Ejercicio 2.docx

Ejercicio c. ∫ 𝒔𝒆𝒏−𝟏 (𝒙)𝒅𝒙 Re-expresando la integral ∫ 𝒂𝒓𝒄𝒔𝒆𝒏(𝒙)𝒅𝒙 Aplicando integración por partes: 𝑢 = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑣=1 Aplicando la fórmula de integración por partes 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) − ∫ 𝑓Ꞌ(𝑥)𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫ 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫

1 √1 − 𝑥 2 𝑥 √1 − 𝑥 2

∗ 𝑥𝑑𝑥 𝑑𝑥

Vamos a resolver la integral aplicando integración por sustitución 𝑢 = 1 − 𝑥2 𝑑𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 Reemplazando 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) − ∫ −

1 2√𝑢

𝑑𝑢

Sacamos la constante de la integral según: ∫ 𝑎 ∗ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 1 1 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + ∫ 𝑑𝑢 2 √𝑢 1 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + ∫ 𝑢−1/2 2 Resolviendo la integral

1

1 𝑢−2+1 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + ∗ 2 −1 + 1 2 Reemplazando el valor de 𝑢 1

1 (1 − 𝑥 2 )−2+1 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + ∗ 1 2 −2 + 1 1

Resolviendo la operación − 2 + 1 =

−1+2 2

1

=2

Por lo tanto, 1

1 (1 − 𝑥 2 )2 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + ∗ 1 2 2 1 √1 − 𝑥 2 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + ∗ 1 2 2 Aplicando las propiedades de fracciones, multiplicación en cruz. 1 2√1 − 𝑥 2 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + ∗ 2 1 Eliminamos los términos comunes 2 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + √1 − 𝑥 2 Agregamos la constante 𝑥𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) + √1 − 𝑥 2 + 𝑐