Estudiar El Rango De Una Matriz Segun Los Valores De Un Parametro

Estudiar el rango de una matriz según los valores de un parámetro: Vamos a calcular el rango de las siguientes matrices según los valores del parámetro k:

1 -1 -1 M = 1 -1 2 2 1 k

2 -1 4 N = -2 1 3 1 k 2

1 3 2 -1 P= 2 6 4 k 4 12 8 - 4

-1 1 0 2 Q= 1 3 1 0 2 10 3 k

F2 - F1

1 -1 -1 M = 1 -1 2 2 1 k

→

1 -1 -1 0 0 3 0 3 k+2

→ Rango(M) = 3 ∀k ∈ R

2 -1 4 0 0 7 0 1+ 2k 0

→ 1+2k = 0 → k = -

F3 - 2F1 F2 + F1

2 -1 4 N = -2 1 3 1 k 2

→

1 2

2F3 - F1 Por tanto tenemos que: 1 2 1 Si k ≠ 2

Si k = -

Rango(N) = 2 Rango(N) = 3

F2 – 2F1

1 3 2 -1 P= 2 6 4 k 4 12 8 - 4

→

1 3 2 -1 0 0 0 0 0 0 0 k+2

F3 – 4F1 Por tanto tenemos que: Si k = – 2 Rango(P) = 1 Si k ≠ – 2 Rango(P) = 2

→ k+2=0→ k = – 2

F2 + F1

-1 1 0 2 Q= 1 3 1 0 2 10 3 k

→

F3 – 3F2

-1 1 0 2 0 4 1 2 0 12 3 k + 4

F3 + 2F1 Por tanto tenemos que: Si k = 2 rango(Q) = 2 Si k ≠ 2 rango(Q) = 3

→

-1 1 0 2 0 4 1 2 → k–2=0→k =2 0 0 0 k-2