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DEBER 1 Ejercicios propuestos: 1.

Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en cada uno de los tamaños grande, pequeño y mediana. Produce diariamente 400 grandes, 200 pequeñas y 50 medianas del tipo A, 300 grandes, 100 pequeñas y 30 medianas del tipo B, la del tamaño grande gasta 30 horas de taller y 3 horas de administración, la del tamaño pequeño gasta 20 horas de taller y 2 horas de administración, la del tamaño mediano gasta 15 horas de taller y 1 hora de administración, represente la información en matrices.

2.

Una empresa de muebles fabrica tres modelos de estantería: A,B,C en cada uno de los tamaños grande y pequeño. produce diariamente 2000 estanterías grandes y 4000 pequeñas del tipo A, 5000 grandes y 3000 pequeñas del tipo B, 4000 grandes y 6000 pequeña del tipo C. Cada estantería grande lleva 20 tornillos y 6 soportes y cada estantería pequeña lleva 12 tornillos y 4 soportes, en cualquiera de los tres modelos, represente esta información en matrices.

3.

Ilustrar cada una de las propiedades de las matrices estudiadas con un ejemplo.

4.

Bajo que circunstancia se da la igualdad.

5.

Demostrar que si AB = A y BA = B entonces A y B son matrices Idempotentes.

6.

Si A y B son matrices conmutativas demostrar que 𝐴𝑇 ;𝐵𝑇 conmutan (con un ejemplo)

7.

Hallar una matriz 𝐴3𝑥3, tal que 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗.

8.

Demostrar que si una matriz A satisface la ecuación 𝐴2 − 3𝐴 + 𝐼 = 0 entonces 𝐴−1 = 3𝐼 − 𝐴.

9.

Cuáles de los enunciados siguientes es verdadero. Justifique su respuesta desarrollando el ejercicio o poniendo un contraejemplo. a. (𝐴𝐵𝐶)−1 = 𝐶 −1 𝐵−1 𝐴−1. b. (𝐴𝐵𝐶 )𝑇 = 𝐶 𝑇 𝐵𝑇 𝐴𝑇 . c. 𝐴𝐴𝑇 es una matriz simétrica. d. Si A y B son matrices simétricas entonces (𝐴𝐵)𝑇 = 𝐵𝐴 e. Si A y B son matrices simétricas entonces (𝐴 + 𝐵) es simétrica. f. 𝐴 + 𝐴𝑇 es una matriz simétrica. g. 𝐴 − 𝐴𝑇 es una matriz antisimétrica. 1 𝑏 h. La matriz 𝐴 = ( ), es involutiva para b número real cualquiera. 0 −1 cos 𝜃 − sin 𝜃 i. La matriz 𝐴 = ( ), es una matriz ortogonal. sin 𝜃 cos 𝜃 cos 𝜃 − sin 𝜃 cos 𝑛𝜃 − sin 𝑛𝜃 j. Si 𝐴 = ( ), entonces 𝐴𝑛 = ( ). sin 𝜃 cos 𝜃 sin 𝑛𝜃 cos 𝑛𝜃 1 0 0 1 0 0 k. Si 𝐴 = (0 2 0), entonces 𝐴𝑛 = (0 2𝑛 0 ) 0 0 3 0 0 3𝑛

1 10. Si 𝐴 = (1 1 inversa.

2 3 5 3), Explicar 2 métodos diferentes como hallar 𝐴−1 y cual es la 0 8

1 2 3 2 −3 4 ) , 𝐵 = (3 5) 𝑦 𝐶 = ( 1 0), 3 1 2 0 −1 4 AC; CA; A(3B- 2C ).

1 11. Si 𝐴 = ( 2

Calcular: B+C; AB; BA;

12. Sabiendo que A y B son conmutables y que además: a. A es idempotente y B es involutiva, pruebe que (𝐴 + 𝐵)3 + (𝐴 − 𝐵)3 = 8𝐴. b. A es involutiva y B es idempotente, pruebe que (𝐴 + 𝐵)3 + (𝐴 − 𝐵)3 = 8𝐵. 13. Hallar los valores de k , tal que es idempotente.: 𝑘 0 0 a. 𝐴 = (0 𝑘 0), 0 𝑘+4 0 0 0 𝑘+2 b. 𝐴 = ( 𝑘 𝑘 𝑘 ) 𝑘+2 0 0 𝑝 0 14. Sea 𝐴 = ( ), donde 𝑝 es un escalar e 𝑖 es la unidad imaginaria, verificar que 𝐴2 = 𝑖 𝑝 2𝑝𝐴 − 𝑝2 𝐼, obtenga 𝐴𝑛 . 15. Demostrar que si A y B son matrices cuadradas simétricas conmutativas de un mismo orden, entonces la matriz: C = ABAB…..ABA es simétrica. 16. Demostrar que el producto de dos matrices simétricas es una matriz simétrica, sii las matrices dadas son conmutativas. 17. Demostrar que el producto de dos matrices antisimétrica es una matriz simétrica si y sólo si, las matrices dadas son conmutativas. 18. Si A conmuta con B, demuestre que la transpuesta de A conmuta con la transpuesta de B.