Ejercicio 3.docx

Ejercicio c.



x2 x2  4

dx

Sea 𝑥 = 2sec⁡(𝜃) 𝑑𝑥 = 2𝑡𝑎𝑛⁡(𝜃)sec⁡(𝜃)𝑑𝜃

Sustituyendo en la integral original ∫

∫

∫

(2𝑠𝑒𝑐𝜃)2 ∗ 2𝑡𝑎 𝑛(𝜃) ∗ sec⁡(𝜃)𝑑𝜃⁡

√(2𝑠𝑒𝑐𝜃)2 − 4 4𝑠𝑒𝑐𝜃2 ∗ 2𝑡𝑎 𝑛(𝜃) ∗ sec⁡(𝜃)𝑑𝜃⁡

√(2𝑠𝑒𝑐𝜃)2 − 4 8𝑠𝑒𝑐𝜃3 ∗ 𝑡𝑎 𝑛(𝜃) 𝑑𝜃⁡

√4𝑠𝑒𝑐𝜃2 − 4

En el denominador aplicamos factor común denominador ∫

8𝑠𝑒𝑐𝜃3 ∗ 𝑡𝑎 𝑛(𝜃) 𝑑𝜃⁡

√4(𝑠𝑒𝑐𝜃2 − 1)

Aplicamos la regla de la potencia en el denominador ∫

8𝑠𝑒𝑐𝜃3 ∗ 𝑡𝑎 𝑛(𝜃) 𝑑𝜃⁡

2√(𝑠𝑒𝑐𝜃2 − 1)

En el denominador aplicamos la identidad (𝑠𝑒𝑐𝜃 2 − 1 = 𝑡𝑎𝑛𝜃 2 ) ∫

∫

8𝑠𝑒𝑐𝜃3 ∗ 𝑡𝑎 𝑛(𝜃) 𝑑𝜃⁡

2√𝑡𝑎𝑛𝜃2 8𝑠𝑒𝑐𝜃3 ∗ 𝑡𝑎 𝑛(𝜃) 𝑑𝜃⁡

2𝑡𝑎𝑛𝜃

Simplificando la expresión 𝑡𝑎𝑛𝜃 ∫

8𝑠𝑒𝑐𝜃3 ⁡

2

𝑑𝜃

∫ 4𝑠𝑒𝑐𝜃3 𝑑𝜃

Sacamos la constante de la integral 4 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃3 𝑑𝜃 Para resolver la integral utilizamos la siguiente formula de reducción ∫ sec(𝑥)𝑛 𝑑𝑥 = ∫

𝑠𝑒𝑛(𝑥)sec⁡(𝑥)𝑛−1 𝑛 − 2 + ⁡𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑛−2 𝑑𝑥⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒⁡𝑛 = 3 𝑛−1 𝑛−1

Reemplazando: 4 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃3 𝑑𝜃 = 4 ∫

𝑠𝑒𝑛(𝜃)sec⁡(𝜃)3−1 3 − 2 + ⁡𝑠𝑒𝑐(𝜃)3−2 𝑑𝜃 3−1 3−1

4 ∫ 𝑠𝑒𝑐𝜃3 𝑑𝜃 = 4 ∫

𝑠𝑒𝑛(𝜃)sec⁡(𝜃)2 1 + ⁡𝑠𝑒𝑐(𝜃)1 𝑑𝜃 2 2

Sacamos la constante de la integral 1 𝑠𝑒𝑛(𝜃) sec(𝜃)2 4( ∫ + ⁡sec⁡(𝜃)𝑑𝜃) 2 2 Reemplazamos por la variable original partiendo del triángulo de Pascal

x

√ 𝑥2 − 4

2 Donde:

𝑠𝑒𝑛 =

𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜⁡𝑜𝑝𝑢𝑒𝑠𝑡𝑜 ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎

𝑠𝑒𝑛 =

√𝑥 2 − 4 𝑥

𝑠𝑒𝑐 =

ℎ𝑖𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑢𝑠𝑎 𝑐𝑎𝑡𝑒𝑡𝑜⁡𝑎𝑑𝑦𝑎𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒

𝑠𝑒𝑐 =

𝑥 2

Por lo tanto,

1 4( ∫ 2

√ 𝑥2 − 4 𝑥 2 𝑥 ⁡⁡(2) + ⁡sec⁡(𝜃)𝑑𝜃) 2

Multiplicando en cruz

𝑥 2 1 √𝑥2 − 4⁡⁡(2) 4( ∫ + ⁡sec⁡(𝜃)𝑑𝜃) 2 2𝑥 Sacando la constante del denominador 𝑥 2 1 1 √𝑥2 − 4⁡⁡(2) 4( ∫ + ⁡sec⁡(𝜃)𝑑𝜃) 2 2 𝑥 Ahora resolvemos la integral de la sec, para el caso es: ∫ sec(𝑥) = 𝑙𝑛|sec(𝑥) + tan⁡(𝑥)| Reemplazando 𝑥 2 1 ⁡1 √𝑥2 − 4⁡⁡(2) 4∗ ∗ + ⁡𝑙𝑛|sec(𝜃) + tan⁡(𝜃)| 2 2 𝑥 Expresamos el resultado en términos de la variable original 𝑥 2 1 ⁡1 √𝑥2 − 4⁡⁡(2) √ 𝑥2 − 4 𝑥 4∗ ∗ + 𝑙𝑛 | + | 2 2 𝑥 2 2

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