Delta De Kronecker I

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O DELTA DE KRONECKER - PARTE 1 - APLICAÇÕES Antes de abordarmos o delta de Kronecker recordaremos vários tópicos do cálculo vetorial, especialmente conhecimentos de produto vetorial, versores, sistema de referência ortogonal, bases negativas e positivas, vetores paralelos, ortogonais e produto escalar. Tento usar uma notação matemática básica e de fácil entendimento. Você gosta de fazer contas? Visite o meu blog:http://elisiofisica.blogspot.com/ e divirta-se. Bons estudos! DEFINIÇÃO DE PRODUTO VETORIAL O produto vetorial de dois vetores relação: O vetor

e

é um novo vetor , cujo módulo é dado pela .

é ortogonal simultaneamente a

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e a ·. Como saber o sentido do vetor ?

Usando o sistema de referência indicado na figura à esquerda podemos notar que os versores (vetores unitários) e indicam, respectivamente, a direção e o sentido dos eixos Para determinar o sentido de um produto vetorial vamos imaginar um parafuso, centralizado na origem (O) do sistema de referência, por exemplo, e . Imagine que o parafuso (na origem) vai girar no sentido do versor para o versor . Nesse caso o parafuso vai se deslocar no sentido do versor ou seja, no sentido anti-horário. Considerando o giro do nosso parafuso imaginário e usando a definição de produto vetorial, verificamos que .

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Continuando a mesma imaginária operação de giro, ou seja, que o parafuso agora vai girar no sentido do versor para o versor Nesse caso o parafuso vai se deslocar no sentido do versor Portanto, é fácil verificar que 3

e 4

Portanto, , sistema de referência

e

são bases positivas (sentido anti-horário) do .

Imagine, agora, que o parafuso (na origem) vai girar no sentido contrário, ou seja, do versor para o versor . Nesse caso o parafuso vai se deslocar no sentido do [email protected]

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versor ou seja, no sentido horário. Considerando o giro em sentido horário e usando a definição de produto vetorial, verificamos que ,

5 6 6

e

Portanto, de referência

,

e

7 6

são bases negativas (sentido horário) do sistema

.

DEFINIÇÃO DE PRODUTO ESCALAR O produto escalar entre dois vetores é o escalar definido pela equação: . Como, na figura acima, produto escalar, temos que:

8 6

são vetores unitários ortogonais e pela definição de

9 6

Portanto,

Quando vetores são paralelos (na origem O), no caso

e ,

ou seja, .

, temos

10 0

11 00 6 12

PRODUTO ESCALAR ALGEBRICAMENTE Vamos designar os eixos coordenados ortogonais por 1, 2 e 3 e os vetores unitários por , onde corresponde ao eixo ( . O produto escalar entre pode ser escrito como ,

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onde é o delta de Kronecker, chamada assim graças ao matemático alemão Leopold Kronecker (1823-1891). A quantidade é definida assim:

[email protected]

3

14

Por exemplo, calcule usando o delta de Kronecker os seguintes produtos vetoriais:

. Usando o delta de Kronecker temos que, , pois , pois , pois , pois

; ; ; ,

que equivale aos resultados já estudados 15

e 16

ou seja,

17 6

Na próxima etapa faremos mais exercício elementares do delta de Kronecker, tensor de Levi-Civita e convenção de Einstein.

[email protected]