Contador_geiger_muller.pdf

Contador Geiger-Muller Barrios de la Cruz Alan Josep[1] Montalvo Felix Alvaro Samuel[2] Laboratorio de Física Contemporánea I Facultad de Ciencias (FC), Universidad Nacional Autónoma de México (UNAM) e-mail’s: [email protected][1] [email protected][2]

Resumen A partir de los principios de radiactividad y el funcionamiento del contador Geiger-Muller se efectuó un estudio de una muestra radiactiva, para esto se calculó un voltage de operación correspondiente a V = 720v así como la radiación de fondo y timpo muerto del detector (tm = 4,4µs). Se estudiaron las propiedades radiactivas en materiales sólidos, se obtuvo una relación entre el detector y la distancia de la muetra así como la absorción de partículas β para materiales: Aluminio, Laton, Plomo, Madera y Acrilico, con diferentes espesores másicos. Por ultimo de determinó la intensidad del material radiactivo.

OBJETIVO: Conocer los principios de deteccion de la radioctividad con un contador geiger. Estudiar loas propiedades de la radiatividad en materiales sólidos.

1.

Introduction

y potencialmente valiosas de los rayos X recién descubiertos por el físico aleman Wilhelm Rötenger cuando estudiaba rayos catódicos, y 1.1. Radiactividad parecía que la radiación liminescente de uranio La radiactividad es una propiedad de algunos podría ser similar a los rayos X en sí mismos. isotopos inestables que se transforman en otros El descubrimiento sobresaliente realizado por elementos desprendiendo energía en forma de Becquerel fue que la radiación de emisión de sombras de los uranuio continuó incluso cuando radiacion [1]. En 1896, Becquerel había estado estudiando la se eliminó la luz excitante. También mostró que luninicesncia de la sales del uranio exitado por la radiación se encontró en todos los compuestos luz ordinaria. Había observado que las radia- de uranio en proporción a su contenido y que la ciones luminiscentes eran capaces de proyectar emisión espontánea de radiación, o radiactividad, sombras de objetos opacos que se registraban en era una propiedad del átomo de uranio en su una placa fotográfica envuelta en papel negro. estado normal. Este fenómeno también se había demostrado En 1898, el matrimonio de Piere y Marie Curie, como una de las propiedades más dramáticas profundizaron en las investigaciones del fenomeno 1

descubierto por Becquerel, observando que el Decaimiento beta Torio emitía radiaciones similares a las del uranio Una partícula beta es por lo general un elecy encontraron nuevos elementos radiactivos a los trón, pero también puede ser un positrón. Si hay que denominaron polonio y radio. un electrón involucrado, el número de neutrones en el núcleo disminuye en uno y el número de protones aumenta en uno; pueden ser absorbidos por 1.2. Decaimiento Radioactivo una lámina de aluminio de un pequeño espesor. Muchos núcleos son radiactivos es decir son nú- Un ejemplo del proceso es: cleos inestables por lo que eventualmente se de234 234 − (2) 90 T h −→91 P a + e teriorarán al emitir una partícula, transformando el núcleo en otro núcleo o en un estado de menor energía. Una cadena de decaimientos tiene lugar Decaimiento gamma y Rayos X hasta que se alcanza un núcleo estable. DuranEn el decaimiento gamma el núcleo cambia de te el deaimineto, se presentan los principios de un estado de energía de nivel superior a un nivel conservación[2]: inferior.Cuando un electrón cambia de nivel, la Conservación de la Energía. energía involucrada suele ser de unos pocos eV, por lo que se emite un fotón visible o ultravioleta. Conservación del Momento. En el núcleo, las diferencias de energía entre los niveles son mucho más grandes, típicamente unos Conservación de la Carga. pocos cientos de keV, por lo que el fotón emitido Conservación del Número Nuclear. es un rayo gamma. Este ultimo quiere decir que el número total de La siguiente secuancia de eventos representa una nucleones (n y p+ )debe ser el mismo antes y des- situacion típica (decaiminto de 12 B)en la cual el decaimento gamma ocurre: pués del decaimiento. Hay tres tipos de decaimientos radioactivos alfa, 12 12 ∗ − ¯ (3) beta y gamma. La diferencia entre ellos es la par5 B −→6 C + e + ν ticula emitida durante el proceso[3]. 12 6 B

Decaimientos A−4 Z 4 Alfa A X −→Z−2 Y +2 He − Z A − Beta(e ) ¯ A X −→Z+1 Y + e + ν + A + Z Y + e + ν X −→ Beta(e ) Z−1 A − A Captura de e− Z A X + e −→Z−1 Y + ν Z A ∗ Gamma A X −→Z X + γ Rayox X

∗ −→12 6 C +γ

(4)

Los rayos X al igual que los rayos gamma consisten en la emisión de fotones y ambos son muy penetrantes; pueden ser absorbidos por una capa relativamente gruesa de material de alta densidad como el plomo o un muro de hormigón. A cada núcleo de un elemento radiactivo, se le asocia una probabilidad de que se desintegre en la unidad de tiempo. Se observa experimentalmente [5] que esta asociación esta dada por:

Decaimiento alfa

En el decaimiento alfa, el núcleo emite una partícula alfa; una partícula alfa es esencialmente un N = N0 exp(−λt) (5) núcleo de helio, por lo que es un grupo de dos protones y dos neutrones el cual es muy estable; En donde N , es el número de núcleos originales, pueden ser absorbidos por una simple hoja de paque a un timpo t quedan por desintegrarse, N0 pel. Un ejemplo del proceso: la cantidad de núcleos sin desintegrarse y λ la 226 222 4 Ra −→ Rn + He (1) constante de desintegración. 88 86 2 2

1.3.

Detectores de Radiación

interior a lo largo de su eje geométrico como se muestra en la Fig. 1. Cuando una partícula o un fotón con alta energía entra a la cavidad por el extremo abierto del dispositivo (pantalla), algunos de los átomos que componen al gas se ionizan. Los electrones libres producidos por la ionización de estos átomos son atraidos hacia el electrodo positivo y en su desplazamiento ionizan otros átomos provocando una avalancha de electrones libres; a su vez los átomos ionizados son atraidos hacia las paredes de la cavidad que funciona como un electrodo negativo. Este ordenamiento produce una saturación de los electrodos y una eventual caída del campo eléctrico al interior de la cavidad, cambia la corriente en el circuito del detector y se registra un pulso. Después de esta caída de corriente el campo tarda en restablecerce y ltanto los electrones como los iones vuelven a desordenarse, hasta que una partícula nueva entra a la cavidad y repite el proceso. La señal de un pulso puede amplifircase y ser registrada por un contador electrónico o enviarse a un altavoz que hace un click por cada pulso.

La gama de dispositivos detectores de radiación que se han desarrollado es de lo más amplia y entre sus variadas aplicaciones de encuentran las aplicaciones médicas, las medidas de radiación de fondo, y la estimación de masa, energía y momento de partículas creadas en racciones nucleares de altas energías [3]. Entre los detectores más importantes se encuentran: (1)Cámara de Iones: Usa la generacion de pares electrón-ión por el paso de radiación a través de un gas aislado para producir una señal electrica. (2) Diodo semiconductor: Consiste en la polarización inversa de una union n-p. Cuando una partícula energetica pasa la union, los electrones de esta se excitan en la banda de conducción y se forman espacios vacíos en la banda de valencia. El campo eléctrico interno arrastra a los electrones hacia el lado positivo (p) y a los huecos hacia el lado negativo (n), esto genera un pulso de corriente que se mide con un contador eléctronico. (3) Detectores de trazado: Estos dispositivos permiten observar de manera directa las trayectorias de una partícula cargada que se traslada dentro de un sistema aislado. La energía y el momento de las mismas son calculados por la curvatura del camino de una partícula en un campo magnético conocido. (4) Camara de Chispa: Compuesta por placas paralelas conductoras capaz de registrar una trayectoria en tres dimensiones. Las partículas pasan a través de la cámara, ionizando el gas que resulta en una oleada de corrente y una serie visible de chispas a lo largo del camino de la párticula.

1.4.

Figura 1:

Detector Geiger-Muller

1.4.1.

Una de las clases más comunes de detectores es la que se basa en la separación y recolección de electrones así como de iones positivos de un gas. Entre estos tipos de detectores figuran las cámaras de iones, los detectores proporcionales y el contador Geiger-Muller (GM). El detector GM Se compone de una cavidad metálica de forma cilíndrica llena de un gas a baja presión, que puede ser argón o la combinación de otros gases, y que contiene un electrodo en su

Composición del detector Geiger-Muller

Tiempo Muerto y Voltage de Operación

El circuito del contador GM cuenta con una resistencia, en la que la caída de voltage debida a la saturación de los electrodos cesa la corriente.El tiempo en el cual la corriente se restablece es alrededor de 200µs, la duración de este intervalo es el llamado tiempo muerto del GM. Puede pensarse en el tiempo muerto como el periodo que tarda el detector un segundo pulso, no necesariamente de la misma intensidad. Si una 3

segunda partícula entra en la cavidad dentro del tiempo muerto, no producirá un pulso. Al graficar el voltage aplicado al contador contra la razon de cuentas o número de pulsos detectados, se obtiene una curva típica llamada "Meseta". En esta curva las cuentas comienzan a registrarse a partir de un voltage A de alimentación. Conforme el voltage se incrementa la razón de conteo se aumenta rapidamente hasta el punto B, a partir de la cual la razón de conteo se mantiene uniforme hasta el punto C. Despues una descarga continua tiene lugar. El voltage de operación óptima del detector se escoge como el punto medio entre los voltajes de B y C.

Figura 2:

Conexiones del Detector G-M con el Rack-BIN

Medidas de Segurida

2.

Material y Equipo

1. Durante el montaje se tiene que llevar a cabo toda las conexiones antes de conectar el Rack-BIN a la corriente, así mismo asegurarse que en la fuente de alto voltaje los valores se encuentren siempre en cero antes de comenzar.

1. Contador Geiger-Muller. 2. Cable Coaxial de Alto Voltage. 3. Cables Coaxiales (4).

2. Para el manejo de la fuente de radiación debe hacerse siempre con pinzas, aunque la muestra proporcionada no sea peligrosa.

4. Divisor de Voltage. 5. Rack-BIN.

El proceso experimental constó de varios pasos, que se pueden resumir de la siguiente forma:

6. Muestra Radioctiva. 7. Osciloscopio.

3.2.

3. 3.1.

Experimentación y Resultados

Medición del Voltaje de Operación

Antes de comenzar con el resto de las pruebas, de determinó un voltaje de operación adecuado para el detector. Se tomaron lecturas de cuentas para intervalos de 20 segundos en voltajes de alimentación distintos, incrementando en escala de 20 volts. Para ello se colocó la muestra radiactiva en la bandeja del GM con el fin de obtener una mayor taza de conteos. Se partió de 0 volts hasta llegar a 860 volts. Los datos se recopilan en la Tabla 1, se graficó la denominada "Meseta" (Fig. 3) correspondiente al GM. Con los puntos B = 620 y C = 820, se utilizó el punto medio donde el voltaje de operación es de aproximadamente 720 volts.

Montaje Experimental

Se trabajó con un arreglo conectado como se muestra en la Fig. 2: El detector GM se conecta a la entrada del divisor de voltage, éste consta de tres terminales, una de alimentación de alto voltaje, una para alimentar al GM y otra para comunicar la señal de salida con el amplificador en el Rack-BIN. La salida del Amplificador se conecta a la entrada del contador y a su compuerta se conectó la salida de un temporizador. 4

3.3.

Voltaje 0 20 40 60 80 100 ... 440 460 480 500 520 540 560 580 Tabla 1:

Cuentas 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 0 0

Voltaje 600 620 640 660 680 700 710 720 740 760 780 800 820 840 860

Estimación de Radiación de Fondo

Suminustrando el voltaje de operación obtenido al GM y retirando la muestra radioactiva, se realizaron mediciones de la radiación de fondo para así poder corregir los datos obtenidos. Entendiendo que la radiación de fondo corresponde a las cuentas que provienen del ambiente en que realizó el experimento, se tomaron 15 lecturas de cuentas en intervalos de 20 segundos. Este proceso se llevó acabo durante todas las sesiones que se trabajo con el contador GM, apreciando fluctuaciones de un día a otro. Los datos correspondientes a las diferentes sesiones se presentan en la Tabla 2. El resto de los conteos tomados para las demás pruebas consideraron el promedio de éstas lecturas restandolo de las medidas al no deberse a los conteos por emisión de la muestra.

Cuentas 0 1999 1967 2099 2126 2115 2167 2089 2157 2218 2249 2259 2230 2522 2918

Cuentas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Promedio

Datos Correspondientes al Voltage de Operación

Tabla 2:

3.4.

Radiacion de fondo Sesión 1 Sesión 2 52 54 39 59 14 56 42 52 66 48 49 55 46 39 50 57 50 35 55 45 57 45 45 68 45 49 51 61 59 67 48 53

Datos de radiación de Fondo

Distribución de las lecturas

Con el fin de conocer el comportamiento de las lecturas tomadas bajo los mismos parámetros, se hizo una análisis estádistico de un muestreo de 50 lecturas tomadas en intervalos de 20 segundos, dejando la muestra radioactiva a una distancia fija del detector y usando el voltaje de trabajo para

Figura 3:

Curva denominada "Meseta çorrespondiente al valor del voltaje de operacion.

5

todas las medidas. Con ello se logró un histogra- TDS220), usando los parámetros adecuados fue ma de incidencias contra conteos promedio (Figu- posible apreciar la señal del pulso en una ventana ra 4). Se apreció un comportamiento muy similar con un ancho temporal del orden de algunos µs y la profundidad de un par de volts. Como ya se ha mencionado anterirmente después del pico del pulso primario, se forman algunos pulsos secundarios de menor intensidad con picos de menor tamaño, siendo la diferencia entre el pico principal y el primer pico secunadario, lo que consideramos como tiempo muerto del detector tm . La curva obtenida del osciloscopio se presenta en la Fig. 5, ésta muestra el pico principal (linea A) y el primer pico secundario (linea B), se midió una diferencia directa de tm = 4,4µs.

Figura 4: Histograma de los conteos a 720 volts, con la muestra a una distancia fija. Se ajustó una curva de Poisson como comparativo. a una distribución de Poisson, por lo cual se ajustó una curva de distribución sobre el histograma, determinada por la ecuación: P (X) =

mX exp(−m) X!

(6)

Donde X es el valor de la lectura, P (X) su proFigura 5: Curva del tiempo muerto del detector vista en un babilidad de incidencia y m es el valor de la lec- osciloscopio. ¯ es el tura donde la probabilidad es máxima, si X promedio del muestreo de dimensión n, para la distribución de Poisson se tiene que ¯ m = l´ım (X) n→∞

3.6.

(7)

La muestra radiocativa se colocó a una distancia fija de 15,63 ± 0,05cm de la pantalla del detector y se tomaron 5 medidas durante intervalos de 20 segundos. El proceso se repitió varias veces reduciendo en 1cm la distancia entre la fuente de el detector. A partir de estos se obtuvo la curva mostrada en la Fig. 6. En la curva puede apreciarse un ajuste a la distribución de puntos de la forma

Con este resultado y ajuste realizado, de obtuvo un valor m = 372 con una probabilidad máxima aproximadamente de 22 %, además de una desviación estándar de σ = 22, 82. Puede verificarse además ([5], p.39) que el error estándar asociado satisface √ σ= m (8)

3.5.

Variación del Conteo con la Distancia

Medición del Tiempo Muerto del Detector

N (x) ∝ exp(−λx)

(9)

Para la medición del tiempo muerto de de- Donde N (x) es el número de cuentas para una tector se utilizó un osciloscopio (TEKTRONIX distancia x. 6

Material Aluminio Latón Plomo Madera Acrílico

Densidad [gr/cm3 ] 2.71 8.4 11.3 0.45 1.18

µρ [cm3 /gr] 0.29288 0.1 0.08613 1.69859 0.5397

Error Estándar µρ 0.05014 0.03758 0.02532 0.36177 0.22389

Tabla 3: Valores de µρ obtenidos para los distintos materiales

Figura 6:

Curva del número de cuentas contra la distancia de la pantalla del detector a la fuente.

3.7.

Absorción de la Radiación beta

La relación entre la intensidad de la emisión de una fuente radioactiva y las dimensiones de un blindaje que se interpone entre la pantalla y dicha fuente puede ayudar a caracterizar materiales de distintos tipos. Se considera que la intensidad de emisión de una fuente I0 y la intensidad que mide el detector I(x) del otro lado de blindaje se comportan según el modelo: Figura 7: Regresión de los datos obtenidos para el aluminio. I(x) = I0 exp(−µρ ρx)

(10)

Donde µρ es el coeficiente de absorción másica característica del material que compone al blindaje, ρ es su densidad y x es el ancho de dicho blindaje. Para obtener µρ para distintos materiales se colocó la muestra a una distancia fija estimando la intensidad promedio I0 sin blindaje, para posteriormente colocar una placa de grosor determinado entre la fuente y la pantalla del GM. Se tomaron 5 lecturas de las cuentas en intervalos de 20s. Después se agregó otra placa del mismo material y se repitió el preceso, así hasta ocupar todas las placas del material disponibles. Los datos de estas medidas pueden consultarse en el Anexo 1. Con estos resultados y aplicando una regresión lineal sobre la curva que propone la ecuación 10 se obtuvieron los siguientes resultados: A continuación se muestran las rectas obtenidas en la regresión.

Figura 8:

7

Regresión de los datos obtenidos para el latón.

3.8.

Figura 9:

Determinación de la Actividad de la Muestra

Para estimar la actividad de la muestra necesitamos aproximar su geometría por un modelo simple, pues ésta puede inferirse según la aproximación: 4π I0 = I(d) (11) Ω Donde I0 es la actividad o la taza de emisión neta de la muestra, I(d) es la actividad o el número de cuentas que registra el detector a una distancia fija d, mientras que Ω es el ángulo sólido efectivo que conforma la región entre la pantalla del detector y la fuente de radiación; por otra parte 4π es el angulo sólido total que se necesita para medir la actividad neta de la fuente, y es medido en estereoradianes. En [5] se sugiere resolver el problema considerando a la fuente como un círculo de radio s y a la pantalla como otro de radio a; así se busca calcular en ángulo sólido: Z 4aπ ∞ exp(−dk)J1 (sk)J1 (ak) dk (12) Ω= s 0 k

Regresión de los datos obtenidos para el plomo.

Con J1 (k) las funciones Bessel de primer tipo. Naturalmente, no hay solución analítica a dicha integral, por lo que se propone la aproximación:   1 3 αβ 2 2 Ω ≈ 2π 1 − − + α (A ) + α (A ) 1 2 1 8 (1 + β) 52 (1 + β) 2 (13) Donde los coeficiente A1 y A2 son de la forma

Figura 10: Regresión de los datos obtenidos para la madera (hoja de Triplay).

A1 =

A2 =

5 β 35 β2 7 − 16 (1 + β) 2 64 (1 + β) 29

35 β 315 β2 1115 β3 − +− 128 (1 + β) 29 256 (1 + β) 11 1024 (1 + β) 13 2 2

Donde α= β=

Figura 11:

 s 2 d  a 2

d Para nuestros datos d = 5cm, s = 2,2cm y a = 1,4cm, se calcularon los valores de los coeficientes F 1 = 0,0140672, F 2 = 0,0625366 y un valor del ángulo sólido de Ω = 0,0647928π. Sustituyendo

Regresión de los pocos datos obtenidos para el

acrilíco.

8

este valor de ángulo sólido en nuestro modelo para éste último experimento resultaría más útil dispola actividad se obtiene la relación ner de una mayor cantidad de placas con grosores más variados, pues facilitaría la elaboración de la I0 = 6,17352I (14) estadística para determinar los coeficientes de absorción másica. Con I = 662 cuentas por minuto, el valor promedio de las lecturas corregidas por el ruido a la distancia d = 5cm se calculó una tasa de actividad Referencias de I0 = 4087 cuentas por minuto. [1] http://profesores.fi-b.unam.mx/jlfl/ Fundamentos/Radiaciones_residuos_ aplicaciones.pdf Consultado 13 Septiem4. Discusión y Conclusiones bre 2018. Algunos de los valores obtenidos respecto a la actividad de la muestra y las constantes de absor- [2] http://physics.bu.edu/~duffy/py106/ Radioactivity.html Consultado 1 Octubre ción másica de los distintos materiales, no pudie2018. ron ser comparados en la literatura; esto debido a que los valores de µρ en realidad caracterizan [3] Raymond A Serwey, et al, "Modern Physics", la penetrabilidad del material para una partícula Tercera Edición, 2005. pp. 479-492 incidente con una energía determinada. Así, pueden consultarse valores en la literatura de µρ pa[4] Tsoulfanidis N., "Measurement and Detecra absorción de rayos X, con valores distintos de tion of Radiation", Francis and Taylor, Prienergía de la emisión. Resultó imposible consultar mera Edición, 1995. pp 68-78 resultados obtenidos bajo un ambiente similar al de nuestra experimentación. Algo similar sucedió [5] Knoll G. F., Radiation Detection and Measurement", Wiley, Segunda Edición, 2010. con la actividad característica de la fuente, que Chap. 4 no halló dado con la cual compararse. Una opción para comparar la calidad de los resultados es [6] Çontador Geiger-Muller", Laboratorio de Fíconocer de antemano la identidad de la muestra sica Contempóranea I, Facultad de Ciencias, radioactiva, o tener acceso a resultados obtenidos UNAM. Consultado Septiembre de 2018 por otras reproducciones del experimento. Otra opción para determinar la identidad del isotopo es tomar lecturas de las cuentas en periodos fi- Anexo I: Datos Experimentajos durante un tiempo suficientemente grande para medir una caida en las cuentas a la mitad de les su conteo inicial, y determinar así el tiempo de vida media caracteristica. En esta ocasión dicha idea fue descartada pues en un par de sesiones se realizaron lecturas por más de hora y media, con el arreglo en las mismas condiciones sin apreciar cambio significativo. Es claro que los modelos de emisión y decaimiento dados por las ecuaciones y son suficientemente adecuados pues reproducen con presición aceptable el comportamiento que siguen las medidas tomadas, tanto en la variación de distancia entre la fuente y el detector como en el aumento del blindaje para los distintos materiales. Para 9

grosor[cm] Cuentas 1 0,16 0,32 0,48 0,645 0,805 0,985 1,145 1,345 1,46

Cuentas 2 44 62 34 24 22 20 39 23 19

grosor[cm] Cuentas 1 0,21 0,42 0,6325 0,8425 1,0525 1,26 1,4725 1,6825

23 19 3 11 5 4 4 4

grosor[cm] Cuentas 1 0,13 0,2525 0,3725 0,4925 0,625 0,74 0,855

10 4 9 7 17 12 6

grosor[cm] Cuentas 1 0,5275 1,0305 1,553 2,056

22 13 3 17

70 53 37 29 17 28 20 24 27

aluminio [2.710g/cm3] Cuentas 4 Cuentas 5 Promedio I/I_0 Log(I/I_0) Espesor MásicoSD I 52 50 57 0,19791667 -1,61990921 0,4336 11,78982612 65 57 59,4 0,20625 -1,57866625 0,8672 4,615192304 50 37 40,6 0,14097222 -1,95919241 1,3008 6,655824517 29 36 30,8 0,10694444 -2,23544579 1,74795 5,167204273 21 37 24,4 0,08472222 -2,46837735 2,18155 7,602631123 19 27 26,2 0,09097222 -2,39720107 2,66935 7,259476565 29 33 29 0,10069444 -2,29566465 3,10295 7,449832213 28 32 23,2 0,08055556 -2,5188082 3,64495 8,700574694 32 19 23,4 0,08125 -2,51022446 3,9566 5,856620186

Error Stadar I 3,376388603 3,446737588 2,84956137 2,481934729 2,209072203 2,289104628 2,408318916 2,154065923 2,163330765

Error_I/I_0 0,011811461 0,012061323 0,009947201 0,008652799 0,007695058 0,007975724 0,008394172 0,007502268 0,007534734

ERROR LOG() 0,059678963 0,058479142 0,070561428 0,08090929 0,090826912 0,087672085 0,083362812 0,093131608 0,092735189

18 4 2 -3 8 -3 9 6

laton [8.4g/cm3] Cuentas 4 Cuentas 5 19 17 0 3 12 5 -3 0

3 11 0 20 13 16 1 -4

13 1 8 14 10 -4 1

Plomo [11.3g/cm3] Cuentas 4 Cuentas 5 5 6 4 -3 -4 12 -5

34 19 17 16

Madera [0.45g/cm3] Cuentas 4 Cuentas 5 49 21 19 14

Cuentas 3 69 60 45 36 25 37 24 9 20

Cuentas 2

Cuentas 3

I/I_0 0,14285714 0,09821429 0,04166667 0,07321429 0,10357143 0,06071429 0,03571429 0,01607143

Log(I/I_0) Espesor MásicoSD I -1,94591015 1,764 7,615773106 -2,3206036 3,528 7,03562364 -3,17805383 5,313 3,701351105 -2,61436472 7,077 8,700574694 -2,26749377 8,841 5,683308895 -2,80157626 10,584 7,395944835 -3,33220451 12,369 5,196152423 -4,13071221 14,133 3,898717738

Error Stadar I 1,788854382 1,483239697 0,966091783 1,280624847 1,523154621 1,166190379 0,894427191 0,6

Error_I/I_0 0,016110355 0,013322236 0,008647693 0,011485051 0,013685158 0,010450867 0,008003318 0,005362387

ERROR LOG() 0,112772487 0,13564458 0,207544638 0,156868983 0,132132559 0,172131922 0,224092914 0,333659625

19 6 8 10 2 7 -5

Promedio I/I_0 10,8 0,04695652 7 0,03043478 7 0,03043478 6,2 0,02695652 6,8 0,02956522 5,2 0,0226087 0 0

Log(I/I_0) Espesor MásicoSD I -3,05853317 1,469 5,495452666 -3,49216916 2,85325 6,480740698 -3,49216916 4,20925 2 -3,61353002 5,56525 6,534523701 -3,5211567 7,0625 8,043631021 -3,78942068 8,362 7,395944835 0 9,6615 4,898979486

Error Stadar I 1,469693846 1,183215957 1,183215957 1,113552873 1,166190379 1,019803903 0

Error_I/I_0 0,006402729 0,005151076 0,005151076 0,004847085 0,005076768 0,004438194 0

ERROR LOG() 0,136354413 0,169249627 0,169249627 0,179811212 0,171714217 0,196304727 0

24 4 23 0

Promedio I/I_0 31,8 0,13826087 16,4 0,07130435 15,6 0,06782609 9,2 0,04

Log(I/I_0) Espesor MásicoSD I -1,97861302 0,237375 10,73312629 -2,64079797 0,463725 8,173126697 -2,69080839 0,69885 7,536577473 -3,21887582 0,9252 8,927485648

Error Stadar I 2,521904043 1,811077028 1,766352173 1,356465997

Error_I/I_0 0,011029124 0,007898105 0,007701926 0,005907709

ERROR LOG() 0,079770394 0,110766103 0,113554042 0,147692715

acrilico [1,18g/cm3] grosor[cm] Cuentas 1 Cuentas 2 Cuentas 3 Cuentas 4 Cuentas 5 Promedio I/I_0 0,6 9 13 21 30 21 31,8 0,13826087 1,205 10 17 6 -2 5 16,4 0,07130435 1,81 19 18 -5 10 19 15,6 0,06782609

Log(I/I_0) Espesor MásicoSD I -1,97861302 0,708 8,136338243 -2,64079797 1,4219 6,978538529 -2,69080839 2,1358 10,32956921

Error Stadar I 2,521904043 1,811077028 1,766352173

Error_I/I_0 0,011029124 0,007898105 0,007701926

ERROR LOG() 0,079770394 0,110766103 0,113554042

17 4 9 10 20 12 9 3

Cuentas 2

Cuentas 3 7 18 6 3 9 -1 3

Cuentas 2

Cuentas 3 30 25 16 -1

Promedio 16 11 4,66666667 8,2 11,6 6,8 4 1,8