Ecuaciones De Maxwell

Ecuaciones de Maxwell Hemos establecido previamente las ecuaciones del Campo Electromagnético, en las condiciones más generales posibles. Este conjunto de ecuaciones, denominado Ecuaciones de Maxwell, describe todos los fenomenos electromagnéticos, a nivel macroscópico.

Las relaciones generales entre los campos macroscópicos son Para poder resolver las ecuaciones, se debe conocer las relaciones constitutivas, entre y

, y entre

y

y

, entre

.

Las ecuaciones de Maxwell en el vacío (

,

,

,

) son:

Estas ecuaciones implican la existencia de `ondas electromagnéticas', que se propagan en el vacio con velocidad

. Por el momento, tomemos c como una definición (es fácil ver que tiene

las dimensiones de una velocidad), y tratemos de obtener una ecuación que involucre solamente a Para hacer esto último, tomemos el rotor de la 'ecuación de Faraday',

(54) lo cual da,

(55) Finalmente, se tiene

(56)

Esta es la llamada ecuación de ondas para el campo eléctrico. El campo magnético misma ecuación de ondas.

satisface la

(57)

.

El valor de (km/s), representa la velocidad de propagación de los frentes de onda (en realidad es la 'velocidad de fase'). Hay varias preguntas que uno se puede hacer, y que responderemos a continuación. En primer lugar, ¿Cómo se produce una onda electromagnética?. La respuesta mas simple es que basta tener cargas en movimiento acelerado, o corrientes que varían en el tiempo.

Figure 9.1: El punto de emisión y recepción de una onda están separados por un tiempo

, en que d es la distancia entre los puntos.

Para dar una descripción matematica del proceso de emisión de una onda electromagnetica, deberemos obtener los campos eléctrico y magnético, o bien los potenciales dinámicos, y . Observamos, en forma muy simple, que los potenciales anteriores satisfacen las ecuaciones de onda siguientes:

Recordamos que el potencial estatico

satisface

(58) Como éste potencial satisface una ecuación diferencial similar a la ecuación de ondas, suponemos que la forma del potencial es tambien similar. Hay una importante diferencia, la que ilustramos en la figura, pues cuando se detecta una onda en el punto , en el instante t, ésta fué emitida en el instante anterior t', en un punto , tal que t-t' = d/c, en que d es la distancia entre los puntos de emisión y recepción. Se dice entonces que el potencial es retardado. De esta forma, escribimos

(59) en que

.

Hemos visto que, en las zonas sin cargas ni corrientes, las ecuaciones de Maxwell conducen a las ecuaciones de ondas para los campos

y

. En las zonas en que existen cargas y corrientes, es

mejor buscar las ecuaciones para los potenciales. Tomemos primero el potencial magnético reemplazamos en la ley de Faraday, obteniendo

,y

(60) Deeducimos entonces que

(61)

Tomamos ahora la ecuación para el campo

, y obtenemos

(62)

Tenemos entonces la siguiente ecuación para el potencial

,

(63) Se impone usualmente la llamada condición de Lorentz, que establece que la cantidad entre paréntesis en al lado derecho de la ecuación anterior se anula idénticamente,

(64)

Con esto, es potencial , satisface la ecuación de ondas clásica, con fuentes, que escribimos anteriormente. Reemplazando en la ley de Gauss, se obtiene tambien la ecuación de ondas para el potencial . Hay que hacer notar que, como se dijo ya en magnetostatica, existe una ambiguedad en la definición del potencial

, que permite imponer una condición de 'gauge' como la condición de Lorentz.