Diffraction

Card # 54‐ Diffraction:       The term diffraction is applied to problems in which one is concerned with the resultant effect produced  by a limited portion of a wave surface. If only a part of the wave is cut off by some obstacle, the effects  are commonly called diffraction.   Diffraction  is  sometimes  defined  as  the  bending  of  light  around  the  obstacle  and  its  presence  in  the  region  of  geometrical  shadow.  If  the  size  of  the  obstacle  or  aperture  is  of  the  order  of  wavelength  of  light to be diffracted, the light deviates from its rectilinear path at the corners of the obstacle and the  diffraction pattern is obtained due to mutual interference of secondary wave front.     Diffraction of light at a narrow slit: Experimental arrangement:

  In  the  figure  given  below  S  is  a  monochromatic  source  of  light  emitting  light  of  wavelength  λ.  It  has  been kept at the first  focus  of  the  convergent  lens  L1,  so the light falling on  it  may  emerge  out  parallel.  AB  is  a  thin  slit of width d. Let at    any  time  t,  a  plane  wave  front  WW’  is  striking  the  slit  AB  and  from  the  every  point  of  the  wave  front  WW’  secondary  wavelets  are  being  emitted.  All  the  wavelets  which  does  not  undergo  any  deviation  in  their  path  are  getting  focused  at  point S’ on the screen and the wavelets which are diffracted by an angle θ gets focused at point P with  the help of a convex lens L2.For the point S’ optical path lengths for the wavelets is the same hence the  intensity  of  light  is  maximum.  So,  central  bright  fringe  is  obtained  at  S’  .For  the  point  P  the  wavelets  reaching out from B to P will travel more optical path length as compared to AP, by an amount BM i.e.  Path difference between the wavelets = ∆ = BM     In right angle ∆BMA, sin θ = BM/AB  but AB = d hence ∆ = BM = dsinθ.  Phase difference = 2π/λ × Path diff. = (2π/λ) × d sinθ   Case1-Position of 1st secondary minima:  If the position of the point P is so chosen that the path difference is ∆ = BM = d sinθ = λ   But, angle θ is very small, hence sinθ = θ   

    ∆ = BM = dθ = λ or   θ = λ/d and PS’ = x1 then θ = λ/d = x1/D   Position for first secondary minima = x1 = (Dλ)/d   Similarly if BM = 2λ = dsinθ, x2 = 2λD/d           Position for second secondary minima = x2 = (2Dλ)/d  In general position for nth secondary minima = xn = (nλD)/d.  Case2‐Position of 1st secondary maxima:  If the position of the point P is so chosen that the path difference is  ∆ = BM = d sinθ = 3λ/2 but, angle θ  is very small hence sinθ = θ 

   ∆ = BM = dθ = 3λ/2 or  θ = 3λ/2d and PS’ = x1 then     Ѳ = 3λ/2d = x1/D   Therefore the position for first secondary maxima = x1 = (3λD)/2d  Similarly if BM = 5λ/2 =dsinθ, x2 = 5λD/2d             Therefore the position for second secondary minima = x2 = (5λD)/2d  In general position for nth secondary minima = xn = (2n+1) λD)/2d.  Width of central maxima = The distance between the first secondary minimum We know the distance of first secondary minima from the center of the screen i.e. x1 = λD/d thus the width of central maxima = β0 = 2x1= 2λD/d

Width of secondary maxima = distance between nth and (n-1)th minima.

                                        β1 = xn – xn‐1 = nλD/d – [(n‐1) λD]/d  = λD/d   

Width of secondary minima = distance between nth and (n-1)th maxima.                                       β2= xn – xn‐1 = [(2n+1) λD]/2d – [{2(n‐1) +1} λD]/2d = λD/d