ ﻋﺎﻣﺔ‬ ‫إذا‬

‫آﺎن‬

‫ﻧﻘﻮل إن ) ‪(C f‬‬ ‫ﻧﻘﻮل إن ) ‪(C f‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺤﻮر اﻻﻓﺎﺻﻴﻞ آﺎﺗﺠﺎﻩ‬

‫و ∞‪lim f (x ) − ax = ±‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫ﻧﻘﻮل إن ) ‪ (C f‬ﻳﻘﺒﻞ‬

‫‪ y= ax‬آﺎﺗﺠﺎﻩ ﻣﻘﺎرب‬

‫∞‪lim f ( x ) = ±‬‬

‫∞‪x →±‬‬

‫) ‪f (x‬‬ ‫‪=a‬‬ ‫‪x →±∞ x‬‬

‫‪ lim‬ﻧﻘﻮل إن ) ‪(C f‬‬

‫‪ y= ax‬آﺎﺗﺠﺎﻩ ﻣﻘﺎرب‪.‬‬ ‫‪ - 3‬ﻣﺮآﺰ ﺛﻤﺎﺛﻞ – ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ‬ ‫‪ 1 -3‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ‪ ,‬ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﺬي ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ ‪x = a‬‬

‫)‪f (2a − x) = f ( x‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ آﺎﺗﺠﺎﻩ‬

‫;‬

‫‪( 2a − x ) ∈ D f‬‬

‫ﻳﻘﺒﻞ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫ﻣﺤﻮر ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﻤﻨﺤﻨﻰ داﻟﺔ ‪ f‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫‪ 2-3‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺎ‪,‬ﺗﻜﻮن اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ E (a ;b‬ﻣﺮآﺰ ﺗﻤﺎﺛﻞ ﻟﺪاﻟﺔ ‪ f‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫)‪f (2a − x) = 2b − f ( x‬‬

‫‪( 2a − x ) ∈ D f‬‬

‫;‬

‫‪∀x ∈ D f‬‬

‫‪ -4‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﺪورﻳﺔ‬ ‫‪ 1-4‬ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫ﻧﻘﻮل أن ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ إذا وﺟﺪ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ‪ T‬ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﺑﺤﻴﺚ‬ ‫‪∀x ∈ D f‬‬ ‫; ‪x +T ∈ Df‬‬ ‫‪x −T ∈ Df‬‬ ‫) ‪f (x + T ) = f (x‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ T‬ﻳﺴﻤﻰ دور اﻟﺪاﻟﺔ ‪. f‬اﺻﻐﺮ دور ﻣﻮﺟﺐ ﻗﻄﻌﺎ ﻳﺴﻤﻰ دور اﻟﺪاﻟﺔ‪f‬‬ ‫‪ 2 -4‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫إذا آﺎﻧﺖ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬دور ‪ T‬ﻓﺎن‬ ‫‪ 3-4‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬

‫) ‪f ( x + nT ) = f ( x‬‬

‫] ∈ ‪∀x ∈ D f , ∀n‬‬

‫‪ f‬ﻋﻠﻰ [ ‪D f ∩[x0 +nT; x0 +(n+1)T‬‬

‫إذا آﺎﻧﺖ ‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ و ‪ T‬دورا ﻟﻬﺎ ﻓﺎن ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟــﺪاﻟﺔ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺻﻮرة ﻣﻨﺤﻨﻰ اﻟﺪاﻟﺔ ﻋﻠﻰ [ ‪ D f ∩[x0, x0 +T‬ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻹزاﺣﺔ ذات اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ nT ⋅ i‬ﺣﻴﺚ ‪ n‬ﻋﺪد ﺻﺤﻴﺢ ﻧﺴـﺒﻲ‪.‬‬ ‫‪ 4-4‬ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫‪ f‬داﻟﺔ دورﻳﺔ و ‪ T‬دورا ﻧﻌﺘﺒﺮ [ ‪ I0 = D f ∩ [ x0 , x0 + T‬و‬

‫[ ‪I n = D f ∩ [ x0 + nT ; x0 + (n + 1)T‬‬

‫‪ f‬ﻟﻬﺎ ﻧﻔﺲ ﻣﻨﺤﻰ اﻟﺘﻐﻴﻴﺮات ﻋﻠﻰ اﻟﻤﺠﻤﻮﻋﺘﻴﻦ ‪ I 0‬و ‪ I n‬ﻟﻜﻞ ‪ n‬ﻣﻦ ]‬ ‫أﻣﺜﻠﺔ‬ ‫داﻟﺔ ‪ x → cos x‬دورﻳﺔ ودورهﺎ ‪ 2π‬إذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ] ‪]−π ; π‬‬ ‫و ﺣﻴﺚ أن ‪ x → cos x‬زوﺟﻴﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬

‫‪π‬‬

‫] ‪[0; π‬‬

‫‪0‬‬ ‫‪1‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪cos x‬‬

‫‪-1‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫هـﻮ‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬

‫داﻟﺔ ‪ x → sin x‬دورﻳﺔ ودورهﺎ ‪ 2π‬إذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫و ﺣﻴﺚ أن ‪ x → sin x‬ﻓﺮدﻳﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬

‫‪π‬‬ ‫‪0‬‬

‫] ‪[0; π‬‬

‫‪π‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪1‬‬

‫] ‪]−π ; π‬‬

‫‪0‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪sin x‬‬

‫‪0‬‬

‫‪ −π π ‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪‬‬ ‫داﻟﺔ ‪ x → tan x‬ﺣﻴﺰ ﺗﻌﺮﻳﻔﻬﺎ ‪ \ −  2 + kπ / k ∈ ] ‬و دورﻳﺔ ودورهﺎ ‪ π‬إذن ﻳﻜﻔﻲ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 2 ; 2 ‬‬ ‫‪ π‬‬ ‫و ﺣﻴﺚ أن ‪ x → tan x‬ﻓﺮدﻳﺔ زوﺟﻴﺔ ﻓﻨﻘﺘﺼﺮ دراﺳﺘﻬﺎ ﻋﻠﻰ ‪ 0; 2 ‬‬ ‫ﺟﺪول اﻟﺘﻐﻴﺮات‬ ‫‪x‬‬ ‫‪π‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪tan x‬‬ ‫∞‪+‬‬ ‫‪0‬‬

‫‪Moustaouli Mohamed‬‬

‫‪http://arabmaths.site.voila.fr‬‬