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Écoulements diphasiques Lois générales par

Jean-Michel FITREMANN Agrégé de Sciences Physiques Docteur ès Sciences Directeur de la Division Écoulements Diphasiques Industriels, Société Hydroscience

1. 1.1 1.2 1.3

Principes de base ..................................................................................... Écoulements polyphasiques et systèmes industriels............................... Écoulements diphasiques et suspensions................................................. Phénomènes de transfert............................................................................

A 720 - 2 — 2 — 2 — 2

2. 2.1 2.2 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7

Cinématique .............................................................................................. Distribution des phases............................................................................... Distribution de l’interface............................................................................ Équation de transport d’une grandeur interfaciale................................... Moyennes statistiques ................................................................................ Moyennes volumiques. Moyennes sur une variété.................................. Doubles moyennes...................................................................................... Transformation des dérivées surfaciques .................................................

— — — — — — — —

2 2 2 3 4 4 5 5

3. 3.1 3.2 3.3

Théorèmes de conservation.................................................................. Équations locales de conservation............................................................. Équations volumiques de conservation .................................................... Moyennes statistiques ................................................................................

— — — —

5 5 6 6

4. 4.1 4.2

4.3

Lois de conservation usuelles .............................................................. Simplifications courantes ........................................................................... Cas particuliers ............................................................................................ 4.2.1 Écoulements laminaires..................................................................... 4.2.2 Écoulements sans transfert de masse .............................................. 4.2.3 Écoulements dispersés ...................................................................... Équations de l’énergie.................................................................................

— — — — — — —

6 6 7 7 7 7 7

5. 5.1 5.2 5.3

Équations complémentaires ................................................................. Conditions aux limites................................................................................. Relations thermodynamiques .................................................................... Lois rhéologiques ........................................................................................

— — — —

7 7 8 8

6. 6.1 6.2

Lois phénoménologiques ....................................................................... Dilatation, granularité, coalescence ........................................................... Transferts de masse, de quantité de mouvement et d’énergie entre phases........................................................................................................... Transferts externes ......................................................................................

— —

8 8

— —

9 9

Références bibliographiques .........................................................................

—

11

5 - 1982

6.3

Formulaire ...........................................................................................................

Form. A 721

e présent article donne les définitions et les théorèmes de base nécessaires au traitement des différents problèmes d’écoulements diphasiques. Le formalisme utilisé nécessite, pour sa compréhension, les notions exposées dans l’article Mécanique des fluides [A 1 870] de ce traité. Le lecteur trouvera des applications aux cas d’un mélange gaz-liquide et d’un mélange fluide-solide (suspension) dans les articles qui suivent.

A 720

L

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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________

1. Principes de base 1.1 Écoulements polyphasiques et systèmes industriels Dans de nombreuses situations industrielles, on est amené à véhiculer des mélanges de plusieurs fluides ou de fluides et de solides, dans des proportions extrêmement variées, ou encore un constituant présent sous deux phases plus ou moins en équilibre thermodynamique. Des exemples courants sont : — les écoulements eau-vapeur (ébullition, condensation) en production d’énergie et propulsion ; — les mélanges d’hydrocarbures (extraction et transport du pétrole et du gaz naturel) ; — les fluides cryogéniques (fréon, hydrogène, hélium) ; — les mélanges solides-gaz (transport pneumatique) et liquide-solide (transport hydraulique).

1.2 Écoulements diphasiques et suspensions La complexité de ces systèmes est en général telle qu’il est impossible de les décrire dans le détail à l’aide des concepts de la mécanique des fluides habituelle (monophasique). Un formalisme approprié, décrit dans le présent article, permet alors une description globalisée, mais utilisant des grandeurs physiques accessibles. Même en se limitant au cas d’un mélange de deux phases, les phénomènes sont très complexes. Les écoulements d’un mélange gaz-liquide et ceux d’un mélange fluide-solide (suspension) sont décrits dans les articles spécialisés du présent traité. Divers noms ont été donnés à des mélanges particuliers, par exemple : — émulsion : mélange liquide-liquide finement divisé ; ce terme est parfois appliqué à un mélange gaz-liquide sous forme de très petites bulles très nombreuses ; — mousse : mélange gaz-liquide à très fort taux de gaz ; interfaces à géométrie polyédrique ; — brouillard, aérosol : suspension dans un gaz de très fines gouttelettes de liquide ; l’appellation dépend de la taille des particules ; — lit fluidisé : suspension de corps pulvérulents par un faible courant de gaz.

— un échange d’énergie entre phases, qui peut être accompagné d’échange de masse (réaction, changement d’état) ou non (transfert de chaleur) ; — un échange d’énergie entre l’extérieur et le système, qui peut provenir de la convection des effluents ou des déséquilibres entre le système et l’extérieur. Le transfert entre phases s’effectue à travers les interfaces : c’est en général le phénomène le plus difficile à analyser. Le transfert aux parois du système est un des résultats recherchés mais nécessite d’abord l’analyse du transfert entre phases. Le cas de deux fluides sert de modèle dans les articles suivants car c’est le cas le plus complexe.

2. Cinématique 2.1 Distribution des phases Avec les variables de Lagrange, dans des relations telles que r = G (a 0 , t ), la mécanique diphasique diffère très peu de la mécanique monophasique, à ceci près que l’interface séparant les deux phases peut être traversée par les particules matérielles ; la particule subit alors des discontinuités de propriétés physiques à l’instant de son passage à travers l’interface. Avec les variables d’Euler, on doit définir en premier lieu le domaine occupé par chaque phase par leur distribution eulérienne (figure 1) : χ 1 ( r, t ) = 1 ;

χ2 ( r , t ) = 0

si

χ1 ( r , t ) = 0 ;

χ2 ( r , t ) = 1

si

χ 1 et χ 2

si

non définis

i ( r , t ) > 0

    i ( r , t ) = 0  i ( r , t ) < 0

(1)

(la première distribution signifiant, par exemple, que le point de coordonnées r est dans la phase 1 à l’instant t ), avec

 i ( r, t ) = 0

(2)

équation de l’interface, choisie de telle sorte que  i ( r, t ) > 0 dans la phase 1 et < 0 dans la phase 2. On a alors : (3) χ 1 + χ 2 = 1 si  i ( r, t ) ≠ 0

2.2 Distribution de l’interface 1.3 Phénomènes de transfert Il peut exister des systèmes diphasiques en équilibre (par exemple : superposition de deux fluides de densités différentes au repos) mais la plupart du temps, il y a mouvement et transfert entre phases et entre les phases et l’extérieur du système. On constate en général : — un échange de masse entre l’extérieur et le système : c’est le plus souvent le but recherché ou le résultat des forces appliquées ; — un échange de masse entre phases provenant d’un déséquilibre chimique ou thermique entre les phases ; cet échange peut ne pas avoir lieu et ne pas être recherché ; en génie chimique, il est le but essentiel du processus ; — un échange de quantité de mouvement avec l’extérieur, pouvant s’accompagner d’échange d’énergie (propulsion ou non des effluents, efforts sur les parois du système) ; — un échange de quantité de mouvement entre phases, dû à leur différence de densité ; cet échange est lié au glissement entre phases qui est une notion essentielle de la mécanique diphasique ;

On conservera le nom d’interface même lorsque celle-ci est divisée en plusieurs éléments. L’équation (2), qui est une représentation lagrangienne de l’interface, peut se mettre sous la forme paramétrique : r = S (a, t ) ;

a = (a1 , a 2 , a 3)

Figure 1 – Distribution des phases

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L’élimination des paramètres a1 , a 2 , a 3 de ces équations redonne (2). Dans le cas où l’interface est également une surface matérielle, a peut être identifié aux coordonnées initiales des particules. Pour obtenir une forme eulérienne de (2), on introduit une distribution de Dirac δi sur l’interface, c’est-à-dire une masse uniforme de densité 1 sur l’interface i . Si l’on cherche à visualiser l’interface comme une pellicule d’épaisseur finie infime ε, δi est alors une densité égale à 1/ε dans toute la pellicule et à 0 hors de celle-ci. En fait, δi est la limite de la distribution définie ci-dessus lorsque ε → 0, soit : δi (r, t ) = ∞ si  i ( r, t ) = 0 (le point de coordonnées r est sur l’interface à l’instant t ) ; δi (r, t ) = 0 si  i ( r, t ) ≠ 0 . La propriété fondamentale de δi est de transformer les intégrales de volume en intégrales de surface sur i selon le théorème :





f δ i d =



i ∩ 

(4)

f d

On ne peut définir la vitesse d’une surface géométrique, mais on peut définir sa vitesse normale : ∂ i v i ⋅ n = – -----------  grad  i ∂t

(5)

Comme grad  i est normal à  i , cela entraîne aussi, quelle que soit la définition utilisée pour la vitesse tangentielle d’interface : ∂ ----------i- + v i ⋅ grad  i = 0 ∂t

(6)

On peut alors utiliser les définitions de χk et δi pour obtenir les théorèmes fondamentaux : ∂χ k ---------- + v i ⋅ grad χ k = 0 ∂t

( k = 1, 2 )

(7)

∂δ ---------i + v i ⋅ grad δ i = 0 ∂t

(8)

avec

f et [T ] n n

respectivement fonction et tenseur quelconques, normale à  , normale à  dans le plan tangent à  ,

1 1 -------- + -------- (que l’on pose parfois égal à 2 ) double de la  1  2 courbure moyenne de la surface  . Notons que l’on a également :



1 1 divn = – -------- + -------1 2

Ces dernières équations expriment sous forme eulérienne l’identité de l’interface. Ce sont les équations eulériennes de conservation géométrique.



(11)

 1 et  2 sont comptés algébriquement le long de n , vers le centre de courbure (respectivement C 1 ou C 2). Les opérateurs grad et Div des équations (9) et (10) sont des opérateurs surfaciques, par exemple : 1 ∂ 1 ∂ grad = e 1 -------- ----------- + e 2 -------- ----------h 1 ∂x 1 h 2 ∂x 2 avec

e 1 et e 2 vecteurs unitaires tangents à la surface  ,

h 1 et h 2 longueurs des arcs unitaires dans le système de coordonnées curvilignes orthogonal (x 1 , x 2) choisi sur  . Cependant, si les quantités f et [T ] sont des grandeurs surfaciques, c’est-à-dire ne dépendant que de x 1 et x 2 , on a identiquement ∂f / ∂x 3 = ∂f /∂n = 0, ainsi que pour les composantes de [T ]. Dans ce cas, on peut confondre les opérateurs surfaciques avec les opérateurs tridimensionnels usuels. La signification du second membre de (10) est plus claire si l’on remarque que, pour une quantité surfacique F : divF – F · n divn = div[F – n (F · n)] + n · grad (F · n) = divF t avec F t composante tangentielle de F. À l’aide de (9), la règle de Leibniz devient, pour un élément de surface : d -------dt





f d =





∂f ------- d + ∂t





f v  ⋅ n  d –

Pour cela, il suffit de remarquer que l’on peut écrire χ 1 = H [  i ( r, t ) ] où H est la distribution d’Heaviside égale à 0 si l’argument est négatif et à 1 si l’argument est positif ; sa dérivée est dH /dx = δ où δ est une distribution de Dirac à l’origine. En dérivant χ1 , en prenant son gradient et en utilisant (6), on obtient (7).

ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES







1 1 f v  ⋅ n -------- + -------- d   1 2

(12)

v  ⋅ n  vitesse normale de la courbe  , vitesse normale de la surface  . v ⋅ n Lorsque la courbe  est une courbe matérielle, il y a avantage à définir une vitesse d’interface v i par : avec

v i = (v i · n)n + v t

(13)

en prenant pour v t la vitesse matérielle tangentielle, ce qui assure que v  , v  et v i sont identifiables dans les calculs.

2.3 Équation de transport d’une grandeur interfaciale Les théorèmes de Gauss et d’Ostrogradski sont applicables à une surface gauche  limitée par une courbe  (figure 2) sous les formes suivantes :









f n  d =

[ T ] ⋅ n  d =











1 1 grad f + f n -------- + -------1 2





(9)

d

1 1 Div [ T ] + [ T ] ⋅ n -------- + -------1 2



d

(10) Figure 2 – Coordonnées interfaciales. Courbure

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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________

2.4 Moyennes statistiques La moyenne statistique f d’une grandeur f est, par définition : 1 f = -----N

N

Le même procédé peut être utilisé pour définir une moyenne spatiale. Pour un volume diphasique, on notera les moyennes phasiques spatiales :

∑ fj

j=1

où l’indice j se réfère à N réalisations indépendantes du phénomène avec des conditions aux limites identiques. Dans le cas d’écoulements stationnaires, la moyenne f est identique à la moyenne temporelle. Les moyennes des distributions élémentaires sont particulièrement importantes et notées : α1 = χ 1 ,

α2 = χ 2 ,

αi = δ i

(14)

α1 + α2 = 1

avec

2.5 Moyennes volumiques. Moyennes sur une variété

(15)

     (20) f1 d  f2 d  f d   1 2 i i  f 1  = -------------------------- ,  f 2  = -------------------------- ,  f i  = -----------------------   1 2 i 



α 2 = N 2 /N ,

= 1 f 1 = --------N1 ou encore

∑ f1j ,

j=1

f1

= 1 f 2 = --------N2

 R i = ------i





 1 et  2 volumes des phases 1 et 2, aire d’interface contenue dans  . i On a aussi la moyenne diphasique :



f d  < f > = R 1  f 1  + R 2  f 2  + R i  f i  = ---------------------

(21)

N→∞



et les moyennes phasiques dans les phases 1 et 2 : N1

2 R 2 = --------- , 

avec

Les moyennes des grandeurs extensives (volumiques pour une phase et surfaciques pour l’interface) sont également importantes. Cependant, ce que l’on mesure couramment, ce sont des moyennes phasiques, moyennes sur le seul nombre de réalisations où la phase considérée est présente au point de référence. Si, sur N réalisations, on en a N1 où la phase 1 est présente et N 2 = N – N1 où la phase 2 est présente, on aura : α1 = N1 /N,

1 R 1 = --------, 

N2

∑ f2j ,

N→∞

j=1

= = = α 1 f 1 et f 2 = α 2 f 2

      

(16)

Le nombre de réalisations où le point de référence est sur l’interface est un infiniment petit par rapport à N mais, pondérées par δi qui est infiniment grand, les moyennes surfaciques gardent un sens et l’on peut définir une moyenne interfaciale par : = f i δi f i δi - = -----------f i = -----------αi δi

(17)

Pour toute grandeur définie dans chaque phase par les fonctions f1 et f2 (volumiques) et sur l’interface par f i (surfacique), on peut alors définir en tout point une grandeur diphasique par : f = f1 χ 1 + f2 χ 2 + fi δ i

1 Remarque : la notation < > = -----n’est pas ambiguë, de   même que les moyennes phasiques volumiques. En cas de besoin, on utilisera des indices pour d’autres éléments d’intégration. On peut remarquer que R1 = < χ1 >, R2 = < χ2 > et R i = < δ i >, donc que < f > est bien la moyenne de (18), puisque grâce à (4) et (20) : < f > = < f1 χ1 + f2 χ2 + fi δi > = R1  f1  + R2  f2  + Ri  fi  R i = < δ i > est l’aire interfaciale volumique, grandeur importante dans les échanges interfaciaux. On a des formules équivalentes pour des moyennes sur une surface ou sur une courbe contenues dans le domaine diphasique, mais les définitions de R i sont plus complexes. Il vaudra mieux utiliser (21) dans tous les cas en faisant tendre le volume  vers une surface ou une courbe. On peut aussi s’aider de :

(18)

et sa moyenne, à l’aide de (16) et (17), par : = = = f = α1 f1 + α2 f2 + αi fi

 



(19)

La figure 3 donne une image de ces définitions. Le sens des moyennes d’interface apparaîtra plus clairement dans le paragraphe 2.5.

et



f δ i d =



f δ i d =

∑ ----------------------n ⋅ n



d f --------------------- (figure 4a) n ⋅ n fp

p

p

(figure 4b)

i

On désigne par ρ1 , ρ2 les masses volumiques des phases et par ρi la masse surfacique de l’interface. Les grandeurs extensives f1 , f2 , f i peuvent alors s’exprimer en fonction des grandeurs massiques ψ1 , ψ2 , ψi par : f1 = ρ 1 ψ 1 ,

f2 = ρ 2 ψ 2 ,

f i = ρi ψi

On remarque que, cette fois, ψi est de même nature et a les mêmes dimensions (grandeur par unité de masse) que ψ1 et ψ2 .

Figure 3 – Définition des moyennes phasiques dans le cas d’un écoulement stationnaire

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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES

2.7 Transformation des dérivées surfaciques Afin de simplifier l’écriture de certaines relations et de mettre en évidence les termes de transfert interfaciaux, il nous faut les théorèmes suivants : 1 1 Div ( [ T i ]δ i ) = δ i Div [ T i ] + [ T i ] ⋅ n --------- + --------1 2



1 1 grad ( f i δ i ) = δ i grad f i + f i n --------- + --------1 2







(27)

(28)

La démonstration de ces formules est faite dans la référence bibliographique [1].

3. Théorèmes de conservation 3.1 Équations locales de conservation La loi de conservation d’une grandeur volumique f s’écrit : d -------dt





f d =





[ T ] ⋅ n d +





Q d

(29)

 volume matériel limité par la surface  , [T ] densité de flux de la quantité f, Q source volumique de cette même quantité f. À présent, f, [T ] et Q sont des grandeurs diphasiques parfaitement définies par (18), d’où :

avec

d -------dt

Figure 4 – Définitions pour les intersections d’une interface  i avec des surfaces et des courbes





( f 1 χ 1 + f 2 χ 2 + f i δ i )d =





2.6 Doubles moyennes + On ne peut pas composer les moyennes spatiales et les moyennes statistiques pour les grandeurs phasiques telles que f k , f i , etc. C’est par contre possible pour des distributions définies partout telles que f1 χ1, fi δi , ou f1 χ1 + f2 χ2 + fi δi . On obtient alors par un calcul simple : = < f 1 χ 1 > = < f 1 χ 1 > ou R 1  f 1  = < α 1 f 1 >

(22)

= < f i δ i > = < f i δ i > ou R i  f i  = < α i f i >

(23)

(30)

( [ T 1 ] χ 1 + [ T 2 ] χ 2 + [ T i ] δ i ) ⋅ nd





( Q 1 χ 1 + Q 2 χ 2 + Q i δ i ) d

On transforme facilement les intégrales de surface par le théorème de Gauss, les intégrales sur δi par les théorèmes (4), (27) et (28) ; on utilise aussi la règle de Leibnitz volumique et (12) et, en remarquant que les distributions χk sont quelconques, on obtient la loi de conservation volumique locale usuelle : ∂f k --------+ div f k v k = div [ T k ] + Q k ∂t

( k = 1, 2 )

(31)

et son équivalent surfacique :

et, si f est donné par (18) : =

(24)

= En général on n’a pas  f 1  = < f 1 > . En turbulence, on est amené à calculer des moyennes phasiques, = = ρ 1 v 1 ou ρ 1 v 1 ⊗ v 1 identiques aux moyennes

produits du type

statistiques utilisées en mécanique monophasique. Il est alors avantageux d’employer des moyennes massiques, notées : = ρ1 v1  v 1 = --------------, = ρ1

~ v ⊗v 1

1

= ρ1 v1 ⊗ v1 = ---------------------------= ρ1

(25)

et les fluctuations v 1′ définies par : =  v 1 = v 1 + v 1′ ; ρ 1 v 1′ = 0

(26)

∂f f 1 ( v i – v 1 ) ⋅ n 1 + f 2 ( v i – v 2 ) ⋅ n 2 + --------i + div f i v i ∂t 1 1 = – [ T 1 ] ⋅ n 1 – [ T 2 ] ⋅ n 2 + div [ T i ] + [ T i ] ⋅ n --------- + --------- + Q i 1 2





(32)

Il n’y a pas d’ambiguïté sur vi qui n’intervient, en fait, que par sa composante normale. Les opérateurs div sont des opérateurs surfaciques dans (32) comme au paragraphe 2.3. En ne développant qu’une partie des termes de (30), on obtient deux autres formes des équations locales de conservation : — l’équation diphasique de conservation : ∂ ------- ( f 1 χ 1 + f 2 χ 2 ) + div ( f 1 v 1 χ 1 + f 2 v 2 χ 2 ) ∂t – div ( [ T 1 ] χ 1 + [ T 2 ] χ 2 ) – Q 1 χ 1 – Q 2 χ 2

(33)

∂f 1 1 = – --------i + div f i v i – div [ T i ] – [ T i ] ⋅ n --------- + --------- – Q i δ i ∂t 1 2



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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________

— l’équation phasique de conservation : ∂ ------- f k χ k + div f k χ k v k – div [ T k ] χ k – Q k χ k ∂t (34) = [ f k ( v i – v k ) ⋅ n k + [ T k ] ⋅ n k ]δ i Dans les équations (33) et (34), le second membre définit les sources interfaciales respectivement diphasique et phasique de la quantité f . Ces sources sont les quantités qui assurent le transfert entre phases et jouent un rôle essentiel dans la mécanique diphasique.

3.2 Équations volumiques de conservation En intégrant les équations locales (33) et (34) sur un volume fixe 0 , on obtient la forme volumique des théorèmes de conservation (l’indice 0 indiquant des quantités fixes) : — équation diphasique :

  

d -------dt = +

0

( f 1 χ 1 + f 2 χ 2 )d +





0

~

( Q 1 χ 1 + Q 2 χ 2 )d

(35)





— équation phasique : d -------dt



f 0 k

χ k d + = +

  

f 0 k 0

Le tableau 1 de [Form. A 721] résume les définitions utilisées. Le tableau 2 de [Form. A 721] donne les lois de conservation locales, pour chaque phase, pour la masse, la quantité de mouvement, l’énergie cinétique et l’énergie totale (1er principe) sous la forme enthalpie et sous la forme entropie. Ces équations expriment les lois classiques des milieux fluides continus monophasiques. On y trouve également les lois de conservation interfaciales de la masse, de la quantité de mouvement, de l’énergie (1er principe) et de la croissance de l’entropie (2e principe). Dans les tableaux 3 et 4 de [Form. A 721], on a les théorèmes de conservation de la masse et de la quantité de mouvement sous les formes statistiques locale et volumique. La turbulence a été mise en évidence par les contraintes de Reynolds : = = [  k′ ] = – ρ k [ v k′ ⊗ v k′ ] = – ρ k [ v k′ ⊗ v k′ ]

∂f 1 1 – --------i – div f i v i + div [ T i ] + [ T i ] ⋅ n --------- + --------- + Q i d ∂t 1 2

i ∩ 0

On a regroupé dans [Form. A 721] les lois les plus usuelles de conservation diphasiques pour le cas d’un mélange gaz-liquide, ceci afin de mettre en évidence certaines lois d’état que l’on verra au paragraphe 5.

( f 1 v 1 χ 1 + f 2 v 2 χ 2 ) ⋅ n d

0

( [ T 1 ] χ 1 + [ T 2 ] χ 2 ) ⋅ n d +

0

4. Lois de conservation usuelles

v k χ k ⋅ n d

[ T k ] χ k ⋅ n d +

i ∩ 0



0

Q k χ k d

Enfin, le tableau 5 de [Form. A 721] donne les équations phasiques de conservation de l’énergie mécanique pour l’ensemble du fluide, puis pour le mouvement moyen (l’équation de conservation de l’énergie turbulente est alors déduite de l’équation du mouvement d’ensemble). Cette dernière est semblable à l’équation de conservation de l’énergie mécanique pour un écoulement laminaire avec en sus :  = — le travail des contraintes de Reynolds : v k ⋅ [ ′k ] ; — la production d’énergie turbulente :

(36)

 fk ( vi – vk ) ⋅ nk + [ Tk ] ⋅ nk  d

(39)

= =   k = [ ′k ] : [ Grad v k ]

(40)

La variété des théorèmes de l’énergie totale est telle qu’il est impossible de les citer tous ou de faire un choix. Les équations indiquées dans les tableaux peuvent servir de base au développement de théorèmes particuliers à chaque situation.

3.3 Moyennes statistiques On peut moyenner statistiquement les équations précédentes puisque, pour une distribution, dérivation et sommation commutent (cela n’est pas vrai pour une fonction continue par morceaux, non définie partout). On obtient alors, par exemple, pour une équation phasique locale : = = = = ∂ ------- α k f k + div α k f k v k – div α k [ T k ] – α k Q k ∂t

4.1 Simplifications courantes ■ ρi = 0

: il faut prendre garde toutefois que les produits ρi e i et ρi s i , qui sont des grandeurs surfaciques, restent finis.

■ [ i ] = 0

: les contraintes visqueuses interfaciales ne semblent jouer un rôle que lors des coalescences, des ruptures de jets et des phénomènes de films minces.

■ λi = 0

: on peut négliger la conduction thermique interfaciale.

■ grad σ = 0

: on néglige l’effet Marangoni (celui-ci intervient surtout lors des coalescences).

(37)

= αi  fk ( vi – vk ) ⋅ nk + [ Tk ] ⋅ nk  et, pour une équation phasique volumique : d -------dt



0

= α k f k d +

+



0

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0

= α k f k v k ⋅ n d =

= α k Q k d +



0



0

= α k [ T k ] ⋅ n d

α i  f k ( v i – v k ) ⋅ n k + [ T k ] ⋅ n k  d

(38)

= = ■ p G ≈ p L ≈ p : la différence des pressions phasiques est faible. = ■ σ αi  p : cela revient à négliger les termes interfaciaux dans les bilans diphasiques de quantité de mouvement.

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4.2 Cas particuliers

ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES

Si de plus l’écoulement est stationnaire, l’énergie turbulente est constante et : = = (47)  k = Φ′k

4.2.1 Écoulements laminaires Dans ce cas, les termes turbulents sont nuls, en particulier les contraintes de Reynolds. Il peut se produire que l’écoulement soit laminaire dans une phase et turbulent dans l’autre. Dans le cas d’écoulements finement dispersés, les mouvements dans la phase dispersée (repérée par l’indice d ) sont quasiment nuls : on a alors [  d ] ≈ 0 , mais l’intégrale des contraintes sur l’interface garde une valeur finie non nulle.

ce qui montre que le puits d’énergie est égal à la somme de la dissipation moyenne et de la dissipation turbulente.

5. Équations complémentaires L’ensemble des équations de bilan est insuffisant pour résoudre un problème diphasique. D’autres relations provenant de la physique ou de l’expérience sont nécessaires.

4.2.2 Écoulements sans transfert de masse En l’absence d’échange moléculaire entre phases, on a : = ρ k ( v k – v i ) ⋅ n k = 0 et donc m˙ k = 0 = Les termes proportionnels à m˙ k (donc aussi à m˙ k ) dans les bilans interfaciaux de quantité de mouvement et d’énergie disparaissent simultanément.

5.1 Conditions aux limites Compte tenu du paragraphe 4.1 (ρi = 0), la conservation de la masse à l’interface s’écrit sous la forme simplifiée : m˙ 1 + m˙ 2 = 0

4.2.3 Écoulements dispersés = L’expression α i f˙k du terme de transfert de quantité de mouvement entre phases n’est pas facile à utiliser dans le cas des écoulements dispersés. Il vaut mieux introduire la force Fp exercée par la phase continue (repérée par l’indice c ) sur une particule : Fp = –



p

(41)

[ Tc ] ⋅ nc d 

En l’absence de transfert de masse entre phases, on a séparément : m˙ 1 = 0

et

m˙ 2 = 0



p

1 1 grad σ + σ n --------- + --------1 2





d

(49)

La relation f˙1 + f˙2 = f˙i s’écrit, toujours dans le cas où ρi = 0 : m˙ 1 v 1 ⋅ n 1 + m˙ 2 v 2 ⋅ n 2 + p 1 – p 2 – τ 1 nn + τ 2 nn (50) 1 1 = σ --------- + --------- + τ i nn 1 2



et la force interfaciale Fi : Fi =

(48)



 1t –  2t = grad σ +  it + m˙ 1 v 1t + m˙ 2 v 2t

(42)

(51)

Fc = – F p

(43)

où l’on a, pour simplifier l’écriture, rassemblé les forces visqueuses d’interface dans le tenseur [  i ] . L’indice t désigne les composantes tangentielles :

Fd = F p + F i

(44)

T t = [ T ] · n – n (n · [ T ] · n )

On a alors :

et l’indice nn les composantes normales :

et les identités : = = α i f˙c = n F c = = α i f˙d = n F d = = α i f˙i = n F i

      

Tnn = n · [T ] · n Compte tenu de (48), on peut encore écrire : (45)

où n est le nombre de particules par unité de volume.

4.3 Équations de l’énergie On remarque que les contraintes de Reynolds sont nulles sur la paroi. La puissance des contraintes visqueuses n’est non nulle que sur les surfaces mobiles éventuellement présentes (pompes, turbines, agitateurs). Le terme de production d’énergie turbulente est parfois difficile à évaluer ; si l’on suppose que la turbulence est localement homogène, on a : = = ∂ 1=   k = ------- ----- ρ k v k′ 2 + Φ′k (46) ∂t 2 = où Φ′k est la dissipation turbulente volumique.

1 1 2 1 1 m˙ 1 ------- – ------- + p 1 – p 2 – τ 1nn + τ 2nn = σ --------- + --------- + τ i nn (52) ρ1 ρ2 1 2









et, en anticipant sur la continuité des vitesses tangentielles :  1t –  2t = grad σ +  it

(53)

Dans (52), les termes de transfert de masse et les contraintes normales sont en général faibles devant les termes de pression, ce qui généralise la loi de Laplace : 1 1 p 1 – p 2 = σ --------- + --------1 2





(54)

(les courbures étant comptées algébriquement dans le sens n2) au cas dynamique lorsque la contrainte visqueuse interfaciale normale est peu importante, ce qui est le cas dans les fluides ordinaires. De la même façon, en l’absence d’effet Marangoni et de viscosité interfaciale, on obtient la continuité des contraintes tangentielles :  1t –  2t = 0

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(55)

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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________

Les termes omis dans les équations (54) et (55) ne peuvent plus être négligés lors des coalescences, des ruptures de jets ou lorsque des substances tensio-actives (surfactants) créent des viscosités interfaciales considérables. En postulant que les sources d’entropie interfaciales sont nulles (principe de réversibilité des transferts aux interfaces), on trouve : v1t = v2t = vit

(56)

ce qui permet de définir la vitesse d’interface sans ambiguïté par (13) : vi = (vi · n)n + vit puis les températures : T 1 = T2 = T i

(57)

et enfin : m˙ 1

e

1

p1 v1 – vi 2 + ------- – T 1 s 1 + ------------------------- – τ 1nn ρ1 2



p2 v2 – vi 2 – e 2 + ------- – T 2 s 2 + ------------------------- – τ 2 nn ρ2 2



 = 0

d’où l’on tire : — soit m˙ 1 = 0 , qui est la condition de non transfert de masse ; — soit, en introduisant les énergies libres diphasiques g k : 2 2 m˙ 2 m˙ 1 - – τ 1nn = g 2 + ---------- – τ 2nn g 1 + ---------2 2 ρ1 ρ2

(58)

qui, dans la plupart des cas, peut également s’écrire sous la forme simplifiée : g 1 ( p 1 , T 1 ) = g 2 ( p 2 , T 2 ) ; m˙ 1 ≠ 0 ; T 1 = T 2 = T i

(59)

Exemple : sur la courbe de saturation, on a : ps = ps (T )

Comme dg k = ( dp k /ρ k ) T à la température d’interface, on trouve k

pour un mélange liquide-vapeur à fort contraste de densité (c’est-à-dire loin du point critique) : pG = ps ( Ti )



1 1 p L = p s ( T i ) – σ --------- + --------1 2

Les contraintes visqueuses et turbulentes doivent être liées aux autres variables par des lois d’origine expérimentale. Dans le cas des fluides newtoniens, les lois de contraintes visqueuses usuelles s’appliquent (proportionnalité entre contraintes et déformations). Dans le cas contraire, les lois rhéologiques appropriées doivent être utilisées (article Fluides non newtoniens [A 710] dans le présent traité). En ce qui concerne les contraintes turbulentes, on en sait trop peu actuellement pour les exprimer directement, ce qui amène à traiter les problèmes diphasiques par des méthodes intégrales où seules les contraintes pariétales apparaissent : elles sont évaluées par référence à des expériences convenables. En ce qui concerne les contraintes interfaciales, la situation est très complexe : la turbulence d’une des phases entraîne la turbulence = = d’interface et l’on ne sait pas exprimer [ ρ i v i ⊗ v i ] ni [  i ] en fonction des autres variables du système. Dans le cas où le mouvement à l’interface est laminaire, on introduit deux coefficients de viscosité interfaciale, l’un pour les effets du cisaillement et l’autre pour les effets de dilatation surfacique.

6. Lois phénoménologiques Lorsqu’on étudie un système diphasique dans le détail, à l’aide des équations locales et des conditions aux limites, le système d’équations est complet et les transferts interfaciaux sont solutions du problème. Dans le cas où l’on étudie le système globalement, à l’aide des équations statistiques moyennées, les termes de transfert doivent être donnés a priori. Ces relations complémentaires doivent être obtenues par l’évaluation des grandeurs suivantes : = vi ⋅ nk dilatation, 1 1 v i ⋅ n k --------- + --------1 2 = m˙



g1 (ps , T ) = g 2 (ps , T )

et

5.3 Lois rhéologiques



    

(60)

i

= m˙ k = f˙i = f˙k e˙ i

e˙k

5.2 Relations thermodynamiques Les relations d’état des fluides et de l’interface : pk = pk (ρk ,Tk )



granularité, masse surfacique, transfert de masse entre phases, source d’impulsion interfaciale, friction interphases, source d’énergie interfaciale diphasique, source d’énergie interfaciale phasique,

ou de leurs équivalents intégrés sur un volume d’installation. C’est le problème le plus difficile à résoudre dans la prévision des écoulements diphasiques. Il n’y a, hélas, pas de méthode générale pour évaluer les termes inconnus des équations de bilans et l’on a recours à l’expérience pour clore le problème. On peut toutefois indiquer quelques lignes directrices assez générales.

σ = σ (Ti ) doivent être données, ainsi que les différents coefficients de transport (viscosités, conductibilités, etc.).

6.1 Dilatation, granularité, coalescence

Le cas le plus simple est celui d’un mélange isotherme de fluides isovolumes ; il suffit alors de se donner les valeurs constantes de ρ1 , ρ2 , σ, µ1 , µ2 . Si les variations de pression sont notables, on utilisera une équation d’état simplifiée pk (ρk ) pour le gaz.

Il existe quelques cas simples où la dimension des interfaces est connue d’avance (particules solides) ou dépend uniquement des conditions aux limites (injection de bulles ou de gouttes dans un milieu assez dilué ). En dehors de ces cas, on devra évaluer les variations de taux de présence par analyse de la dilatation, le plus souvent due à l’accélération du mélange.

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La granularité dépend, après oubli des conditions de mélange, d’un équilibre entre l’écoulement dans la phase continue et les forces de cohésion interfaciale, le plus souvent d’une interaction turbulence-déformation. Des critères de stabilité sont alors utilisés pour évaluer les distributions statistiques des dimensions de la phase dispersée. Dans le cas d’interfaces peu courbées (écoulements stratifiés ou annulaires), il s’agit de prédire les ondulations de surface par analyse de l’interaction écoulement-interface. Souvent, la pesanteur joue un rôle dans ce phénomène. La coalescence est un phénomène complexe qui met en jeu les contraintes surfaciques et les interactions moléculaires dans les collisions entre particules. Les lois en sont mal connues et son incidence sur les écoulements doit être prise en compte empiriquement.

ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES

L’échange de masse est le plus souvent le débit de chaque phase à travers les sections d’entrée et de sortie de l’installation ; on définit alors le débit de masse qk : qk =



Se

=  = vk > α k ρ k v k ⋅ e d = S e < α k ρ k 

(63)

où la moyenne est effectuée sur la section d’entrée Se . = En général, on peut supposer ρ k constant dans la section et l’on écrit couramment : Qk  = < α k v k > vitesse débitante de la phase k U k = --------------= ρk Se

(64)

La covariance < αv > peut être évaluée en fonction des moyennes < α > et < v > par des mesures. L’échange de quantité de mouvement est plus complexe et conduit au résultat net d’une perte de pression. Signalons tout d’abord que la pression absolue n’intervient pas dans les équations de quantité de mouvement grâce à la combinaison :

6.2 Transferts de masse, de quantité de mouvement et d’énergie entre phases L’analyse détaillée du transfert de masse entre phases est trop longue pour être faite ici. Indiquons seulement qu’en règle générale, la phase vapeur est dans les conditions de saturation (60). Dans ce cas, on a un flux de masse proportionnel à la différence des = = températures moyennes T 1 – T 2 . Les coefficients de transfert sont très différents pour une bulle, une goutte ou une interface plane et on doit étudier séparément chaque cas. Le transfert de quantité de mouvement entre phases dépend largement de la configuration : écoulement stratifié ou annulaire, écoulement dispersé, écoulement à poches de gaz, etc. Il dépend aussi, pour les écoulements rapides, des phénomènes d’accélération, c’est-à-dire du gradient de pression moyenne. En l’absence de lois bien établies pour ce type de transfert, on utilise la notion dérivée de glissement : on remplace alors le système d’équations phasiques de conservation de la quantité de mouvement par l’équation diphasique et une relation de glissement locale :    v 12 = v 1 – v 2

(61)

   < v 12 > = < v 1 > – < v 2 >

(62)

ou globale :

Cette relation provient d’analogies avec des écoulements simples ou de mesures directes. Le transfert de chaleur entre phases suit une loi de proportionnalité = = en T 1 – T 2 avec un coefficient dépendant, ainsi que pour le transfert de masse, de la courbure de l’interface. En conséquence, chaque cas doit être étudié séparément. Enfin, pour tous ces transferts, les coefficients dépendent de l’état de turbulence des phases ainsi que les exemples choisis dans les articles d’application du présent traité le montrent.

6.3 Transferts externes Un système diphasique non statique échange toujours masse, quantité de mouvement, énergie avec le milieu extérieur.

grad p1 χ1 + p1 n1 δi = χ1 grad p1

(65)

En négligeant la source interfaciale, le bilan de quantité de mouvement s’écrit facilement pour un écoulement unidirectionnel de direction e dans une conduite de section constante : ∆ < p >S S ------------------------ ( 1 – m 2 ) = < ρ >  g ⋅ e + ------ < e ⋅ [  ] ⋅ n > S L 

(66)

∆ < p > S variation de pression entre deux sections distantes de L et de surface moyenne S. Évaluer < ρ >  revient à évaluer < αk >S dans chaque section à l’aide des équations de conservation de la masse et de la quantité de mouvement (ou de glissement). Le calcul de la moyenne des contraintes sur la surface S du système exige une analyse détaillée de l’écoulement. En général, la contrainte pariétale  k est proportionnelle à l’énergie cinétique moyenne : 1= 2 ----- ρ k  v k αk 2

avec

 2 est calculé extérieurement à la couche limite. Selon la où v k configuration d’écoulement, on aboutit à des lois plus ou moins complexes pour évaluer cette moyenne où intervient le taux de présence αk . L’intégrale du terme d’accélération est en général proportionnelle à la différence de pression, d’où la forme de l’expression (66), où les termes d’accélération valent – m 2 ∆ < p > S / L . m 2 est une fonction du taux de vapeur de la phase compressible, de la compressibilité (en général isotherme) du fluide et du glissement entre phases et joue le rôle d’un nombre de Mach. Il n’est négligeable, le plus souvent, que si les vitesses sont faibles, inférieures à quelques m/s. Pour une installation complexe, lorsque l’écoulement n’est plus unidirectionnel, il est recommandé d’utiliser le bilan d’énergie cinétique (c’est obligatoire lorsqu’il y a des surfaces mobiles susceptibles d’échanger du travail avec le fluide). Dans le cas d’un transfert de chaleur avec l’extérieur, il faut écrire le bilan d’enthalpie. Les couches limites au voisinage des parois sont assez souvent semblables aux couches limites monophasiques. On pourra donc appliquer les mêmes lois de transfert locales, une fois évalués les paramètres dynamiques, vitesse extérieure à la couche limite et frottement pariétal.

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ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES ____________________________________________________________________________________________________________

Notations et symboles

Notations et symboles

Symbole

Définition

Symbole

Définition

a = (a 1 , a 2 , a 3 )  k , i

coordonnées lagrangiennes courbe dissipation massique dans la phase k , à l’interface énergie massique de la phase k , de l’interface source d’énergie interfaciale relative à la phase k , diphasique vecteurs unitaires du repère orthogonal local vecteur unitaire axial d’une conduite fonction courante, représentant en général une grandeur volumique grandeur volumique relative à la phase k , grandeur surfacique source de quantité de mouvement interfaciale relative à la phase k , relative à l’interface forces agissant sur une particule accélération de la pesanteur énergie libre massique (fonction de Gibbs ) de la phase k enthalpie massique de la phase k , de l’interface distribution de Heaviside courbure moyenne de l’interface tenseur unité à deux ou trois dimensions unités de longueur des coordonnées locales x1, x2, x3 longueur d’une conduite nombre de Mach diphasique source de masse interfaciale relative à la phase k , à l’interface nombre de particules par unité de volume vecteur unitaire, normale à l’interface extérieure à la phase k vecteur unitaire normal à une courbe, à une surface nombre de réalisations indépendantes d’une expérience, numéro d’une des réalisations périmètre d’une conduite périmètre moyen phase k - paroi, périmètre moyen interfacial pression, pression dans la phase k pression de vapeur saturante production volumique d’énergie turbulente dans la phase k

Rk

taux de présence moyen volumique de la phase k aire interfaciale volumique rayons de courbure principaux d’une surface entropie massique de la phase k, de l’interface surface latérale d’une conduite, section d’une conduite vecteur définissant l’équation d’une surface tenseur des vitesses de déformation surface matérielle, surface fixe interface temps courant température absolue de la phase k, de l’interface tenseur flux d’une grandeur physique associée f dans la phase k, à l’interface tenseur des contraintes complet de la phase k, de l’interface vitesse débitante de la phase k vitesse locale de la phase k, de l’interface vitesse de glissement de la phase 1 par rapport à la phase 2 (moyenne massique)

ek , ei e˙k , e˙i e1, e2, e3 e f fk , fi f˙k , f˙i F g gk hk , hi H  [I] 1 , 2 , 3 L m m˙ k , m˙ i n n, n k n , n N, N j P P k , Pi p, pk ps = k Q Qk , Qi qk, q r

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source volumique d’une grandeur physique associée f source volumique de la phase k, source surfacique de l’interface débit massique de la phase k, rapport de débits rayon vecteur courant

Ri 1 , 2 sk , si S, S e S [Sk ] ,  0 i t Tk , Ti [T k ], [T i ] [T k ], [T i ] Uk vk , vi  v 12 ,  0 k x1, x2, x3 αk , αi β δ δi ∆ ε ψ ψk , ψi χk ηk λk , λ i µk πk ρk ρi σ [  k ], [  i ] [  k′ ]

volume matériel, volume fixe volume de la phase k coordonnées curvilignes orthogonales locales taux de présence local de phase k, d’interface angle d’une conduite avec l’horizontale, positif ascendant distribution de Dirac distribution de Dirac interfaciale différence globale infiniment petit potentiel des forces de gravité grandeur massique de la phase k, de l’interface distribution de présence de la phase k deuxième viscosité (dilatation) de la phase k diffusivité thermique de la phase k, de l’interface viscosité dynamique de la phase k potentiel de pression de la phase k masse volumique de la phase k masse surfacique de l’interface tension interfaciale tenseur des contraintes visqueuses de la phase k, de l’interface tenseur des contraintes turbulentes (contraintes de Reynolds) de la phase k

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Liste des Indices 0 1, 2 k i d, c G, L p j

ÉCOULEMENTS DIPHASIQUES

Opérateurs

indique un élément fixe phase 1, phase 2 phase k, k = 1, 2 interfacial phase dispersée, continue gaz, liquide particule numération d’une suite

grad [ Grad ] div Div . : ⊗ |

| – =

 < >   ’ t

gradient d’un scalaire tenseur gradient d’un vecteur divergence d’un vecteur divergence vectorielle d’un tenseur contraction sur un indice (produit scalaire) contraction sur deux indices (double produit scalaire) produit tensoriel de deux vecteurs module moyenne statistique moyenne statistique phasique (volumique ou surfacique) moyenne massique moyenne sur une variété (indiquée en indice), volume, surface, courbe moyenne phasique sur une variété, volume, surface, courbe fluctuation turbulente par rapport à la moyenne massique transposition d’un tenseur

Références bibliographiques [1] [2] [3] [4]

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