Ejercicios De Pau De Sistemas De Ecuaciones

Ejercicio 1.1. Madrid. Junio 2008. Un agricultor tiene repartidas sus 10 hectáreas de terreno en barbecho, cultivo de trigo y cultivo de cebada. La superficie dedicada al trigo ocupa 2 hectáreas más que la dedicada a la cebada, mientras que en barbecho tiene 6 hectáreas menos que la superficie total dedicada al cultivo de trigo y cebada. ¿Cuántas hectáreas tiene dedicadas a cada uno de los cultivos y cuántas están en barbecho? Solución: x = número de hectáreas de terreno en barbecho y = número de hectáreas de cultivo de trigo z = número de hectáreas de cultivo de cebada x + y + z = 10 y=z+2 x = (y + z) – 6

y + z = 10 – x

→

x + y + z = 10 x=2

→ 2 + y + z = 10 → 2 + z + 2 + z = 10 → 4 + 2z = 10 → 2z = 6 y=z+2 →z=3

→ x = 10 – x – 6 → 2x = 4 → x = 2 x = (y + z) – 6

x + y + z = 10 x=2 z=3

→ 2 + y + 3 = 10 → y + 5 = 10 → y = 5

Por tanto, son dedicadas 2 hectáreas a barbecho, 5 a trigo y 3 a cebada. Ejercicio 1.2. Murcia. Junio 2008. Un grupo de personas se reúne para ir de excursión, juntándose un total de 20 entre hombres, mujeres y niños. Contando hombres y mujeres juntos, su número resulta ser el triple que el número de niños. Además, si hubiera acudido una mujer más, su número igualaría al de hombres. (a) Plantear un sistema para averiguar cuántos hombres, mujeres y niños han ido de excursión. (b) Resolver el problema. Solución: (a) x = número de hombres y = número de mujeres z = número de niños x + y + z = 20 x + y = 3z x=y+1

(b)

x + y + z = 20 x + y + z = 20 → x + y = 3z x + y = 3z x=y+1

→

3z + z = 20 → 4z = 20 → z = 5

x + y = 3z z=5 x=y+1 y=7

→ x + y = 15

→ y + 1 + y = 15 → 2y = 14 → y = 7

x=y+1

→ x=7+1 → x=8

Por tanto, han ido de excursión 8 hombres, 7 mujeres y 5 niños. Ejercicio 1.3. Castilla La Mancha. Junio 2008. En una fábrica de artículos deportivos se dispone de 10 cajas de diferente tamaño: Grandes, Medianas y Pequeñas para envasar las camisetas de atletismo producidas, con capacidad para 50, 30 y 25 camisetas, respectivamente. Si una caja grande fuera mediana, entonces habría el mismo número de grandes y de medianas. En total se envasan 390 camisetas. Determina el número de cajas que hay de cada clase. Solución: x = número de cajas grandes y = número de cajas medianas z = número de cajas pequeñas x + y + z = 10 50x + 30y + 25z = 390 → 10x + 6y + 5z = 78 x=y+2→ x–y=2

x + y + z = 10

→ y + 2 + y + z = 10 → 2y + z = 8 → z = 8 – 2y x=y+2 10x + 6y + 5z = 78 z = 8 – 2y → 10x + 6y + 5z = 78 → 10•(y + 2) + 6y + 5•(8 – 2y) = 78 → x=y+2

→ 10y + 20 + 6y + 40 – 10y = 78 → 6y = 78 – 20 – 40 → 6y = 18 → y = 3 x=y+2→ x =3+2→ x =5 z = 8 – 2y → z = 8 – 2•3 → z = 8 – 6 → z = 2

Por tanto, de cada clase hay 5 cajas grandes, 3 cajas medianas y 2 cajas pequeñas.

Ejercicio 1.4. Murcia. Junio 2009. Estudiar el siguiente sistema para los distintos valores de λ y resolverlo para el valor λ = 1. x+y–z= λ x – y + 2z = 1 2x + y + λ z = 0 Solución:

1 1 −1 1 −1 2 2 1 λ

F2 – F1

λ 1 0

1 1 −1 λ 0 −2 3 1− λ 0 − 1 λ + 2 − 2λ

2F3 – F2

1 0 0

1 1 λ 2 3 1− λ 0 2λ + 1 − 3λ − 1

F3 – 2 F1 Por tanto tenemos los siguientes casos: (1) λ ≠ – 1/2 Sistema Compatible Determinado. (2) λ = – 1/2 Sistema Incompatible. Para λ = 1 x+y–z=1 – 2y +3z = 0 → z = – 2 → – 2y + 3(–2) = 0 → –2y – 6 = 0 → y = – 2 → 2z = – 4

→ x–3+2=1 → x=2

Ejercicio 1.5. Valencia. Junio 2009. Una inmobiliaria ha vendido un total de 65 plazas de garaje en tres urbanizaciones diferentes. Las ganancias obtenidas por la venta de una plaza de garaje en la urbanización A son de 2000 €, 4000 € por una en la urbanización B y 6000 por una en la urbanización C. Se sabe que se han vendido un 50% más de plazas en la urbanización A que en la urbanización C. Calcula el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización sabiendo que el beneficio obtenido por las vendidas en la urbanización C es igual a la suma de los beneficios obtenidos por las vendidas en las urbanizaciones A y B. Solución: x = número de plazas de garaje vendidas en la urbanización A y = número de plazas de garaje vendidas en la urbanización B z = número de plazas de garaje vendidas en la urbanización C x + y + z = 65 → x = 1,5z 6000z = 2000x + 4000y

x + y + z = 65 x = 1,5z 2000x + 4000y – 6000z = 0

x + y + z = 65 1,5z = x → x + 2y – 3z = 0

(–2)•(2,5z + y = 65) – 1,5z + 2y = 0

1,5z + y + z = 65 1,5z + 2y – 3z = 0

→

→

2,5z + y = 65 – 1,5z + 2y = 0

– 5z – 2y = – 130 – 1,5z + 2y = 0 → – 6,5z = – 130 → z = 20

– 5•(20) – 2y = – 130 → – 2y = – 130 + 100 → – 2y = – 30 → y = 15 x + 15 + 20 = 65 → x = 30

Por tanto, el número de plazas de garaje vendidas en cada urbanización es de 30 en A, de 15 en B y 20 en C. Ejercicio 1.6. Valencia. Septiembre 2008. Antonio ha conseguido 1372 euros trabajando durante las vacaciones. Ese dinero puede gastarlo íntegramente comprando un ordenador portátil, una cámara digital y haciendo un viaje. El precio del ordenador portátil excede en 140 euros a la suma de los precios de la cámara y del viaje. Teniendo en cuenta que el precio de un segundo acompañante para el viaje es la mitad que el precio inicial, Antonio podría invitar a su hermano al viaje en el caso de que no comprara la cámara digital y todavía le quedarían 208 euros. Calcula los precios del ordenador, de la cámara y del viaje. Solución: x = precio del ordenador y = precio de la cámara z = precio del viaje x + y + z = 1372 x = y + z + 140 2z + x – 208 = 1372

→ y + z = x – 140 → x + x – 140 = 1372 → 2x = 1512 → x = 1512/2 → x = 756

2z + 756 – 208 = 1372 → 2z = 1580 – 756 → 2z = 824 → z = 412 x + y + z = 1372 → 756 + y + 412 = 1372 → y = 1372 – 1168 → y = 204 Por tanto, el precio del ordenador será de 756 €, de la cámara de 204 € y del viaje de 412 €.

Ejercicio 1.7. Castilla La Mancha. Septiembre 2008. En la XXI Olimpiada Nacional de Química se contrataron 5 autobuses de 55 plazas cada uno, incluida la del conductor, para el transporte de alumnos, profesores y acompañantes. La suma del 10% del número de profesores y del 20% del número de acompañantes excede en una unidad al 10% del número de alumnos. El número de alumnos duplicaría al de profesores en el caso de que hubieran asistido 5 profesores menos. Determina el número de alumnos, de profesores y de acompañantes. Solución: x = número de alumnos y = número de profesores z = número de acompañantes x + y + z = 5•54 0,1y + 0,2z = 0,1x + 1 → x = 2(y – 5)

x + y + z = 270 x + y + z = 270 – 0,1x + 0,1y + 0,2z = 1 → – x + y + 2z = 10 x – 2y = – 10 x – 2y = – 10

– 2x – 2y – 2z = – 540

→– 3x – y = – 530

6x + 2y = 1060

→

– x + y + 2z = 10 x – 2y = – 10

→7x = 1050→x = 150 x – 2y = – 10

x – 2y = – 10

→ 150 – 2y = – 10 → – 2y = 140 → y = 70 x = 150

x + y + z = 270 x = 150 y = 140

→ 150 + 70 + z = 270 → z = 50

Por tanto, el número de asistentes será de 150 alumnos, de 70 profesores y de 50 acompañantes.

Ejercicio 1.8. Madrid. Septiembre 2008. Una empresa instala casas prefabricadas de tres tipos A, B y C. Cada casa de tipo A necesita 10 horas de albañilería, 2 de fontanería y 2 de electricista. Cada casa de tipo B necesita 15 horas de albañilería, 4 de fontanería y 3 de electricista. Cada casa de tipo C necesita 20 horas de albañilería, 6 de fontanería y 5 de electricista. La empresa emplea exactamente 270 horas de trabajo al mes de albañilería, 68 de fontanería y 58 de electricista. ¿Cuántas casas de cada tipo instala la empresa en un mes? Solución: x = número de casas de tipo A y = número de casas de tipo B z = número de casas de tipo C 10x + 15y + 20z = 270 2x + 4y + 6z = 68 2x + 3y + 5z = 58 x + 2y + 3•4 = 34 2x + 3y + 5•4 = 58

→

2x + 3y + 4z = 54 2x + 3y + 4z = 54 x + 2y + 3z = 34 → – 2x – 3y – 5z = 58 2x + 3y + 5z = 58

x + 2y = 22 → 2x + 3y = 38

– 2x – 4y = – 44 → 2x + 3y = 38

→z=4

→–y=–6→y=6

2x + 3y + 4z = 54 →2x + 3•6 + 4•4 = 54→ 2x + 18 + 16 = 54 → 2x = 20→ x= 10 y=6 z=4 Por tanto, el número de casas de cada tipo será de 10 del tipo A, de 6 del tipo B y de 4 del tipo C.

Ejercicio 1.9. Madrid. Junio 2009. Se considera el siguiente sistema lineal de ecuaciones, dependiente del parámetro real k: x + y + kz = 4 2x – y + 2z = 5 – x + 3y – z = 0 (a) Discútase el sistema según los diferentes valores del parámetro k. (b) Resuélvase el sistema en el caso en que tenga infinitas soluciones. (c) Resuélvase el sistema para k = 0. Solución: F3 + F1

1 1 k 2 -1 2 -1 3 -1

4 5 0

→ F2 – 2F1

3F3 + 4F2

1 1 k 0 - 3 2 - 2k 0 4 - 1+ k

4 -3 4

→

1 1 k 4 0 - 3 2 - 2k - 3 0 0 5 - 5k 0

(a) 5 – 5k = 0 → 5 = 5k → k = 1 Si k = 1 el sistema es compatible indeterminado, tiene infinitas soluciones. Si k ≠ 1 el sistema es compatible determinado, tiene una única solución. (b) k=1 x+y+z=4 – 3y + 0z = – 3 0z = 0

→ – 3y = – 3 → y = 1 → x + 1 + z = 4 → x = 3 – z

Tomamos z = λ Entonces el conjunto de soluciones será (3 – λ, 1, λ) con λ Є R (c) k=0 x+y =4 – 3y + 2z = – 3 5z = 0

→ 5z = 0 → z = 0 → – 3y + 0 = – 3 → y = 1 → x + 1 = 4 → x = 3

Por tanto x = 3, y = 1, z = 0

Ejercicio 1.10. Castilla La Mancha. Junio 2009. Con las 12 monedas que tengo en el bolsillo (de 50 céntimos, de 20 céntimos y de 10 céntimos de euro) puedo comprar un pastel cuyo precio es 2,80 euros. Si una moneda de 50 céntimos lo fuera de 20, entonces el número de las de 20 céntimos y el número de las de 10 céntimos coincidiría. ¿Cuántas monedas tengo de cada clase? Solución: x = número de monedas de 50 céntimos. y = número de monedas de 20 céntimos. z = número de monedas de 10 céntimos. x + y + z = 12 0,5x + 0,2y + 0,1z = 2,80 y+1=z

→ x + y + z = 12 → x + y + y + 1 = 12→ x + 2y = 11 →0,5x + 0,2y + 0,1z = 2,80 → 0,5x + 0,2y + 0,1(y + 1)= = 2,80 → 0,5x + 0,3y = 2,7

x + 2y = 11 0,5x + 0,3y = 2,7

→ 0,5x + 0,3y = 2,7 → 0,5(11 – 2y) + 0,3y = 2,7 → → 5,5 –y + 0,3y = 2,7 → –0,7y = –2,8 → y = 4

x + 2y = 11 → x + 8 = 11→ x = 3 x + y + z = 12 → 3 + 4 + z = 12 → z = 5

Ejercicio 1.11. Murcia. Septiembre 2009. Un señor acertó cinco números en la lotería primitiva, dos de los cuales eran el 23 y el 30. Propuso a sus hijos que si averiguaban los otros tres, se podrían quedar con el premio. La suma del primero con el segundo excedía en dos unidades al tercero; el segundo menos el doble del primero era diez unidades menor que el tercero y la suma de los tres era 24. ¿Cuáles son los tres números que faltan? Solución: x = 1º número y = 2º número z = 3º número x + y + z = 24 x+y=z+2 y – 2x = z – 10

x + y + z = 24 → x+y=z+2

x+y=z+2 y – 2x = z – 10

→

→ z + 2 + z = 24 → 2z = 22 → z = 11

x + y = 11 + 2 y – 2x = 11 – 10

x + y + z = 24 → 4 + y + 11 = 24 → y = 9

→ x + y = 13 → 3x = 12 → x = 4 y – 2x = 1