Cap 1. Teoria Generalizada.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA ELECTRICA Y ELECTRÓNICA

TEORIA GENERALIZADA DE LAS MÀQUINAS ELÈCTRICAS Ing. Tomàs Palma García

MAQUINA GENERALIZADA FIEE

1. Características

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El modelo tiene devanados ortogonales entre si. No hay movimiento relativo entre los ejes de los devanados del estator y del rotor. La parte fija se llama estator La parte móvil se llama rotor de radio a El entrehierro es no uniforme: gd y gq Se empleara las coordenadas cilíndricas: âz = âr x âθ Ver

2. Vista desarrollada del entrehierro: •

La longitud del entrehierro: g=gd : (-π/4< θ < π/4) y (3π/4< θ <5π/4) g=gq: (π/4< θ <3 π/4) y (5 π/4< θ <7 π/4)

•

La función de onda cuadrada se puede expresar por la serie de Fourier: g(θ)=(gq + gd)/2- (gq - gd)/2x4[cos(2θ)1/3cos3(2θ)+………]/π

•

Considerando fundamental:

el

termino

g(θ)=g0 - g1cos2θ

•

Si: gq = gd , entonces g(θ) es constante.

3. Campo Magnético generado por devanados estatóricos • •

En esta sección se determinara el campo magnético en el entrehierro producido por el devanado estatórico cuya distribución de corriente es : Ĵqs (A/m). Se considera que la permeabilidad del material del estator y rotor es muy grande μm→∞, por lo tanto Hm→0

•

Sabiendo que las fuentes del campo magnético son las corrientes se utilizara:

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Ĵsq=-Ksq.isq.cos θ âz • • •

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Ksq: Factor de distribución (# de conductores/m) Ksq. cosθ: Distribución cosenoidal isq: Corriente que se inyecta al devanado estator eje “q”

También se tiene una expresión matemática para el entrehierro: g(θ)=g0-g1cos2θ

3. Campo Magnético generado por devanados estatóricos

4. Devanado cuadratura del estator

Para el devanado de dos polos el ángulo del contorno será π. Además:

Siendo g(θ) muy pequeño comparado con el radio medio entonces componente radial Hr; luego: Hr(θ).g(θ)-Hr(θ+π).g(θ+π)= ; adθ: Diferencial de arco =2Ksq.a.isq.senθ Luego: 2H(θ).g(θ)=2Ksq.a. isq.senθ = Ksq.a. isq.senθ/g(θ) âr Entonces: =μ0Ksq.a. isq.senθ/g(θ) âr

tendra

5. Campos Magnéticos del rotor

5. Campos Magnéticos del rotor • •

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El devanado del rotor es del tipo conmutador. El conmutador permite tener una distribución fija de corriente en la superficie del rotor por lo tanto el campo el campo generado por el devanado del rotor excitado con corriente constante, permanecerá fijo en el espacio respecto al estator, independiente de la posición del rotor. Luego la distribución de corriente se puede expresar: – – • • •

= Kr’d. ird âz = - Kr’d. ird âz

para 0<θ<π para 0<θ<2π

Función de onda cuadrada Kr’d: Factor de distribución (# de conductores/m) Distribución independiente de la posición del rotor.

Ver

6. Vista desarrollada del rotor

La distribución

se puede expresar en términos de la serie de Fourier:

Considerando solo el termino fundamental:

Haciendo: Luego utilizando la ley de Ampere se puede determinar el campo magnético creado en el entrehierro por el devanado rotor de eje directo.

7. Parámetros de inducción estacionaria de la máquina “d-q” •

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La máquina “d-q” esta conformada por dos devanados en el estator cuyos ejes magnéticos están en cuadratura, y dos devanados en el rotor con ejes magnéticos también en cuadratura. Estos devanados se representan: Al inyectar corrientes positivas (por los puntos) los campos magnéticos resultantes estarán dirigidos en los ejes positivos “d” y “q”. Los parámetros de inducción se determinaran con el rotor estacionario. (L propias, M mutuas) Acoplo inductivo para un elemento de inducción línea. Si se tiene dos elementos

Ver

•Para la máquina “d-q” se desarrollará las expresiones de los parámetros de inducción, lo cual permite analizar al comportamiento de las máquinas eléctricas como un sistema de circuitos acopladas: • En forma inicial de despreciaran el flujo de dispersión y la saturación.

Ver

•

Se inyectan las corrientes:

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Cuyas magnitudes empiezan desde cero. Luego se obtiene las expresiones de acoplo:

•

Entonces la densidad de energía: Um=B2/(2μ0) (J/m3): Energía por unidad de volumen

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Luego la energía total almacenada en el entrehierro se determinara integrando Um alrededor del entrehierro.

Donde: a: Radio Medio l: Longitud axial

•

Para le modelo de la máquina “d-q”

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Luego se tiene:

•

• •

•

Considerando la máquina “d-q” un sistema lineal, luego:

•

Como se ha considerado que μ0→∞ entonces la intensidad de campo en la estructura del rotor y estator es cero, luego toda la energía se encuentran en el entrehierro. El campo magnético total en el entrehierro será:

Para una inductancia se tiene que la coenergía magnética:

La densidad de energía magnética: Si es lineal:

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Para, nuestro caso la densidad de energía será en el entrehierro (en cada punto los vectores B y H son paralelos).

•

Desarrollando la integral de la función Wm energía magnética en el entrehierro luego igualando Wm’=Wm, comparando termino a termino se obtiene:

Las inductancias mutuas de devanados en cuadratura son nulos.

los

•

Reemplazando el valor del campo magnético total en el entrehierro:

•

Utilizando la aproximación:

8. Ecuaciones de equilibrio de la Máquina “d-q”

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Para los devanados estatóricos: 𝑣𝑞𝑠 = 𝑅𝑞𝑠 . 𝑖𝑞𝑠 + 𝐿𝑠𝑞 . 𝑝𝑖𝑞𝑠 + 𝑀𝑞𝑠𝑟 . 𝑝𝑖𝑞𝑟

9. Tensiones Inducidas por Rotación •

La forma general de la ley de Faraday:

•

Pero:

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Considerando la espira formada por los lados activos están ubicados en (θ) y (θ+π), la tensión inducida por el movimiento relativo de esta espira dentro del campo magnético total en el entrehierro B(θ). (B(θ): vector):

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Luego: La tensión inducida en una espira del devanado

•

La tensión inducida será positiva si esta tiene un sentido tal que ayude a la corriente iq r.

•

Para el devanado distribución:

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El campo total en el entrehierro producido por las corrientes que circulan por los 4 devanados será:

•

Si el rotor gira a ωr (rad/ser) cada lado activa tendrá una velocidad:

•

De igual manera para un devanado estator directo:

•

Luego el campo magnético:

•

De igual manera se determina la tensión inducida por rotación en el devanado debido al campo total en el entrehierro:

del

rotor

con

•

Para determinar la tensión inducida por rotación en todo el devanado tiene una distribución:

Diferencial de arco

Numero de lados activos De un diferencial de arco

•

Luego se obtiene:

el cual

Definiendo las inductancias rotacionales:

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Se observa que la tensión inducida por rotación del devanado , el cual tiene una distribución fija e independiente de la posición del rotor, es debido a los campos generados por las corrientes e y circulan por los devanados y que están en cuadratura al devanado .

•

Para el devanado

:

Imagen

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Las ecuaciones de equilibrio se puede expresar en forma matricial:

•

Para el devanado

•

El signo (-) indica que la corriente inducida ayuda a .

:

Ecuación de equilibrio mecánico •

Sentidos de referencia:

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El par de origen eléctrico será determinado haciendo un balance de energía:

Puertas Eléctricas Estator - rotor

Puerta mecánica

Escribiendo la ecuación (2) al detalle:

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Además:

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La potencia total:

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Reemplazando (2) en (1):

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Reemplazando Y (5) en (4):

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Identificando Términos: • Perdida Potencia eléctrica:

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Perdida de Potencia • Perdida Potencia mecánica: • En los campos magnéticos:

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Energía Almacenada • Energía cinética:

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Luego:

Vectores Espaciales •

Se considera que el acoplo magnético del estator como vector espacial:

• •

Cuyas componentes están en los ejes ortogonales d-q (Modelo de la máquina d-q) El vector espacial del flujo concatenado indica la posición con respecto a una referencia que gira con una velocidad ωλ . De igual manera los vectores espaciales de la tensión y corriente del estator.

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