Ejercicios Numerico

Recopilación de ejercicios referentes a métodos básicos de cálculo numérico Estos ejercicios complementan el módulo 5. Los ejercicios o apartados que hay que hacer con Wiris ya se indican en el enunciado, si no se dice nada se entiende que hay que hacerlos a mano. EJ 1: Se quiere calcular la raíz cuadrada de un cierto número positivo dado, a , usando únicamente sumas, restas, productos y divisiones. Para ello, se proponen los siguientes pasos: - Reescribid la ecuación x  a como x 2  a y transformadla en una ecuación del tipo f ( x )  0 con una f ( x) adecuada. - Escribid el correspondiente esquema iterativo de Newton para encontrar soluciones de la ecuación f ( x)  0 con la expresión concreta encontrada en el apartado anterior. Aplicación: 1 8 10 , tomando x0  4 como valor inicial. 2 Escribid las aproximaciones obtenidas en una tabla de la forma: a) Calculad

17.33 con un error menor que

k

xk

0 1

4 etc..

Estimación del error en xk -etc.

f ( x) f (4) etc..

¿Cuántas cifras decimales podemos dar como correctas en la aproximación obtenida? b) Comparad el resultado obtenido con el que obtendríais usando la instrucción resuelve_numéricamente de Wiris. SOLUCIÓN EJ 1: En primer lugar observad que, para x  0 , se cumple x  a  x 2  a  f ( x)  x 2  a , de forma que el único cero positivo (único pues esta función es estrictamente creciente en [0, ) ) es exactamente la raíz que estamos buscando. El correspondiente esquema del método de Newton se escribe de la forma siguiente: xk 1  xk 

f ( xk ) x 2  a xk2  a  xk  k  f '( xk ) 2 xk 2 xk

(1)

Observad que el cálculo de cada iteración implica únicamente sumas, productos y divisiones. a) Aplicando la recurrencia (1) con a  17.33 y x0  4 se obtiene la siguiente tabla de iterados: xk 4.000000000000

xk  xk 1

f ( xk )

xk2

-1.330000000000

16.000000000000

4.166250000000 4.162932980798 4.162931659300 4.162931659300

1.6625000000E-001 3.3170192019E-003 1.3214981402E-006 2.1049828547E-013

0.027639062500 0.000011002616 0.000000000002 0.000000000000

17.357639062500 17.330011002616 17.330000000002 17.330000000000

Por lo tanto podemos asegurar que

con un error inferior a

1 12 10 , es decir, tal aproximación posee unas 12 cifras decimales correctas 2

aproximadamente. b) Con Wiris:

17.33  4.162931659300

EJ 2: Se dispone de un depósito de agua como el de la figura donde R  1 m y L  7 m:

Se quiere saber, de manera aproximada, cuál es el volumen (en litros) contenido en el depósito a partir de la lectura de la altura del agua desde el lateral h (en metros). Para simplificar las funciones que aparecen, podemos plantear el problema tomando como variable el ángulo  siguiente:

a) Si denominamos V ( ) a la función que proporciona el volumen de agua contenida en el depósito en función del ángulo  , comprobad que V ( ) viene dada por la fórmula: V ( ) 

7 1    7    sin 2  . 2 2  

b) ¿Cuántos litros estarían almacenados si la altura fuese h  0.2 m? c) ¿Qué altura marca, aproximadamente, cuando el depósito contiene 3500 litres? Par hacerlo, plantead el problema como la búsqueda de un cero de la función f ( )=V( )  3.5 . 1.Aplicad el método de Newton con valor inicial  0   / 4 para obtener una aproximación de este cero. Calculad y escribid las 6 primeras iteraciones (la primera inclusive) del método. Escribidlas en una tabla del siguiente tipo:

k

 k   k 1

h

V ( k )

….. ¿Qué aproximación se obtiene? ¿Cuál es la estimación del error cometido? ¿Cuántos litros almacenados corresponden a la aproximación encontrada? 2.Aplicad ahora el método de la secante para encontrar el mismo cero. Comenzad con valores iniciales  0   / 4 y 1   / 2 y detallad las 6 primeras iteraciones (las dos primeras,  0 y 1 , inclusive). Escribid los resultados en una tabla de la forma:

k

f ( k )

h

 k   k 1

V ( k )

¿Qué precisión hemos obtenido? ¿Cuántos litros se obtienen con esta aproximación? Comparad la precisión obtenida con la que habéis obtenido aplicando el método de Newton. 3.Calculad una aproximación de este cero usando Wiris (con los dos métodos, Newton y secante). SOLUCIÓN EJ 2: a) Debido a su estructura cilíndrica, su volumen se obtiene a partir de Volumen( )  L Area ( ) Del siguiente dibujo

se deduce fácilmente que, en general:  1   R 2  Areas ( ) ,  4  en función del ángulo  . Para calcular Areas ( ) hacemos: Area ( )  2  Areacuadrante  Areas ( )   2 

Areas ( )  Areasec tor ( )  Areatriangulo ( ) 

(1)

R2 base altura (1)   2 2

(2) R2 1 R2 R2  1    R sin  R cos       sin  cos       sin 2  2 2 2 2  2 

(3)

donde hemos utilizado en (1) que base  R sin  ,

altura  h  R cos 

(4)

y en (2) la fórmula trigonométrica del seno del ángulo doble: sin( 2 )  2 sin   cos  Substituyendo (3) en la fórmula (1) y todo ello en la del volumen nos queda  1 2 R2  1  Volumen( )  2 L R     sin( 2 )   4 2  2  



2   R L  LR 2    1 sin( 2 )  . .  2 2   

En nuestro caso R  1 y L  7 , de forma que obtenemos la fórmula indicada: Volumen( ) 

7 1    7   sin(2 )  . 2 2  

b) De (4) se tiene   arccos h . Por tanto, para h  0.2 ,   arccos 0.2  1.369438406 . Entonces, 7 1   Volumen(1.369438406)   7 1.369438406  sin( 2  1.369438406)   2781,2 m3 2 2   3 y, usando que 1 m  1000 litros, el volumen correspondiente a h  0.2 m es de 2781,2 litros.

c) Método de Newton En este caso, el esquema iterativo de Newton es el siguiente: 7 1    1 3.5  7  k  sin(2 k )    k  sin(2 k )  f ( k ) 2 2     2 2 7 .  k +1   k   k  k f ' ( k )  7  7 cos(2 k ) 1  cos(2 k )

π ≈ 0,785398163397 . Los iterados obtenidos se encuentran representados 4 en la siguiente tabla, en la que también se muestra una estimación del error absoluto en cada iteración (comparándolo con el anterior): con valor inicial α 0 =

αk

α k  α k 1

h

litres

0.785398163397 1.570796326795 1.320796326795 1.315317350314 1.315309612116 1.315309612101

7.8539816340E-001 2.5000000000E-001 5.4789764811E-003 7.7381975565E-006 1.5639933792E-011

0.707106781187 0.000000000000 0.247403959255 0.252708867642 0.252716354668 0.252716354684

8.9978 0 3.428,0 3.499,9 3.500 3.500

Por tanto podemos afirmar que, con una precisión de

1 10 10 , el valor buscado de h es 2

h3500  0.2527163546 m . En otros palabras, nuestra aproximación h3500 tiene, aproximadamente, 10 cifras decimales correctas (considerando redondeo).

Método de la secante En general el esquema iterativo del método de la secante es el siguiente:

 k   k 1 f ( k )  f ( k 1 ) para k  1 y valores iniciales  0 y 1 . 7 1    7   sin(2 )   3.5 En nuestro caso se tienen f ( )  y valores iniciales 2 2    0   / 4 ; 0.785398163397 y 1   / 2 ; 1.570796326795 . Los iterados obtenidos así como una estimación de su error absoluto se encuentran en la siguiente tabla:  k 1   k  f ( k )

k

 k   k 1 0.785398163397 1.570796326795 1.265288591619 1.312921863600 1.315343211412 1.315309591074

7.8539816340E-001 3.0550773518E-001 4.7633271981E-002 2.4213478125E-003 3.3620338010E-005

h

V ( k )

0.707106781187 0.000000000000 0.300777438132 0.255025875240 0.252683845849 0.252716375027

0 4.1465 3.5313 3.4996 3.500

La aproximación obtenida ahora es de nuevo h3500  0.2527 m 1 −4 10 . En los dos casos los litros resultantes son los 3500 pedidos en el 2 enunciado. Se puede observar que, con el mismo número de iteraciones en los dos métodos, la precisión para el valor de h ha sido, en este caso, aproximadamente la mitad, mientras que el valor del volumen no se ve afectado en los tres primeros decimales. con una precisión de

Wiris

EJ 3: En el prospecto de un determinado antibiótico, se muestra la siguiente tabla aproximada para calcular la dosis en función del peso del paciente: Peso del paciente (en kg) Dosis del medicamento (en ml)

40 7

50 8.2

60 10

80 15.1

95 18

1) Calculad, usando el esquema de diferencias divididas de Newton, el polinomio interpolador, P4 ( x) , que aproxima la dosis en función del peso. 2) ¿Cuántos ml de antibiótico le corresponderían, aproximadamente, a un paciente de un peso de 72 kg? 3) Si a un cierto paciente se le ha asignado una dosis de 17ml, ¿cuál es su peso, aproximadamente? Usad interpolación inversa para determinar dicha aproximación. [Nota: emplead en todos los cálculos 5 cifras decimales.] SOLUCIÓN EJ 3: a) El esquema de diferencias divididas, efectuando los cálculos con 5 cifras decimales, es el siguiente:

Entonces el polinomio interpolador viene dado por P3 ( x)  7  0.12( x  40)  0.003( x  40)( x  50)  0.00001( x  40)( x  50)( x  60) 40.00000

7.00000

50.00000

8.20000

60.00000

10.00000

(1)

0.12000 0.00300 0.18000

-0.00001 0.00250

0

0.25500 80.00000

15.10000

95.00000

18.00000

-0.00009 -0.00176

0.19333

Observad que, aunque la tabla contiene 5 pares de puntos, el polinomio interpolador es de grado 3 en vez de grado 4 que sería lo esperado. En este caso esto ha sido consecuencia de considerar los cálculos con únicamente 5 cifras decimales. Si los hubiésemos realizado con mayor precisión habríamos obtenido el siguiente esquema de diferencias divididas 40,00000

7,00000000

50,00000

8,20000000

0,12000000 0,00300000 0,18000000 60,00000

10,00000000

-0,00001250 0,00250000

0,25500000 80,00000

15,10000000

95,00000

18,00000000

-1,4947E-6 -0,00009471

-0,00176190 0,19333333

que presenta el coeficiente -1.4947 10-6  0.0000014947... acompañando a x 4 . b) Si denominamos A( x ) la función que proporciona la cantidad de antibiótico en función del peso del paciente, x , tenemos que A(72) ; P3 (72) . Recordad que para evaluar P3 ( x) se acostumbra a escribir de la forma siguiente: P3 ( x)  7  ( x  40)  0.12  ( x  50)  0.003  0.00001( x  60)  

(Regla de Horner)

la cual minimiza el número de operaciones efectuadas. En nuestro caso: P3 (72)  7  (72  40)  0.12  (72  50)  0.003  0.00001(72  60)   ; 12.868 de forma que la dosis que deberá tomar será aproximadamente unos 12.9 ml de antibiótico.

c) Los valores de la función A( x ) que aparecen en la tabla inicial son (como es razonable esperar) estrictamente crecientes. Esto implica que podemos suponer, en este intervalo, que A( x ) es inyectiva y, por tanto, invertible. Así podemos escribir A( x )  y  x  A1 ( y ) ; Q4 ( y ) donde Q4 ( y ) es el polinomio interpolador de grado 4 de la tabla inversa: Dosis del medicamento (en ml) y x Peso del paciente (en kg)

7 40

8.2 50

10 60

15.1 80

18 95

1 Así, buscamos x* de forma que A( x* )  17  x*  A (17) ; Q4 (17) . calculamos el esquema de diferencias divididas:

7.00000

40.00000

8.20000

50.00000

10.00000

60.00000

Para encontrar Q4 ( y )

8.33333 -0.92593 5.55556

0.08508 -0.23681

3.92157 15.10000

80.00000

-0.00409 0.04012

0.15636 5.17241

18.00000

95.00000

y entonces Q4 ( y )  40  8.33333( y  7)  0.92593( y  7)( y  8.2)  0.08508( y  7)( y  8.2)( y  10)  0.00409( y  7)( y  8.2)( y  10)( y  15.1) . Aplicando de nuevo la Regla de Horner, tenemos





Q4 (17)  40  (17  7) 8.33333  (17  8.2)  0.92593  (17  10)  0.08508  0.00409(17  15.1)   ; 89.48

Es decir, la dosis de 17 ml de antibiótico corresponde a un paciente con un peso aproximado de 89.48 kg.

EJ 4: Se han tomado medidas de velocidad de un cierto móvil a lo largo de 15 segundos, recogidas en la siguiente tabla: Tiempo Vel. (m/s)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 0 1 2. 3. 5.2 7 9. 1 11.5 1 9.2 8 6. 3. 1.4 3 9 4 2 0 1 5 Aplicad el método de integración numérica de Simpson compuesto para determinar, aproximadamente, el espacio recorrido por este móvil a lo largo de estos 14 segundos. SOLUCIÓN EJ 4: Recordad que la velocidad es la derivada del espacio de forma que, recíprocamente, podemos pensar el espacio como una primitiva de la velocidad. En nuestro caso el que se nos pide calcular numéricamente es 14

s (t )   v (t )dt 0

Si aplicamos la Regla de Simpson para hacerlo, tenemos que a  0, b  14 , h  1 y 2 N  (b  a ) / h  (14  0) /1  14  N  7 . Así se tiene 14

s (t )   v (t )dt ; S7 (v)  0

1  v0  4v1  2v2  4v3  2v4  4v5  L  4v13  v14   90.133 3

donde vk  v(tk )  v(k ) . Por tanto ha recorrido aproximadamente unos 90.133 metros. Con Wiris: