Dimensi Tiga Proyeksi Sudut

Dimensi Tiga

(Proyeksi

& Sudut)

1

Setelah menyaksikan tayangan ini anda dapat Menentukan proyeksi dan besar sudut dalam ruang dimensi tiga

2

Proyeksi Pada Bangun Ruang: proyeksi titik pada garis proyeksi titik pada bidang proyeksi garis pada bidang

3

Proyeksi titik pada garis P m

Dari titik P ditarik garis m⊥ garis k garis m memotong k di Q, titik Q adalah k hasil proyeksi Q titik P pada k 4

Contoh H

G

E

F D

A

T

C B

Diketahui kubus ABCD.EFGH Tentukan proyeksi titik A pada garis a. BC b.BD c. ET (T perpotongan AC dan BD). 5

Pembahasan

H

G

E

F

Proyeksi titik A pada a. BC adalah titik B (AB ⊥ BC)

A’ D A

C b.

T B

BD adalah titik T

(AC ⊥ BD)

c. ET adalah titik A’ (AC ⊥ ET)

6

Proyeksi Titik pada Bidang P g H

P’

Dari titik P di luar bidang H ditarik garis g ⊥ H. Garis g menembus bidang H di titik P’. Titik P’ adalah proyeksi titik P di bidang H 7

Contoh H E

G F

D A

B

Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Proyeksi titik E C pada bidang ABCD adalah…. b. Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah…. 8

G a.

H E

F

P D A

B

C b.

Pembahasan

Proyeksi titik E pada bidang ABCD adalah A

(EA ⊥ ABCD)

Proyeksi titik C pada bidang BDG adalah P CE ⊥ BDG 9

Proyeksi garis pada bidang A

H

A’

Proyeksi sebuah garis

B

g

g’

ke sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik yang terletak pada garis itu ke bidang.

B’ Jadi proyeksi garis g pada bidang H adalah g’

10

Fakta-fakta

1. Proyeksi garis pada bidang umumnya berupa garis 2. Jika garis h ⊥ β maka proyeksi garis h pada bidang β berupa titik. 3. Jika garis g // bidang β maka g’ yaitu proyeksi garis g padaβ dan sejajar garis g 11

Contoh 1 H

G

Diketahui kubus E F ABCD.EFGH a. Proyeksi garis EF D C pada bidang ABCD A adalah…. B b. Jika panjang rusuk kubus 6 cm, Panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah…. 12

Pembahasan H

G

a. Proyeksi garis EF E F pada bidang ABCD berarti menentukan D C proyeksi titik E dan F A B pada bidang ABCD, yaitu titik A dan B Jadi proyeksi EF pada ABCD adalah garis AB 13

Pembahasan

b. Proyeksi garis CG H G pada bidang BDG E F berarti menentukan P proyeksi titik C D C dan titik G A pada bidang BDG, B 6 cm yaitu titik P dan G Jadi proyeksi CG pada BDG adalah garis PG dan panjangnya? 14

H

G •Panjang proyeksi CG

E

pada BDG adalah panjang garis PG.

F D

P

C

•PG = ⅔.GR A B 6 cm = ⅔.½a√6 = ⅓a√6 = ⅓.6√6 •Jadi panjang proyeksi garis CG pada bidang BDG adalah 2√6 cm R

15

Contoh 2

18 cm

Diketahui limas T beraturanT.ABCD dengan panjang AB = 16 cm, TA = 18 cm D C Panjang proyeksi TA pada bidang ABCD A 16 cm B adalah….

16

Pembahasan

18 cm

Proyeksi TA T pada bidang ABCD adalah AT’. Panjang AT’= ½AC D C = ½.16√2 T’ A 16 cm B = 8√2 Jadi panjang proyeksi TA pada bidang ABCD adalah 8√2 cm 17

Sudut Pada Bangun Ruang: Sudut antara dua garis Sudut antara garis dan bidang Sudut antara bidang dan bidang

18

Sudut antara Dua Garis m

Yang dimaksud dengan besar sudut antara dua garis adalah k besar sudut terkecil yang dibentuk oleh kedua garis tersebut 19

Contoh H E

G F

D A

C B

Diketahui kubus ABCD.EFGH Besar sudut antara garis-garis: a. AB dengan BG b. AH dengan AF c. BE dengan DF 20

Pembahasan H E

F D

A

B

Besar sudut antara garis-garis: G a. AB dengan BG = 900 b. AH dengan AF C = 600 (∆ AFH smss) c. BE dengan DF = 900 (BE ⊥ DF) 21

P

Sudut antara Garis dan Bidang

Sudut antara garis a dan bidang β

dilambangkan (a,β )

adalah sudut antara V garis a dan P’ proyeksinya pada β . Sudut antara garis PQ dengan V = sudut antara PQ dengan P’Q = ∠ PQP’ Q

22

H

Contoh 1 G

Diketahui E F kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 6 cm. D C Gambarlah sudut A 6 cm B antara garis BG dengan ACGE, Kemudian hitunglah besar sudutnya! 23

Pembahasan

H

G

E

F D

A

K

6 cm

C B

Proyeksi garis BG pada bidang ACGE adalah garis KG (K = titik potong AC dan BD)

Jadi ∠ (BG,ACGE) = ∠ (BG,KG) = ∠ BGK 24

Pembahasan

H E

F D

A

BG = 6√2 cm BK = ½BD = ½.6√2 = 3√2 cm C ∆BKG siku-siku di K

G

K

6 cm

B

BK 3 2 1 = = BG 6 2 2

sin∠ BGK = Jadi, besar ∠ BGK = 300 25

Contoh 2

H

G

E

F D

A

C 8 cm

Diketahui kubus ABCD.EFGH panjang rusuk 8 cm.

B

Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah…. 26

H

Pembahasan

P

E

F D

A

G

8 cm

Q

C B

tan∠ (CG,AFH) = tan ∠ (PQ,AP) = tan ∠ APQ =

1 AC AQ 2 = GC PQ 1 2

.8 2 4 2 = 8 8

= Nilai tangens sudut antara garis CG dan bidang AFH adalah ½√2 27

T

Contoh 3

Pada limas a cm segiempat beraturan D C T.ABCD yang semua a cm A B rusuknya sama panjang, sudut antara TA dan bidang ABCD adalah…. 28

Pembahasan • TA = TB = a cm • AC = a√2 (diagonal

T a cm

D

A

persegi)

C a cm

B

• ∆TAC = ∆ siku-siku samakaki

sudut antara TA dan bidang ABCD adalah sudut antara TA dan AC yang besarnya 450 29

Sudut antara Bidang dan Bidang β ( α ,β ) α

h g

Sudut antara bidang α dan bidang β adalah sudut antara garis g dan h, dimana g ⊥ (α ,β ) dan h ⊥ (α ,β ).

(α ,β ) garis potong bidang α dan β 30

Contoh 1 H E

G F

D A

B

Diketahui kubus ABCD.EFGH a. Gambarlah sudut C antara bidang BDG dengan ABCD b. Tentukan nilai sinus sudut antara BDG dan ABCD! 31

Pembahasan

a. ∠ (BDG,ABCD) H G • garis potong BDG E F dan ABCD → BD • garis pada ABCD yang ⊥ BD → AC D C • garis pada BDG A P B yang ⊥ BD → GP Jadi ∠ (BDG,ABCD) = ∠ (GP,PC) =∠ GPC 32

Pembahasan

H E

F

1 2

D A

b. sin∠ (BDG,ABCD) G = sin ∠ GPC GC = GP a 6 6 x = = .6 a 6 6 C = ⅓√6

P

B

1 2

Jadi, sin∠ (BDG,ABCD) = ⅓√6 33

Contoh 2 T

9

Limas beraturan T.ABC, panjang rusuk alas 6 cm dan A C panjang rusuk tegak m c 9 cm. Nilai sinus sudut 6 B antara bidang TAB dengan bidang ABC adalah…. cm

34

Pembahasan T

9

•sin∠ (TAB,ABC) = sin∠ (TP,PC) = sin∠ TPC A C •TC = 9 cm, BP = 3 cm 2 2 m P c 6 − 3 •PC = 6 B = 27 = 3 3 cm 2 2 •PT = 9 − 3 = 72 = 6 3 cm cm

3

35

• Lihat ∆ TPC PT = 6√2, PC = 3√3

T

Aturan cosinus cm

6√2

9

A

3√3

P

B

TC2 = TP2 + PC2 – 2TP.TC.cos∠ TPC 81 = 72 + 27 – 2.6√2.3√3.cos∠ TPC

36√6.cos∠ TPC = 99 – 81 C 2 1 36√6.cos∠ TPC = 18 6 1 x cos∠ TPC = 2 6 6 =

6 12 36

• Lihat ∆ TPC cos∠ P =

144 - 6 = 138

12 √6

6 12

Maka diperoleh 138 Sin ∠ P = 12

P

Jadi sinus ∠ (TAB,ABC) =

138 12

37

Contoh 3

Diketahui kubus H G ABCD.EFGH, panE F jang rusuk 4 cm Titik P dan Q berturut-turut D C Q di tengah-tengah A B P AB dan AD. Sudut antara bidang FHQP dan bidang AFH adalah α . Nilai cosα =… 4 cm

38

Pembahasan

4 cm

H

K

E

F α

QD A L

M B P

• ∠ (FHQP,AFH) G = ∠ (KL,KA) = ∠ AKL = α • AK = ½a√6 = 2√6 • AL = LM = ¼ AC C = ¼a√2 = √2 2 2 • KL = KM + ML 2 4 + 2 = 18 = =3√2 39

Pembahasan

K

A

• AK = 2√6 , AL = √2 KL = 3√2

Aturan Cosinus: AL2 = AK2 + KL2 – 2AK.KLcosα α 2 = 24 + 18 – 2.2√6.3√2.cosα 24√3.cosα = 42 – 2 L M 24√3.cosα = 405 3 cosα = 9

Jadi nilai cosα =

5 9

3

40

SELAMAT BELAJAR

KEMBALI

41