Chi Cuadrado

Docimasia de Hipótesis para P P ⇒ tasa del universo p ⇒ tasa de la muestra

Nos interesa investigar si la diferencia de p y P es suficientemente grande.

Docimasia entre la tasa del universo y la tasa de una muestra Hipótesi s:

p−P Z= σp

Ho: P1 = P2

H1: P1 ≠ P2 ó P1 < Nota: P2 ó P1 > P2

Estadístico:

σp =

PQ n

Tabla a consultar: Curva normal

donde Q = 1 - P

Docimasia para la diferencia entre tasas de dos muestras Hipótesis:

Estadístico:

Ho: P1 = P2

p1 − p2 Z= σ p1 − p2

H1: P1 ≠ P2 ó P 1 < P2 ó P 1 > P2 Nota:

σ p1 − p2 =

PQ PQ + n1 n2

Tabla a consultar: Curva normal

donde Q = 1 - P

Ejemplo: Con el propósito de comparar dos tratamientos de reducción de peso, se tomo 100 personas y se asignaron en forma aleatoria 50 a cada tratamiento.

G ru p o B a j a r o n d e p Ne osob a j a r o n d e p e Tsoo ta l Tra t a m ie n t o I 29 21 50 Tra t a m ie n t o II 21 29 50 T o ta l 50 50 100 ¿Son los tratamientos igualmente efectivos? Solución: No hay evidencia significativa para afirmar que los tratamientos difieren entre sí.

Prueba Ji Cuadrado (χ

2

)

Se utiliza para comparar más de dos tasas. Ejemplo: • Comparar porcentajes de desnutridos de las distintas comunas Santiago. • Comparar efectividad de varios tratamientos para una misma enfermedad. • Saber si hay asociación entre muerte por cáncer pulmonar y habito de fumar.

Distribución Ji Cuadrado (χ

2

)

• Es una distribución asimétrica. • Solo toma valores positivos y es asintótica con respecto al eje de las x positivas (0 < χ 2 < +∞). • Está caracterizada por un único parámetro llamado: grados de libertad (g.l.) • El área comprendida entre la curva y el eje de las x es 1 o 100%.

Gráfico de la distribución Ji Cuadrado

Región de aceptación 1α

Región de rechazo

α χ

2

gl, α

Docimasia para la diferencia entre tasas de más de dos muestras Hipótesis: H0 : P1 = P2 = ... = Pr H1 : Al menos dos porcentajes difieren entre sí.

Estadístic o: 2 ( 0 − E ) i χ2 = Σ i Ei

Tabla a consultar: Ji cuadrado

Ei = (total fila * total columna) / total total Oi = frecuencia observada en la celda i. Ei = frecuencia esperada en la celda i. Ji cuadrado observado se calcula con (c-1)*(f-1) grados de libertad. c = Nº columnas f = Nº filas Nota: Z2 = χ

2

Ejemplo: Un investigador piensa que pudiera haber diferencias en la distribución por grupos sanguíneos de la población nativa de un país y la de inmigrantes. Hace determinaciones en 500 nativos y en 476 inmigrantes con los siguientes resultados: Grupo Sanguíneo AB O A B Total

Nativos Inmigrantes Total N° % N° % N° % 25 5 15 3.2 40 4.1 215 43 207 43.5 422 43.2 200 40 194 40.7 394 40.4 60 12 60 12.6 120 12.3 500 100 476 100 976 100

Solución: No hay evidencia suficiente para afirmar que ambos grupos poblacionales difieren en su composición por grupos sanguíneos.

Observaciones • Mientras mayor sea la diferencia entre los valores observados y los esperados: → mayor será el valor de χ 2 → aumenta la probabilidad de rechazar la hipótesis nula. • Si valor esperado es cero o cercano a cero → χ tendrá a infinito. • Cuando el valor esperado en alguna celda es menor que 5 → no se puede usar la prueba χ 2.

2

• Cuando se usa la prueba χ 2 → comprobar que la suma de frecuencias observadas = suma de frecuencias esperadas. • Para el calculo del χ 2 observado → calcular frecuencias absolutas esperadas y nunca los porcentajes.