Ecuaciones E Inecuaciones Lineales

Universidad Centroccidental Lisandro Alvarado Decanato de Administración y Contaduría Departamento de Técnicas Cuantitativas.

16/04/2008

Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

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Contenido de la presentación: 1. 2. 3. 4.

Ecuaciones Inecuaciones Problemas Propuestos Fin de la Presentación

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Una ecuación es una relación de igualdad entre dos expresiones algebraicas. Los elementos presentes son de tipo numérico, de tipo literal y de tipo operacional, es decir, contienen números, letras y signos que identifican operaciones entre ellos.

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Ecuación

Expresión alg 1 = Expresión alg 2

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Tipos de ecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

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Ecuaciones Lineales Ecuaciones Cuadráticas Ecuaciones Polinómicas Ecuaciones Racionales Ecuaciones con radicales Ecuaciones Trascendentes Ecuaciones Trigonométricas

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Ecuaciones Lineales

Las ecuaciones lineales son aquellas en las cuales todas las variables presentes tienen potencia 1, y las variables no forman parte del denominador de alguna fracción.

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Forma general: Con una variable

ax + b = 0

Con dos variables

ax + by + c = 0

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Ecuaciones Lineales

A continuación presentamos algunos ejemplos de ecuaciones lineales

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Ejemplos:

3x + 5 = 0 − 2x + 8 = 0 7 − 3x = 1 4x − 5 = 2 + x 2x + 5 y − 4 = 0

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Ecuaciones Lineales

Resolver una ecuación lineal con una variable significa encontrar el valor único de la variable que satisface la ecuación.

Ejemplo:

3x + 5 = 0 3 x = −5 −5 x= 3

El método para resolverla, generalmente es despejar la variable.

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Ecuaciones Cuadráticas

Las ecuaciones cuadráticas tienen todas al menos una de las variables con potencia 2, y no forman parte del denominador de alguna fracción.

Forma general de una ecuación cuadrática

ax + bx + c = 0 2

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Ecuaciones Cuadráticas

Resolver una ecuación cuadrática con una variable es encontrar el o los valores (que cuando más son dos) que satisfacen la ecuación.

Resolvente cuadrática

Generalmente se usa la resolvente cuadrática para conseguirlos.

x1, 2 = 16/04/2008

−b±

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b − 4 ac 2a 2

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Ecuaciones Cuadráticas

Existe además otra forma de ecuación cuadrática denominada “expresión factorizada” de la cuadrática.

Expresión factorizada de una cuadrática

Generalmente son dos factores lineales que se multiplican.

a ( x − x1 )( x − x 2 ) = 0

ax + bx + c = 0 2

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Ecuaciones Cuadráticas

Hay forma de saber cuantas soluciones tiene una ecuación cuadrática, reconociendo el signo de la cantidad subradical, denominada discriminante

Discriminante

b 2 − 4 ac > 0

Dos  soluci0nes

b 2 − 4 ac < 0

Sin solución

b − 4 ac = 0 2

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b − 4 ac 2

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Una solución

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Ecuaciones Cuadráticas

A las soluciones de una ecuación igualada a cero se les llama raíces de la ecuación.

Encuentre las raíces o soluciones de la ecuación siguiente

x2 − 5x − 6 = 0

Solución: Como a = 1, b =-5 y c = -6, entonces,

x1, 2

−b±

5± b 2 − 4 ac = = 2a 5 ± 49 5 ± 7 = = 2 2

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25 + 24 2

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x1 = 6 , x 2 = − 1

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Ecuaciones Polinómicas

Las ecuaciones polinómicas son sumas de potencias enteras de una variable. Las soluciones se encuentran, cuando existen por medio del método de Ruffini.

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Forma general

an x n + an −1 x n −1 + .... + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0

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Ecuaciones Polinómicas

Con las soluciones del polinomio podemos escribirlo en forma factorizada.

Factorización de ecuación polinomial

una

an ( x − xn )( x − xn −1 )....( x − x2 )( x − x1 ) = 0

an x n + an −1 x n −1 + .... + a2 x 2 + a1 x + a0 = 0 16/04/2008

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Ecuaciones racionales

Las ecuaciones racionales contienen expresiones fraccionarias donde el denominador de alguna de las fracciones contiene la variable. Generalmente tienen polinomios en el numerador y el denominador.

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Forma general

an xn + an−1xn−1 + ....+ a2 x2 + a1x + a0 =0 2 m m−1 bm x + bm−1x + ....+ b2 x + b1x + b0

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Ecuaciones racionales

Las soluciones de este tipo de ecuaciones son las soluciones del polinomio del numerador..

Ejemplo: Resolver la siguiente ecuación racional.

3x + 6 =0 2 4x − 2x +1

La solución a este problema es encontrar simplemente la solución al polinomio del numerador.

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3x + 6 = 0 3x = −6 x = −6 / 3 = −2 16

Ecuaciones con radicales

Las ecuaciones con radicales son precisamente aquellas que contienen radicales.

Formas diversas de estas ecuaciones:

ax + b = 0

Los elementos radicales aparecen en sumas, productos o cocientes. La solución generalmente implica la eliminación del símbolo radical usando potenciación.

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ax + b + cx + d = 0 n

ax n − b = 0

a + n cx + d =0 m ex + f Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

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Ecuaciones   Trascendentes

Las ecuaciones trascendentes son aquellas donde aparecen expresiones exponenciales y/o logarítmica, en forma de sumas, multiplicaciones y divisiones.

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Formas diversas de estas ecuaciones:

ae x + b = 0 aLn( x) + b = 0 ae x (b − ce x ) = 0 aLn(bx + c) + mLn( px + q ) = 0

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Ecuaciones   Trigonométricas

Las ecuaciones trigonométricas son aquellas donde aparecen expresiones del tipo seno, coseno, tangente, cotangente, secantes y cosecante, o con sus inversas.

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Formas diversas de estas ecuaciones:

asen( x) + b = 0 a cos( x) + b = 0 a tan(b − ce x ) = 0 asen(bx + c) + m csc( px + q ) = 0

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Las inecuaciones o desigualdades son expresiones algebraicas por medio de símbolos de relaciones de orden.

< >

Expresión algebraica 1

≤

Expresión algebraica 2

≥

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Tipos de inecuaciones: 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Inecuaciones lineales Inecuaciones cuadráticas Inecuaciones polinómicas Inecuaciones racionales Inecuaciones con radicales Inecuaciones trascendentes Inecuaciones trigonométricas

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Inecuaciones Lineales

Las inecuaciones lineales son aquellas en las cuales todas las variables presentes tienen potencia 1, y las variables no forman parte del denominador de alguna fracción.

Forma general: Con una variable

ax + b ≤ 0

Con dos variables

ax + by + c ≤ 0

Nota: Puede aparecer cualquier otro símbolo de desigualdad

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Inecuaciones Lineales

Resolver una inecuación lineal con una variable significa encontrar el conjunto solución de valores para la variable que satisface la desigualdad. El método para resolverla, generalmente es despejar la variable.

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Ejemplo:

3x + 5 > 0 3x > −5 − 5 x > 3

Lo que significa que el conjunto solución es:

⎛ 5 ⎞ ,∞ ⎟ ⎜− ⎝ 3 ⎠ Hecho por: M. Sc. Jorge Hernández

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Inecuaciones Cuadráticas

Las inecuaciones cuadráticas tienen todas o al menos una de las variables con potencia 2, y no forman parte del denominador de alguna fracción.

Forma general de una inecuación cuadrática

ax + bx + c ≤ 0 2

Nota: Puede aparecer cualquier símbolo

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Inecuaciones Cuadráticas

Resolver una ecuación cuadrática con una variable es encontrar el conjunto solución de valores para la variable que satisfacen la desigualdad. Usamos un método que se denomina: Método de Sturm, para conseguir dicho conjunto solución.

Método de Sturm 1. Factorizamos la cuadrática 2. Sobre una recta marcamos las raíces 3. Escogemos un valor de prueba a la izquierda del menor de ellos 4. Estudiamos los signos de la expresión factorizada 5. Escogemos el signo determinado por la desigualdad

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Inecuaciones Cuadráticas

Resolver la siguiente desigualdad cuadrática.

Ejemplo de aplicación del método de Sturm.

x2 − 5x − 6 > 0 Solución: Aplicamos los pasos del método

1. Factorización:

2. Representar gráficamente

x2 − 5x − 6 > 0

( x − 6 )( x + 1) > 0 16/04/2008

-1

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6

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Inecuaciones Cuadráticas

Ejemplo de aplicación del método de Sturm.

Resolver la siguiente desigualdad cuadrática.

x2 − 5x − 6 > 0 Solución: Aplicamos los pasos del método

3. Valor de prueba

x = −2 x − 6 = −2 − 6 = −8 x + 1 = −2 + 1 = −1 16/04/2008

4. Estudio del signo en la factorización ++++++----------------------------------+++ -1

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Inecuaciones Cuadráticas

Resolver la siguiente desigualdad cuadrática.

Ejemplo de aplicación del método de Sturm.

x2 − 5x − 6 > 0 Solución: Aplicamos los pasos del método

5. Escogencia del signo: La desigualdad establece la escogencia del signo positivo

(− ∞,−1) ∪ (6, ∞ )

Solución:

++++++----------------------------------+++ -1

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Inecuaciones  Polinómicas

Las inecuaciones polinómicas son sumas de potencias enteras de una variable. El conjunto solución lo encontramos factorizando por medio del método de Ruffini y aplicando el método de Sturm.

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Forma general

an x n + an −1 x n −1 + .... + a2 x 2 + a1 x + a0 ≤ 0

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Inecuaciones racionales

Las inecuaciones racionales contienen expresiones fraccionarias donde el denominador de alguna de las fracciones contiene la variable. Generalmente tienen polinomios en el numerador y el denominador. Se resuelven usando el método de Sturm.

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Forma general

an xn + an−1xn−1 + ....+ a2 x2 + a1x + a0 ≤0 2 m m−1 bm x + bm−1x + ....+ b2 x + b1x + b0

Nota: Usaremos una sesión de ejercicios para tratar este caso.

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Otros tipos.

Otros tipos de inecuaciones son las que contienen elementos exponenciales, logarítmicos y trigonométricos. No son objeto de estudio en el contenido de esta asignatura.

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asen(bx + c) + m csc( px + q ) ≤ 0 aLn(bx + c) + mLn( px + q ) ≤ 0

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Gracias por la atención prestada. M.Sc. Jorge Eliecer Hernández Hernández.

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