Cap 09 Flujo De Fluidos Compresibles

9. Flujo de Fluidos compresibles. Cuando un fluido es compresible su densidad cambia a lo largo de la dirección del flujo, producto del cambio en la presión y la temperatura. En general, para un sistema determinado se considera que el fluido es compresible, si su densidad varía más de un 10% entre los puntos de entrada y salida. El flujo de gases a presiones atmosféricas o superiores, puede desarrollarse en régimen laminar o turbulento, con transición para Re = 2000 - 3000. Flujo isotérmico de un gas ideal a través de una cañería horizontal. Se cumple:

p

ρ

p1

=

ρ1

=

p2

ρ2

= cte. =

RT M

ρ=

ρ1 p1

⋅p

Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1 y p2, ρ2 respectivamente.

Figura 9.1. Flujo isotérmico de un gas ideal en una cañería horizontal.

⎛ v2 d ⎜⎜ ⎝ 2g c ⎛ v2 d ⎜⎜ ⎝ 2g c

⎞ dp ⎟⎟ + + dh f = 0 ⎠ ρ

(9.1)

⎞ dp dx v 2 ⎟⎟ + +f⋅ ⋅ =0 D g 2 ρ c ⎠ 2

/⋅

2gc v2

dx dv 2 g c dp + 2 ⋅ + f⋅ =0 ρ D v v

(9.3)

Por continuidad. G = v⋅ρ = cte. dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0 dv dρ =− , ρ v

dρ =

ρ1 p1

⋅ dp

ρ=

ρ1 p1

⋅p

dρ

ρ

=

dp p

(9.2)

dv dp =− v p

2 g c dp ⋅ , v2 ρ G = v⋅ρ

G2 = v2 ⋅ ρ 2

v2 =

G2

ρ

2 g c dp 2 g c ρ1 ⋅ = 2 pdp G p1 v2 ρ

2g c ρdp G2

2

Reemplazando en balance de energía:

−2

dx dp 2 g c ρ1 + 2 =0 pdp + f ⋅ D p G p1

(9.4)

Integrando p: entre p1 y p2 y x: entre x = 0 y x = L: dp 2 g c ρ1 + 2 p G p1 p1

p2

p2

L

1 dx = 0 D ∫0

(9.5)

⎛p ⎞ g ρ L − 2 ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + c2 1 p 22 − p12 + f =0 D ⎝ p1 ⎠ G p1

(9.6)

− 2∫

∫ pdp + f

p1

[

]

Se define N = número de alturas de velocidad, N = f

L D

⎛p ⎞ g M − 2 ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + 2c p 22 − p12 + N = 0 ⎝ p1 ⎠ G RT

[

2

]

⎛p ⎞ g M N − ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ = 2c p12 − p 22 G RT ⎝ p1 ⎠

[

]

(9.7)

(9.8)

Ecuación general para el flujo másico superficial de un gas ideal isotérmico:

[

]

gc M p12 − p 22 G = 2 RT ⎡ ⎛ p2 ⎞ ⎤ ⎢ N − ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ p1 ⎠ ⎥⎦ 2

Ecuación particular si se cumple: ⎛p ⎞ N >> ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

2

(9.9)

Ecuación de Weymouth:

G2 =

[

gc M 2 p1 − p 22 RTN

]

(9.10)

Según la ecuación general (9.9), en un comienzo si p2 disminuye G2 aumenta. Se cumple que indistintamente para p2 →p1, G2→0, y para p2→0, G2→0. Lo anterior indica la existencia de un valor máximo para G2 asociado con un valor de p2 crítico p2*.

Figura 9.2. Flujo másico superficial en función de la presión de salida p2. La región entre 0 < p < p2* es ficticia, ya que una vez que la presión de salida p2 alcanza el valor crítico p2* no se obtiene un flujo mayor. La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuación general con respecto a p2 para un p1 fijo según: dG 2 =0 dp 2 2

(9.11)

2

⎛p ⎞ ⎛ p1 ⎞ ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ − ln⎜⎜ 1* ⎟⎟ = N + 1 ⎝ p2 ⎠ ⎝ p2 ⎠

(9.12)

Resolviendo para p2*. Gmáx2 correspondiente obedece a la ecuación: 2 = Gmáx

( )

gc M * p2 RT

2 Gmáx =

2

=

g c ρ1 * p2 p1

( )

g c ρ1 p1 g ρ p 1 + N + ln c 21 1 Gmáx

2

(9.13)

(9.14)

También se puede demostrar que: G máx = g c p 2* ρ 2* = ρ 2* v 2*

(9.15)

La correspondiente velocidad de salida será: g c p 2*

v 2* =

(9.16)

ρ 2*

La cual se puede interpretar como la velocidad de una hipotética onda de sonido isotérmica a las condiciones de salida, dado que se dispone de las siguientes relaciones para la velocidad del sonido y un gas ideal: p

g c dp dρ

c=

=

ρ

RT M

Así, la velocidad de una hipotética onda de sonido isotérmica está dada por:

c=

g c RT M

(9.17)

En la práctica, sin embargo, las ondas circulan en forma isentrópica, y la velocidad del sonido es:

c=

Donde, k =

kg c RT M

(9.18)

cp cv

Flujo adiabático de un gas ideal a través de una cañería horizontal. Se cumple:

p

ρ

k

=

p1

ρ

k 1

=

p2

ρ

k 2

= cte.

ρ=

ρ1 1/ k 1

p

⋅ p1 / k

k=

cp cv

Balance de energía diferencial para condiciones de entrada y salida: p1, ρ1, T1 y p2, ρ2, T2 respectivamente.

⎛ v2 d ⎜⎜ ⎝ 2g c

⎞ dp ⎟⎟ + + dh f = 0 ρ ⎠

(9.1)

⎛ v2 d ⎜⎜ ⎝ 2g c

⎞ dp dx v 2 ⎟⎟ + +f⋅ ⋅ =0 D 2gc ⎠ ρ

/⋅

2gc v2

(9.2)

dv 2 g c dp dx + 2 ⋅ + f⋅ =0 v D ρ v

2

(9.3)

Por continuidad. G = v⋅ρ = cte. dG = v⋅dρ + ρ⋅dv = 0 dv dρ =− , ρ v 1 ρ1 p dρ = k p11 / k

1− k k

dp

ρ=

ρ1 1/ k 1

p

⋅ p1 / k

dρ

ρ

=

1 dp k p

dv 1 dp =− v k p

2 g c dp ⋅ , v2 ρ G = v⋅ρ

G = v ⋅ρ 2

2

2

v2 =

G2

ρ

2g c ρdp G2

2

2 g c dp 2 g c ρ1 1 / k ⋅ = p dp v 2 ρ G 2 p11 / k

Reemplazando en balance de energía:

−

dx 2 dp 2 g c ρ1 1 / k + 2 1 / k p dp + f ⋅ =0 k p G p1 D

(9.19)

Integrando p: entre p1 y p2 y x: entre x = 0 y x = L: 2 − k

−

dp 2 g c ρ1 ∫p p + G 2 p11 / k 1

p2

p2

∫p

L

1/ k

p1

1 dp + f ∫ dx = 0 D0

(9.20)

k +1 k +1 ⎤ 2 ⎛ p 2 ⎞ 2 g c ρ1 k ⎡ k L k ln⎜⎜ ⎟⎟ + 2 1 / k − =0 p p ⎢ 2 ⎥+ f 1 D k ⎝ p1 ⎠ G p1 k + 1 ⎣ ⎦

Se define N = número de alturas de velocidad, N = f densidad las condiciones de entrada, ρ1 =

(9.21)

L , y se utiliza para la D

Mp1 . RT1

k −1

k +1 k +1 ⎤ 2 ⎛ p ⎞ 2 g Mp k k ⎡ k k − ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ + c 2 1 − p p ⎢ 2 ⎥+N =0 1 k ⎝ p1 ⎠ G RT1 k + 1 ⎣ ⎦

⎛p ⎞ N − ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

2/k

k −1 k 1

2 g Mp = c2 G RT1

k +1 k +1 ⎤ k ⎡ k k ⎢ p1 − p 2 ⎥ k +1 ⎣ ⎦

(9.22)

(9.23)

Ecuación general para el flujo másico superficial de un gas ideal adiabático equivalente a (9.9):

G2 =

k −1 k 1

2 g c Mp RT1

k +1 ⎤ ⎡ kk+1 k p p − ⎥ ⎢ 1 2 ⎦ ⎣

k 2/k k +1 ⎡ ⎛ p2 ⎞ ⎤ ⎢ N − ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ p1 ⎠ ⎥⎦

(9.24)

Ecuación particular si se cumple: 2

⎛p ⎞ N >> ln⎜⎜ 2 ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠ Ecuación de Weymouth, equivalente a (9.10): k −1 k 1

2 g Mp G = c NRT1 2

k +1 k +1 ⎤ k ⎡ k k ⎢ p1 − p 2 ⎥ k +1 ⎣ ⎦

(9.25)

Al igual que con flujo isotérmico existe un Gmáx asociado con una presión de salida p2 crítica p2*. La presión p2* crítica se obtiene derivando la ecuación general con respecto a p2 para un p1 fijo según: dG 2 =0 dp 2 ⎛ 2 ⎞⎛⎜ p1 ⎞⎟ ⎜ ⎟ ∗ ⎝ k + 1 ⎠⎜⎝ p 2 ⎟⎠

k +1 k

⎛p ⎞ − ln⎜⎜ 1* ⎟⎟ ⎝ p2 ⎠

(9.11)

2/k

⎛ 2 ⎞ = N +⎜ ⎟ ⎝ k + 1⎠

(9.26)

Resolviendo para p2*. Gmáx2 correspondiente obedece a la ecuación: k −1

2 G máx =

2 Gmáx =

( )

g c kM k p1 p 2* RT1

k +1 k

=

g c kρ1 * p2 p11 / k

( )

k +1 k

(9.27)

2 g c kρ1 p1 2 ⎤ ⎡ k +1 ⎛ ⎞ g k p ρ 2 ⎛ ⎞ ⎢ c 1 1 ⎟⎟ ⎥ (k + 1) ⋅ ⎢⎜ ⎟ + N + ln⎜⎜ 2 ⎥ ⎝ k +1⎠ ⎝ Gmáx ⎠ ⎥ ⎦ ⎣⎢

(9.28)

Todas las ecuaciones para flujo adiabático se transforman en las de flujo isotérmico para k = 1.

FLUJO COMPRESIBLE EN TOBERAS. Otro ejemplo de flujo compresible ocurre con la descarga de un gas desde un recipiente a alta presión a través de una tobera, consistente de una sección convergente que conduce a una “garganta”, seguida posiblemente de una sección divergente o “difusor”.

Figura 9.3. Flujo a través de una tobera convergente/divergente. El flujo de alta velocidad descargando a la atmósfera es del tipo adiabático y dado que sólo se desarrolla en una corta distancia se le considera sin fricción.

p

ρ

k

=c=

p1

ρ

k 1

⎛ p⎞ ρ = ρ1 ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ p1 ⎠

1/ k

k=

cp cv

Balance de energía entre el recipiente y alguna posición en la tobera donde la velocidad es v y la presión es p. p

v12 v2 dp − +∫ =0 2 g c 2 g c p1 ρ p

∫

p1

dp

ρ

=

p11 / k

ρ1

p

∫

p1

dp k p1 = 1/ k k − 1 ρ1 p

⎡⎛ p ⎞ ( k −1) / k ⎤ ⎢⎜⎜ ⎟⎟ − 1⎥ ⎥⎦ ⎢⎣⎝ p1 ⎠

(9.29)

(9.30)

Reemplazando en el balance y considerando v1 = 0. ( k −1) / k ⎤ 2 g c k p1 ⎡ ⎛ p ⎞ ⎥ ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ v = k − 1 ρ1 ⎢ ⎝ p1 ⎠ ⎥⎦ ⎣ 2

(9.31)

Figura 9.4. Efecto de la variación de la presión de salida en el flujo de la tobera. Dado que w = ρ⋅v⋅A en cualquier punto, donde w es el flujo másico de gas que descarga y A es el área de sección transversal en la tobera. 2 ⎡ ⎛ p ⎞ ( k −1) / k ⎤⎛ p ⎞ 2 / k 2g c k ⎛ w⎞ ⎥⎜⎜ ⎟⎟ p1 ρ1 ⎢1 − ⎜⎜ ⎟⎟ G =⎜ ⎟ = k −1 ⎝ A⎠ ⎥⎦⎝ p1 ⎠ ⎢⎣ ⎝ p1 ⎠ 2

(9.32)

El flujo másico superficial w/A (G) es claramente un máximo en la garganta, donde vale w/AT (o GT). Dado que la presión en la garganta es una variable, existe un valor máximo para w/AT (o GT), que se obtiene de:

dGT d ( w / AT ) = =0 d ( p / p1 ) d ( p / p1 )

(9.33)

Así la razón de presión crítica es:

p cT ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ p1 ⎝ k + 1 ⎠

k /( k −1)

(9.34)

La velocidad vcT correspondiente es: kg p kg RT ⎛ 2g k ⎞ p 2 vcT = ⎜ c ⎟ 1 = c cT = c cT ρ cT M ⎝ k + 1 ⎠ ρ1

(9.35)

Finalmente el flujo másico crítico wc es: wc = AT

⎛ 2 ⎞ kg c p1 ρ1 ⎜ ⎟ ⎝ k + 1⎠

( k +1) /( k −1)

(9.36)

En relación a la figura se tienen varias situaciones según la presión de salida p2. p2 A B C

D

E

F

Fenómenos. Si la presión de salida es ligeramente inferior a la del recipiente, existe un flujo de descarga pequeño. Se puede evaluar utilizando la ecuación (9.32) sustituyendo A = A2 (área de salida) y p =p2. La ecuación (9.32) entrega la variación de presión en la tobera. El flujo es siempre subsónico. Lo mismo que en A, excepto que la velocidad de flujo es más grande. Si la presión de salida se reduce suficientemente, la velocidad en la garganta alcanza el valor dado por la ecuación (9.35). En la sección divergente, la presión crece y el flujo es subsónico. Para una presión de salida entre C y E, no hay solución continua posible. El flujo, que es crítico, es supersónico por una cierta distancia más allá de la garganta, sin embargo existe un incremento repentino de la presión, conocido como “shock”, y a continuación de esto el flujo es subsónico. El “shock” es un fenómeno irreversible, que resulta en bruscos cambios en velocidad, presión y temperatura sobre una extremadamente corta distancia de unas pocas moléculas en espesor. Para el mismo flujo másico crítico como en C, la ecuación (9.32) tiene una segunda raíz, correspondiente a una presión de salida E. En este caso, sin embargo, existe un continuo decrecimiento de la presión en el difusor, donde el flujo es ahora supersónico. Para una presión de salida más baja que E, una posterior expansión irreversible ocurre justo afuera de la tobera.

Si no hay difusor, el flujo es esencialmente aquel que se obtiene a través de un orificio de un estanque a presión. El flujo será subsónico si la presión de salida excede pcT. Si la presión de salida es igual a pcT, entonces se obtiene un flujo crítico con velocidad sónica a través del orificio. Y si cae bajo este valor, aun se obtendrá flujo crítico, pero con una posterior expansión irreversible justo afuera del orificio.

SOLUCIÓN GRÁFICA PARA FLUJO COMPRESIBLE Considere la descarga de un estanque de grandes dimensiones, como la situación presentada en la figura 9.5:

Figura 9.5. Descarga de un estanque a través de una tubería Se define el parámetro Gci, como el flujo másico máximo por unidad de área hipotético que se alcanza con una expansión isotérmica del gas a través del sistema mostrado en la Figura 9.5, cuando N = 0, es decir en el punto 1 o de descarga. Gci =

g C ⋅ p0 ⋅ ρ 0 gC ⋅ M = p0 2,718 2,718 ⋅ R ⋅ T0

⎡ lbm ⎤ ⎢ 2 ⎥ ⎣ ft ⋅ s ⎦

(9.37)

Gráficamente a partir de ecuaciones de balances de energía y de continuidad Lapple determinó para diferentes tipos de flujo (k = 1.0, 1.4 y 1.8), la relación que existe entre la razón G/Gci (flujo másico superficial G en la cañería y el parámetro Gci) con la razón de presiones (p2/p0) o (p3/p0), para diversos valores de N, número de alturas de velocidad, asociados con la resistencia por fricción en la cañería. • G, Gci, p0, p1, p2 y p3 definidos según esquema de descarga. • Otros flujos según valores de k se pueden obtener por interpolación. Los gráficos de Lapple también identifican un flujo másico superficial máximo Gmáx, obtenido de la razón (G/Gci)c crítica o máxima, de acuerdo a las presiones que se desarrollen a lo largo de la cañería. El valor aludido, para un N cualquiera, se obtiene cuando la curva en el gráfico se hace vertical. Las razones (p2/p0) y (p3/p0) son iguales, para un N cualquiera, si la razón G/Gci es menor que el valor crítico o máximo (G/Gci)c. Sólo cuando se alcanza la razón (G/Gci)c, para un N cualquiera, (p3/p0) puede ser menor que el valor de (p2/p0). En ese caso el flujo es el máximo e independiente del valor de (p3/p0). La razón (p2/p0) se conserva fija, ya que corresponde a la presión p2* crítica definida antes.

Figura 9.6. Gráfico de Lapple para flujo isotérmico k =1.0

Figura 9.7. Gráfico de Lapple para flujo adiabático k =1.4

Figura 9.8. Gráfico de Lapple para flujo adiabático k =1.8 Una situación para el cálculo de flujos compresibles se puede plantear conociendo las condiciones al interior de la cañería. Suponga conocidas las condiciones de presión y temperatura en 1 y el flujo másico superficial G que circula por la cañería. 1

2

Para resolver este sistema de modo de conocer la presión y temperatura en un punto 2 cualquiera. Se puede plantear un arreglo ficticio formado por un estanque a presión y temperatura p0 y T0, para las condiciones hipotéticas de entrada dadas por el punto 1.

Entonces suponiendo un estanque en condiciones “0” desconocidas:

Se define G’ci:

Gci' = p1 ·

g c ·M e·R·T1

(9.38)

Se puede escribir la razón entre las ecuaciones (9.37) y (9.38):

Gci p T = 0· 1 ' p1 T0 Gci p1 p0 G G = ' · GCI GCI T1 T0

(9.40)

p2 p0 p2 = p1 p1 p0

(9.41)

T2 T0 T2 = T1 T1 T0

(9.42)

Método de cálculo: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

Se determina G’ci con (9.38) Se supone G/Gci Se determina para N=0: p1/p0 y T1/T0 Se calcula G/Gci de (9.40) y se chequea. Si cumple, entonces se determina para N=N: p2/p0 y T2/T0 Si no cumple se itera con G/Gci

PROBLEMAS RESUELTOS 1. Gas natural (metano, se asume como gas ideal) circula estacionariamente a 55 ºF por una cañería horizontal de 12” de diámetro nominal de 20 millas de longitud, con un factor de fricción f = 0.014. Si la presión de entrada es de 100 [psia], que presión de salida correspondería con la velocidad de flujo máximo en la cañería? Si la presión de salida real es de 10 [psia], cual es la velocidad de flujo del gas en [lbm/h]? Repetir para flujo adiabático considerando T1 = 55 ºF, (k = 1.31). ISOTÉRMICO Datos generales: T [ºR] f

515 0.014

M N

L [millas]

20

p1 [psia]

L [ft] D [ft]

105600 1

16 1478.4 2

p1 [lbf/ft ]

100 14400

Determinación de la presión crítica de salida p2*: 2

2

⎛p ⎞ ⎛ p1 ⎞ ⎜⎜ ∗ ⎟⎟ − ln⎜⎜ 1* ⎟⎟ = N + 1 ⎝ p2 ⎠ ⎝ p2 ⎠ Tabla para el cálculo numérico de p2*: p1 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400

p2 380.00 379.00 378.00 377.00 376.00 375.00 374.00 373.90 373.80 373.70 373.60 373.50 373.49 373.48 373.47 373.46 373.45

(p1/p2)2 1436.01 1443.60 1451.25 1458.96 1466.73 1474.56 1482.46 1483.25 1484.04 1484.84 1485.63 1486.43 1486.51 1486.59 1486.67 1486.75 1486.83

2ln(p1/p2) 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3 7.3

Resultado: p2* 373.47 [lbf/ft2]

2.59 [psia]

diferencia 1428.74 1436.32 1443.97 1451.67 1459.44 1467.26 1475.15 1475.95 1476.74 1477.53 1478.33 1479.12 1479.20 1479.28 1479.36 1479.44 1479.52

N+1 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40

DELTA 50.66 43.08 35.43 27.73 19.96 12.14 4.25 3.45 2.66 1.87 1.07 0.28 0.20 0.12 0.04 -0.04 -0.12

Determinación del flujo máximo G2máx: 2 Gmáx =

g c ρ1 p1 g ρ p 1 + N + ln c 21 1 Gmáx

Tabla para el cálculo numérico de G2máx: Gmáx2 90 90.1 90.2 90.3 90.31 90.32 90.33 90.34 90.35 90.36 90.37 90.38 90.39 90.4 90.41 90.42 90.43

gcρ1p1 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714 134265.714

N+1 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40 1479.40

LN(gcρ1p1/Gmáx2) 7.307766386 7.306655891 7.305546629 7.304438595 7.30432786 7.304217136 7.304106425 7.303995726 7.303885039 7.303774364 7.303663702 7.303553052 7.303442414 7.303331789 7.303221175 7.303110574 7.302999985

DELTA -0.31 -0.21 -0.11 -0.01 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10 0.11 0.12

Gmáx 9.49 9.49 9.50 9.50 9.50 9.50 9.50 9.50 9.51 9.51 9.51 9.51 9.51 9.51 9.51 9.51 9.51

Resultado: Gmáx 9.50 [lbm/ft2s]

Determinación de la velocidad de flujo del gas en [lbm/h] para una presión de salida p2 de 10 [psia]: G2 =

[

]

gc M p12 − p22 2 RT ⎡ ⎛ p2 ⎞ ⎤ ⎢ N − ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ p1 ⎠ ⎥⎦

p1 14400

p2 1440

gcM/RT 0.000647501

(p1)2 - (p2)2 2ln(p2/p1) 205286400.0 -4.6

N 1478.4

G2 89.63

G 9.47 [lbm/ft2s]

Resultado: Aflujo

0.785

[ft2]

W

7.44

[lbm/s]

W

26768

[lbm/h]

ADIABÁTICO Datos generales: T1 [ºR] f

515 0.014

M N

L [millas]

20

p1 [psia]

L [ft] D [ft]

105600 1

16 1478.4 2

p1 [lbf/ft ] k

100 14400 1.31

Determinación de la presión crítica de salida p2*: ⎛ 2 ⎞⎛ p1 ⎞ ⎜ ⎟⎜⎜ ∗ ⎟⎟ ⎝ k + 1 ⎠⎝ p2 ⎠

k +1 k

⎛p ⎞ − ln⎜⎜ 1* ⎟⎟ ⎝ p2 ⎠

2/ k

⎛ 2 ⎞ = N +⎜ ⎟ ⎝ k +1⎠

Tabla para el cálculo numérico de p2*: p1 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400 14400

p2 220.00 219.00 218.00 217.00 216.00 215.00 214.00 213.00 212.00 211.00 210.90 210.80 210.70 210.60 210.50 210.40 210.30 210.20 210.10

(2/(k+1))(p1/p2)(k+1)/k 1379.02 1390.15 1401.41 1412.82 1424.37 1436.08 1447.93 1459.94 1472.10 1484.43 1485.67 1486.91 1488.16 1489.40 1490.65 1491.90 1493.15 1494.40 1495.66

(2/k)ln(p1/p2) 6.38 6.39 6.40 6.40 6.41 6.42 6.43 6.43 6.44 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45 6.45

Resultado: p2* 210.90 [lbf/ft2]

1.46 [psia]

Determinación del flujo máximo G2máx:

2 = Gmáx

⎛ k ⎞ 2 g c ρ1 p1 ⎜ ⎟ ⎝ k +1⎠ 2

⎛ g kρ p ⎞ k +1 ⎛ 2 ⎞ ⎜ ⎟ + N + ln⎜⎜ c 2 1 1 ⎟⎟ ⎝ k +1⎠ ⎝ Gmáx ⎠

diferencia 1372.64 1383.76 1395.01 1406.41 1417.96 1429.66 1441.50 1453.50 1465.66 1477.98 1479.22 1480.46 1481.71 1482.95 1484.20 1485.45 1486.70 1487.95 1489.21

N+(2/(k+1)) 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27 1479.27

DELTA 106.63 95.51 84.25 72.85 61.31 49.61 37.76 25.76 13.60 1.29 0.04 -1.20 -2.44 -3.69 -4.93 -6.18 -7.43 -8.69 -9.94

Tabla para el cálculo numérico de G2máx: Gmáx2 2gcρ1p1(k/(k+1)) N+(2/(k+1)) 100.00 152284.0566 1479.27 101.00 152284.0566 1479.27 102.00 152284.0566 1479.27 102.10 152284.0566 1479.27 102.20 152284.0566 1479.27 102.30 152284.0566 1479.27 102.40 152284.0566 1479.27 102.41 152284.0566 1479.27 102.42 152284.0566 1479.27 102.43 152284.0566 1479.27 102.44 152284.0566 1479.27 102.45 152284.0566 1479.27 102.46 152284.0566 1479.27 102.47 152284.0566 1479.27 102.48 152284.0566 1479.27 102.49 152284.0566 1479.27 102.50 152284.0566 1479.27 102.51 152284.0566 1479.27 102.52 152284.0566 1479.27

(2/(k+1))ln(gckρ1p1/Gmáx2) 6.469638967 6.461023962 6.452493835 6.451645427 6.450797849 6.4499511 6.449105178 6.449020631 6.448936093 6.448851562 6.44876704 6.448682527 6.448598021 6.448513524 6.448429035 6.448344554 6.448260082 6.448175618 6.448091161

DELTA -2.49742484 -1.49801917 -0.49860765 -0.39866618 -0.29872466 -0.19878307 -0.09884143 -0.08884727 -0.0788531 -0.06885893 -0.05886476 -0.04887059 -0.03887642 -0.02888225 -0.01888808 -0.00889391 0.00110026 0.01109444 0.02108861

Gmáx 10.00 10.05 10.10 10.10 10.11 10.11 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.12 10.13

Resultado: Gmáx 10.12 [lbm/ft2s]

Determinación de la velocidad de flujo del gas en [lbm/h] para una presión de salida p2 de 10 [psia]:

G2 =

k −1 k 1

2 g c Mp RT1

k +1 ⎡ kk+1 ⎤ k − p p ⎢ 1 2 ⎥ ⎣ ⎦

k 2/ k k +1 ⎡ ⎛ p2 ⎞ ⎤ ⎢ N − ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ p1 ⎠ ⎥⎦

p1

p2

2gcM/RT

14400

1440

0.001295001

(k-1)/k

(k/(k+1)p1

5.466373405

(k+1)/k

(p1)

(k+1)/k

- (p2)

21141249.6

2

(2/k)ln(p2/p1)

N

G

G

-3.5

1478.4

100.99

10.05 2

[lbm/ft s]

Resultado: Aflujo

0.785

[ft2]

W

7.89

[lbm/s]

W

28414

[lbm/h]

2. Etileno debe ser bombeado a lo largo de una cañería de 6” de diámetro interno por una distancia de 5 millas a una velocidad de flujo másico de 2.0 [lbm/s]. La presión de suministro al final de la cañería debe ser de 2.0 atmósferas absolutas, y el flujo se puede considerar isotérmico a 60ºF. Si el factor de fricción f = 0.012, calcular la presión de entrada requerida. Asumir comportamiento de gas ideal, y justificar cualquier suposición adicional. Repetir para flujo adiabático considerando T1 = 60ºF, (k = 1.255) ISOTÉRMICO Datos generales: T [ºR]

520

f

M

0.012

28

N

W [lbm/s]

5

p2 [atm]

2.0

L [ft]

26400

p2 [psia]

29.4

D [ft]

2

p2 [lbf/ft ]

0.5

0.196

2

10.19

Aflujo [ft ]

633.6

L [millas]

2.0

2

G [lbm/ft s]

4233.6

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación general: G2 =

[

]

gc M p12 − p22 2 RT ⎡ ⎛ p2 ⎞ ⎤ ⎢ N − ln⎜⎜ ⎟⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ p1 ⎠ ⎥⎦

Tabla para el cálculo numérico de p1: 2

p1

p2

gcM/RT

(p1) - (p2)

8788.0

4233.6

0.001122231

8768.0

4233.6

8758.0

2

2ln(p2/p1)

N

59305575.0

-1.5

633.6

0.001122231

58954455.0

-1.5

4233.6

0.001122231

58779195.0

8757.0

4233.6

0.001122231

8756.0

4233.6

0.001122231

8755.0

4233.6

8754.9

2 calculado

G

2

G

G

DELTA

104.80

103.75

10.19

1.05

633.6

104.18

103.75

10.19

0.43

-1.5

633.6

103.87

103.75

10.19

0.12

58761680.0

-1.5

633.6

103.84

103.75

10.19

0.09

58744167.0

-1.5

633.6

103.81

103.75

10.19

0.06

0.001122231

58726656.0

-1.5

633.6

103.78

103.75

10.19

0.03

4233.6

0.001122231

58724905.1

-1.5

633.6

103.78

103.75

10.19

0.02

8754.8

4233.6

0.001122231

58723154.1

-1.5

633.6

103.77

103.75

10.19

0.02

8754.7

4233.6

0.001122231

58721403.1

-1.5

633.6

103.77

103.75

10.19

0.02

8754.6

4233.6

0.001122231

58719652.2

-1.5

633.6

103.77

103.75

10.19

0.01

8754.5

4233.6

0.001122231

58717901.3

-1.5

633.6

103.76

103.75

10.19

0.01

8754.4

4233.6

0.001122231

58716150.4

-1.5

633.6

103.76

103.75

10.19

0.01

8754.3

4233.6

0.001122231

58714399.5

-1.5

633.6

103.76

103.75

10.19

0.00

8754.2

4233.6

0.001122231

58712648.7

-1.5

633.6

103.75

103.75

10.19

0.00

8754.1

4233.6

0.001122231

58710897.8

-1.5

633.6

103.75

103.75

10.19

0.00

8754.0

4233.6

0.001122231

58709147.0

-1.5

633.6

103.75

103.75

10.19

-0.01

Resultado: p1

8754.2 [lbf/ft2]

60.79 [psia]

4.14 [atm]

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación de Weymouth:

G2 =

[

gc M 2 p1 − p22 RTN

]

gcM/NRT G2 1.7712E-06 103.75

p22 p12 p1 17923368.96 76501202.3 8746.5

Resultado: 8746.5 [lbf/ft2]

p1

60.74 [psia]

4.13 [atm]

ADIABÁTICO Datos generales: T1 [ºR]

520

M

28

W [lbm/s]

2.0

f

0.012

N

633.6

Aflujo [ft2]

0.196

L [millas]

5

p2 [atm]

2.0

G [lbm/ft2s]

10.19

L [ft]

26400

p2 [psia]

29.4

k

1.255

D [ft]

0.5

2

p2 [lbf/ft ]

4233.6

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación general:

G2 =

k −1 k 1

2 g c Mp RT1

k +1 ⎡ kk+1 ⎤ k ⎢ p1 − p2 ⎥ ⎣ ⎦

k 2/ k k +1 ⎡ ⎛ p2 ⎞ ⎤ ⎜ ⎟ ⎢ N − ln⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣ ⎝ p1 ⎠ ⎥⎦

Tabla para el cálculo numérico de p1: p1

p2

2gcM/RT1

(k-1)/k

(k/(k+1)p1

(k+1)/k

(p1)

(k+1)/k

- (p2)

(2/k)ln(p2/p1)

N

2 calculado

G

2

G

G

DELTA

8600.0 4233.6

0.002244461

3.507010805

8452124.6

-1.1

633.6

104.8157244 103.75 10.19

8590.0 4233.6

0.002244461

3.50618184

8427613.7

-1.1

633.6

104.4873629 103.75 10.19

1.06 0.73

8580.0 4233.6

0.002244461

3.505352105

8403125.5

-1.1

633.6

104.1594023 103.75 10.19

0.41

8570.0 4233.6

0.002244461

3.5045216

8378660.0

-1.1

633.6

103.8318427 103.75 10.19

0.08

8569.0 4233.6

0.002244461

3.504438507

8376214.7

-1.1

633.6

103.7991088 103.75 10.19

0.05

8568.0 4233.6

0.002244461

3.504355406

8373769.6

-1.1

633.6

103.7663789 103.75 10.19

0.01

8567.9 4233.6

0.002244461

3.504347095

8373525.1

-1.1

633.6

103.7631061 103.75 10.19

0.01

8567.8 4233.6

0.002244461

3.504338785

8373280.6

-1.1

633.6

103.7598334 103.75 10.19

0.01

8567.7 4233.6

0.002244461

3.504330474

8373036.1

-1.1

633.6

103.7565607 103.75 10.19

0.00

8567.6 4233.6

0.002244461

3.504322163

8372791.6

-1.1

633.6

103.753288 103.75 10.19

0.00

8567.5 4233.6

0.002244461

3.504313852

8372547.1

-1.1

633.6

103.7500154 103.75 10.19

0.00

8567.4 4233.6

0.002244461

3.504305542

8372302.7

-1.1

633.6

103.7467429 103.75 10.19

-0.01

8567.3 4233.6

0.002244461

3.504297231

8372058.2

-1.1

633.6

103.7434703 103.75 10.19

-0.01

8567.2 4233.6

0.002244461

3.50428892

8371813.7

-1.1

633.6

103.7401979 103.75 10.19

-0.01

8567.1 4233.6

0.002244461

3.504280608

8371569.2

-1.1

633.6

103.7369254 103.75 10.19

-0.02

8567.0 4233.6

0.002244461

3.504272297

8371324.8

-1.1

633.6

103.733653 103.75 10.19

-0.02

Resultado: p1

8567.6 [lbf/ft2]

59.50 [psia]

4.05 [atm]

Determinación de la presión de entrada p1 con ecuación de Weymouth: k −1

k +1 k +1 ⎤ 2 g Mp k k ⎡ k k − p p G2 = c 1 ⎢ 1 2 ⎥ NRT1 k + 1 ⎣ ⎦

Tabla para el cálculo numérico de p1: p1 8563.0 8562.9 8562.8 8562.7 8562.6 8562.5 8562.4 8562.3 8562.2 8562.1 8562.0 8561.9 8561.8

G2 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75 103.75

2gcM/NRT1 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06 3.54239E-06

(k/(k+1)p1(k-1)/k (p1)(k+1)/k - (p2)(k+1)/k 3.503939786 8361547.6 3.503931472 8361303.3 3.503923157 8361058.9 3.503914843 8360814.5 3.503906528 8360570.1 3.503898213 8360325.8 3.503889899 8360081.4 3.503881584 8359837.0 3.503873269 8359592.7 3.503864954 8359348.3 3.503856639 8359103.9 3.503848324 8358859.6 3.503840009 8358615.2

G2calculado 103.79 103.78 103.78 103.78 103.77 103.77 103.77 103.76 103.76 103.76 103.75 103.75 103.75

DELTA -0.03 -0.03 -0.03 -0.02 -0.02 -0.02 -0.01 -0.01 -0.01 0.00 0.00 0.00 0.01

Resultado: p1

8562.0 [lbf/ft2]

59.46 [psia]

4.04 [atm]

3. Calcular la velocidad de descarga de aire a la atmósfera, desde un recipiente a P0=150 psig y T0 = 70ºF a través de tubería de 33 ft de largo, con diámetro de 2”, Sch 40, acero comercial y 3 codos medio.

Figura. Problema ejemplo, flujo de gases Para el análisis, se tiene que determinar primero el valor de N.

N= f⋅

L D

Considerando flujo turbulento para un ε /D de 0.0004, se puede suponer un f = 0.016 Se calcula N: Resistencia L/D entrada cañería recta 3 codos Σ

N=f·L/D 0.50 (se asume) 3.06 1.44 5.00

Haciendo los cambios de unidades adecuados: P0 = (150+14.7) = 164.7 psia = 164.7 · 144 = 23700 lbf/pie2 P3 = 14.7 psia = 14.7 · 144 = 2210 lbf/pie2 T0 = 70 ºF = 70 + 460 = 530 ºR

Se calcula según la ecuación (9.37): Gci = P0

G ci = 23700 ⋅

32 .17 ⋅ 29 2 .718 ⋅ 1545 ⋅ 530

g C ⋅ (PM ) 2,718 ⋅ R ⋅ T0

⎛ lb f ⎞ 3 ⎜ 2 ⎟ ft ft ⎠ R = 1545⎝ lb-molº R

==> Gci = 486 [lbm/ft2·s] D = 2.067/12 = 0.1722 ft A = 0.0233 ft2 Caso k (P3/P0) N (G/Gci) Gci G (lb/pie·s) G·A = W T2/T0 T2 (ºF)

Isotérmico 1.0 0.0893 5.0 0.545 486 265 6.18 1 79

Adiabático 1.4 0.0893 5.0 0.565 486 275 6.41 0.833 -18

Temp. media µ Re

70

(70-18)/2 = 26

1.21·10-5 lbm/ft·s 3.77·106

1.14·10-5 lbm/ft·s 4.16·106

Presiones P2 y P1

(P1/P0) (P2/P0) G = cte Gci

Isotérmico 0.91 0.32

Adiabático 0.89 0.26

f = 0,016