Capitulo 5, Optimo Del Or

Capítulo 5 Óptimo del Consumidor

Racionalidad Económica El principal postulado acerca del comportamiento del consumidor dice que escoje la mejor alternativa del conjunto de alternativas factibles. ◆ Las alternativas disponibles constituyen el conjunto factible. ◆ ¿Cuál es la mejor canasta del conjunto factible? ◆

x2

x1

Utilidad

x2

x1

Utilidad

x2

x1

Utilidad

x2 x1

Utilidad

x2 x1

Utilidad

x2 x1

Utilidad

x2 x1

Utilidad

x2 x1

Utilidad

Factible, pero no es la mejor de las alternativas factibles.

x2 x1

Utilidad

La mejor de las canastas factibles Factible, pero no es la mejor de las alternativas factibles.

x2 x1

Utilidad

x2 x1

Utilidad

x2 x1

x2 Utilidad

x1

x2

Utilidad

x1

x2

x1

x2

Canastas factibles x1

x2

Canastas factibles x1

x2 Canastas que son más preferidas

Canastas factibles x1

x2 Canastas que son más preferidas

Canastas factibles

x1

x2

x2*

x1*

x1

x2

(x1*,x2*) es la mejor De las canasta factibles.

x2*

x1*

x1

La mejor de las canastas factibles es conocida como la DEMANDA ORDINARIA a los precios y el ingreso dados. ◆ La demanda ordinaria se denota por x1*(p1,p2,m) y x2*(p1,p2,m). ◆

Cuando x1* > 0 y x2* > 0 la canasta demandada es INTERIOR. ◆ Si se compra (x1*,x2*) el costo es m entonces se agota el ingreso. ◆

x2

(x1*,x2*) es interior. (x1*,x2*) agota el ingreso.

x2*

x1*

x1

x2

(x1*,x2*) es interior. (a) (x1*,x2*) agota el ingreso: p1x1* + p2x2* = m.

x2*

x1*

x1

x2

(x1*,x2*) es interior . (b) la pendiente de la curva de indiferencia en (x1*,x2*) es igual a la pendiente de la restricción de presupuesto.

x2*

x1*

x1

◆

(x1*,x2*) satisface dos condiciones:

◆

(a) el ingreso se agota: p1x1* + p2x2* = m

◆

(b) la pendiente de la restricción de presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la curva de indiferencia que contiene a (x1*,x2*) son iguales en (x1*,x2*).

Estimando la Demanda Ordinaria ◆

¿Cómo podemos emplear esta información para poder encontrar la canasta (x1*,x2*) para los precios p1, p2 y el ingreso m?

Estimando la demanda ordinara. Ejemplo para una Cobb Douglas ◆

Supongamos que las preferencias del consumidor son del tipo Cobb-Douglas.

a b U( x1 , x 2 ) = x1 x 2

◆

En consecuencia:

∂ UT a −1 b UMg 1 = = ax1 x2 ∂ x1 ∂UT a b −1 UMg 2 = = bx1 x2 ∂ x2

◆

Y la TMgS: a −1 b 1 2 a b −1 1 2

dx2 ∂ UT/∂ x1 ax x ax2 TMgS = =− =− =− . dx1 ∂ U T /∂ x2 bx x bx1

◆

En (x1*,x2*), se debe cumplir que TMgS = -p1/p2 , en consecuencia

* ax 2 p1 − =− p2 bx*1

⇒

* bp1 * x2 = x1 . ap 2

(A)

◆

Y sabemos que (x1*,x2*) agota el presupuesto del consumidor:



* * p1x1 + p 2x 2 = m.

(B)

◆

En consecuencia, sabemos que: * bp1 * (A) x2 = x1 ap 2 * * p1x1 + p 2x 2 = m.

(B)

* bp1 * x2 = x1 ap 2 Sustituyendo * * p1x1 + p 2x 2 = m.

(A) (B)

* bp1 * x2 = x1 ap 2 p1x*1 + p 2x*2 = m.

y tenemos:

bp1 * * p1x1 + p 2 x1 = m. ap 2

y simplificando ….

(A) (B)

* x1 =

am . ( a + b )p1

x*1 =

am . ( a + b )p1

y sustituyendo este valor de x1* en p1x*1 + p 2x*2 = m

Obtenemos:

* x2 =

bm . ( a + b )p 2

Así hemos descubierto que la mejor canasta factible para el consumidor con preferencias Cobb-Douglas es ( x*1 , x*2 ) =

(

)

am bm , . ( a + b )p1 ( a + b )p 2

x2

a b U( x1 , x 2 ) = x1 x 2

* x2 =

bm ( a + b )p 2

x*1 =

am ( a + b )p1

x1

Restricciones para el óptimo del consumidor ◆

◆ ◆

Cuando x1* > 0 y x2* > 0 y (x1*,x2*) agota el ingreso, y la curva de indiferencia tiene una forma regular, no especial , la demanda ordinaria se obtiene mediante: (a) p1x1* + p2x2* = m (b) la pendiente de la restricción de presupuesto, -p1/p2, y la pendiente de la curva de indiferencia en la canasta (x1*,x2*) son iguales.

◆

¿Pero, y si x1* = 0?

◆

¿Pero y si x2* = 0?

◆

Si x1* = 0 ó x2* = 0 entonces la demanda ordinaria (x1*,x2*) es una solución de esquina.

Ejemplo de soluciones de esquina – el caso de sustitutos perfectos x2

TMgS = -1

x1

x2

TMgS = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

x1

x2

TMgS = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

x1

x2 y * x2 = p2

TMgS = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 > p2.

x*1 = 0

x1

x2

TMgS = -1

pendiente = -p1/p2 con p1 < p2.

x*2 = 0

y * x1 = p1

x1

En consecuencia, si la función de utilidad es = x1 + x2, la canasta óptima es (x1*,x2*) donde:  * * ( x1 , x 2 ) = 

y  ,0   p1 

si p1 < p2

 * * ( x1 , x 2 ) =  0,

si p1 > p2.

y y    p2 

x2 y p2

TMgS = -1 pendiente = -p1/p2 con p1 = p2.

y p1

x1

x2 y p2

Todas las canastas en la restricción de presupuesto son canastas óptimas si p1 = p2.

y p1

x1

Ejemplo de soluciones de esquina – el caso de las preferencias no convexas x2

m ej

or

x1

x2

x1

x2 ¿Cuál es la canasta óptima?

x1

x2

La canasta óptima

x1

x2

Observe que la solución de tangencia no es la canasta óptima.

La canasta óptima

x1

Ejemplos de soluciones en “punta” – el caso de complementarios perfectos x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

TMgS = 0

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2} TMgS = -

x2 = ax1

∞

TMgS = 0

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2} TMgS = - ∞ TMgS es indefinida

x2 = ax1

TMgS = 0

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2} ¿Cúal es la canasta óptima?

x2 = ax1

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2} La canasta óptima

x2 = ax1

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

x2 = ax1 x2* x1*

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = m x2 = ax1

x2* x1*

x1

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2} (a) p1x1* + p2x2* = m (b) x2* = ax1* x2 = ax1

x2* x1*

x1

(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*.

(a) p1x1* + p2x2* = m; (b) x2* = ax1*. Substituyendo, tenemos p1x1* + p2ax1* = m

m x = p1 + ap 2 * 1

Y sustituyendo este resultado para obtener x2*:

am x = . p1 + ap 2 * 2

x2

U(x1,x2) = mín{ax1,x2}

* x2 =

x2 = ax1

am p1 + ap 2

x*1 =

m p1 + ap 2

x1