Ecuaciones Lineales Resumen

Departamento de Matemática Bernardita A. Pérez Ureta

ECUACIONES LINEALES Explicare el método de solución de una ecuación mediante los ejemplos a continuación: Ejemplo 1: Determinar el valor de x en la siguiente ecuación: 2x + 4 = 16 1. Se aísla el término que contiene x a la izquierda sustrayendo 4 del miembro izquierdo. Esta operación debe equilibrarse restando 4 del miembro derecho, de esta forma: 2x + 4 - 4 = 16 - 4 2. Realizando las operaciones indicadas, resulta: 2x = 12 3. Se saca el multiplicador 2 de x dividiendo ambos lados de la ecuación por 2, así: 2 x 12 = ⇒x=6 2 2

Nota: nunca olvides realizar la operación inversa para despejarla incógnita. Ejemplo 2: Determinar el valor de y en la siguiente ecuación:

3y − 4 = 11 2

3y sumamos 4 − 4 = 11 2 3y multiplicamos por 2 = 15 2 dividimos por 3 3 y = 30

y = 10 Ejemplo 3: Determinar el valor de x en la siguiente ecuación:

3x + x = 12 − x 4

3x + x = 12 − x 4

Agrupamos las incógnitas a un lado de la ecuación realizando las operaciones correspondientes.

3x = 12 Podemos amplificar toda la ecuación para no trabajar con fracciones 4 multiplicando por el m.c.m entre los divisores; en este caso es 4. 4 x + 4 x + 3 x = 48 y luego resolvemos con el mismo método anterior. 11x = 48 ⇒ x = 48 / 11 x+x+

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Ejercicios resueltos: Resolver cada una de las siguientes ecuaciones: 1) x − 1 =

1 2

y 2) + y = 8 3 x 3) + 3 x = 7 4

solución: x = 3/2 solución: y = 6 solución: x = 28/13

4) 4 − 7 x = 9 − 8 x y 5) + 6 y = 13 2 y 6) + 6 y = 13 2

solución: x = 5 solución: y = 2 solución: y = -10

ECUACIONES CON COEFICIENTES LITERALES Las primeras letras del alfabeto generalmente representan cantidades conocidas (constantes) y las últimas letras representan cantidades desconocidas (variables). Entonces, por lo general resolvemos para x, y ó z. Una ecuación tal como:

ax - 8 = bx - 5

Tiene letras como coeficientes. Las ecuaciones con coeficientes literales se resuelven en la misma forma que las ecuaciones con coeficientes numéricos, excepto que cuando una operación no puede realizarse, simplemente se la indica. Al resolver para x en la ecuación:

ax - 8 = bx - 5

Restamos bx de ambos miembros y sumamos 8 a los dos. El resultado es ax - bx = 8 - 5 Visto que no puede realizarse la sustracción en el lado izquierdo, se la indica. La cantidad a - b es el coeficiente de x cuando se agrupan los términos. La ecuación toma la forma (a - b) x = 3 Ahora se dividen ambos lados de la ecuación por a - b. Otra vez el resultado puede ser indicado solamente. La solución de la ecuación es: 3 x= a−b

Ejemplo: Al resolver para y en la ecuación ay + b = 4
y = (4 – b)/ a

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Ejercicios resueltos: Resolver para x en cada uno de los siguientes: 1) 2) 3) 4)

3+ x = b solución: x = b – 3 solución: x = (8 + t)/4 4x = 8 + t solución: x = m /3 3 x + 6m = 7 m ax − 2( x + b ) = 3a solución: x = (3a + 2b)/(a–2)

ELIMINACIÓN DE SIGNOS DE AGRUPAMIENTO Si aparecen signos de agrupamiento en una ecuación se debe extraerlos en la forma señalada anteriormente en este curso. Por ejemplo, resolver la ecuación 5 = 24 - [x - 12(x - 2) - 6(x - 2)] 5 = 24 - [x - 12x + 24 - 6x + 12] 5 = 24 - [- 17x + 36] 5 = 24 + 17x – 36 5 = 17x – 12 17 = 17x
x = 1

ECUACIONES QUE CONTIENEN FRACCIONES Para resolver x en una ecuación tal como:

2x x 1 x + −1 = + 3 12 4 2

Primero eliminamos las fracciones de la ecuación. Para hacer esto determinamos el mínimo común denominador de las fracciones. Luego multiplicamos ambos lados de la ecuación por el MCD.

2x x 1 x + −1 = + 3 12 4 2 8 x + x − 12 = 3 + 6 x 8 x + x − 6 x = 3 + 12 3x = 15
x = 5 Ejercicios resueltos: x x 1) −2= 4 6 1 1 1 2) − = 2 v 3 y y 3) − =5 2 3 3 4) =6 4x

Multiplicamos por 12 Resolvemos finalmente.

solución: x = 24 solución: v = 6 solución: y = 30 solución: x = 1/8