Cap 01 - Slides.pdf

EA611 – Circuitos II Cap´ıtulo 1 Introdu¸c˜ ao Carlos A. Castro DSE/FEEC/UNICAMP

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Introdu¸c˜ao

Circuitos el´etricos: Essˆencia da engenharia el´etrica Conjunto de dispositivos el´etricos conectados com um determinado prop´osito

S´ıntese de circuitos: dado um prop´osito, como construir um circuito que o atinja – quais componentes e como conect´ a-los? An´ alise de circuitos: dado um circuito, determinar e avaliar o comportamento dos seus componentes (em termos de seus valores de tens˜oes, correntes, potˆencias) Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Introdu¸c˜ao

Modelo – representa¸c˜ ao simplificada de um sistema f´ısico atrav´es de equa¸c˜oes matem´aticas (e eventualmente transformadas em um c´odigo de programa¸c˜ao por computador) A modelagem e a obten¸c˜ ao de um conjunto de equa¸c˜oes que representam um sistema f´ısico implicam em uma vis˜ao “filos´ ofica” dos fenˆomenos f´ısicos envolvidos – utiliza¸c˜ ao de simplifica¸c˜oes e hip´ oteses Simplifica¸c˜oes e hip´ oteses podem depender dos m´etodos de solu¸c˜ao das equa¸c˜oes dispon´ıveis em um determinado momento

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Introdu¸c˜ao Chave Bobina

Chave

Bateria

´E u

o? del o m m bo v (t) = L · m

i (t) Bateria

v (t)

Bobina

−

d dt i (t)

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+

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Introdu¸c˜ao chave A

R ∼

V

Associa¸c˜ ao modelo × realidade

C

Rede

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Introdu¸c˜ao Observa¸c˜oes e cuidados sobre modelos1 :

1

Fonte: https://courses.engr.illinois.edu/ece576

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Introdu¸c˜ao Observa¸c˜oes e cuidados sobre modelos2 :

2

Fonte: https://courses.engr.illinois.edu/ece576

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Introdu¸c˜ao Observa¸c˜oes e cuidados sobre modelos3 :

3

Fonte: https://courses.engr.illinois.edu/ece576

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Introdu¸c˜ao Observa¸c˜oes e cuidados sobre modelos4 :

4

Fonte: https://courses.engr.illinois.edu/ece576

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Introdu¸c˜ao

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Introdu¸c˜ao

Na disciplina Circuitos El´etricos I foi estudado: Apresenta¸c˜ao dos bipolos M´etodos de solu¸c˜ao de circuitos (uma malha, v´arias malhas) Lei Kirchhoff para corrente e tens˜ ao Equivalente de Th´evenin, Norton Teorema da superposi¸c˜ ao Aplica¸c˜ ao para circuitos R, RL, RC e RLC

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Introdu¸c˜ao

Resposta natural (transit´ oria) e resposta for¸cada (regime permanente) de um circuito Resposta transit´ oria de circuitos RL, RC e RLC Resposta de circuito RLC em regime permanente

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Introdu¸c˜ao

Circuitos de corrente alternada – ver apˆendice Fasor Impedˆ ancia Potˆencia aparente (S [VA]), reativa (Q – [var]) e ativa (P – [W]) Fator de potˆencia (fp – cos(ϕ)) Corre¸c˜ ao de fator de potˆencia

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Introdu¸c˜ao

Os circuitos estudados eram monof´ asicos No entanto a energia el´etrica ´e fornecida atrav´es de circuitos trif´asicos As t´ecnicas de solu¸c˜ao podem ser aplicadas, mas os circuitos trif´asicos tˆem as suas particularidades

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Introdu¸c˜ao

Objetivos da disciplina: Avan¸car no estudo de t´ecnicas de an´alise de circuitos Sistemas trif´asicos → sistemas de energia el´etrica An´alise baseada em transformada de Laplace

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Revis˜ao

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Revis˜ao

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Revis˜ao

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Revis˜ao

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Revis˜ao

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Revis˜ao

+ CH1

GND

v (t) −

CH2

i (t) GND

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Revis˜ao

Formas de onda

[PDF]

Conceito de Valor Eficaz

[V´ıdeo]

Valor Eficaz – Procedimento Experimental

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[V´ıdeo]

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Revis˜ao  Exerc´ıcio Dados os seguintes conjuntos de tens˜ ao/corrente senoidais, trace dois ciclos das respectivas formas de onda. Indique se as correntes est˜ao adiantadas, em fase ou atrasadas em rela¸c˜ ao ` as tens˜ oes. Obtenha das defasagens (em graus) entre as correntes e tens˜ oes. Calcule as frequˆencias das formas de onda.   v1 (t) = 127 · cos(377t) v2 (t) = 127 · cos(377t) i1 (t) = 12,7 · cos(377t) i2 (t) = 6,1 · cos(377t − π/3) 

v3 (t) = 127 · cos(377t) i3 (t) = 24 · cos(377t + π/4)

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Revis˜ao

N´ umeros complexos

[PDF]

 Exerc´ıcio Obtenha, grafica e analiticamente, o resultado da seguinte opera¸c˜ao: z = x −y x y

em que:

= 127 + j 0 e = 127 · [cos (−120◦ ) + j · sen (−120◦ )]

√ Resp.: 127 3 ∠30◦

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Revis˜ao Circuitos sob alimenta¸c˜ ao senoidal

 Exemplo Inicialmente, considere o circuito RL alimentado por uma fonte de corrente cont´ınua mostrado a seguir. i (t)

chave +

R

+ −

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V L

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vR (t)

− +

vL (t)

−

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Revis˜ao

Aplicando a lei das tens˜oes de Kirchhoff ao circuito, tem-se:

i (t)

R

+ −

chave

V L

+ vR (t) − + vL (t) −

vL (t) + vR (t) = V d L · i (t) + R · i (t) = V dt d R V i (t) + · i (t) = dt L L

(1)

que ´e uma equa¸c˜ao diferencial ordin´ aria de primeira ordem.

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Revis˜ao

Sua solu¸c˜ao ´e composta pela soma de duas componentes:

i (t) = iH (t) + iP (t) em que: iH (t)

–

solu¸c˜ao da equa¸c˜ ao homogˆenea (resposta `a entrada nula)

iP (t)

–

solu¸c˜ao particular (resposta for¸cada).

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Revis˜ao

A equa¸c˜ao homogˆenea ´e obtida considerando o circuito com entrada nula, ou seja, V = 0, e determina o comportamento transit´orio do circuito. Pode-se reescrever a equa¸c˜ ao (1) com entrada nula como: R d iH (t) + iH (t) = 0 dt L

(2)

iH (t) = Ae αt

(3)

cuja solu¸c˜ao ´e do tipo:

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Revis˜ao Substituindo-se a equa¸c˜ao (3) em (2):

αAe αt +

R αt Ae = 0 L

pode-se determinar o valor de α:

α=−

R L

A chamada constante de tempo do circuito ´e dada por:

τ =− Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

L 1 = α R

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Revis˜ao A solu¸c˜ao particular, que determina as caracter´ısticas de regime do circuito, ´e obtida considerando que ela ser´ a do mesmo tipo que a tens˜ao de alimenta¸c˜ao. Como a tens˜ ao fornecida pela fonte ´e constante, considera-se que a solu¸c˜ao particular ser´ a:

iP (t) = K

(4)

A equa¸c˜ao para a obten¸c˜ao da solu¸c˜ ao particular ser´ a: R V d iP (t) + iP (t) = dt L L

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(5)

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Revis˜ao

Substituindo a equa¸c˜ao (4) em (5), chega-se a:

0+

V R K = L L K =

V R

⇒

iP (t) =

V R

ou seja, a corrente tende ao valor de regime permanente V /R.

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Revis˜ao Assim, ap´ os o fechamento da chave a corrente pelo circuito ´e: i (t) = iP (t) + iH (t) =

R V + Ae − L t R

Para a completa determina¸c˜ ao de i (t) ´e necess´ ario determinar o valor de A, que depende das condi¸c˜ oes iniciais do circuito. Considerando que a chave seja fechada no instante t = 0 e que no instante imediatamente ap´ os o fechamento da mesma a corrente seja i0 :
i 0+ = i0

tem-se:


V + Ae 0 i 0+ = i0 = R Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

⇒

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A = i0 −

V R 32 / 63

Revis˜ao

Finalmente, a express˜ao completa para a corrente pelo circuito ´e: 

V i (t) = i0 − R



R

e− L t +

V R

[A]

(6)

A tens˜ao sobre o indutor ´e dada por:

vL (t) = L

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R d i (t) = [V − R i0 ] · e − L t dt

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[V]

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Revis˜ao

Considerando condi¸c˜ao inicial nula, ou seja, que no momento em que a chave ´e fechada (t = 0) tem-se i (0) = 0, a solu¸c˜ ao da equa¸c˜ao acima ´e:

i (t) =

 R V  · 1 − e− L t R

[A]

A tens˜ao sobre o indutor ´e dada por: R

vL (t) = V · e − L t

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[V]

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Revis˜ao Para R = 10 Ω, L = 300 mH e V = 100 V, considerando i (0) = 0:

regime permanente

i (t)

10 R

+ −

chave

V L

+ vR (t) − + vL (t) −

i (t) [A] 5

0 0,0 τ

0,1 5τ 0,2

0,3

0,4

0,5

t [s] Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Revis˜ao

regime permanente 100 i (t)

80 R

+ −

chave

V L

+ vR (t) − + vL (t) −

60 vL (t) [V] 40 20 0 0,0 τ

0,1 5τ 0,2

0,3

0,4

0,5

t [s]

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Revis˜ao Imediatamente ap´ os o fechamento da chave, ou seja, para t = 0+ , os valores de tens˜ao no indutor e de corrente pelo circuito s˜ao:
vL 0+ = V


i 0+ = 0

indicando que neste instante o indutor se comporta como um circuito aberto. A tens˜ao no indutor e corrente pelo circuito na condi¸c˜ao de regime permanente podem ser obtidos calculando-se os limites dos mesmos quando o tempo tende a infinito: vL (t → ∞) = 0

i (t → ∞) =

V R

e conclui-se que em regime permanente o indutor se comporta como um curto-circuito. Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Revis˜ao Do ponto de vista da an´alise de regime permanente, a corrente pelo circuito ´e limitada somente pelo resistor e, neste exemplo, ´e igual a: i (t → ∞) =

V = 10 A R

Para fins pr´aticos, diz-se que para t ≥ 5τ (em que τ ´e a constante de tempo do circuito) o circuito estar´ a operando em regime permanente. No caso do circuito do exemplo: t ≥ 5τ = 5 ·

L = 0,15 s R



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Revis˜ao  Exemplo Considere agora o circuito RL alimentado por uma fonte de corrente alternada mostrado a seguir. i (t)

chave

+ ∼ v (t) -

R L

+ v (t) -R + v (t) -L

A tens˜ ao aplicada `a carga agora ´e: v (t) = Vp · sen (ωt + θ)

em que Vp ´e o valor de pico, ω = 2πf ´e a frequˆencia angular (f ´e a frequˆencia) e θ ´e o ˆangulo de fase da tens˜ ao. Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Revis˜ao Aplicando a lei das tens˜oes de Kirchhoff ao circuito, tem-se: d R v (t) i (t) + · i (t) = dt L L A solu¸c˜ao da equa¸c˜ao acima para i (0) = i0 ´e:  R Vp Vp · sen (θ − φ) · e − L ·t + · sen (ωt + θ − φ) i (t) = i0 − Z Z | {z } | {z } 

ir (t)

it (t)

em que:

Z=

q

R2

+ (ωL)

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2

φ = tan EA611 – Cap´ıtulo 1

−1



ωL R

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Revis˜ao O termo: 

 R Vp it (t) = i0 − · sen (θ − φ) · e − L ·t Z corresponde `a parcela transit´ oria e tende a zero como o passar do tempo. O termo: ir (t) =

Vp · sen (ωt + θ − φ) Z

corresponde `a parcela de regime permanente. Matematicamente: ( Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

limt→∞ it (t) = 0 limt→∞ i (t) = ir (t) EA611 – Cap´ıtulo 1

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Revis˜ao

Em regime permanente: v (t) = Vp · sen (ωt + θ) i (t) =

Vp · sen (ωt + θ − φ) Z

em que Z (fator de escala tens˜ ao/corrente) e φ (defasagem entre tens˜ao/ corrente) dependem dos bipolos (R, L) e da frequˆencia (ω).

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Revis˜ao Considerando R = 10 Ω, L = 300 mH, Vp = 100 V, f = 60 Hz e i (0) = 0: regime permanente 2

i (t) [A] it (t) [A]

i (t)

chave

1

+

R

∼ v (t) -

L

+ v (t) -R + v (t) -L

0,8807

0

−1

0,1

5τ

0,2

−0,8807

0,3

t [s]

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Revis˜ao

Considera-se que para t ≥ 5τ = 0,15 s a corrente i (t) atinge seu valor de regime permanente, e a parcela transit´ oria it (t) vale praticamente zero. O valor de pico da corrente de regime permanente ´e:

Ip =

Vp =q Z

Vp R2

+ (ωL)

2

= 0,8807 A



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Revis˜ao

Comportamento de um circuito RL s´ erie alimentado com fonte senoidal (I) [V´ıdeo] Comportamento de um circuito RL s´ erie alimentado com fonte senoidal (II) [V´ıdeo] Comportamento de um circuito RC s´ erie alimentado com fonte senoidal (I) [V´ıdeo] Comportamento de um circuito RC s´ erie alimentado com fonte senoidal (II) [V´ıdeo] Comportamento de um circuito RLC s´ erie conectado a um gerador senoidal (I) [V´ıdeo] Comportamento de um circuito RLC s´ erie conectado a um gerador senoidal (II) [V´ıdeo]

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Revis˜ao

Fasor – conceitos

5 6 7 8

[PDF]

Fasor – visualiza¸c˜ao (1)

[GIF]5

Fasor – visualiza¸c˜ao (2)

[GIF]6

Fasores – visualiza¸c˜ao (3)

[GIF]7

Fasores – visualiza¸c˜ao (4)

[GIF]8

Autor – Prof. Marcos J. Rider (FEEC/UNICAMP) Fonte – Wikipedia Autor – Prof. Marcos J. Rider (FFEC/UNICAMP) Fonte – Wikipedia

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Revis˜ao

Impedˆancia

[PDF]

Diagrama fasorial

[PDF]

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Revis˜ao  Exerc´ıcio Considere o circuito a seguir, para o qual vF (t) = 10 · cos 8 t V. i (t)

0,5 H

+ vF (t) ∼

1Ω

vR (t)

1Ω

1

Qual ´e a impedˆancia vista pela fonte?

2

Obtenha a express˜ao para a forma de onda da corrente fornecida pela fonte i(t).

3

Obtenha a express˜ao para a forma de onda da tens˜ao sobre o resistor vR (t).

4

Desenhe um diagrama fasorial contendo a tens˜ao e a corrente fornecidas pela fonte.

−

Resp.: 0,922 ∠12,53◦ Ω ; 10,85 · cos (8 t − 12,53◦ ) A ; 2,425 · cos (8 t − 75,96◦ ) V

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Revis˜ao  Exerc´ıcio √ Considere o circuito a seguir, para o qual vF (t) = 5 2 · cos 2 t V. 1

Qual ´e a impedˆancia vista pela fonte?

2

Obtenha a express˜ao para a forma de onda da corrente fornecida pela fonte i(t).

3

Desenhe um diagrama fasorial contendo a tens˜ao e a corrente fornecidas pela fonte.

0,5 H i (t)

vF (t) ∼

3Ω

1H

0,5 F

0,25 F

1Ω

Resp.: 3,536 ∠8,13◦ Ω ; 2 · cos (2 t − 8,13◦ ) A

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Revis˜ao

Potˆencia

[PDF]

Corre¸c˜ao do fator de potˆencia

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[V´ıdeo]

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Revis˜ao  Exerc´ıcio Considere o circuito a seguir, para o qual vF (t) = 10 · cos 8 t V. Calcule as potˆencias consumidas pelos resistores e a fornecida pela fonte. Desenhe o triˆ angulo das potˆencias. i (t)

0,5 H

+ vF (t) ∼

1Ω

vR (t)

1Ω

−

Resp.: 52,94 W ; 11,77 var

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Revis˜ao  Exerc´ıcio √ Considere o circuito a seguir, para o qual vF (t) = 5 2 · cos 2 t V. Calcule a potˆencia para cada um dos bipolos e a fornecida pela fonte. Desenhe o triˆ angulo das potˆencias. 0,5 H i (t)

vF (t) ∼

3Ω

1H

0,5 F

0,25 F

1Ω

Resp.: 7 W ; 1 var

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Revis˜ao

 Exerc´ıcio Uma ind´ ustria ´e alimentada em 220 V a 60 Hz, e tem as seguintes cargas monof´asicas: (a) quatro motores de 2 HP operando com eficiˆencia de 75% e fp 0,85 atrasado; (b) aquecedores resistivos com carga total de 0,5 kW. Obtenha a potˆencia aparente da f´ abrica, o seu fp e o capacitor necess´ario para corrigir o fp para atender ` a legisla¸c˜ ao de fp m´ınimo de 0,92, se necess´ario. (1 HP = 746 W) Resp.: 9790,11 VA ; 0,86 ; 72,85 µF



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Exerc´ıcios propostos

G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de corrente alternada: fundamentos e pr´ atica, Oficina de Textos, 2012 – cap´ıtulos 2, 3, 4, 5. C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um curso introdut´ orio, Unicamp, 1995 – cap´ıtulos 2, 3.

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Referˆencias

P. Cardieri, Notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP. M.C.D. Tavares, Notas de aula de EA611, FEEC/UNICAMP. G. Barreto, C.A. Castro, C.A.F. Murari, F. Sato, Circuitos de corrente alternada: fundamentos e pr´ atica, Oficina de Textos, 2012. C.A. Castro, C´alculo de fluxo de carga, http://www.dsee.fee.unicamp.br/∼ccastro/cursos/IT743/.

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Referˆencias

C.A. Castro, Sistemas de Energia El´etrica I, http://www0.fee.unicamp.br/cursos/et720/. C.A. Castro, M.R. Tanaka, Circuitos de corrente alternada – um curso introdut´ orio, Unicamp, 1995. F. Milano, Power System Modelling and Scripting, Springer, 2010. T. Oberbye, ECE576 – Power system dynamics and stability, Lecture notes, https://courses.engr.illinois.edu/ece576. A. Monticelli, A. Garcia, Introdu¸c˜ ao a sistemas de energia el´etrica, Unicamp, 2003. Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice – Guerra das correntes ∼ 1876 – n˜ao se sabia ainda qual a melhor maneira de transmitir a energia de uma queda de ´agua para um centro distante (tubula¸c˜ao de ar comprimido? ´oleo?) No caso da transmiss˜ao de energia el´etrica n˜ao se sabia se seria melhor utilizar corrente cont´ınua (CC) ou corrente alternada (CA). No caso de CA, n˜ao se sabia com que frequˆencia nem com que n´ umero de fases Corrente alternada era gerada por m´aquinas chamadas alternadores. Corrente cont´ınua era gerada por m´aquinas chamadas d´ınamos Corrente cont´ınua parecia apresentar algumas vantagens sobre corrente alternada. Baterias podiam ser usadas como backup em situa¸co˜es de emergˆencia quando os d´ınamos falhavam, ou ainda suprir potˆencia durante per´ıodos de demanda baixa. Al´em disso, d´ınamos podiam operar em paralelo para atender a demanda crescente. Naquela ´epoca, o uso de alternadores em paralelo era considerado muito dif´ıcil devido a problemas de sincroniza¸c˜ao Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice – Guerra das correntes

1876 In´ıcio da concorrˆencia para a constru¸c˜ ao do complexo de Niagara Falls → fato marcante na evolu¸c˜ ao da ´ area 1879 Thomas Alva Edison apresenta sua lˆ ampada incandescente (em corrente cont´ınua), a mais eficiente de ent˜ ao Na Europa h´a avan¸cos na ´ area de corrente alternada 1882 Edison coloca em funcionamento um sistema de corrente cont´ınua em New York (empresa Edison Electric Company) → Pearl St. Station → geradores CC (na ´epoca chamados d´ınamos) acionados por motores a vapor supriam 30 kW em 110 V a 59 consumidores → ilumina¸c˜ao incandescente → ´area de 1 milha quadrada Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice – Guerra das correntes 1885 George Westinghouse Jr. compra os direitos da patente de Goulard-Gibbs para construir transformadores e encarrega William Stanley de construi-los 1886 J´a h´a cerca de 60 centrais de corrente cont´ınua (Edison) com cerca de 150.000 lˆampadas Stanley coloca em opera¸c˜ ao a primeira central em corrente alternada (Westinghouse) em Great Barrington, Massachussets → 150 lˆampadas 1887 J´a existem cerca de 120 sistemas de corrente cont´ınua com cerca de 325.000 lˆampadas Empresa de Westinghouse cresce muito e j´ a conta com cerca de 125.000 lˆampadas em corrente alternada Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice – Guerra das correntes

1888 Edison passa a atacar duramente os sistemas de corrente alternada Nikola Tesla publica um artigo em que mostra ser poss´ıvel construir um motor em CA Westinghouse compra a patente de Tesla e o contrata para desenvolver o motor (que s´ o ficaria pronto em 1892) 1890 Empresa de Edison e o pr´ oprio endurecem ainda mais a discuss˜ao. Edison defendia a confiabilidade dos sistemas de corrente cont´ınua e o perigo apresentado por tens˜ oes em corrente alternada Primeira linha de transmiss˜ ao em CA ´e posta em opera¸c˜ao para transportar energia el´etrica gerada em uma usina hidroel´etrica desde Willamette Falls at´e Portland, Oregon (20 km, 4 kV, monof´asica) Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice – Guerra das correntes

1890 Morte de animais (c˜aes e cavalos) atrav´es de corrente alternada Primeira execu¸c˜ao em cadeira el´etrica (06 Ago 1890) na pris˜ao de Auburn, NY, foi em corrente alternada (gerador Westinghouse) When the chair was first used, on August 6, 1890, the technicians on hand misjudged the voltage needed to kill the condemned prisoner, William Kemmler. The first jolt of electricity was not enough to kill Kemmler, and only left him badly injured. The procedure had to be repeated and a reporter on hand described it as “an awful spectacle, far worse than hanging.” George Westinghouse commented: “They would have done better using an axe.” (Fonte: http://en.wikipedia.org/wiki/War_of_Currents)

Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice – Guerra das correntes 1892 Entra em funcionamento o primeiro motor de indu¸c˜ao de Tesla Comiss˜ao respons´avel pela concorrˆencia de Niagara Falls decide que o sistema ser´a em corrente alternada A empresa de Edison (Edison Electric Co.) junta-se a outra, a Thomson-Houston, formando a General Electric que passa a produzir transformadores e alternadores em larga escala 1893 Westinghouse ganha a concorrˆencia para fornecer os alternadores e transformadores de Niagara Falls Columbian Exhibition em Chicago → apresentado sistema de distribui¸c˜ao bif´asico. A partir de ent˜ ao, a transmiss˜ao em CA trif´asica foi gradualmente substituindo os sistemas CC Veja isto Carlos A. Castro (DSE/FEEC/UNICAMP)

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Apˆendice – Guerra das correntes

1896 Entra em funcionamento o complexo de Niagara Falls, com transmiss˜ao de energia at´e Buffalo encerrando a discuss˜ao sobre CC e CA. Eram transmitidos 10 MW de potˆencia (valor alto para a ´epoca) at´e Buffalo em uma distˆ ancia de 20 milhas

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