Cuantificadores

Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Escuela de Educación Carrera de Educación General Básica Didáctica de la Matemática 1 CUANTIFICADORES

¿Por qué los cuantificadores? Los cuantificadores permiten escribir y pensar con mayor claridad precisión y corrección de lo que se acostumbra. Cuando una mujer engañada afirma:” Todos los hombres son mentirosos ”, si reflexionamos un poco esta afirmación que para ella es verdadera (por la rabia) generalmente es falsa, porque pensando un poco debe existir al menos un hombre que no es mentiroso. Entonces esas afirmaciones que acostumbramos a decir en general no son precisas, ni verdaderas.

Plan de estudio Sólo trataremos cuantificadores en una letra, aunque también existen en dos letras Su escritura Notación 1 Vamos a usar los símbolos : ∀ , ∃ para los cuantificadores universal y existencia respectivamente. Su uso se detalla a continuación: “ ∀”

Se lee para todo, para cada,

cualquiera sea

“ ∃ ” Se lee existe al menos un, o simplemente existe o hay Con ellos podremos expresar con precisión afirmaciones del tipo: Todas las mujeres son mentirosas. Algunos hombres son rubios. Usaremos conjuntos de referencia. Los conjuntos serán estudiados próximamente, pero por ahora lo único que debemos saber que lo que caracteriza a un conjunto es tener elementos, salvo en el caso del llamado conjunto vacío Notación 2 Escribiremos a ∈ U para indicar que el objeto a es un elemento del conjunto U. Anotaremos además U ≠ φ , se lee “el conjunto U es diferente del conjunto vacío, o U no es el conjunto vacío, cuando U tienen al menos un elemento.

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CUANTIFICADORES EN UNA LETRA Antes de explicitar los cuantificadores, debemos aclarar que ellos no se usan con proposiciones sino con afirmaciones más abiertas que se llaman funciones proposicionales. Para tales afirmaciones no tiene sentido preguntarse directamente si son verdaderas o falsas, pues contienen uno o más objetos indeterminados , según iremos detallando. Cuando a una función proposicional se agrega cuantificadores, se obtiene una proposición. Comenzaremos indeterminada.

por aquéllas funciones proposicionales que tienen sólo una

Funciones proposicionales en una letra Definición 1 Una función proposicional en una letra x es una expresión formal p(x) tal que se tiene lo siguiente: cada vez que se reemplaza la letra x por un elemento a de un conjunto (previamente) dado U, resulta una proposición p(a). Observación: La palabra letra tiene aquí un sentido similar al de la palabra variable; una letra debe interpretarse como un espacio en blanco que se puede rellenar con ciertos objetos de un conjunto dado. Notación 3: Usaremos el símbolo” : “ para definir funciones proposicionales (como en el ejemplo a continuación) Ejemplo: Si el conjunto U es el de los números reales,R y P(X) : 2+x = 5, (2+ W= 5 ) 1. p(x), es una función proposicional 2. p(5) : 2+5=5 falsa

y p(3) : 2+3= 5 son proposiciones; p(3) es verdadera y p(5) es

Cuantificador universal Definición 2: Si p(x) es un función proposicional y U es un conjunto, entonces la expresión ( ∀ x ∈ U)p(x) es una expresión que significa que al reemplazar la letra x por cualquier elemento a de U, resulta p(a) verdadera. La expresión se lee Para todo x en (de) U, (se cumple) p de x Cualquiera sea x en U (se cumple) p de x.

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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Escuela de Educación Carrera de Educación General Básica Didáctica de la Matemática 1 Ejemplo:1. Si U es R y p(x):2+x=5, entonces, ( ∀ x ∈ U)p(x) es falsa 2.Si U es R y q(x): x2-1=(x+1)(x-1), entonces, ( ∀ x ∈ ℜ )q(x) es verdadera Ejemplo : En lenguaje habitual, corresponden a estas formas expresiones tales como: Todos los hombres son mortales . Cualquiera puede cantar. Cuantificador existencial Definición 3: s Si p(x) es un función proposicional y U es un conjunto, entonces la expresión ( ∃x ∈ U ) p ( x ) es una expresión que significa que al menos para un elemento a de U, se tiene que p(a) es verdadera. La expresión (∃x ∈ U ) p ( x ) Se lee : Existe (al menos un) x (en U) tal que p de x Hay (al menos un) x (en U) tal que p de x Ejemplo 3: Si U es R, p(x) : 2+x=5, q(x) : [ x2-1=(x+1)(x-1)],

r(x) : x2=-1, entonces

1. (∃x ∈ U ) p ( x ) y (∃x ∈ U )q ( x ) son verdaderas y 2. (∃x ∈ U )r ( x) es falsa. En el lenguaje habitual corresponden a esta forma expresiones como: Algunos perros muerden. Algunos gatos maúllan.

Aclaración: Con frecuencia cuando se trabaja con cuantificadores, el conjunto de referencia se sobreentiende y se prefiere no anotarlo y así se escribe: ( ∀ x)p(x) en vez de ( ∀ x ∈ U)p(x), y ( ∃ x)p(x) en vez de (∃x ∈ U ) p ( x ) . Notación: En todo lo que sigue, U es un conjunto de referencia, p(x), q(x) son funciones proposicionales Anotaremos ( ∀ x)p(x) para expresar ( ∀ x ∈ U)p(x), y 2009

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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Escuela de Educación Carrera de Educación General Básica Didáctica de la Matemática 1 ( ∃ x ∈ U ) p ( x ) ( ∃ x)p(x) para expresar . Propiedades para el uso Anotaremos algunas propiedades fundamentales para el uso de los cuantificadores. Ellas recogen el sentido que comúnmente se da a las expresiones análogas en idioma español, dándole así una precisión mayor. Propiedad 1: ( ∀ x)p(x) ⇒ ( ∃ x)p(x) . U ≠ ∅ Si el antecedente es verdadero, el consecuente es siempre verdadero. Propiedad 2: (∀x) p ( x) ⇔ (∃x ) p( x) , esta regla nos da una demostración muy común, para probar la falsedad de un para todo x p(x) , basta encontrar un contra-ejemplo, es decir un elemento x para el cual p(x) es falsa (es decir que p ( x) sea verdad). Ejemplo: Si se quiere probar la afirmación: No es cierto que todos los osos son blancos es verdadera, bastaría con exhibir un oso que no sea blanco Todo número real tiene un inverso multiplicativo es falsa, porque el cero que es real no tiene inverso multiplicativo Propiedad 3: (∃x) p( x) ⇔ (∀x ) p( x)

Propiedad 4

(∀x)[ p ( x ) ∧ q ( x)] ⇔ (∀x) p ( x) ∧ (∀x)q ( x )

Propiedad 5.

(∃x)[ p ( x ) ∨ q ( x)] ⇔ (∃x) p ( x) ∨ (∃x)q ( x)

Propiedad 6. (∀x) p ( x) ∨ (∀( x )q ( x ) ⇒ (∀x)[ p ( x) ∨ q ( x )] anteriores es sólo una implicación

∀distribuye ∧ ∃distribuye ∨ al contrario de las dos

Ejemplo Compruebe que en ¢ , la afirmación Todo número es par o impar es verdadera Todo número es par o bien todo número es impar es falsa, pues ninguna de sus componentes es verdadera (y por lo tanto la implicación (∀x)[ p ( x ) ∨ q ( x)] ⇒ (∀x) p ( x) ∨ (∀x )q ( x ) también es falsa), que es la recíproca de la proposición 6. Bibliografía MENA Arturo (2001) Elementos de Matemáticas 2. Instituto de Matemáticas, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso, capítulo 2 Merklen, Hector (1970), Apuntes del Curso Cero del Instituto de Matemáticas , Universidad Católica de Valparaíso 2009

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Ejercicios

1.- Sean X={ 1,2,3} y p(x) : x es par a) escriba las proposiciones p(1), p(2) y p(3). b) B) Anote el valor de verdad de cada una de ellas. 2.- Sean X = N , p(x) ; 2x +1 = 5, q(x) : x+1 es primo a) Escriba p(1) ⇒ q(1). La expresión recién escrita ¿es proposición? Si lo es . ¿Cuál es el valor de verdad? b)Escriba p(2) ⇒ q(2). Idem a a). c) ¿p(x) ⇒ q(x) es función proposicional? . Justifique su respuesta 3.- Utilice el cuantificador universal y transforme en proposiciones las funciones proposicionales que aparecen en los ejercicios 1 y 2, Además de el valor de verdad de cada una de ellas. 4.- Utilice el cuantificador existencial y trasforme en proposiciones a las funciones proposicionales que aparecen en el ejercicio 1 y 2. Además de el valor de verdad de cada una de ellas 5.- Formalice con cuantificadores las frases siguientes: a) Algunos triángulos isósceles son equiláteros b) Cualquier número entero es menor que su doble. c) Todos los televisores son a color. 6.. Escriba en castellano cada proposición y establezca su valor de verdad , sabiendo que U={ 1,2,3,4,5,6,| p(x) : x es par q(x) : x es divisible por 3 r(x) : x <6 s(x) : x es múltiplo de 6 a) ∀x ∈U , q( x) ∨ r ( x ) b) ∃x ∈U , q ( x ) ⇒ r ( x) c) ∃x ∈U , p ( x ) ∧ q ( x) ∧ r ( x)

d) ( ∀ x ∈ U) [ p( x) ∧ q ( x) ⇔ s ( x )]

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Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Escuela de Educación Carrera de Educación General Básica Didáctica de la Matemática 1 7.-Demuestre que las proposiciones siguientes son verdaderas 2 a) ∃x ∈ Ζ, ( x + 1) = x 2 + 1 b) ∃x ∈ℜ,

x2 − 2 =o x2 −1

Sea U= {0,1} subconjunto de ¥ ∀x ∈U , x 2 + 1 < 2 d) ∀x ∈ℜ, 2 ( 1 + 3 x ) + 4 x = 2 + 10 x c)

Recordemos que la negación de la proposición (∀x ∈U ) p ( x ) es equivalente a -No es cierto que para cada a∈ U, p(a) es verdadera -Hay al menos un a ∈ U, para el cual p(a) es falsa 8.- Exprese con una frase la negación de: “Todos los triángulos equiláteros son isósceles” 9.-Demuestre que las proposiciones siguientes son verdaderas: a) ∀x ∈ ¢ ,( x 2 − 3 x − 10 = 0) ⇒ x = 5 b) [ ∃x ∈ℜ,1 + 5 x + 3 x + 4 = 8 x + 1] 10 Traduzca a lenguaje simbólico y exprese con una frase la negación de cada una de las proposiciones: a) Todos los hongos no son comestibles b) Algunos triángulos equiláteros son isósceles c) Todos los triángulos equiláteros son isósceles d) Cualquiera persona que ora no es atea 11.- Escriba la negación de: a) ( ∀x ) [ p ( x) ⇒ q ( x) ] ∧ ∃x p ( x)

(

)

b) ( ∀x ) ( ∀x ) q ( x)  (∀x)  p ( x ) ⇒ q( x)    c) ( ∀x ) (∀x) p ( x) ∨ ( ∀x ) q ( x ) ⇒ ( ( ∃x ) r ( x) ) 

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