Defi Trigonometri.docx

MATEMATIKA AKHIR SEMESTER

Disusun Oleh: DEVI RIZKILLAH SAPUTRI KELAS : X IPS2 NO ABSEN 11

SMA 3 MATARAM

1

BAB I PENDAHULUAN

A. TUJUAN Untuk mengetahui dan memahami lebih dalam tentang trigonometri, sehingga dapat menggunakan aplikasi-aplikasi trigonometri dalam kehidupan sehari-hari.

B. LATAR BELAKANG Lebih dari 3000 tahun yang lalu pada zaman Mesir Kuno dan Babilonia serta peradabanLembah Indus adalah awal trigonometri dapat dilacak .Matematikawan India adalah perintis penghitungan variabel aljabar yang digunakan untuk menghitung astronomi dan juga trigonometri. Sekitar 150 SM matematikawan Yunani Hipparchus menyusun tabel trigonometri untuk menyelesaikan segi tiga. Dan dilanjutkan oleh Ptolemy yang juga merupakan matematikawan yunani sekitar tahun 100 yang mengembangkan penghitungan trigonometri lebih lanjut. Kemudian pada tahun 1595 matematikawan Silesia Bartholemaeus Pitiskus menerbitkan sebuah karya yang berpengaruh tentang trigonometri dan memperkenalkan kata ini ke dalam bahasa Inggris dan Perancis. Hingga saat ini trigonometri telah digunakan oleh pembuat jalan,pembuat jembatan dan mereka yang menghasilkan bangunan.

C.RUMUSAN MASALAH 1.

Apa pengertian Trigonometri?

2.

Kapan Trigonometri digunakan?

3.

Apa fungsi Trigonometri?

4.

Apa saja ruang lingkup Trigonometri?

5.

Apa saja aplikasi Trigonometri?

2

BAB II PEMBAHASAN A.

TRIGONOMETRI

PENGERTIAN Trigonometri Trigonometri (dari bahasa Yunanitrigo non = tiga sudut danme tro = mengukur) adalah sebuah cabang matematika yang berhadapan dengan sudut segi tiga dan fungsiTrigonometri kseperti sinus, cosinus, dan tangen. Ada banyak aplikasi trigonometri salah satunya adalah teknik triangulasi yang digunakan dalam astronomi untuk menghitung jarak ke bintang-bintangterdekat, dalam geografi untuk menghitung antara titik tertentu, dan dalam sistemnavigasi satelit. Bidang lainnya yang menggunakan trigonometri termasuk astronomi (dan termasuk navigasi, di laut, udara, dan angkasa), teori musik, akustik, optik, analisis pasar finansial, elektronik, teori probabilitas, statistika, biologi, pencitraan medis/medical imaging farmasi, kimia, teori angka seismologi, meteorologi, oseanografi, berbagai cabang dalam ilmu fisika, survei darat dangeodesi, arsitektur, fonetika, ekonomi, teknik listrik, teknik mekanik, tekniksipil, grafik komputer, kartografi, kristalografi. Fungsi trigonometri adalah hal yang sangat penting dalam sains, teknik, arsitektur dan bahkan farmasi.

Ukuran Sudut Sudut adalah ukuran jumlah rotasi antar dua potongan garis. Kedua potongan garis (sinar) ini dinamakan sisi awal dan sisi terminal. Bila rotasinya bersifat berlawanan arah jarum jam, sudutnya positif. Jika searah jarum jam, sudutnya negatif. Sudut sering diukur dalam derajat atau radian. Ada satuan ukur sudut lain yang disebut gradian. Sudut siku-siku dibagi menjadi 100 gradian. Gradian digunakan oleh surveyor, namun tidak umum dipakai dalam matematika. Kamu bisa menemukan tombolnya, grad, di kalkulator ilmiah. Ukuran Sudut 1 putaran = 360 derajat (360°) = 2π radian Perbandingan trigonometri

3

Perbandingan trigonometri Catatan: Sin = sinus Cos = cosinus Tan/Tg = tangens Sec = secans Cosec/Csc = cosecans Cot/Ctg = cotangens Dari gambar tersebut dapat diperoleh:

(sec merupakan kebalikan dari cos, csc merupakan kebalikan dari sin, dan cot merupakan kebalikan dari tan) Contoh: Dari segitiga berikut ini:

Diketahui panjang AB = 12 cm, AC = 13 cm. Hitung semua nilai perbandingan trigonometri untuk sudut A! Pertama, hitung dulu panjang BC dengan menggunakan rumus Phytagoras:

Nilai perbandingan trigonometri beberapa sudut istimewa * tambahan: sin 37° = cos 53° = 0,6 Identitas Trigonometri Dari nilai fungsi trigonometri tersebut kemudian diperoleh identitas trigonometri. Identitas trigonometri adalah suatu persamaan dari fungsi trigonometri yang bernilai benar untuk setiap sudutnya dengan kedua sisi ruasnya terdefinisi. Identitas trigonometri terbagi 3, yaitu Identitas Kebalikan, Identitas Perbandingan dan Identitas Phytagorasyang masingmasing memiliki fungsi dasar, yaitu: Identitas Kebalikan

Identitas Perbandingan

Identitas Phytagoras

Cosec A = 1/ sin A

Tan A = Sin A/ Cos A

Cos2 A + Sin2 A = 1

Sec A = 1/cos A

Cot A = Cos A / Sin A

1 + tan2 A = Sec2 A

Cot A = 1/ tan A

1 + Cot2 A = Cosec2 A

Kuadran 4

Kuadran adalah pembagian daerah pada sistem koordinat kartesius → dibagi dalam 4 daerah Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut di berbagai kuadran memenuhi aturan seperti pada gambar: Untuk sudut b > 360° → b = (k . 360 + a) → b = a (k = bilangan bulat > 0) Mengubah fungsi trigonometri suatu sudut ke sudut lancip Jika menggunakan 90 ± a atau 270 ± a maka fungsi berubah: sin ↔ cos tan ↔ cot sec ↔ csc Jika menggunakan 180 ± a atau 360 ± a maka fungsi tetap Sudut dengan nilai negatif Nilai negatif diperoleh karena sudut dibuat dari sumbu x, diputar searah jarum jam

Untuk sudut dengan nilai negatif, sama artinya dengan sudut yang berada di kuadran IV Contoh: Cos 120º = cos (180 – 60)º = – cos 60º = – 1/2 (120º ada di kuadran II sehingga nilai cos-nya negatif) Cos 120º = cos (90 + 30)º = – sin 30º = – 1/2 Tan 1305º = tan (3.360 + 225)º = tan 225º = tan (180 + 45)º = tan 45º = 1 (225º ada di kuadran III sehingga nilai tan-nya positif) Sin –315º = – sin 315º = – sin (360 – 45)º = –(– sin 45)º = sin 45º = 1/2 √2 Identitas Trigonometri Sehingga, secara umum, berlaku: sin2a + cos2a = 1 1 + tan2a = sec2a 1 + cot2a = csc2a

5

Grafik fungsi trigonometri y = sin x y = cos x y = tan x y = cot x y = sec x y = csc x Menggambar Grafik fungsi y = A sin/cos/tan/cot/sec/csc (kx ± b) ± c Periode fungsi untuk sin/cos/sec/csc = 2π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan 2π/k Periode fungsi untuk tan/cot = π/k → artinya: grafik akan berulang setiap kelipatan π/k Nilai maksimum = c + |A|, nilai minimum = c – |A| Amplitudo = ½ (ymax – ymin) Cara menggambar: Gambar grafik fungsi dasarnya seperti pada gambar di atas Hitung periode fungsi, dan gambarkan grafik sesuai dengan periode fungsinya Jika A ≠ 1, kalikan semua nilai y pada grafik fungsi dasar dengan A Untuk kx + b → grafik digeser ke kiri sejauh b/k Untuk kx – b → grafik digeser ke kanan sejauh b/k Untuk + c → grafik digeser ke atas sejauh c Untuk – c → grafik digeser ke bawah sejauh c Aturan-Aturan pada Segitiga ABC

Aturan Sinus Dari segitiga ABC di atas: Sehingga, secara umum, dalam segitiga ABC berlaku rumus: Aturan Cosinus Dari segitiga ABC di atas: Sehingga, secara umum: Luas Segitiga Dari segitiga ABC di atas diperoleh: Sehingga, secara umum:

6

B. RUMUS JUMLAH DAN SELISIH SUDUT Dari gambar segitiga ABC berikut: AD = b.sin α BD = a.sin β CD = a.cos β = b.cos α Untuk mencari cos(α+β) = sin (90 – (α+β))° Untuk fungsi tangens: Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah:

C.

RUMUS SUDUT RANGKAP

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh adalah: Penurunan dari rumus cos2α:

D.

RUMUS PERKALIAN FUNGSI SINUS DAN KOSINUS

Dari rumus-rumus jumlah dan selisih dua sudut dapat diturunkan rumus-rumus baru sebagai berikut:

Sehingga, rumus-rumus yang diperoleh: E.

RUMUS JUMLAH DAN SELISIH FUNGSI SINUS DAN KOSINUS

Dari rumus perkalian fungsi sinus dan kosinus dapat diturunkan rumus jumlah dan selisih fungsi sinus dan kosinus.

Maka akan diperoleh rumus-rumus:

7

BAB III PENUTUP

Demikianlah makalah yang kami buat semoga bermanfaat bagi orang yang membacanya dan menambah wawasan bagi orang yang membaca makalah ini. Dan penulis mohon maaf apabila ada kesalahan dalam penulisan kata dan kalimat yang tidak jelas, mengerti, dan lugas mohon jangan dimasukan ke dalam hati.

Dan kami juga sangat mengharapkan yang membaca makalah ini akan bertambah motivasinya dan mengapai cita-cita yang di inginkan, karena saya membuat makalah ini mempunyai arti penting yang sangat mendalam.

8