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Universidad de Navarra Nafarroako Unibertsitatea

Escuela Superior de Ingenieros Ingeniarien Goi Mailako Eskola

ALGEBRA, curso 2005/2006 Hoja 1

PROBLEMAS SOBRE MATRICES P1. Calcular la inversa de la matriz

1 2  A=  3 4  usando la fórmula de Morrison-Woodbury con matrices reales:

( A + UVT ) −1 = A −1 − A −1UT−1VT A −1 siendo regulares las matrices A y T = I + VT A −1U P2. Se recuerda que una matriz idempotente X verifica por definición que X2 = X. Pruébese que si A y B son matrices cuadradas de orden n tales que AB = A y BA = B, entonces A y B son idempotentes. P3. Sean A, B, C matrices n×m y D n×n regular, tales que: D(A + B + C) = On×m a) Probar que A = -(B+C) b) Si m = n, A es la matriz nula, y C es regular, probar que B es también regular. P4. Dada la matriz real Am×n tal que ATA es regular, construimos la matriz B = A(ATA)-1AT Demostrar que: a) B es una matriz simétrica b) B2 – B = Om×n c) BA – A = Om×n P6. Pruébese que la matriz In - A posee una inversa de la forma In + αA, siendo A la matriz de orden n cuyo elemento genérico vale la unidad. Hállese el valor de α en función de n.

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Hoja 1

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P5. Se considera el conjunto C de matrices M dependientes del parámetro real h, dadas por M ( h ) = ( h 2 / 2 ) A 2 + hA + I ,

donde la matriz A es una matriz concreta no nula que verifica además las dos condiciones siguientes: A 2 ≠ O, A 3 = O . Pruébese que la matriz inversa de M(h) pertenece también al conjunto C, para cualquier valor del parámetro h. P7. Sabiendo que la inversa de la matriz 1 −1 0 0 1 −1  A = 0 0 1  ... ... ...  0 0 0

... ... ... ... ...

0  0  0   . − 1 1 

es la matriz

A −1

1 0  = 0  ...  0

1 ... 1  1 ... 1  0 1 ... 1   ... ... ... ... 0 0 ... 1  1 1

hállese la inversa de la matriz  2 −1 0 − 1 2 − 1  B =  0 −1 2   ... ... ...  0 0 0

... 0  ... 0  ... 0   ... ... ... 1 

sabiendo además que B = AA T . P8. Supuesto A sea una matriz regular, pruébese la identidad siguiente: (A + B)A-1(A - B) - (A - B)A-1(A + B) = O P9. Si A es una matriz tal que A2 = A, hállese A(I ± A)p, para p = 2,3,4,… P10. Hállese la expresión general de las matrices cuadradas de orden dos, sobre el cuerpo de los números reales, tales que: a) Su cuadrado sea la matriz nula (es decir, la matriz es nilpotente de índice 2, A2 = O) b) Sean iguales a su cuadrado (es decir, la matriz es idempotente, A2 = A)

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