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EA611 – Circuitos II Cap´ıtulo 2 Circuitos trif´ asicos Carlos A. Castro DSE/FEEC/UNICAMP

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

EA611 – Cap´ıtulo 2

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Introdu¸c˜ ao

A maior parte da energia el´etrica distribu´ıda no mundo ´e feita sob a forma de sistemas trif´ asicos O sistema trif´asico realmente oferece significativas vantagens em rela¸c˜ao ao monof´asico: O sistema trif´asico usa menor quantidade de cobre ou alum´ınio para entregar a mesma potˆencia que um sistema monof´asico equivalente Geradores e transformadores trif´asicos s˜ao menores e mais leves que seus equivalentes monof´asicos por usarem com maior eficiˆencia seus enrolamentos Um motor trif´asico ´e menor que seu correspondente monof´asico de mesma potˆencia Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Introdu¸c˜ ao

Em fun¸c˜ao do campo magn´etico girante produzido pelas trˆes fases, motores trif´asicos partem sem a necessidade de dispositivos especiais O campo magn´etico pulsante dos motores monof´asicos exige um enrolamento extra e componentes auxiliares para a partida Retificadores trif´asicos apresentam menos ondula¸c˜ao na tens˜ao retificada (ripple) que os monof´asicos A potˆencia total em um sistema trif´asico nunca ´e nula No sistema monof´asico anula-se sempre que a tens˜ao ou a corrente passam pelo zero (os motores monof´asicos s´ o continuam girando gra¸cas `a in´ercia)

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Introdu¸c˜ ao

A potˆencia instantˆanea total, em um sistema trif´asico equilibrado ´e constante, ou seja, n˜ao varia no tempo1 Esta caracter´ıstica ´e extremamente importante e surpreendente, residindo nela a superioridade do desempenho de muitos dispositivos trif´asicos Motores trif´asicos produzem um conjugado (torque) constante, o que n˜ao ´e poss´ıvel nos motores monof´asicos Devido ao conjugado constante, os motores trif´asicos s˜ao menos sujeitos a vibra¸co˜es

1

Deve-se ressaltar que, para sistemas n-f´ asicos em que n > 1, a potˆ encia instantˆ anea total ´ e sempre constante.

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Introdu¸c˜ ao

Problemas em um condutor n˜ ao interrompem o atendimento da carga como um todo Os sistemas trif´asicos em particular apresentam as seguintes vantagens com rela¸c˜ao a outros sistemas polif´ asicos: Considerando a capacidade de potˆencia e o n´ umero de condutores necess´arios, os sistemas trif´asicos apresentam a melhor rela¸c˜ao custo-benef´ıcio. Um sistema pentaf´asico requer dois condutores a mais para um acr´escimo de capacidade de potˆencia de somente 3% Os sistemas trif´asicos requerem menor volume de material. Para transmitir uma certa quantidade de potˆencia com as mesmas perdas de potˆencia na transmiss˜ao, um sistema pentaf´asico requer aproximadamente 21% mais material que o trif´asico Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

De maneira geral, tens˜ oes n-f´ asicas s˜ ao obtidas atrav´es da coloca¸c˜ao de n bobinas uniformemente espa¸cadas no estator de uma m´aquina el´etrica

Potˆencia mecˆanica (turbina, motor)

Potˆencia el´etrica

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Se trˆes bobinas idˆenticas forem colocadas no estator de um gerador, ser˜ao induzidas trˆes tens˜ oes, nas bobinas aa′ , bb ′ e cc ′ : b′

c

N I

a

I

a′

ω S c′

Lei de Faraday da Indu¸c˜ ao Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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b

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Gera¸ca˜o de tens˜ ao trif´ asicas

Devido `a disposi¸c˜ao das bobinas, as trˆes tens˜oes induzidas no estator estar˜ ao defasadas de 120◦ umas das outras e os seus valores eficazes ser˜ ao iguais Se as extremidades a′ , b ′ e c ′ das bobinas forem conectadas, formando um ponto de potencial comum n (ponto neutro), tem-se:

a b cn

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a′

a

b′

b

c′

c

n

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Se o rotor do gerador girar no sentido indicado, seu p´ olo norte passar´a pelas extremidades livres das bobinas na sequˆencia a → b → c b′

c

N I

a

I

a′

ω

Sequˆencia de fases ABC

S c′

b

n

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

As tens˜oes instantˆaneas resultantes nas trˆes bobinas ser˜ao iguais a:  √ 2Vef sen ωt V v (t) =  an   √ 2Vef sen (ωt − 120◦ ) V vbn (t) =   √ √  vcn (t) = 2Vef sen (ωt − 240◦ ) = 2Vef sen (ωt + 120◦ ) V A tens˜ao da fase a (bobina aa′ ) foi tomada como referˆencia angular. Qualquer uma das tens˜ oes pode ser considerada como referˆencia angular e a defasagem entre elas permanecer´ a constante igual a 120◦ Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas 16,667 ms – 60 Hz

Pico (Vp =

√

2Vef ) 120◦

RMS (Vef )

Fonte: http://www.atualaudio.com.br Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

As formas de onda das tens˜ oes induzidas s˜ ao:

a′

a

b′

b

n c′

c

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van (t) vbn (t) vcn (t)

ωt [rad] 2π 3

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4π 3

2π

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Se o rotor do gerador for girado no sentido oposto ao mostrado anteriormente, as tens˜ oes induzidas no estator ser˜ao: b′

c

N I

a

I

a′

ω S c′ n

b

 √ v (t) = 2Vef sen ωt V  an   √ 2Vef sen (ωt + 120◦ ) V vbn (t) =   √  2Vef sen (ωt − 120◦ ) V vcn (t) =

ou seja, h´a uma invers˜ ao entre as tens˜ oes vbn (t) e vcn (t)

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Gera¸ca˜o de tens˜ ao trif´ asicas

As trˆes formas de onda ficam: van (t) vcn (t) vbn (t)

ωt [rad] 2π 3

b′

4π 3

2π

c

N I

a

I

a′

ω

Sequˆencia de fases ACB

S c′

b

n

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Os fasores associados ` as tens˜ oes geradas para as diferentes sequˆencias de fases s˜ao:

Sequˆencia ABC:

Sequˆencia ACB:

Vˆan = Vef ∠0◦ V Vˆbn = Vef ∠ (−120◦ ) V Vˆcn = Vef ∠120◦ V

Vˆan = Vef ∠0◦ V Vˆbn = Vef ∠120◦ V Vˆcn = Vef ∠ (−120◦ ) V

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Diagramas fasoriais das tens˜ oes trif´ asicas geradas para as duas sequˆencias de fases poss´ıveis: c

b

Vˆbn

Vˆcn Vˆan n

Vˆan

a

n

Vˆbn

a

Vˆcn

c

b

ACB

ABC Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

 Exemplo Considere as tens˜oes induzidas no gerador trif´ asico abaixo (sequˆencia de fases ABC). Obtenha as tens˜ oes medidas atrav´es de um volt´ımetro conectado entre as extremidades livres das bobinas do estator.

a′

a

b′

b

c′

c

n

 van (t)    vbn (t)    vcn (t)

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=

√

2Vef sen ωt V

=

√

=

√

2Vef sen (ωt − 120◦ ) V 2Vef sen (ωt − 240◦ ) =

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√

2Vef sen (ωt + 120◦ ) V

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Volt´ımetro conectado entre as extremidades livres das bobinas das fases a e b: Gerador replacements

a′

a

−

Vˆan

+

+ Vˆab

n

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−

Vˆbn

+

b′

b

c′

c

V

−

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

A tens˜ao entre os terminais a e b ´e obtida atrav´es da aplica¸c˜ao da lei das tens˜ oes de Kirchhoff para a malha indicada na figura:   Vˆab = Vˆan − Vˆbn = Vˆan + −Vˆbn a′

−

a Vˆan

+

+ Vˆab

n

− b′

Vˆbn

+

V

−

b

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= Vef ∠0◦ − Vef ∠ (−120◦ ) " √ # 1 3 = Vef − Vef − − j 2 2 # " "√ √ # √ 1 3 3 3 = 3Vef +j +j = Vef 2 2 2 2 √ = 3Vef [cos 30◦ + j sen 30◦ ] √ = 3Vef ∠30◦ V EA611 – Cap´ıtulo 2

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Diagrama fasorial com a obten¸c˜ ao gr´ afica de Vˆab :

−Vˆbn

Vˆab

30◦

n

Vˆan Vˆbn

a

Vˆab

b Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

A rela¸c˜ao entre Vˆab e Vˆan ´e: Vˆab = Vˆan

√

3Vef ∠30◦ √ = 3 ∠30◦ Vef ∠0◦

→

Vˆab = Vˆan ·

√ 3 ∠30◦ V

√ A tens˜ao entre as extremidades a e b apresenta um valor eficaz 3 vezes maior e est´a 30◦ adiantada em rela¸c˜ ao ` a tens˜ ao sobre a bobina da fase a. Utilizando procedimento idˆentico, pode-se obter as tens˜oes entre as demais extremidades livres: √ √ Vˆbc = Vˆbn − Vˆcn = 3Vef ∠ (−90◦ ) = Vˆbn · 3 ∠30◦ V √ √ Vˆca = Vˆcn − Vˆan = 3Vef ∠150◦ = Vˆcn · 3 ∠30◦ V

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Para sequˆencia de fases ABC

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Tens˜ ao de linha

Tens˜ ao de fase Tens˜ oes trif´ asicas Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Fonte em Y IˆL

a b

+ VˆL −

IˆF

No bipolo:

VˆF – tens˜ ao de fase IˆF – corrente de fase

Na sa´ıda da fonte:

VˆL – tens˜ ao de linha IˆL – corrente de linha

No bipolo:

VˆF – tens˜ ao de fase IˆF – corrente de fase

Na sa´ıda da fonte:

VˆL – tens˜ ao de linha IˆL – corrente de linha

+ Vˆ − F

n

c

Fonte em ∆ IˆL

a b

+ VˆL −

+ VˆF −

IˆF

c

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Diagrama fasorial completo, com as seis tens˜ oes poss´ıveis, para a sequˆencia de fases ABC: c Vˆca Vˆcn

Vˆbc

Vˆbn

a Vˆan Vˆab

b Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

Verifica-se que: Vˆan + Vˆbn + Vˆcn = 0 e: Vˆab + Vˆbc + Vˆca = 0 ou seja, a soma das tens˜ oes de fase e a soma das tens˜oes de linha s˜ao iguais a zero

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Gera¸c˜ ao de tens˜ ao trif´ asicas

 Exerc´ıcio Para ao de linha Vˆab tem um valor eficaz √ a sequˆencia de fases ABC a tens˜ 3 vezes maior que a tens˜ ao de fase Vˆan e est´ a 30◦ adiantada em rela¸c˜ao a tens˜ao de fase. Verifique que, para a sequˆencia de fases for ACB, a ` rela¸c˜ao entre os valores eficazes ser´ a a mesma, com a tens˜ao de linha atrasada de 30◦ em rela¸c˜ao ` a tens˜ ao de fase.



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Conex˜ oes trif´ asicas

Basicamente, tanto as fontes como as cargas trif´ asicas podem ser conectadas formando as seguintes liga¸c˜ oes:

Triˆangulo ou ∆ (Delta) Estrela ou Y – com neutro Estrela ou Y – sem neutro

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Conex˜ oes trif´ asicas

Conex˜ oes para cargas trif´ asicas em Y (o neutro da carga pode ou n˜ ao estar ligado ao neutro da fonte, que por sua vez pode ou n˜ao estar aterrado): a

a Z1

b

n c

c Z3

Z2 n

b a

b

n

b

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Z2

Com neutro

Z3

a Z1

c

Z1

c Z3

Z2 n

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Z1 Z2

Sem neutro

Z3

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Conex˜ oes trif´ asicas

Conex˜ oes para cargas trif´ asicas em ∆:

a

b

a Z1

Z3

Z1 b

Z2

Z2

c

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Z3

c

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Conex˜ oes trif´ asicas

Se as trˆes impedˆancias da carga forem iguais (Z1 = Z2 = Z3 ), a carga ´e chamada de equilibrada Caso contr´ario, a carga trif´ asica ser´ a desequilibrada

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Conex˜ oes trif´ asicas

Se as tens˜oes de fase (e de linha) fornecidas pela fonte tiverem o mesmo valor eficaz e estiverem defasadas de 120◦ umas das outras, a fonte ser´a chamada de equilibrada Na pr´atica, considera-se todas as fontes como sendo equilibradas

Assim, um circuito trif´ asico ´e considerado equilibrado se a carga ´e equilibrada Da mesma forma, o circuito ser´ a desequilibrado se a carga for desequilibrada

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em estrela (Y)

Circuito trif´asico com fonte equilibrada conectada em estrela, e carga equilibrada ligada em Y com neutro. A impedˆancia da carga ´e Z = 120 + j 160 Ω Fonte

Carga IˆA

A ∼

IˆB

B ∼

IˆC

C ∼ N

127 V

IˆN

a

Z

b

Z

c

Z

n

chave fechada Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em estrela (Y) Fonte

Carga IˆA

A ∼

IˆB

B ∼

IˆC

C ∼ N

127 V

IˆN

a

Z

b

Z

c

Z

n

chave fechada

Associa¸c˜ao modelo × realidade

Rede

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em estrela (Y)

As letras mai´ usculas A, B, C e N indicam os terminais da fonte As letras min´ usculas a, b, c e n indicam os terminais da carga Com rela¸c˜ao `a fase A, considera-se que os pontos A e a sejam ligados por um condutor ideal, n˜ ao havendo, portanto, diferen¸ca de potencial entre eles. O mesmo vale para as fases B e C , e para o condutor neutro Considerando a sequˆencia de fases ABC e a tens˜ ao de fase A como referˆencia angular, as tens˜ oes de fase fornecidas pela fonte s˜ao iguais a: VˆAN = 127 ∠0◦ V VˆBN = 127 ∠ (−120◦ ) V VˆCN = 127 ∠120◦ V Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em estrela (Y)

Naturalmente, as tens˜ oes de fase aplicadas sobre a carga s˜ao: Vˆan = VˆAN Vˆbn = VˆBN Vˆcn = VˆCN As tens˜oes de linha s˜ ao:

√ √ VˆAB = Vˆab = VˆAN · 3 ∠30◦ = 127 3 ∠30◦ V = 220 ∠30◦ V VˆBC = Vˆbc = 220 ∠ (−90◦ ) V VˆCA = Vˆca = 220 ∠150◦ V

A impedˆancia de carga vale: Z = R + j X = 120 + j 160 = 200 ∠53,13◦ Ω Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em estrela (Y)

As tens˜oes de fase s˜ao aplicadas sobre cada impedˆancia e as correntes de linha, que s˜ao aquelas fornecidas pela fonte, valem: Vˆan VˆAN 127 ∠0◦ IˆA = = = = 0,635 ∠ (−53,13◦ ) A Z Z 200 ∠53,13◦ VˆBN 127 ∠ (−120◦ ) Vˆbn = = = 0,635 ∠ (−173,13◦ ) A IˆB = Z Z 200 ∠53,13◦ Vˆcn VˆCN 127 ∠120◦ IˆC = = = = 0,635 ∠66,87◦ A Z Z 200 ∠53,13◦

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em estrela (Y)

As correntes de linha tˆem o mesmo valor eficaz e s˜ao defasadas de 120◦ umas das outras. Assim, basta calcular a corrente de uma das fases e as outras s˜ao determinadas simplesmente considerando as defasagens apropriadas Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff para o ponto N, pode-se obter a corrente pelo condutor neutro: IˆA + IˆB + IˆC + IˆN = 0   IˆN = − IˆA + IˆB + IˆC = 0 No caso de cargas equilibradas, n˜ ao h´ a corrente pelo condutor neutro. Assim, se a chave (mostrada na figura) for aberta, interrompendo o circuito de neutro, nada ocorre em termos da opera¸c˜ao do circuito Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em estrela (Y)

Diagrama fasorial completo2 c Vˆca Vˆcn 53,13◦

IˆC

n

IˆB

Escalas:

Vˆan

a

53,13◦

53,13◦ IˆA

V: I:

1  – 15 V 1  – 0,25 A

Vˆab

Vˆbn

Vˆbc

b 2 O diagrama fasorial das grandezas da fase A (Vˆan e IˆA ) ´ e idˆ entico ao diagrama fasorial das grandezas das fases B e C , considerando-se as defasagens de 120◦ . Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP) EA611 – Cap´ıtulo 2 41 / 130

Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em triˆ angulo (∆)

Considere agora uma carga equilibrada ligada em triˆangulo cuja impedˆancia ´e Z = 120 + j 160 Ω: Carga IˆA

A

IˆB

B Fonte

+ C 220 V

IˆC

−

a b

Z

Iˆab Iˆca

c

Z

Z

Iˆbc

N

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em triˆ angulo (∆)

As tens˜oes de linha s˜ ao aplicadas a cada impedˆ ancia. A tens˜ao de linha VˆAB ser´a tomada como referˆencia angular e, para sequˆencia de fases ABC, tem-se:

VˆAB = 220 ∠0◦ V VˆBC = 220 ∠ (−120◦ ) V VˆCA = 220 ∠120◦ V

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em triˆ angulo (∆)

As correntes em cada impedˆ ancia s˜ ao chamadas de correntes de fase e valem: VˆAB 220 ∠0◦ Iˆab = = = 1,1 ∠ (−53,13◦ ) A Z 200 ∠53,13◦ 220 ∠ (−120◦ ) VˆBC = = 1,1 ∠ (−173,13◦ ) A Iˆbc = Z 200 ∠53,13◦ 220 ∠120◦ VˆCA = = 1,1 ∠66,87◦ A Iˆca = Z 200 ∠53,13◦ As correntes de fase tˆem os mesmos valores eficazes e est˜ao defasadas de 120◦ umas das outras. Consequentemente, sua soma ´e igual a zero Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em triˆ angulo (∆)

As correntes de linha s˜ ao obtidas aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff nos n´ os a, b e c. Para o n´ o a, tem-se: IˆA + Iˆca − Iˆab = 0 IˆA = Iˆab − Iˆca = 0,2279 − j 1,8916 = 1,9053 ∠ (−83,13◦ ) A Da mesma forma para as outras fases: IˆB = Iˆbc − Iˆab = −1,7521 + j 0,7484 = 1,9053 ∠156,87◦ A IˆC = Iˆca − Iˆbc = 1,5242 + j 1,1432 = 1,9053 ∠36,87◦ A As correntes de linha tamb´em tˆem seus valores eficazes iguais e est˜ao defasadas de 120◦ umas das outras. Pode-se observar facilmente que a soma das correntes de linha ´e igual a zero Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em triˆ angulo (∆)

O diagrama fasorial completo para o circuito ´e:

Vˆca

Iˆca

IˆC

IˆB

Escalas: Iˆbc 53,13◦

30◦ Iˆab

−Iˆca

Vˆab

V: I:

1  – 25 V 1  – 0,5 A

IˆA Vˆbc

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em triˆ angulo (∆)

A rela¸c˜ao entre corrente de linha e corrente de fase ´e: 1,9053 ∠ (−83,13◦ ) √ IˆA = 3 ∠ (−30◦ ) = ◦) ˆ 1,1 ∠ (−53,13 Iab A corrente de linha tem um valor eficaz corrente de fase e est´ a atrasada de 30◦

√

3 vezes maior que a

Se a sequˆencia de fases for ACB, a rela¸c˜ ao entre os valores eficazes ser´a a mesma, e a corrente de linha estar´ a adiantada de 30◦ Estas rela¸c˜oes s˜ao sempre v´ alidas para circuitos equilibrados em ∆

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Circuitos equilibrados / Carga equilibrada em triˆ angulo (∆)

 Exerc´ıcio Obtenha a corrente de linha na entrada de uma f´ abrica alimentada em 380 V, 60 Hz (tens˜ao de linha) com as seguintes cargas conectadas: 1

Carga 1, formada por trˆes impedˆ ancias, sendo cada uma de 250 VA, fp 0,7 indutivo, 220 V

2

Carga 2, formada por trˆes impedˆ ancias, sendo cada uma de 550 W, fp 0,8 indutivo, 380 V

Resp.: 4,2604 ∠ (−39,18◦ ) A



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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em triˆ angulo (∆)

O circuito a seguir ´e composto por uma fonte trif´asica, sequˆencia de fases ACB, que alimenta uma carga desequilibrada em triˆangulo, cujas impedˆancias por fase valem: Carga A

√ Zab = 100 + j 100 3 Zbc Zca

= 200 ∠60◦ Ω = 100 − j 100 √ = 100 2 ∠ (−45◦ ) Ω = 150 Ω

IˆA IˆB

B Fonte

+ C 230 V

−

IˆC

a b

Zab

Iˆab Iˆca

c Zbc

Zca

Iˆbc

N

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em triˆ angulo (∆)

De acordo com a sequˆencia de fases definida, as tens˜oes de linha valem: VˆAB = 230 ∠0◦ V VˆBC = 230 ∠120◦ V VˆCA = 230 ∠ (−120◦ ) V em que a tens˜ao de linha entre as fases A e B foi tomada como referˆencia angular

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em triˆ angulo (∆)

As correntes de fase s˜ ao: 230 ∠0◦ VˆAB = = 1,15 ∠ (−60◦ ) A Iˆab = Zab 200 ∠60◦ VˆBC 230 ∠120◦ √ Iˆbc = = = 1,6263 ∠165◦ A ◦ Zbc 100 2 ∠ (−45 ) ˆ 230 ∠ (−120◦ ) VCA = = 1,5333 ∠ (−120◦ ) A Iˆca = Zca 150 Neste caso, n˜ao h´a rela¸c˜ ao entre os valores eficazes e fases das correntes. Seus valores dependem das impedˆ ancias de cada fase Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em triˆ angulo (∆)

As correntes de linha s˜ ao calculadas por:

IˆA = Iˆab − Iˆca = 1,3416 + j 0,332 = 1,3820 ∠13,90◦ A IˆB = Iˆbc − Iˆab = −2,1459 + j 1,4168 = 2,5714 ∠146,57◦ A IˆC = Iˆca − Iˆbc = 0,8043 − j 1,7488 = 1,9249 ∠ (−65,30◦ ) A Pode-se verificar que a soma das correntes de linha ´e igual a zero

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em triˆ angulo (∆)

Diagrama fasorial:

Vˆbc

IˆB

−Iˆca Escalas:

IˆA

Iˆbc

Vˆab Iˆca

Iˆab

V: I:

1  – 25 V 1  – 0,5 A

IˆC

Vˆca

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

Circuito composto por uma fonte trif´ asica, sequˆencia de fases ABC, que alimenta uma carga desequilibrada em Y com neutro. As impedˆancias da carga por fase valem: Carga IˆA

A

Za = 100 Ω Zb = 30 − j 40

IˆB

B Fonte

= 50 ∠ (−53,13 ) Ω Zc = 50 + j 50 √ = 50 2 ∠45◦ Ω ◦

IˆC

C

+ N 100 V

IˆN

−

a

Za

b

Zb

c

Zc

n

chave fechada Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

Considerando a tens˜ao da fase A como referˆencia angular tem-se: VˆAN = 100 ∠0◦ V VˆBN = 100 ∠ (−120◦ ) V VˆCN = 100 ∠120◦ V

(1)

As tens˜oes de linha s˜ ao: √ VˆAB = 100 3 ∠30◦ V √ VˆBC = 100 3 ∠ (−90◦ ) V √ VˆCA = 100 3 ∠150◦ V

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(2)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

Como o ponto neutro da carga n est´ a conectado ao ponto neutro da fonte N, ambos est˜ao no mesmo potencial Assim, as tens˜oes de fase sobre carga s˜ ao iguais ` as tens˜oes de fase fornecidas pela fonte As correntes de linha valem: 100 ∠0◦ Vˆan = = 1 ∠0◦ A IˆA = Za 100 100 ∠ (−120◦ ) Vˆbn = = 2 ∠ (−66,87◦ ) A IˆB = Zb 50 ∠ (−53,13◦ ) 100 ∠120◦ Vˆcn = 1,4142 ∠75◦ A = √ IˆC = Zc 50 2 ∠45◦ Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

A corrente pelo condutor neutro ´e obtida aplicando-se a lei das correntes de Kirchhoff para o ponto neutro da carga:

  IˆN = − IˆA + IˆB + IˆC

= −2,1516 + j 0,4732 = 2,2030 ∠167,60◦ A

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

Diagrama fasorial: c Vˆcn

IˆC

45◦

IˆN

Escalas: n

IˆA

a Vˆan

V: I:

1  – 12,5 V 1  – 0,5 A

53,13◦ IˆB Vˆbn b

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

 Exemplo Uma instala¸c˜ao residencial recebe trˆes fases e o neutro da companhia distribuidora de energia el´etrica. Em um determinado instante somente a geladeira e o chuveiro est˜ao ligados, conforme mostra a figura abaixo. Para este instante, obter as correntes consumidas pelos equipamentos e as correntes de linha e de neutro fornecidas pela companhia. A B C

30 A 30 A

IˆB

30 A

IˆC

N

+

220 V

−

IˆN Iˆge

Iˆge Geladeira 900 W fp = 0,9 ind.

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Iˆch

Iˆch Chuveiro 4000 W

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

Tomando a fase B como referˆencia angular e considerando a sequˆencia de fases ABC, tem-se as seguintes tens˜ oes de fase: VˆBN = 127 ∠0◦ V VˆCN = 127 ∠ (−120◦ ) V VˆAN = 127 ∠120◦ V A tens˜ao de linha entre as fases B e C ´e: VˆBC = 220 ∠30◦ V

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

A partir dos dados fornecidos para a geladeira, pode-se calcular: Pge 900 = = 1 kVA fp 0,9 q p 2 = 10002 − 9002 = 435,9 var = | Sge |2 −Pge

| Sge | = Qge

Sge = Pge + j Qge = 900 + j 435,9 = 1 ∠25,8◦ kVA A tens˜ao da fase C ´e aplicada sobre a geladeira. Logo, a corrente por ela vale:     Sge ∗ 1000 ∠25,8◦ ∗ ˆ = = 7,9 ∠ (−145,8◦ ) A Ige = 127 ∠ (−120◦ ) VˆCN

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

O chuveiro ´e um equipamento puramente resistivo, apresentando portanto fator de potˆencia unit´ario. Logo: Sch = 4 ∠0◦ kVA Como a tens˜ao de linha VˆBC est´ a aplicada sobre o chuveiro, a corrente por ele ´e igual a:     4000 ∠0◦ ∗ Sch ∗ ˆ = = 18,2 ∠30◦ A Ich = 220 ∠30◦ VˆBC

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

A corrente de linha da fase B ´e igual ` a corrente pelo chuveiro, ou seja: IˆB = Iˆch = 18,2 ∠30◦ A Aplicando a lei das correntes de Kirchhoff ` a fase C tem-se: A

30 A

B

30 A

IˆB

C

30 A

IˆC

N

+

220 V

−

IˆN Iˆge

Iˆge Geladeira 900 W fp = 0,9 ind.

Iˆch

Iˆch Chuveiro

IˆC = Iˆge − Iˆch

= 7,9 ∠ (−145,8◦ ) − 18,2 ∠30◦

= 26,1 ∠ (−148,7◦ ) A

4000 W

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) com neutro

A corrente pelo condutor neutro pode ser calculada por: A B C N

30 A 30 A

IˆB

30 A

IˆC

+

220 V

−

IˆN Iˆge

Iˆge Geladeira 900 W fp = 0,9 ind.

Iˆch

Iˆch Chuveiro 4000 W

  IˆN = − IˆA + IˆB + IˆC h    i = − 0 + Iˆch + Iˆge − Iˆch = −Iˆge = 7,9 ∠31,3◦ A

A constata¸c˜ao de que IˆN = −Iˆge poderia ser feita pela simples inspe¸c˜ao do circuito. A existˆencia da corrente de neutro ´e a express˜ao do desequil´ıbrio da carga.

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro

O mesmo circuito j´a mostrado anteriormente tem agora a chave do condutor neutro aberta, configurando um circuito com carga desequilibrada em estrela sem neutro3 . Carga IˆA

A

IˆB

B Fonte

IˆC

C

+ N 100 V

IˆN

−

a

Za

b

Zb

c

Zc

n

chave aberta 3

D´ a-se o nome de carga em estrela sem neutro ` aquela para a qual seu ponto neutro n˜ ao est´ a conectado ao ponto neutro da

fonte. Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro

Os seguintes pontos devem ser considerados na an´alise deste circuito: A fonte trif´asica ´e equilibrada. Portanto, os valores das tens˜ oes de fase e de linha fornecidas pela fonte continuam os mesmos definidos pelas equa¸co˜es (1) e (2) As tens˜ oes de linha aplicadas sobre carga s˜ao iguais `as tens˜ oes de linha fornecidas pela fonte, sendo portanto equilibradas. No entanto, devido ao fato de que os pontos neutros da carga n e da fonte N n˜ao est˜ao conectados, pode haver uma diferen¸ca de potencial entre esses dois pontos4 → as tens˜ oes de fase aplicadas `a carga podem n˜ao ser iguais `as tens˜ oes de fase fornecidas pela fonte, ou seja: Vˆan 6= VˆAN 4

Vˆbn 6= VˆBN

Vˆcn 6= VˆCN

Esta diferen¸ca de potencial de fato existe no caso de cargas desequilibradas

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro

C VˆCn – tens˜ ao sobre Zc VˆCA n?

VˆBN

VˆBC

VˆAn – tens˜ ao sobre Za

N VˆCN

A

VˆAN VˆAB

VˆBn – tens˜ ao sobre Zb

B

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro

A corrente de neutro, e que expressa o desequil´ıbrio da carga, n˜ao existe neste caso (IˆN = 0). Assim, aplicando a lei das correntes de Kirchhoff para o ponto neutro da carga n, tem-se: IˆA + IˆB + IˆC = 0

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro

Conclui-se que as tens˜ oes de fase sobre as impedˆ ancias da carga ajustar-se-˜ao de forma que a lei das correntes de Kirchhoff aplicada ao ponto n seja satisfeita Isto se d´a atrav´es da existˆencia de uma diferen¸ca de potencial entre os pontos n e N oes de fase sobre a carga ´e a Neste caso, o desequil´ıbrio das tens˜ express˜ao do desequil´ıbrio da carga

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro

As caracter´ısticas de um circuito com carga desequilibrada em estrela sem neutro fazem com que a sua resolu¸c˜ ao seja mais trabalhosa que a dos demais tipos de carga Ser˜ao mostradas a seguir duas maneiras de se resolver o circuito

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

Pode-se montar um sistema de equa¸c˜ oes das malhas do circuito e resolvˆe-lo, de forma a obter os valores das correntes de malha: Carga A B Fonte C

IˆA

Za

IˆB

Iˆ1

b

Zb

IˆC

Iˆ2

c

Zc

n

N

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a

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

S˜ao definidas duas malhas e suas respectivas correntes de malha, Iˆ1 e Iˆ2 . Aplicando-se a lei das tens˜ oes de Kirchhoff para as duas malhas, obt´em-se o seguinte sistema de equa¸c˜ oes: Carga A B Fonte C N

IˆA

a

Za

IˆB

Iˆ1

b

Zb

IˆC

Iˆ2

c

Zc

  VˆAB − Za Iˆ1 − Zb Iˆ1 − Iˆ2 = 0   VˆBC − Zb Iˆ2 − Iˆ1 − Zc Iˆ2 = 0

n

que pode ser posta na forma: (Za + Zb ) Iˆ1 + (−Zb ) Iˆ2 = VˆAB ˆ (−Zb ) I1 + (Zb + Zc ) Iˆ2 = VˆBC Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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(3)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

As equa¸c˜oes de malha (3) podem ser colocadas na forma matricial: 

Za + Zb −Zb −Zb Zb + Zc

     Iˆ1 VˆAB · ˆ = I2 VˆBC

cuja forma compacta ´e: Z·I =V e sua solu¸c˜ao ´e dada por: I = Z−1 · V = Y · V Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

Tomando os valores num´ericos das impedˆ ancias da carga, a matriz Y fica:   7,0 ∠4,63◦ 4,3 ∠ (−55,63◦ ) −1 −3 Y = Z = 10 · S 4,3 ∠ (−55,63◦ ) 11,8 ∠ (−19,60◦ )

O vetor de correntes de malha I vale: √       Iˆ1 100 3 ∠30◦ 0,46 ∠35◦ √ I = ˆ =Y· A = 2,25 ∠ (−90,3◦ ) 100 3 ∠ (−90◦ ) I2

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

As correntes de linha s˜ ao obtidas a partir das correntes de malha: Carga A B Fonte C N

IˆA

a

Za

IˆB

Iˆ1

b

Zb

IˆC

Iˆ2

c

Zc

IˆA = Iˆ1 = 0,46 ∠35◦ A IˆB = Iˆ2 − Iˆ1 = 2,54 ∠ (−98,7◦ ) A IˆC = −Iˆ2 = 2,25 ∠89,7◦ A

n

As tens˜oes de fase na carga s˜ ao: Vˆan = Za IˆA = 46 ∠35◦ V Vˆbn = Zb IˆB = 127,2 ∠ (−151,8◦ ) V Vˆcn = Zc IˆC = 159,3 ∠134,7◦ V Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

A diferen¸ca de potencial entre os pontos n e N pode ser obtida com o aux´ılio da figura a seguir, na qual somente a fase A do circuito trif´asico ´e representada: Carga IˆA

A

Fonte

N

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a

+

+

VˆAN

Vˆan

−

− −

VˆnN

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+

Za

n

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

Aplicando-se a lei das tens˜ oes de Kirchhoff ` a malha mostrada na figura anterior, obt´em-se: VˆnN = VˆAN − Vˆan = 100 ∠0◦ − 46 ∠35◦

= 67,6 ∠ (−23,1◦ ) V

Pode-se verificar que VˆnN pode tamb´em ser calculado por: VˆnN = VˆBN − Vˆbn ou por:

VˆnN = VˆCN − Vˆcn

bastando para isso representar as malhas das fases B ou C do circuito trif´asico de forma semelhante ao que foi feito para a fase A Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 1

O diagrama fasorial das tens˜ oes para o circuito ´e: c≡C

VˆCA Vˆcn

VˆCN VˆBC VˆBN

Escala:

VˆAN

N

a≡A

VˆnN n

VˆAB

V:

1  – 12,5 V

Vˆan

Vˆbn

b≡B Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Para cargas equilibradas, o ponto neutro da carga n est´a no mesmo potencial do ponto neutro da fonte N c≡C

Para cargas desequilibradas, o neutro ao ao da carga n desloca-se em rela¸c˜ neutro da fonte N. Este deslocamento foi verificado no exemplo anterior:

VˆCA Vˆcn

VˆCN VˆBC VˆBN

Escala:

VˆAN

N

a≡A

VˆnN

V:

1  – 12,5 V

Vˆan n

VˆAB Vˆbn

b≡B

O m´etodo do deslocamento de neutro baseia-se em obter primeiramente a diferen¸ca de potencial entre os pontos neutros e, em seguida, as demais tens˜ oes e correntes Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Considere novamente: Carga IˆA

A

Fonte

a

+

+

VˆAN

Vˆan

− N

Za

− −

VˆnN

+

n

VˆAN = Vˆan + VˆnN

(4)

Como Vˆan = Za IˆA : VˆAN − VˆnN VˆAN − VˆnN = = Ya VˆAN − Ya VˆnN IˆA = Za 1/Ya Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Procedimento semelhante para as fases B e C leva a: IˆB = Yb VˆBN − Yb VˆnN IˆC = Yc VˆCN − Yc VˆnN Como a soma das trˆes correntes de linha ´e igual a zero, tem-se:       ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ Ya VAN − Ya VnN + Yb VBN − Yb VnN + Yc VCN − Yc VnN = 0 que fornece, finalmente, a tens˜ ao entre os pontos n e N: Ya VˆAN + Yb VˆBN + Yc VˆCN VˆnN = Ya + Yb + Yc Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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(5)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Pode-se ent˜ao obter facilmente as tens˜ oes de fase na carga:

Vˆan = VˆAN − VˆnN Vˆbn = VˆBN − VˆnN Vˆcn = VˆCN − VˆnN Verifica-se que:  1  VˆnN = − · Vˆan + Vˆbn + Vˆcn 3 Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

      Os termos Ya VˆAN , Yb VˆBN e Yc VˆCN da equa¸c˜ao (5) s˜ao iguais `as correntes de linha nas fases A, B e C caso houvesse conex˜ao entre os pontos n e N Portanto, pode-se escrever: Iˆ′ + IˆB′ + IˆC′ IˆN′ VˆnN = A =− Ya + Yb + Yc Ya + Yb + Yc ao as correntes de linha e de neutro caso os em que IˆA′ , IˆB′ , IˆC′ e IˆN′ s˜ pontos n e N estivessem conectados

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

 Exemplo

Carga IˆA

A

IˆB

B

Considere novamente o circuito:

Fonte

IˆC

C

+ N 100 V

IˆN

−

a

Za

b

Zb

c

Zc

n

chave aberta

Ya = 1/Za = 0,01 S Yb = 1/Zb = 0,02 ∠53,13◦ S Yc = 1/Zc = 0,0141 ∠ (−45◦ ) S Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

A tens˜ao entre os pontos neutros da carga n e da fonte N vale: VˆnN =

1

· [0,01 · 100 ∠0◦ + 0,01 + + 0,0141 ∠ (−45◦ ) 0,02 ∠53,13◦ · 100 ∠ (−120◦ ) + 0,0141 ∠ (−45◦ ) · 100 ∠120◦ ] 0,02 ∠53,13◦

= 67,6 ∠ (−23,1◦ ) V As tens˜oes de fase s˜ao:

Vˆan = VˆAN − VˆnN = 100 ∠0◦ − 67,6 ∠ (−23,1◦ ) = 46 ∠35◦ V Vˆbn = VˆBN − VˆnN = 100 ∠ (−120◦ ) − 67,6 ∠ (−23,1◦ ) Vˆcn

= 127,2 ∠ (−151,8◦ ) V = VˆCN − VˆnN = 100 ∠120◦ − 67,6 ∠ (−23,1◦ ) = 159,3 ∠134,7◦ V

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Finalmente, pode-se calcular as correntes de linha: IˆA = Vˆan /Za = 0,46 ∠35◦ A IˆB = Vˆbn /Zb = 2,54 ∠ (−98,7◦ ) A IˆC = Vˆcn /Zc = 2,25 ∠89,7◦ A A utiliza¸c˜ao do m´etodo do deslocamento de neutro resulta em uma quantidade menor de c´alculos.



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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Veja aqui [PDF] a an´alise de um circuito com carga desequilibrada em Y sem neutro utilizando o teorema da superposi¸c˜ao

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

 Exemplo TV 200 W

A instala¸c˜ao residencial j´a mostrada anteriormente ´e mostrada novamente a seguir em outro instante, em que a geladeira, o chuveiro e o aparelho de TV est˜ao ligados:

A

30 A

IˆA

B

30 A

IˆB

C

30 A

IˆC

IˆTV

+

220 V

−

IˆN

N

Y

X Iˆge

Iˆge Geladeira 900 W fp = 0,9 ind.

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

IˆTV

EA611 – Cap´ıtulo 2

Iˆch

Iˆch Chuveiro 4000 W

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Apresentar o diagrama fasorial das tens˜ oes ap´ os: 1

o rompimento do condutor neutro no ponto X;

2

o rompimento do condutor neutro no ponto Y.

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EA611 – Cap´ıtulo 2

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

´ necess´ario obter informa¸c˜ E oes sobre a opera¸c˜ ao de cada equipamento antes do rompimento do condutor neutro para depois analisar as suas consequˆencias. Inicialmente, verifica-se que: a geladeira e o chuveiro operam nas mesmas condi¸c˜oes mostradas anteriormente, ou seja: Sge = 1 ∠25,8◦ kVA Sch = 4 ∠0◦ kVA a potˆencia complexa no aparelho de TV ´e igual a (considera-se a TV como sendo uma carga resistiva): STV = 200 ∠0◦ VA Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

O rompimento do condutor neutro n˜ ao afeta as condi¸c˜oes de opera¸c˜ao de equipamentos que estejam conectados entre fases, como ´e o caso do chuveiro, pois considera-se que as tens˜ oes fornecidas pela companhia distribuidora s˜ao equilibradas e independem da carga conectada. Por outro lado, as condi¸c˜oes de opera¸c˜ ao de equipamentos conectados entre uma fase e o neutro podem ser fortemente afetadas, dependendo da localiza¸c˜ao do rompimento. No caso particular do rompimento no ponto X, observa-se na figura que o ponto neutro da geladeira e da TV passam a n˜ ao estar no mesmo potencial do neutro da companhia distribuidora. Portanto, ´e necess´ario calcular as tens˜ oes aplicadas sobre cada um desses equipamentos ap´ os o rompimento. Essas tens˜ oes podem ser obtidas utilizando o m´etodo do deslocamento de neutro. Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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PSfrag TV 200 W

A

30 A

IˆA

B

30 A

IˆB

C

30 A

IˆC

IˆTV

+

B

ZTV

30 A

n

220 V

−

IˆN

N

A IˆTV

30 A

C

Y

X Iˆge

Iˆge Geladeira 900 W fp = 0,9 ind.

Iˆch

30 A

Iˆch Chuveiro 4000 W

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N

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Zge

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Impedˆancias dos equipamentos de interesse:

Zge = ZTV =

∗ 2 Vˆge Vˆge Vge Vˆge 1272 = 16,13 ∠25,8◦ Ω = ∗ = = ◦) ∗ ˆ ˆ ˆ S 1000 ∠ (−25,8 Ige Ige Vge ge 2 VTV 1272 = 80,65 ∠0◦ Ω = ∗ STV 200 ∠0◦

Tens˜ ao entre o neutro das cargas e o neutro da fonte: YTV VˆAN + Yge VˆCN VˆnN = YTV + Yge Zge VˆAN + ZTV VˆCN = 107,9 ∠ (−135,66◦ ) V = Zge + ZTV Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Tens˜ oes entre as fases e o neutro das cargas: VˆAn = VˆAN − VˆnN = 185,9 ∠85,78◦ V VˆBn = VˆBN − VˆnN = 217,65 ∠20,27◦ V VˆCn = VˆCN − VˆnN = 37,17 ∠ (−68,43◦ ) V O rompimento do condutor neutro pode resultar em tens˜oes muito altas ou baixas sobre os equipamentos. Como consequˆencia, estes podem operar de forma inadequada, ou mesmo sofrer danos. Neste caso em particular, o aparelho de TV ficar´ a sujeito a uma tens˜ao maior que a nominal (fase A), que poder´ a danific´ a-la. A tens˜ao de alimenta¸c˜ao da geladeira ser´ a muito baixa (fase C ), e o seu motor n˜ao funcionar´a nessas condi¸c˜oes.

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Diagrama fasorial: A

VˆAB VˆAN VˆAn

VˆCA VˆnN

N

Escala: B

V:

1  – 15 V

VˆCN VˆBn

n

VˆBN

VˆBC

VˆCn C Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

O rompimento do condutor neutro no ponto Y afeta somente a opera¸c˜ao do aparelho de TV, pois o ponto neutro da geladeira continua conectado ao ponto neutro da companhia distribuidora. O circuito utilizado para o c´ alculo do deslocamento de neutro ´e:

A

30 A

B

30 A

C

30 A

ZTV

n

N

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

A tens˜ao entre o neutro da carga e o neutro da fonte ´e calculada por: YTV VˆAN VˆnN = = VˆAN = 127 ∠120◦ V YTV As tens˜oes entre as fases e o ponto neutro s˜ ao: VˆAn = VˆAN − VˆnN = 0 VˆBn = VˆBN − VˆnN = 220 ∠ (−30◦ ) V VˆCn = VˆCN − VˆnN = 220 ∠ (−90◦ ) V Portanto, o ponto n est´a sob o mesmo potencial que o ponto A.

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Diagrama fasorial das tens˜ oes: A≡n

VˆAB = −VˆBn VˆAN = VˆnN VˆCA = VˆCn

N

VˆBN

Escala: B

V:

1  – 15 V

VˆCN VˆBC

C

A aplica¸c˜ao da lei das correntes de Kirchhoff para o ponto n resulta em uma corrente nula na fase A. Como consequˆencia, conclui-se que n˜ao h´a tens˜ ao aplicada sobre o equipamento.

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

 Exemplo ´ poss´ıvel explorar as caracter´ısticas das cargas desequilibradas em estrela E sem neutro para determinar a sequˆencia de fases de um determinado circuito trif´asico. Considere o circuito a seguir, em que uma fonte de tens˜ ao trif´asica de 220 V de linha alimenta uma carga trif´asica desequilibrada em estrela sem neutro. Carga A B

R

b

ZR

c

R

+

Fonte C N

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a

220 V

−

chave trif´ asica

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n

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Os elementos que comp˜oem a carga s˜ ao: R : 200 Ω, 200 W Z : 127 V, 100 W, 50% atrasado Mostre que a sequˆencia de fases ser´ a dada por: (resistor com MAIOR tens˜ ao, reator, resistor com MENOR tens˜ao)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Potˆencia complexa do reator: SR =

PR 100 ∠ cos−1 (fp) = ∠ cos−1 (0,5) = 200 ∠60◦ VA fp 0,5

Impedˆancia do reator: ZR =

VR2 1272 = 80,6450 ∠60◦ Ω = SR∗ 200 ∠ (−60◦ )

Considerando que a sequˆencia de fases seja ABC, as tens˜oes de fase fornecidas pela fonte ser˜ao: VˆAN = 127 ∠0◦ V VˆBN = 127 ∠ (−120◦ ) V VˆCN = 127 ∠120◦ V Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Tens˜ ao entre os pontos neutros da carga e da fonte: Ya VˆAN + Yb VˆBN + Yc VCN VˆnN = Ya + Yb + Yc VˆAN /R + VˆBN /ZR + VˆCN /R = = 70,74 ∠ (−170,08◦ ) V 2/R + 1/ZR Tens˜ oes de fase sobre carga s˜ ao: VˆAn = 197,1 ∠3,5◦ V VˆBn = 98 ∠ (−86,4◦ ) V VˆCn = 122,3 ∠87,1◦ V

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

A tens˜ao sobre o resistor da fase A ´e maior que a tens˜ao sobre o resistor da fase C . Assim, se ao ser ligada a chave trif´ asica a tens˜ ao da fase A for maior que a tens˜ ao da fase C , a sequˆencia ABC assumida est´ a correta. Caso contr´ario, a sequˆencia ser´a ACB. Este teste tamb´em pode ser feito substituindo-se os resistores por duas lˆ ampadas idˆenticas. Neste caso, a sequˆencia de fases ser´a dada por: (lˆampada que brilha MAIS, reator, lˆ ampada que brilha MENOS)



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103 / 130

Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

 Exerc´ıcio Considere o circuito a seguir, para o qual o ponto neutro da carga ´e conectado ao neutro da fonte atrav´es de uma impedˆ ancia Zn . Verifique que a tens˜ao de deslocamento de neutro ´e dada por: Carga IˆA

A

Ya VˆAN + Yb VˆBN + Yc VˆCN VˆnN = Yn + Ya + Yb + Yc

IˆB

B Fonte

IˆC

C

+ N 100 V

−

a

Za

b

Zb

c

Zc

n IˆN Zn n′

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Circuitos desequilibrados / Carga desequilibrada em estrela (Y) sem neutro / M´etodo 2

Carga Trif´asica em Estrela Desequilibrada [V´ıdeo]

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105 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

A resolu¸c˜ao de circuitos trif´ asicos eventualmente pode ser facilitada se cargas em Y forem transformadas em cargas em ∆ equivalentes ou vice-versa, a fim de serem associadas com outras impedˆancias (em s´erie ou em paralelo) IˆA

A

IˆB

B Fonte

IˆC

C

a b c

Carga Y ou ∆?

+ N

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100 V

−

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106 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Considere os circuitos mostrados a seguir, nos quais uma fonte de tens˜ao monof´asica est´ a conectada entre as fases A e B de uma carga trif´asica em Y e uma em ∆:

∼

a

Za

b

Zb

a

n c

Zc

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∼

b

Zca c

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Zab Zbc

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Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

No caso da carga em Y, a impedˆ ancia vista pela fonte ser´a igual a: ZYeq = Za + Zb No caso da carga em ∆, tem-se:

eq Z∆ = Zab // (Zbc + Zca )

=

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Zab · (Zbc + Zca ) (Zab + Zbc + Zca )

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108 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Para que as duas cargas trif´ asicas (em Y e em ∆) sejam equivalentes, as impedˆancias vistas pela fonte devem ser iguais, ou seja: eq ZYeq = Z∆ Zab Zbc + Zab Zca Za + Zb = Zab + Zbc + Zca

(6)

Conectando a fonte de tens˜ ao monof´ asica entre as fases B e C , e depois entre C e A, obt´em-se as seguintes rela¸c˜ oes entre as impedˆancias: Zbc Zca + Zbc Zab Zab + Zbc + Zca Zca Zab + Zca Zbc Zc + Za = Zab + Zbc + Zca

Zb + Zc =

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(7) (8) 109 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Somando as equa¸c˜oes (6) e (8) membro a membro, obt´em-se: 2Za + Zb + Zc =

Zab Zbc + 2Zab Zca + Zca Zbc Zab + Zbc + Zca

(9)

Subtraindo a equa¸c˜ao (7) da equa¸c˜ ao (9), chega-se a: Za =

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Zab Zca Zab + Zbc + Zca

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(10)

110 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Atrav´es de procedimento semelhante, pode-se obter as express˜ oes das impedˆancias das fases B e C , resultando em:

Y⇐∆

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Za =

Zab Zca Zab + Zbc + Zca

(11)

Zb =

Zbc Zab Zab + Zbc + Zca

(12)

Zc =

Zca Zbc Zab + Zbc + Zca

(13)

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111 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Atrav´es das equa¸c˜oes (11), (12) e (13) pode-se realizar a transforma¸c˜ao ∆-Y, ou seja, a transforma¸c˜ ao de uma carga conectada em ∆ em uma carga equivalente conectada em Y Considere o caso particular de uma carga equilibrada conectada em ∆, ou seja: Zab = Zbc = Zca = Z∆ De (11), (12) e (13): Z∆ 3 ou seja, a impedˆancia da carga equivalente em Y ´e igual a um ter¸co da carga original em ∆ ZY =

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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112 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

A transforma¸c˜ao Y-∆ ´e obtida utilizando as equa¸c˜oes (11), (12) e (13), realizando a seguinte opera¸c˜ ao:

Za Zb + Zb Zc + Zc Za =

2 Z Z + Z Z2 Z + Z Z Z2 Zab ab bc ca bc ca ab bc ca

(Zab + Zbc + Zca )2 Zab Zbc Zca = Zab + Zbc + Zca Zbc Zca = Zab · Zab + Zbc + Zca = Zab Zc

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113 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Logo:

∆⇐Y Za Zb + Zb Zc + Zc Za Zc

(14)

Zbc =

Za Zb + Zb Zc + Zc Za Za

(15)

Zca =

Za Zb + Zb Zc + Zc Za Zb

(16)

Zab = Para as outras fases tem-se:

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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114 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Atrav´es das equa¸c˜oes (14), (15) e (16) pode-se realizar a transforma¸c˜ao Y-∆, ou seja, a transforma¸c˜ ao de uma carga conectada em Y em uma carga equivalente conectada em ∆. Considere o caso particular de uma carga equilibrada conectada em Y, ou seja: Za = Zb = Zc = ZY De (14), (15) e (16): Z∆ = 3 ZY ou seja, a impedˆancia da carga equivalente em ∆ ´e igual a trˆes vezes a carga original em Y Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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115 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

 Exemplo Uma fonte trif´asica de 220 V de linha alimenta duas cargas trif´asicas em paralelo, como mostra a figura a seguir. Calcular as correntes de linha fornecidas pela fonte. N C

+

IˆC

Fonte B

220 V

IˆB

−

A

200 Ω

400 Ω

Carga 1

100 Ω

IˆA

n Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

EA611 – Cap´ıtulo 2

100 Ω 200 Ω

Carga 2

400 Ω 116 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Considerando a tens˜ao de linha entre as fases A e B como referˆencia angular, pode-se especificar as tens˜ oes fornecidas pela fonte: VˆAB = 220 ∠0◦ V VˆBC = 220 ∠ (−120◦ ) V VˆCA = 220 ∠120◦ V

VˆAN = 127 ∠ (−30◦ ) V VˆBN = 127 ∠ (−150◦ ) V VˆCN = 127 ∠90◦ V

As correntes de linha fornecidas pela fonte podem ser obtidas de duas maneiras: (a) calculando as correntes de linha fornecidas a cada carga individualmente e depois somando-as para obter a corrente total, ou (b) obtendo a impedˆancia equivalente e calculando diretamente a corrente total.

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Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

A carga 1 ´e desequilibrada e est´ a ligada em Y sem neutro. As admitˆancias por fase valem: Ya = 0,0100 S Yb = 0,0050 S Yc = 0,0025 S A tens˜ao entre os pontos neutros da carga e da fonte ´e calculada por: Ya VˆAN + Yb VˆBN + Yc VˆCN VˆnN = Ya + Yb + Yc 0,01 · 127 ∠ (−30◦ ) + 0,005 · 127 ∠ (−150◦ ) + 0,0025 · 127 ∠90◦ = 0,01 + 0,005 + 0,0025 = 48 ∠ (−49,1◦ ) V

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118 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

As tens˜oes de fase sobre a carga 1 s˜ ao: VˆAn = VˆAN − VˆnN = 83,14 ∠ (−19,11◦ ) V VˆBn = VˆBN − VˆnN = 144 ∠ (−169,11◦ ) V VˆCn = VˆCN − VˆnN = 166,28 ∠100,89◦ V As correntes de linha pela carga 1 s˜ ao: IˆA1 = VˆAn /Za = 0,83 ∠ (−19,11◦ ) A IˆB1 = VˆBn /Zb = 0,72 ∠ (−169,11◦ ) A IˆC1 = VˆCn /Zc = 0,42 ∠100,89◦ A

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119 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

A carga 2 tamb´em ´e desequilibrada e est´ a ligada em ∆. As correntes de fase valem: 2 = VˆAB /Zab = 1,1 ∠0◦ A IˆAB 2 IˆBC = VˆBC /Zbc = 2,2 ∠ (−120◦ ) A Iˆ2 = VˆCA /Zca = 0,55 ∠120◦ A CA

As correntes de linha s˜ao: 2 2 = 1,46 ∠ (−19,11◦ ) A − IˆCA IˆA2 = IˆAB 2 2 = 2,91 ∠ (−139,11◦ ) A − IˆAB IˆB2 = IˆBC Iˆ2 = Iˆ2 − Iˆ2 = 2,52 ∠70,89◦ A C

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CA

BC

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120 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Finalmente, as correntes de linha fornecidas pela fonte s˜ao iguais a: IˆA = IˆA1 + IˆA2 = 2,29 ∠ (−19,11◦ ) A IˆB = IˆB1 + IˆB2 = 3,55 ∠ (−144,93◦ ) A IˆC = Iˆ1 + Iˆ2 = 2,89 ∠75,06◦ A C

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C

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121 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

A figura a seguir mostra o mesmo circuito, por´em, com a carga 1 transformada em uma carga equivalente conectada em ∆: N C

+

IˆC

Fonte B

220 V

IˆB

−

A IˆA

Carga 1

eq Zbc

eq Zab

eq Zca

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100 Ω 200 Ω

Carga 2

400 Ω

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Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

Verifica-se que a impedˆancia de 100 Ω da carga 2 est´ a em paralelo com eq Zbc da carga 1, j´a que sobre ambas ´e aplicada a tens˜ ao VˆBC . Da mesma forma, a impedˆ ancia de 200 Ω da carga 2 est´a em paralelo com eq Zab da carga 1 e a impedˆancia de 400 Ω da carga 2 est´a em paralelo com eq da carga 1. Zca Assim, ´e poss´ıvel obter uma carga trif´ asica em ∆ vista pela fonte, que ´e resultado da associa¸c˜ao em paralelo das cargas 1 (transformada) e 2. Por outro lado, se a carga 2 fosse substitu´ıda por sua impedˆancia equivalente em Y, esta seria tamb´em desequilibrada. Como em geral os pontos neutros das cargas 1 e 2 equivalente estariam em potenciais diferentes, n˜ao estariam de fato em paralelo.

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123 / 130

Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

A transforma¸c˜ao da carga 1 em ∆ fornece: Za Zb + Zb Zc + Zc Za = 350 Ω Zc Za Zb + Zb Zc + Zc Za = 1400 Ω = Za Za Zb + Zb Zc + Zc Za = = 700 Ω Zb

1 Zab = 1 Zbc 1 Zca

A carga vista pela fonte ´e: 2 1 f = 127,27 Ω //Zab = Zab Zab 2 1 f = 93,33 Ω //Zbc = Zbc Zbc f 1 2 Zca = Zca //Zca = 254,55 Ω Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Transforma¸c˜ oes Y-∆ e ∆-Y

As correntes de fase valem: f = 1,73 ∠0◦ A IˆAB = VˆAB /Zab f = 2,36 ∠ (−120◦ ) A IˆBC = VˆBC /Zbc f IˆCA = VˆCA /Zca = 0,86 ∠120◦ A

Finalmente, as correntes de linha s˜ ao iguais a: IˆA = IˆAB − IˆCA = 2,29 ∠ (−19,11◦ ) A IˆB = IˆBC − IˆAB = 3,55 ∠ (−144,93◦ ) A IˆC = IˆCA − IˆBC = 2,89 ∠75,06◦ A Observa-se que a quantidade de c´ alculos ´e menor no segundo caso.

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Exerc´ıcios propostos

G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de corrente alternada: fundamentos e pr´ atica, Oficina de Textos, 2012 – cap´ıtulo 6. C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um curso introdut´ orio, Unicamp, 1995 – cap´ıtulo 4.

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Referˆencias

P. Cardieri, notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP. M.C.D. Tavares, notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP. H. Sette,Vantagens do sistema trif´ asico,

http://www.etelj.com.br/etelj/artigos/Vantagens do Sistema Trifasico.pdf. C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um curso introdut´ orio, Unicamp, 1995. F.V. Gomes, Circuitos Trif´ asicos Equilibrados e Desequilibrados, UFJF, 2012. G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de corrente alternada: fundamentos e pr´ atica, Oficina de Textos, 2012. ´ R.O. Albuquerque, Circuitos em corrente alternada, 6a. edi¸c˜ ao, Erica, 1997. Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice

Outra forma de visualizar a gera¸c˜ ao de tens˜ oes trif´asicas ´e apresentada a seguir5 Considere novamente o gerador mostrado a seguir b′

c

N I

a

I

a′

ω S c′ 5

b

´ Baseada em R.O. Albuquerque, Circuitos em corrente alternada, 6a. edi¸c˜ ao, Erica, 1997.

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EA611 – Cap´ıtulo 2

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Apˆendice

As tens˜oes geradas nas trˆes bobinas s˜ ao:

vaa′ (t) vbb′ (t) vcc ′ (t)

ωt [rad] 2π 3

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

4π 3

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2π

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Apˆendice

Se impedˆancias de carga s˜ ao conectadas a cada bobina:

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

EA611 – Cap´ıtulo 2

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