Derivadas Parciais

DERIVADAS PARCIAIS Se f é uma função de duas variáveis, suas derivadas parciais são as funções fx e fy definidas por: 𝑓 𝑥 + ℎ, 𝑦 − 𝑓(𝑥, 𝑦) ℎ→0 ℎ

𝑓𝑥 = lim

𝑓 𝑥, 𝑦 + ℎ − 𝑓(𝑥, 𝑦) ℎ→0 ℎ

𝑓𝑦 = lim

Notações: se z = f(x,y), escrevemos 𝑓𝑥 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑥 =

𝜕𝑓 𝜕 𝜕𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = = 𝑓1 = 𝐷𝑥 𝑓 = 𝐷1 𝑓 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥

𝑓𝑦 𝑥, 𝑦 = 𝑓𝑦 =

𝜕𝑓 𝜕 𝜕𝑧 = 𝑓 𝑥, 𝑦 = = 𝑓2 = 𝐷𝑦 𝑓 = 𝐷2 𝑓 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Regra para determinar a derivada parcial de z = f(x,y): 1. Para achar fx, considere y como uma constante qq e diferencie f(x,y) em relação a x; 2. Para achar fy, considere x como uma constante qq e diferencie f(x,y) em relação a y; Exemplos: 1. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑦 2 , determine fx(2,1) e fy(2,1). Solução:

2. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 4 − 𝑥 2 − 2𝑦 2 , determine fx(1,1) e fy(1,1) e interprete esses números como inclinações. Solução:

fx(1,1) = -2 e 𝑧 = 4 − 𝑥 2 − 2𝑦 2

fy(1,1) = -4

é um parabolóide e o plano vertical y = 1 o

intercepta na parábola 𝑧 = 2 − 𝑥 2 . A inclinação da reta tangente no pto (1,1,1) é fx(1,1) = -2. (fig. 1) Da mesma maneira, o plano x = 1 intercepta o parabolóide na parábola 𝑧 = 3 − 2𝑦 2 𝑒 𝑎 inclinação da reta tangente no pto (1,1,1) é fy(1,1) = -4. (fig. 2)

3. Determine

𝜕𝑧 𝜕𝑥

e

𝜕𝑧 𝜕𝑦

se z é definido implicitamente como uma

função de x e y pela equação: 𝑥 3 + 𝑦 3 + 𝑧 3 + 6𝑥𝑦𝑧 = 1

Sol:

𝜕𝑧 𝑥 2 + 2𝑦𝑧 = 𝜕𝑥 𝑧 2 + 2𝑦𝑥

𝜕𝑧 𝑦 2 + 2𝑥𝑧 =− 2 𝜕𝑦 𝑧 + 2𝑦𝑥

4. Determine fx, fy, e fz se 𝑓 𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑒 𝑥𝑦 ln 𝑧. Solução:

5. Se 𝑓 𝑥, 𝑦 = 𝑥 3 + 𝑥 2 𝑦 3 − 2𝑦 2 , encontre as derivadas parciais de segunda ordem fxx, fyx, fxy e fyy. Solução:

Outras notações: 𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓 𝑓𝑥𝑥 = 𝑓11 = = 2 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝜕𝑥 𝑓𝑥𝑦

𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓 = 𝑓12 = = 𝜕𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦𝜕𝑥

𝑓𝑦𝑥

𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓 = 𝑓21 = = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑥𝜕𝑦

𝑓𝑦𝑦

𝜕 𝜕𝑓 𝜕2 𝑓 = 𝑓22 = = 2 𝜕𝑦 𝜕𝑦 𝜕𝑦

Teorema de Clairaut: Suponha que f seja definida em uma bola aberta D que contenha o pto (a,b). Se as funções fxy e fyx forem ambas continuas em D, então: fxy(a,b) = fyx(a,b) 6. Calcule fxxyz se f(x,y,z) = sen(3x +yz). Solução:

fxxyz = -9 cos(3x + yz) + 9yz sen(3x + yz)

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Muitas leis físicas podem ser expressas por meio de equações diferenciais parciais, entre elas: LAPLACE: condução de calor, escoamento de fluidos e potencial elétrico. Suas soluções são chamadas funções harmônicas. 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 + =0 𝜕𝑥 2 𝜕𝑦 2 EQUAÇÃO DA ONDA: movimento de uma onda (mar, som, luminosa), onde a constante a indica a amplitude da onda. 𝜕2 𝑢 𝜕2 𝑢 2 =𝑎 𝜕𝑡 2 𝜕𝑥 2

Exemplos: 1. Verifique se a função 𝑢 𝑥, 𝑦 = 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑦 é solução da equação de Laplace.

2. Verifique se a função 𝑢 𝑥, 𝑡 = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥 − 𝑎𝑡) satisfaz a equação da onda.