Diffraction Grating.pdf

C´alculo de la constante de Hubble mediante el efecto Doppler Pablo Echegoyen Ruiz Universidad de Cantabria 17 de noviembre de 2018

Resumen

Se ha obtenido experimentalmente, mediante el simulador venus, la constante de Hubble H0 y la edad del universo E midiendo la velocidad y distancia de 13 galaxias externas al Grupo Local. La velocidad de las galaxias se ha obtenido estudiando el corrimiento al rojo de las l´ıneas H y K del calcio en el espectro de emisi´ on de cada galaxia, y la distancia se ha obtenido midiendo la magnitud aparente m de cada galaxia. El valor obtenido para la constante de Hubble ha sido H0 = 65 ± 4km s−1 MPc−1 y una edad del universo de E = (1,39 ± 0,04) · 1010 a˜ nos

1.

Introducci´ on

siendo ∆λ la diferencia entre la longitud de onda recibida y emitida. El objetivo de este experimento es medir la consPara calcular la distancia de las galaxias se ha utitante de Hubble H0 , y, a partir de ella, la edad del lizado la siguiente relaci´on del m´odulo de la distancia: universo. La Ley de Hubble-Lemˆıtre [1], anteriormente llam − M = 5 · log10 (d) − 5 (5) mada Ley de Hubble, es la ley de la f´ısica que esdonde m es la magnitud aparente, M la magnitud tablece que el corrimiento al rojo de una galaxia es absoluta y d la distancia en Mpc. proporcional a la distancia a la que est´ a. Se va a suponer que la magnitud absoluta de todas A partir de la Ley de Hubble se define como la las galaxias es M = −21, por lo tanto, la Ecuaci´ on constante de Hubble al valor que verifica la siguiente (3) se simplifica en: relaci´ on: v = H0 · d (1) m+26 d = 10 5 (6) siendo v la velocidad de recesi´ on de recesi´on debida a la expansi´ on del universo, y d la distancia al observador. 2. Desarrollo Si se considera que la expansi´ on del universo no est´ a acelerada, la edad del universo y la constante de Se ha hecho uso del simulador venus [2] para realizar Hubble est´ an estrechamente relacionadas seg´ un: todas las medidas, tanto para las magnitudes aparentes, como para medir el espectro de radiaci´on de cada 1 E= (2) galaxia y las respectivas longitudes de onda. H0 El programa simula un telescopio. La configurasiendo E el valor de la edad del universo. ci´on escogida a la hora de tomar medidas ha sido la La velocidad de recesi´ on de las galaxias se puede de un telescopio de 4 metros para el di´ametro del escalcular, si la distancia no es muy grande, mediante pejo primario. Posteriormente se ha procedido a la el efecto Doppler seg´ un: toma de medidas. El programa incluye una lista de v (3) galaxias por defecto, con sus respectivas posiciones, λr = λe (1 + ) = λe (1 + z) c que han sido las que se han utilizado para la toma de siendo λr la longitud de onda de la radiaci´ on recibida, datos. λe la longitud de onda emitida por la galaxia, v la Para tomar las medidas de una galaxia, una vez velocidad de recesi´ on, c la velocidad de la luz y z el seleccionada, el programa busca la galaxia de forcorrimiento al rojo o ”redshift”. ma autom´atica. Posteriormente permite que de forma A partir de la Ecuaci´ on (3) se obtiene la siguiente manual se pueda ajustar las dos l´ıneas que represenrelaci´ on: tan al espectr´ometro para conseguir que la galaxia se ∆λ v =c· (4) encuentre entre ellas. λe

1

Tras la alineaci´ on, se procede a la toma de datos, La representaci´on de la velocidad de recesi´on con que consiste en que el espectr´ ometro recoja fotones de respecto a la distancia de todas las galaxias se reprela galaxia alineada anteriormente. El programa per- senta en la Figura 1. mite tomar datos un tiempo indefinido, sin embargo, tras unos segundos se consigue que la proporci´on entre se˜ nal y ruido sea 50, l´ımite que se ha considerado de suficiente calidad. Tras unos segundos se puede apreciar que en el espectro recogido hay dos picos descendietes, correspondientes a las l´ıneas de absorci´ on H y K del Calcio, caracter´ısiticas de las estrellas y galaxias. Sin embargo en el espectro, esas dos l´ıneas corresponden a unas longitudes de onda mayores que las te´ oricas, debido a que las galaxias se est´an alejando del observador. El u ´ltimo dato recogido es la magnitud aparente, que es proporcionado por el programa.

3.

Resultados

En la Tabla 1 se muestran todos los datos experimentales recogidos para cada galaxia. La columna 5, correspondiente a la diferencia entre la l´ınea K del espectro del calcio en reposo o emitida, λK0 = 3933,7˚ A y la tomada en el espectr´ ometro o recibida λK . De la misma manera, la columna 8 corresponde a la diferencia entre la l´ınea H emitida λH0 = 3968,5˚ A y la recibida λH . Las columnas 6 y 9 se han obtenido a partir de la Ecuaci´ on (3), y la columna 12 a partir de la Ecuaci´ on (6).

Figura 1: Representaci´on de la velocidad de recesi´on con respecto a la distancia. La l´ınea de puntos discontinua corresponde al ajuste lineal teniendo en cuenta la galaxia 51975, obteniendo una pendiente de m = 56 ± 4 km/s/MPc, y la l´ınea continua corresponde al ajuste sin tenerla en cuenta obteniendo m0 = 65 ± 4 km/s/MPc.

2

Por tanto, a partir de la Figura 1 se obtienen las respectivas constantes de Hubble y mediante la Ecuaci´ on (2) la edad del universo. Si se tiene en cuenta la galaxia 51975 se obtiene:

pod´ıa esperarse que el espectro de emisi´on de una galaxia fuera un espectro m´as o menos cont´ınuo debido a la gran cantidad de cuerpos radiantes que componen a la misma, sin embargo, gracias a las l´ıneas de absorci´on H y K del calcio se ha podido desarrollar el experimento. Estas l´ıneas se deben a que el calcio ionizado, presente en las partes externas de las galaxias, absorve fuertemente esas dos frecuencias de la luz. [6] Con relaci´on al c´alculo de la edad del universo, resulta que a lo largo del siglo XX, el valor tomado para la constante de Hubble ha ido decreciendo, siendo el primer valor proporcionado por Lemaˆıtre H0 ≈ 625 km/s/MPc. Por tanto, seg´ un la Ecuaci´ on (2), el valor que se ha considerado como la edad estimada del universo ha ido aumentado a lo largo del u ´ltimo siglo. En realidad el t´ermino utilizado ”edad del universo” corresponde a el tiempo transcurrido desde el Big Bang. Lo acontecido antes del Big Bang corresponde al ´ambito te´orico y todav´ıa no se han realizado comprobaciones experimentales [6]. Adem´ as, el c´alculo de la edad del universo mediante la Ecuaci´ on (3) considera que la velocidad de expansi´on es constante. Si se considera que esta velocidad de expansi´ on ha sido acelerada desde el Big Bang, eso implica que la edad real del universo ser´ıa mayor que la calculada, dado que, seg´ un esa premisa, la velocidad de expansi´on en el pasado ha sido m´as lenta que la actual, y por tanto se ha necesitado m´as tiempo para la expansi´on del universo actual. Otro hecho hecho que podr´ıa parecer cierto es que la Tierra se situara en el centro de universo por el hecho de que todos los cuerpos se alejen de ella. La expansi´on del espacio es algo intr´ınseco de su naturaleza, explicado mediante relatividad, y se produce en todo el espacio. Por eso, desde cualquier punto del espacio va a parecer que todos los objetos se alejan, cosa que no implica que sean el centro del universo. La Figura 1 permite medir a que distancias se sit´ uan cuerpos emisores de luz no m´as all´a de unos cientos de MPc simplemente midiendo su corrimiento al rojo. Por ejemplo, si se mide su corrimiento y mediante la Ecuaci´on 3 se obtiene una velocidad de recesi´on de 400 km/s, se tiene:

H0a = 56 ± 4 km s−1 MPc−1 ⇒ ⇒ E = (1,61 ± 0,04) · 1010 a˜ nos Por otra parte, si no se tiene en cuenta esa galaxia: H0b = 65 ± 4 km s−1 MPc−1 ⇒ ⇒ E = (1,39 ± 0,04) · 1010 a˜ nos

4.

Discusi´ on

En primer lugar, resulta apropiado realizar una comparaci´ on entre los datos bibliogr´ aficos y los obtenidos experimentalmente. El valor de la constante de Hubble ha cambiado a lo largo del tiempo debido a la cantidad y diversidad de experimentos que se han realizado, sin embargo, si se toma como valor el del Particle Data Group [3] como H0 = 72±7 km/s/MPc, se tiene que Hoa resulta incompatible mientras que H0b resulta compatible con un error relativo del 10 %, que en comparaci´ on con los errores relativos de cada dato y la dispersi´ on de los diferentes datos bibliogr´ aficos [4] no resulta grande. Adem´ as, en general, los datos bibliogr´ aficos se sit´ uan alrededor de H0 ≈ 70km/s/MPc, indicando que la precisi´on es mayor para H0b que para H0a . Por otra parte, resulta interesante comentar el significado de la constante. La ley de Hubble dice que, para cuerpos externos a la V´ıa L´ actea, se observa un corrimiento al rojo debido a que se alejan de la Tierra. Tambi´en dice que este corrimiento por efecto Doppler es proporcional a la distancia para galaxias a una distancia no muy lejana. De hecho, la discrepancia del valor H0a es debido a esta segunda afirmaci´on, ya que la galaxia 51975 se encuentra muy alejada de la Tierra, por tanto su corrimiento al rojo ya no es proporcional a la distancia. Es importante destacar que, lo que hemos considerado como constante de Hubble, es en realidad el valor actual del par´ ametro de Hubble, que es variable a lo largo del tiempo. Tambi´en es importante resaltar que la ley de Hubble no dice que esta expansi´on sea acelerada, sino que dice que, para un tiempo dado, los cuerpos m´ as lejanos se alejan m´ as r´ apido que los cercanos, no implicando que en un futuro esas velocidades se incrementen o reduzcan [1]. Sin embargo, experimentalmente hay indicios de que sea asi, pero no es consecuencia de la ley de Hubble [5]. Un aspecto interesante y conveniente de comentario es el por qu´e de las l´ıneas de absorci´ on del espectro utilizadas para la toma de medidas. En principio,

d=

v = 6,2 ± 0,4 M P c H0b

(7)

De acuerdo con la Ecuaci´on (1), otra forma de conseguir la constante de Hubble ser´ıa mediante el ”redshift” que tambi´en es proporcionado por el simulador. De esta forma se habr´ıa evitado la toma de datos de las longitudes de onda, donde puede haber imprecisi´on a la hora de escoger los m´ınimos en el espectro. Para terminar, comentar que en la configuraci´ on escogida del telescopio, se tom´o el mayor di´ametro

3

diponible del espejo primario. Esto se debe en priPor u ´ltimo el error del c´alculo de la Ecuaci´ on (7) mer lugar, a que seg´ un el criterio de Rayleigh [7], a se ha calculado mediante propagaci´on de errores: mayor D, menor resoluci´ on, es decir, se consiguen di∆v 2 v ferenciar dos puntos m´ as cercanos, por lo tanto, me(12) ∆d2 = ( ) + ( 2 · ∆H)2 H H 0 o jor precisi´ on en los c´ alculos. Sin embargo, en nuestro problema, la principal raz´ on es que, si D es mayor, la superficie efectiva que recoge informaci´ on es mayor, Referencias y por tanto, la energ´ıa recibida tambi´en, permitiendo as´ı detectar cuerpos con magnitudes aparentes m´as [1] https://es.wikipedia.org/wiki/Ley_de_ Hubble (12/11/2018) peque˜ nas o equivalentemente (si se considera que la magnitud absoluta es igual para todos) m´ as lejanas. [2] http://venus.ifca.unican.es/~carreraf/ CLEA/hub/ (12/11/2018)

5.

Conclusi´ on

[3] C. Caso et al. (Particle Data Group), The European Physical Journal C3 (1998) 1

Se ha comprobado experimentalmente que las galaxias externas a la v´ıa l´ actea no m´ as all´a de unos cientos de MPc, se alejan de la Tierra a una velocidad proporcional a la distancia, y que si est´an m´as alejadas, esa proporci´ on es perdida. Se ha obtenido un valor de la constante de Hubble muy cercana a los valores bibliogr´ aficos y con una precisi´on alta, y a partir de ella se ha obtenido una estimaci´on de la edad del Universo. Adem´ as, el procedimiento seguido permite que la principal fuente de error, que es el ratio entre se˜ nal y sonido, sea f´ acilmente mejorable, simplemente tomando por m´ as tiempo las medidas.

[4] Wendy L. Freedman, “Cosmology at at Crossroads: Tension with the Hubble Constant,” Nature Astronomy 1: 0121 (2017)

[5] https://forum.lawebdefisica.com/ entries/623-El-inicio-de-la-expansion-acelerada-del (12/11/2018) [6] A.P.French, “Relatividad especial”, MIT, Editorial Reverte, 2002 [7] http://astronomia.net/cosmologia/ AntesdelBB.htm (12/11/2018)

Ap´ endice: Errores

[8] http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/ hbasees/phyopt/Raylei.html (12/11/2018)

El error de la velocidad de recesi´ on se ha calculado a partir de la desviaci´ on t´ıpica de las velocidades de recesi´ on para la l´ınea K y H: ∆¯ v2 =

1 [(vk − v¯)2 + (vH − v¯)2 ] 2−1

(8)

Por tanto, en realidad se han considerado que las longitudes de onda tomadas no tienen error, y por tanto las velocidades calculadas a partir de ellas tampoco, y solo se ha tomado el error de la desviaci´on t´ıpica, que se supone que incluye los errores anteriores. El error de la magnitud aparente se ha considerado: m ∆m = (9) SR siendo SR el ratio se˜ nal-ruido. El error de la distancia se ha obtenido mediante propagaci´ on: 1 · ∆m (10) 5 Los errores de las pendientes de la Figura 1 se han obtenido mediante m´ınimos cuadrados. El error de la edad del universo se ha obtenido mediante propagaci´ on de errores y el error de la constante de Hubble: 1 ∆E = 2 · ∆H (11) H0 ∆d = 10

m+26 5

· log 10 ·

4