Control Optimo

Los estudios enfocados en minimizar las emisiones de CO2 en los vehículos han mostrado que existen variables más complejas que deben ser optimizadas. La fuerza de fricción del freno en las ruedas, el peso del auto y las condiciones de la ruta (rugosidad y pendiente de la carretera) son variables que intervienen las emisiones de gas carbónico. Estas variables son complejas porque están sujetas a restricciones (por ejemplo, el peso del vehículo no puede modificarse significativamente porque causa una pérdida de estabilidad). Para optimizar bajo restricciones, los científicos han desarrollado un modelo matemático del comportamiento de estas variables, descrito por las siguientes funciones: 1. Función de transferencia de la emisión de gas carbónico “f(x,y)” respecto a la fuerza de fricción del freno “x” y el peso del auto “y”: 𝑓(𝑥, 𝑦) = 2.87𝑥 + 7.34𝑦 − 8 Sujeto a (restricción): 2.45𝑥 + 3.58𝑦 ≤ 22 𝑥 + 3.3𝑦 ≤ 18 3.7𝑥 + 2𝑦 ≤ 24 𝑥≥0 𝑦≥0 Desarrollo Método gráfico La función objetivo y las restricciones se vuelven ecuaciones lineales al ser igualadas a cero y despejada la variable dependiente y: 𝑓(𝑥) = −0.391𝑥 + 1.09 𝑟1 (𝑥) = −0.648𝑥 + 6.15 𝑟2 (𝑥) = −0.303𝑥 + 5.46 𝑟3 (𝑥) = −1.85𝑥 + 12 Estas funciones e grafican a la vez en un mismo plano y se lee el valor máximo que cumpla con todas las restricciones:

Se observa que el valor máximo es en x = 2, y = 4.854 y el valor máximo de f(x, y) es: 𝑓(2, 4.854) = 2.87(2) + 7.34(4.854) − 8 = 33.37 Rta/ El máximo de emisión de gas carbónico aplicando el método gráfico es de 33.368 y se alcanza cuando la fuerza de fricción del freno es 2 y el peso del auto es 4.854.

Método simplex Maximizar z = 2.87x + 7.34y - 8 Sujeta a 2.45x + 3.58y <= 22 x + 3.3y <= 18 3.7x + 2y <= 24

x

y 2,45 1 3,7 -2.87

Tabla 1 s2

s1 3.58 3.3 2 -7.34

1 0 0 0

s3 0 1 0 0

z 0 0 1 0

0 0 0 1

22 18 24 0

x

y

s1

1,36515 0.30303 3,09394 -0.645758

0 1 0 0

1 0 0 0

Tabla 2 s2 s3 -1,08485 0.30303 -0.606061 2,22424

z 0 0 1 0

0 0 0 1

2,47273 5,45455 13,09090 40,03640

0 0 0 1

1,81132 4,90566 7,48679 41,206

Tabla 3 x

y 1 0 0 0

s1 0 1 0 0

s2 0.732519 -0.221976 -2,26637 0.47303

s3 -0.794673 0.54384 1,85261 1,71108

z 0 0 1 0

Se observa que el valor máximo es en x = 1.81, y = 4.91 y el valor máximo de f(x, y) es: 𝑓(2, 4.854) = 2.87(1.81) + 7.34(4.91) − 8 = 33.23 Rta/ El máximo de emisión de gas carbónico aplicando el método simplex es de 33.23 y se alcanza cuando la fuerza de fricción del freno es 1.81 y el peso del auto es 4.91.

2. Con lluvia en la carretera, función de transferencia de la emisión de gas carbónico g1(r,p) respecto a la rugosidad “r” y pendiente de la carretera “p”: 𝑔1 (𝑟, 𝑝) = 2.3𝑟 − 7𝑝 + 2𝑝3 + 6 Sujeto a (restricción): 4𝑟 + 2𝑝 ≤ 9 𝑟≥0 𝑝≥0 Optimización restringida no lineal Maximizar: 𝑔1 (𝑟, 𝑝) = 2.3𝑟 − 7𝑝 + 2𝑝3 + 6 Despejamos r en la función objetivo y derivamos: 2.3𝑟 = 𝑧 + 7𝑝 − 2𝑝3 − 6 𝑟=

𝑧 + 3.04𝑝 − 0.87𝑝3 − 2.61 2.3 𝑑𝑟 = 3.04 − 2.61𝑝2 𝑑𝑝

Despejamos r en la restricción y derivamos:

𝑟 = 2.25 − 0.5𝑝 𝑑𝑟 = −0.5 𝑑𝑝 Se igualan las dos derivadas para obtener a p y luego a r: 3.04 − 2.61𝑝2 = −0.5 𝑝2 =

3.64 2.61

𝑝 = 1.17 𝑟=

9 − 2(1.17) = 1.67 4

Luego, el valor máximo de g1 es: 𝑔1 = 2.3(1.67) − 7(1.17) + 2(1.17)3 + 6 𝑔1 = 4.85

3. Sin lluvia en la carretera, función de transferencia de la emisión de gas carbónico g1(r,p) respecto a la rugosidad “r” y pendiente de la carretera “p”: 𝑔2 (𝑟, 𝑝) = 10𝑟 + 10𝑝 + 6 Sujeto a (restricción): 2𝑟 2 + 2𝑝2 ≤ 8 2𝑟 + 4𝑝 ≤ 10.3 𝑟≥0 𝑝≥0