Caderno Do Futuro - Matemática - 8º Ano - Professor.pdf

Ca erno do Futuro A evolucao do caderno

CA MATEMMI 3a edicao Sao Paulo - 2013

leap

•• •

Colecao Caderno do Futuro

•

Matematica IBEP, 2013

Gerente editorial Editor Assistente editorial

Celia de Assis Mizue Jyo Edson Rodrigues

Revisao Coordenadora de arte

Berenice Baeder Karina Monteiro Marilia Vilela

• ••

Nane Carvalho

•

• Diretor superintendente

Assistente de arte

Coordenadora de iconografia Assistente de iconografia Producao grafica Assistente de producao grafica Projeto grafico Capa Editoracao eletrOnica

Jorge Yunes

•

Carla Almeida Freire Maria do Ceu Pires Passuello Adriana Neves Wilson de Castilho Jose Ant6nio Ferraz Eliane M. M. Ferreira Departamento de Arte Ibep Departamento de Arte Ibep N-PublicacOes

CIP-BRASIL. CATALOGAcAO-NA-FONTE SINDICATO NACIONAL DOS EDITORES DE LIVROS, RJ S58m 3. ed Silva, Jorge Daniel Matematica, 8° ano / Jorge Daniel da Silva, Valter dos Santos Fernandes, Orlando Donisete Mabelini. - 3. ed. - Sao Paulo : IBEP, 2013.

1. ; 28 cm

(Caderno do futuro)

ISBN 978-85-342-3586-0 (aluno) - 978-85-342-3590-7 (professor) I. Matematica (Ensino fundamental) - Estudo e ensino. I. Fernandes, Valter dos Santos. II. Mabelini, Orlando Donisete. III. Titulo. IV. Serie. CDD: 372.72 CDU: 373.3.016:510

12-8693.

041087

27.11.12 03.12.12

1 3 Reimpressao - 2013 3' edicao - Sao Paulo - 2013 Todos os direitos reservados.

IBEP 'ORITFIA4 LOtT014, .11.1ADA

Av. Alexandre Mackenzie, 619 - Jaguare Sao Paulo - SP - 05322-000 - Brasil - Tel.: (I I) 2799-7799 www.editoraibep.com.br - [email protected]

CTP, Impressao e Acabamento IBEP Grafica 43189

•• • •• ••

•• •• •• •• •• •• •• •• •

•• •• •• ••

•

•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •

SUMARIO O

CAPITULO 1

CONJUNTOS NUMERICOS

CAPITULO 7

FATORAcA0

4

1. Fator comum em evidencia

38

2. Numeros irracionais

4

2. Fatoragao por agrupamento

39

3. Diferenga de dois quadrados

39

4. Trin6mio quadrado perfeito

40

-

OPERAGOES EM R

1. Propriedades da adigao e da multiplicagao em R

7

2. Propriedades da potenciagao

9

CAPITULO 8

MDC E MMC DE POLINOMIOS

-

1. Maximo divisor comum (mdc)

44

2. Minima multiplo comum (mmc)

45

CAPITULO 3 - VALOR NUMERICO E TERMO ALGEBRICO CAPITULO 9

1. Valor numerico de uma expressao algebrica 2. Termo algebrico

1. Simplificagao de fragoes algebricas

47

14

2. Adigao e subtragao de fragOes algebricas

50

3. Multiplicagao de fragOes algebricas

52

4. Divisao de fragOes algebricas

53

5. Potenciagao de fragoes algebricas

54

6. ExpressOes corn fragbes algebricas

55

1. Monomio, binOmio, trinOmio e polinornio

16

2. Grau de urn monOmio

17

3. Grau de urn polinornio

17

CAPITULO 5

-

FRAcOES ALGEBRICAS

-

12

CAPITULO 4 - POLINOMIOS

0

-

1. Numeros racionais

CAPITULO 2

O

-

OPERAcOES COM POLINOMIOS

1. Adicao e subtracao de polinOmios

21

2. Multiplicagao de monomios

24

3. Multiplicagao de monomio por polinornio...25 4. Multiplicagao de polinornio por polinomio ..26

O

CAPITULO 10 - EQUAcOES FRACIONARIAS E LITERAIS

1. EquagOes fracionarias

58

2. Conjunto verdade

59

3. EquagOes literais

60

CAPITULO 11

-

GEOMETRIA

28

1. Angulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma reta transversal

63

7. Divisao de polinarnio por polinornio

29

2. Pollgonos

70

8. Potenciagao de monomios

30

3. Triangulo

71

9. Raiz quadrada de monomios

31

4. Congruencia de triangulos

76

5. Pontos notaveis de urn triangulo

81

6. Condigao de existencia de urn triangulo

82

7. Quadrilateros

83

8. Classificagao dos quadrilateros

87

9. Soma das medidas dos angulos internos dos poligonos

88

5. Divisao de monomios

27

6. Divisao de polinOmio por monOmio

CAPITULO 6 - PRODUTOS NOTAVEIS

1. 0 quadrado da soma de dois termos (a + b) 2 2. 0 quadrado da diferenca de dois termos (a b)2 3. 0 produto da soma pela diferenga de dois termos

34 35 36

10. Poligono regular

91

11. Angulo extern() de um poligono regular

93

12. Semelhanga de poligonos

96

0

0

CAPITULO 1 - CONJUNTOS NUMERICOS

Wimeros racionais Ja

estudamos os seguintes conjuntos numericos.

N: conjunto dos numeros naturais N = {0, 1, 2, 3, ...} Z: conjunto dos numeros inteiros Z = {..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...} Q: conjunto dos numeros racionais Q={1aEZebEZ*}

Nurneros racionais sao aqueles que podem ser representados como o quociente de dois numeros inteiros, corn divisor diferente de zero. Exemplos: a) 6 ou 3 2

b) 12 ou 2,4 5

c) 4 ou 1,333... 3

Numeros itracionais Vamos agora apresentar urn novo conjunto, o dos numeros irracionais. Nilmeros irracionais nao podem ser representados como quociente de dois numeros inteiros, e sua representacao decimal é infinita e nao periodica. 0 conjunto dos numeros irracionais é representado pela tetra I. Exemplos de numeros irracionais: = 1,4142135623... = 2,23606797749... Tr =

3,14159265...

0 conjunto formado pela uniao de todos esses conjuntos: N, Z, Q e I, a chamado conjunto dos numeros reais, representado pela tetra R. 0 conjunto dos numeros reais a comumente representado por meio do diagrama de Venn Euler, como mostra a figura.

O

••

•• • • • •

•

1. A.ssocie os simbolos da coluna da

racionais

esquerda corn seuraspectivo coniunto, na coluna da direita.

Q__

numeros naturals

h) Os numeros

racionais

podem ser

escritos em forma de fracao. h) Z

meroaracionais relativos numeros inteiros relativos

N

i) Os numeros

irracionais

nab podem_

ser escritos em forma de fragao.

•

•

_g) As razes exatas sac, numeros

R

a numeros reas

3. Fscreva Q para ns racionais e I para os ii2„Compieteasiacunas escrevendo

• •• • •• • •

4111— •

•

•

•

4111 •

•• •• •

•• •

irracionais .

racionaissuirracionais. 2,5 a) Os numeros CIA rapresentacao decimal

sao

racionais

b) 0„666.. b) Os

de representagao decimal c) 3,2

infinitaa peribdica sao

racionais

d) 0,8 c) Os numeros de representacao_decimal infinite enaaperiOdica sao

irracionais

e) 2,236817..

cl)_Os_numeros naturals sao racionais

1,732168... . Os numeros _inteiros sa

h) 5,343434...

nao exatas sao numeros

0

S

• Fscreva_v_erdadeiro_ (V) ou falso (F).

_

a) 2.5 é urn numero racional.

h)

niimero Irracio.naL

14 Jr) c) 2,5 é urn numero real.

4. Assinale corn X somente os nOmeros due

V

_d) Aff e um numero racional. ._I F

nao sac) racionais. numero irracional.

X

.a_e_urantimero real.

X

6. Escrevaconvementementeno .

cliagrama

os nurneros: 1 1 3, -7, 3' -2, —, 7, 0, -1, 8, 9, -9, --25 4

•• se

f) 2.449

X

S

h) _O.

L

0

5-

•• •w•

CAPITULO 2 - OPERAcOES EM R

1. Proptiedades-da adicao e da multiplicagao em R

Assinale as alternativas em que foi aplicada a propriedade comutativa..___

a) (2 + 5) + 3 = 2 + (5 + 3)

see

Adicao

)

Sendo a, b e c nilmeros reais. Comutativa:

1 + 2 4 3

2 3

1 4

a+b=b+a • Elemento neutro: a+0=a=0+a

d)

• Associativa:

S

.3= 1

(a + b) + c = a + (b + c) • Elemento inverso aditivo: a + (-a) = 0

-

Ib S

• •

Multiplicacao Assinale as alternativas em que foi

Sendo a, b e c numeros reais. Comutativa:

aplicada a propriedade do elemento

a•b=b•a

neutro. • Elemento neutro:

a) 8 . 1 = 1 8

a•1=a=1a • Associativa: (a • b) • c= a • (b • c)

h) 15 •

15

• Elemento inverso nnultiplicativo: a . 1 = 1 (a 0 0) a

1

) 8 4. 3

_

• Distributiva da multiplicacao em relacao a adicao: a • (b+c)=a • b+a • c

S S S S S

a±x=

v--2-

r2-

x

3. Assinale as alternativas em que foi

h) 8 + (-8) = 0 eleraentoinverso_aclitivo_

aplicada a_propriedade associativa

a) 3 +__2 = 2 + 3_

0 5s

3 = 1 elementoinvers_o multiplicativo_ 3 5

--e----

h)

3

4

AV

1 +0= 1

5. Aplique a_propriedade distributiva e

3

efetue quando possivel. 4+_(2+3)=(44-2)+3

--AD

a) 4_•_(3 + 5) = d) 8 • 1 = 8

+ 4.5=12 + n

hl 9 1

+ hl =

'4

e) (2 • 3) - 5 = 2 3 • 5 2,9+2•h= 2a + 213

8 - (m + x) =

4. Fscreva e nome da propriedade aplicada.

8•m

a) Ar5- + =

+

8•x

=

8m + 8x

elemento neutrn

dl 5•(2 + 1 41 = 5 • 2 + 5 -14 = 10 + 70 = 80

b) 3 • 4 = 4 • 3 comutativ.

e),

• ,lb + c) = a h a •_c_=_ab + ac

0-

•

c) 5 + (-5) = 0 ele.rnerao_inversh._actitivo x•

d) 1 _3_1_ Memento inversoiaultiplicativo 3

(3 +.13)_:_.=

-g)- 3- • (2 ± 4=

--0

3 • (4 +a)= g) g • 1 = 1 elemento_fieutro 1.4 +

0

+_3a__

•• •

opriedade-s daimtenciagao e)_m2

••

41I Sejam a e b numeros reais emen numeros racionais:

• •

m

m 2- ' =m'

a) am • an = am+n b) am : an = am -n (a 0 0) c) (a

b)m = am • bm

d) a -m = 1 (a am

0)

e) a° = 1 (a 0 0) f) (am)n = am • n g) 'VW = an (a > 0)

apresentadasnestaatividade

•

representaninumeros ma's_ Desenvolvaas_operacees com o auxilio

•

•

das propriedades da potenciacao.

• •

a) a2 a =

fla

2+7

h) m3 • m= m4

c)

y5 y5 = —

y5 + 5 = y-10

d) 8 ÷

2=

m ?. a2,m2a2

(3 a)3 =

7,E,screva na forma_de potencia, cam expoente fracionaria 3.

Exemplo: VT = 2 2

=

2

1 a3 5

1) 2-4 =

c) W1.=_ 8 3

24

7

• 5 )7 =

) 2'

-5?

E ( 2) = 15+ 2 = a7

)

78

7

= 1 CI)

= Y2

it

= 72

78 -(-3) = 78+3 = 711

H1 2-3 =

-

• •

2

= 5 72

2

•

h) 8 2 = V81 =

---

8. Agora, faca_o processo inverso da atividade anterior: escreva naforma de radical.

•

32 =

3

Exemplo: m' = 5 m s

11111-

-

=

h) x 7 = Vx3

/71 = k) x7 = )

UV (1) •

a2

= Val =

1

(1) b 2 = Vb1

p.) m3=

•

••

Va3

a 47. _

f) 53 = J52

CAPITULO 3 - VALOR NUMERIC° E TERMO ALGEBRICO

Valor numeric° de uma expressao algebrica

w,3x + a, para x = 5 e a = 2 3._5_+2=_15+2 , 17

V.1\1.-= 17

ece

E o numero que se obtem (resultado) quando substituimos as tetras de uma expressao algebrica por determinados numeros e efetuamos as operacoes indicadas.

A temperatura de uma estufa, em graus Celsius, é regulada em fun* do tempo t (horas) pela expressao t2 — 4t + 10. 2 Quando t = 6 h, qual é a temperatura atingida pela estufa? — 4t+ 10 —

5 -2

+2• 1 + 7.10_+2 +,7 =19

19 d) 3x — 2y, para x = 5 e y = 2

Exemplo:

t2

c)_ 5a + 2b+ c, para a = 2, b=1 e c = 7

62

— 4 • 6 + 10 =

3 • 5-2 •2 =15-4 =11

V NJ_ = e) 4a + 2b - c, para a = 1, b = 3 a = 5 4• 1 ±_22 3-5=4+6-5=5

2 = 36 — 24 + 10 = 18 — 24 + 10 = 4 2 2

0 valor numerico da expressao que fornece a temperatura da estufa quando t=6héo nOmero 4. Resposta: 4°C.

_LAsletras apresentadas nesta atividada

14._. 5 f) a

-

12 + 3c,_para a= 1, b =4 e c=5

✓ N = 12 g) 7a- 2b, para a = 1 e b = 5

_representam nOmeros reais. Calcule o

7 1 -2 5 = 7 -1Q = -3

_valor numeric° (V.N.)

✓ N. = -3

das expressbes

a seguir.

h) ab + c, para a =2 , b = 1 e c = a) x + 7, para x = 5 2•

t+ 3 2+3-

+ L=12

V. N. = 5 V N. = 12

S

• •

•• xy +._3x,para x = 3 e y = 2

V. N. =

3-2+3.3=6+9=15

b2 -4ac, para b = -5, a = -1 e c =6

v. N =15 (-5)2 -4 .(-1).6 = 25 + 24 = 49

411-

abc +2a,para a= 5, h

=_3 V. 14._= 49_

5.2.3+2.5=30+10=40

_ p) ab V

para_a =

13

N. =AL (-3)•3+2=-9+2=-7

415k) a3 + 5b2., pars a = 2 e_b = V. N. = -7 ...

111111L_

23 +5.52 =8+5.25=8+125=133

411)--

•

parse= 5. b = -3 a c = 2

q). m2 + 3x 4.pararn = - 3, x = 2 e y = 7

(3)2 +3.2 = 9+6 = 15 49 49 7

• •

• •

•

V N. = 15

(-3)2 -4 5 2 =_- 9-40= -31

49

V. N. =

abc p..ara_a = a+b

m) m3 - 3m, pars m = 2

i

23-3.2=8-6=2

(-1)• 2.3 =(-1)+2

4.

V N =2

V. N. = -

11111—

a2 + b2 , Para a = -3, h = - 5 c2

IP •

•

ec=a

(-3)2+ (-5)2 = 9 + 25 = 34 = 17 2 4 4 (-2)2

e c = -2

=

s) x2Y + x , pare x = -3, e y = 7 x -y (-3)2 .7 +(-3) = 9 .7-3 , 63 -3 = -10 -3-7 (-3) -7

• ermo a ge nco

=60=-6

-10

.0 V. N. = -6

_AP

Termo algebrico e composto por uma parte numerica (coeficiente) e por uma parte literal.

x2 -4.y, pare x

e y = -5

Exempla: no termo algebrico 5x 2y, o coeficiente é 5 e a parte literal é x 2y.

(-3) 2 -4•(- ) = 9 +__2_0_E29_

Complete V_ N.=29 a) 3 x2 11

a2 -4mx, pare a=

y

-

-

) ab c para a = - 3 , a 2 1 4

3

(

—

5)

;

parte literal.

= -2 e x =3

-

(-1)2 -4 • ( 2) • 3 =1 + 24 = 25

3 2

noefiniente:

- 1 ec= 3 8

coeficiente:

c) 7yz- coeficiente:

d) _ 5_X3Y2

3 2

-1 ;parte literal.

parte literal:

coeficiente

2

2 parte literal: x'y'

2

yz

S —

15 —24 40 3 2

-78- 13 120 20

—39 40

3 2

39 40

•-

•

_1)_

-

Ay

6

; parte literal: ab

; parte literal

coeficiente:

V._14.—= 13 20

g) 7x 8

_;_parte literal:

coefidente: 8

•• 1111 ••

7

x

_parteiiteral:

coefiniente:

•

•• ••

•• ••

•• •• •• •• •• •• •• •

3._Escrevanosparenteses

a quantidade de

. •

" • sao.

IS

•

.•

h) 6xy

a + 3h + x

e) xya

)(

2 _ 6x+ 5

3

1

3

g) m + 7

2

h) y2 + 3xy + y

3

•• O 0

0 CAPITULO 4

-

POLINOMIOS

1. MorTotio,bintimio, trinenio

e Nintimio Monomio Chamamos monornio a expressao algebrica formada por apenas urn termo algebrico. Exemplos: 2x

4xy

x2

43y3

Exemplo: Em urn estacionamento ha motos (x) e carros (y). Vamos escrever o polinOmio que representa: a)o nUmero de veiculos que estao no estacionamento: x+y b)o numero de rodas dos veiculos que estao no estacionamento: 2x + 4y

Bin6mio Chamamos binOrnio a expressao algebrica formada por dois termos algebricos. Exemplos: 2x + 5n

4xy3 — 12

z — 7y 3

x3y + x 2

1. Classifique as expressOes algebricas em monomio, binomio ou trinamio. a) x + y

binOrnio

b) a

monOmio

Trinomio Chamamos trinornio a expressao algebrica formada por tres termos algebricos. Exemplos: 4y + z — 2x

4xy — 3z3 + 4

x2 + x + 3

4 + 3y3 — z

m+x+4 d) a +__b

Polinomio Chamamos polinOnnio a expressao algebrica formada por dois ou mais termos algebricos. Exemplos: x+y

y3 + 5 + z 2

3x + 4

zy 2 + z + x 3+12 + k

trinOmio

binomio

binbmio

trinOrnio

binOrnio

binomio

trinOrnio

a-

binOrnio

•• • ••

••

•

k)

binornio

2 +Axy

-7 y

I)3 + x2

binOrnio

grau =

m)_x2 + 4x3y+ x

trinomio

gratt=

n) a - b

binOrnio

o) x2 + 3x

binOmio

f)

)

•

____graLL=±

=816,2115_

grau =

-u

grau =

3 m2

2. Grau deummoniimio

3

grau =

grau = Grau de urn monOmio é a soma dos expoentes de todas as variaveis (letras) que formam a parte Literal do mon6mio. Exemplo:

S

0 nnonornio 9x 3y tern grau 4, pois o expoente do xe3eo do y 1. (3 + 1 = 4).

gran =1 1 grau

18

2

grau =

e o grau dos polinomios_

um 1101MOIMIL 0Grau de urn polinomio é o grau do termo algebrico de maior grau do polinOmio. Exemplo:

•

• S S 411 S

•

-3y

7a3 + 2a

6

■.■

2

0 polinOmio 2x 2 + 5x - 4x3 tern grau 3, pois o termo algebrico de maior expoente é 4x3 , e seu expoente é 3.

grau =

2

grau =

2 r3

d) 3a + 7a2h -5a3 e) 6xy3_+_5xY__+_axy

gm! = au =

6

2. Fscreva o grau dos monbmios. a) 3a2b5

grau =

b) 8x

grau =

7 Monomios semelhantes sao aqueles que apresentam suas partes literais iguais.

••

S apresentadossaIsLa_-Ca._ cominonomios I) 8, semeihantes, apresentados na coluna da direita.

5

, -7

-fe-

e

m) 2x, 4x,8_ 5y Desenvolva as operagfies de modo 7ab a reduzir as expressoes a termos semelhantes,_

Exemplo: 4y + 6y = 10y

8y

5Assinale corn Xos itens que apresentam a) 2y + 6y = somente monOmios semeihantes.

J

AI

b) xy, 3xy, 6xy

h) 5b -7b = -2h

clv + 3v + 5v -2y = 7v J

-6x2

c) 7x3y, 8xy3

d) 8xv, 3x, 2xy e) 5ab, ab, 9ab

f) 3a, 3ab, -a

7x2y, x 2y, 1 3x2y

h) am', a'm

it

ab2c. acb2 . cb2a

j) 3ab, -2ba, 7ab

•

f

10x2 = 9x2

e) b + 6b -5b -8b = -6b

x

r

fl 7x3 -10x3 -8x3 + 2x3 = -9x3

g) 3a -4a -5a = -6a

i

h)a2

fib

+ 3a2 -3a2 = 0

.

i) 6x + 10x -7x -9x =

3a + 10a

-

12a = a

k) x + y +3x =

se es

a) 3x. -) ----(75 _1( 7

I)

2a + 3h - 5a + 2h -

,3a_

sinale a alternativa correta. b2 - 4ac, Para

m) 3x + 7x + 8y =

4111416

JD 8 a= , b= 3e c=2 e:

n) a +ix+ 3a +5b =

4_a+6b

(a))1

c) 0_

h) 17 =

ci) -2

16X2 -E 6x_

82 - 4

1111' • _

_p)___

+ 1_0x+

= 9 - 8 -. _1 -

6xy + _10x

2) Sendo x = 2 e y = 3,__o_valor_numerico de

ID

q) a+ab+3a=

4a+ ai.

4 _6x3 + 3x + 8x3

14x3 +3x

5x +

y_

a) 10

13

h) 5

ft s)

6a +

=

t) x 2 _4_ 3x2 _Lx2 =

5x

ID

d) 5

•

+ 3 = 10 ± 3 = 13

P_ara_a = 1 e h = 0, o valor numeric° de 4a__± 5b

u) -3x= 2x - x2 = c) 1

a) 2_

v) 6x + 4x - 8 =

fi

10x -8

4 • 1_ +

vo x3 + y2 x y x '+' x + 3x Y 2 3 , 2x ± y 3 2

•so

3

411 O

-

flb

4

b) 5

4)_avalor numerico de 5x + 3y, para

x = -2 e y____. 5„.e.:

- 2b + 3 a + b = 2

• 41

c) -5

a) 5

d) 15

b)-25

a 2 1-0-a + '3a 2 =

_

5a ±

2

=4+0=4

(-2) +

5 = -10 + 15 __5

- 2b + b b

5) 0 coeficiente de 3ey3

a) 2

c) 5

0'3

d) n,

• 6) 0 coeficiente de X2 A_ 5 1 a) 5 b) 5

n. r. a

7) A expressao_algeb a) monOmioc)Irinomio binOmio

.•.•-• monornio b) binonnio

3x

c) trinomio d)

9) A expressao algAhrica x2 + 5x + 6 A urn: a) monomin h) hinomio

4trinomia d) n. r. a.

1010 manamio 5x3v72 A de arm] . al 5

cl 7

6

dl n.s._ a.

1110 oolinamio 3xv + 472x + 5x2 A de arau. al 9

c11

(h13

dl 4

•

'•

to•

-

+2ye

eauivalente a. 7%,

rs1 3v 9%,

b) 2x + 4y

2x + 7y

al 3v

3x

0

-

-4111-

x + 5y + 2y = 2x + 7y

411-

41111

0 CAPITULO 5 - OPERAPOES COM POLINOMIOS Adicao e stAnWcao de

1. Efetue: a)

5x +2 • 3x — 1 8x + 1

Uma fabrica de roupas (F) vende seus produtos em cinco pontos de venda: P 1 , P 2, P3 , P4 e P 5 . Esses pontos estao separados entre si por distancias (em km), medidas em linha reta, indicadas na figura. F

2x +3

— b) +

-7x + 4 -5x -+ 7

5x2 — 7x + 10

c) +

-3x2 — 5x — 8 2x2

d) +

—

1 2x + 2

12x2 + 3x — 5 x2 ± 7x + 9 13x2 + 10X + 4

Podemos escrever o pol.inOmio que expressa a distancia desde a fabrica F ate o ponto de venda P 5, passando por todos os pontos intermediarios da seguinte maneira: x + 8+x-3+x-2+x+4+x=5x+7

8x + 12 • 2x + 5 10x +

3x2 — 8x • 8x2 + 10x 11x2

S

•• •• •

•• •

4x2 — 5x + 11 — 15

• 3x2 7x'

—

y2

5X 3y

—

9

• 2y2 + y — 1

• 2. Efetue eliminando os parenteses. Exemplo: (5x 2) + (-2x2) = 5x2 - 2x2 = 3x2

3. Ffetue: a)

+_-.9x_-_5)-_8x== 3x2 +_9x= 5_+_2)e

a) (4x) + (7x) =

-lb

=

3=

+2xi_2 ± 9x= Eix - 5 - 3 =

_411

h) _(5x) +_(.8x) = 5x - 8x =

+ 12x2 - 4x + 3) +4=5X2 ± 7x - 4) =7x ±_12x2 - 4x + 3 -5yZ__+_ 7x= 4 = = _7Y + 12)C

c) (10y) + (3y) =

• • to

4x__+_..Zx + 3 - 4 =

=7x'1.1x 2 +1 —1

lay + 3y = 13y

-S --

d) (8a) + (-10a) .

n) (x2 + 11x + 9) + (- 2x 3 - Rx - 5) =

11--

•

8a -_10a_= -2a

_e) (-2x2) + (1 5x2) =

= -2x 3 + x2 + 3x - 3

-2x2 + 15x = 3x

fl

(-8x2) + (-4x2)

d) (3x2 -

-3x2 - 4x2 = -7x2 = 3x2 -11x- 7x2 + 12x +9= ,3x2-7x2-1ix+12x+9,

9) ( 12y) ()1) = 12y

—

y = 1 ly

h) (5a3) + (-10a3) = 5a3 - 1 0a3 = -5a3

lb

—

= -4x2 x

111

—

S

S

e) (-5x3 + 7_x - 1)- (5x + 9x - 7) =

S

Ao eliminar os parenteses precedidos pelo sing devemos trocar todos os sinais de dentro desses parenteses por seus opostos.

S S • S

• •

a)

(5x2 - 2x +

= -51(1=51E+ 7x- 9x -1 + 7 =

5x2

— 2x +

2x2 + 7x

f) (8a2 + 3a

—5=

= 8a2 + 3a = 5x2

—

3x2

—

=2a 3 +Fia2 +3a+9a-6+6= = 9a 3 + Ra 2 + 12a

=

12x2 + 9x - 10 - 1 0x2 - 2x +_7 =

_g)_(-12y2 + 16y - 10) - (5y2 - 12_y_+_20) = = 12x2=10x1±Ax=2x - 10 + = = 2x2 + 7x

-

-

—

—

3x2

—

x + 3) x+3

—

—

(4x2 + 2x + 1) =

4x2 — 2x

=-3x2-4x2-x- 2x + 3

- —7x2

•

-124+16y-10 __ay? + 1

=

-5? + 1.6y .+

=

3

= —17y2 + 28y

c) ( 3x2

4111 flb 111—

— 6 ± 2a 3 9a_±_6 =

=2x2 +5x-2

S

•

(- 2a3 - 9a - 6) =

2x + 7x

=

•

+ .6

- (3x2 - 7x+ 5)=

h) (1 2x2_+_9x_- 1 0) - (10x2 + 2x -

S

=

4. Efetue eliminando os parenteses.

S

••

5X2

m5x3 - 5x2

S

S

= - 5X3

—

—

—

1= 1=

3x + 2

d) (7x2 - 15x) - 3x2 + 3x - 9) = ,7x2- 15x + 3x2 — 3x

7x2 +3x2

=

3x + =

= tax271_1_8X±A____

—

30

c) 2a3 • a2 2a5

Para multiplicar mon6mios, multiplicamos os coeficientes pelos coeficientes e a parte literal pela parte literal.

d) 3y2 5y3 = 15y5

•• 0•• • ••

2,1tiultiplidagio de moniknios

Exemplo: Vamos escrever o mononnio que expressa a area dessa figura em cm 2 .

11)

•

2x

3x

Area = base • altura = 3x • 2x Area = (3 2) • (x • x) = (multiplicamos coeficiente corn coeficiente e parte literal corn parte literal) Area = 6x2

A area da figura é 6x 2 cm 2 .

h) 5a3 • (-4a2n)

i)

8x2y3 • 2x3y2 =

16x5y5

j) 8m3n2 • 5m5 =

& Determine a area dente retangulo.

........

3

10 x5yz

3

Araa_ = 5x_ x 2x

a • (-8xy) =

1 9x2

— .

••

••

k) 2

i)

• • • • 1•1 •

.

-24xy.

6. Efetue_as_multiplicacnes_

m) 6x2 • 4x3y =

a) 2 • 3x =

24x5y

• ••

n) 5x4y2 • 2x3y = b) 5x • 4x =

1 Ox7y.

20x'

(-

10x'

5x) =

•

•• •

•

• • •

pi_ (- 4x3) • (-2x)

•

8x4

•

(4) 5x

•

•

60x9y

•

18x5

4x3

!__2x3y • 6x5 = (3Y6 2 Y3 21y10 -14y7 + 7y5

111_0 3x4 • 6x =

•

=

g) 2m (3m2 — 5m + 7) =

s) 1 2a 3b2 -_3ac • 2bc2

=

6m3 — 10m 2 + 14m

72a4h3r.3

h) 4x2 (5x - 3)

1111—

•

fib • •

•• •• •• •

3. u tip 'cacao demonennio nor no t

10_

20x3 -12x2

i) - 6x (5x + 7x2) -

2

-

2)0

O

Multiplicamos o monOmio por todos os termos do polinomio, ou seja, aplicamos a propriedade distributiva da multiplicacao. Exemplo: 5x . (2x 2 + 3x

Efetue

—

4) = 10x3 + 15x 2 - 20x

j) _5x7 (2x5 - 3x) = 1OE=15x!____ )

k) -3-a3 . (a4 - 2a + 1) =

as multiplicagOes.

• a) :Ix (x2 - 2x + 3) •

•

3X3

-

6X2 + 9X

b) 2 (a2 + 3a - 4) =

• • — •

•

=

2a2 +_6-a — 8

c) 5a2 (a3 — 2)

=

5a5 10a.

411 ID • •

4)w__(3x2 -

12x3y

—

4xy2

__

_

2ax3 - 3a2

4. Multiplicacao de

(x - 2) • (x +

por polinomio

=

x2 + 3x- 2x- 6 = = x2 + x - 6

Aplicamos a propriedade distributiva da multiplicacao. Multiplicamos cada termo de urn polinOmio por todos os termos do outro.

e) (3x + 5) (2x - 4) =6x2 -12x +10x

-

20 =

Exemplo:

6x2 2x 20 -

-

(2x - 3)(3x2 +4x - 5) = = 6x3 + 8x2 - 10x - 9x 2 - 12x + 15

f) (x2 + x) • (2x - 5) =

Reduzindo a expressao aos termos semelhantes:

2x3

6x3 - x 2 - 22x + 15.

2x3 - 3x2 - 5x

8. Efetue as multipticagaes de a) (2x - 1) ._(3.x.F._.+ 4x) = 3x2

-

4x =

2)(2

5x2

polinewnios.

5x =

- 3x + 1) = = x' =

-

-

3xL+_x_.±_2x2 6x +2= -

x2 5x + 2 -

= 6)(1+ 5x2 - 4x

h) (5x - 3) • (2x2 + 4x - 3) = =10x3 + 20x2 -15x=6x2

-

12x+_9___=

• (3x - 2) = -

= 3x2

—

2x + 3x

—

10x3 + 14x2

-

27x +

=

+ 5) • (x + 9x + 5)

=3x2 +x- 2

-= 8x3 + 72x2 + 40x + 5x2 + 45x + 25 =

c) (a - 1) . (a + 1) . = a' + a

= a2 =1

-

a

-

1=

j) (3x2 - 10x + 5) . (4x + = 12x3 + 9x2

-

40x2

-

=

30x + 20x__+ -La=

= 12)(3 - 31x2 - 10x+ 15

•• •• •• •

•

Divis—ati de monomios

Disposicao_pritica

A multiplicacao de polinomios tambem

pode ser efetuada corn esta disposicao pratica:

•

•• •• ••

X

3x2 + 4x - 5 8 2tx /v_ 3

6x3 + 8x2 - 10x - 9x 2 - 12x + 15

Dividimos coeficiente por coeficiente e parte literal por parte literal. Exemplo: 18x4 = 6x2 =

18x4 6x 2 18 6

(escrevemos essa divisao como uma fracao)

(separamos os coeficientes e as partes literais em duas fracoes)

x4 - 6x 4-2 = x2

= 6x2

(resolvemos as fracoes corn base nas propriedades da divisao em R)

6x3 - x 2 - 22x + 15

Ffetue as divis O - es ciamonomins. e asmultiplicacbes de_polinamios. •

2x2 + 4x 3x

a)

• •

•• •fa

6x3 + 12x2

3x3 +x2 - 4x x2 + 3

b)

3x5 + x4

•

• •

•

+ 2x4

x, 2x4

d) X

5y3

c) 12a5 ÷ 4e =

3a2

e) 21x3y2 7xy =

3x2y

18a4h2 6b2 =

3a4

12x

2x3 + 8x

2x3

4x2 + 16

4x2 + 8x + 16

g) 100xy5

- 11a3 = R3 =

7x + 2x:

- 15m5 (-3m2) =

7x +2

5xy2

h) 4x2y3 (-2xy) = —2xy

7x +2 x2 + 1

7x3 + 2x2 + 7x + 2

• •

—

— — — — x'

••

h) 25y7 ÷

x4 - 2x2 + 8 x +2

X

•

5 x2

4x3

3x5 + x4 + 5x3 + 3x2

•

•

—

2x3 =

d) 20x ÷ 10x2 =

+ 9x3 + 3x2 —12x

•

•

a)_ tOx

5m3

• ••

•

wisaallepolitionuopor monomio_

cl)_(6m3 + 9m2) -(=3m)_E__ - 2m 2 - 3m

Dividimos todos os termos do polinOmio pelo monOrnio. Exemplo: (9x 5 + 14x3 )

(3x 2 ) =

(escrevemos essa divisao como uma fracao)

9x5 3 x2

X

e) ( - 14x3 + 10x2 - 8x) ± (2x) = - ix' + 5x - 4

15)(3 3x2

= 3x3 + 5x

f) (30x2y2 + 20x3y3 ± (5xy) = 6x + 4x2 2

) (12a3 + 1 6a2 b) ± (4a) = b) (18y5 (6y2) = 12y4) - 2y2

3a2 + 4ab

c) (8a4 - 4a2) (4a2) 2a2

-

1

•• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• •

.

9x5 + 15x3 3x2

••

h) (9m 4 n2 - 1 5m3) = ( 3m 2) = -

-3 mm + 5m

IP • •

•• • • ••

•• •

•

(4a3b4_ 2a4b 3) ,

—2a13 2 + a2b

•• —

•• • •• • •• • •• •• •• •

•• •• ••

• •• •

poLmom m Observe a disposicao pratica para efetuar esta divisao de painOrnios. (10x 2 — 23 + 12) ÷ (5x — 4)

j) (1 R3X 7a 4x — 5a2x2) o x 11 a2 + 7a3 — 5ax

dividendo

divisor

t 10X 2 —

23x + 12

10x2 + 8x

5x — 4 2x — 3

—15x + 12 +15x — 12

quociente

0

k) (-28x4 + 21x3 - 7x2) (-7x2) =

resto

4x2 — 3x + 1 Portant°, (10x 2 — 23x + 12) ± (5x — 4) = 2x — 3. a) Divide-se 10x 2 por 5x, obtendo-se 2x. b) Multiplica-se 2x por 5x — 4, e o produto 10x 2 — 8x, com sinal trocado, foi adicionado algebricamente ao dividendo, obtendo-se —15x + 12.

(18x2y5 + 24x3y4 - 6x2y2) (6x2y2) = • •

7dahlift.AVEcuiliejp[ohnoinio

c) Divide-se — 15x por 5x, obtendo-se —3. d) Multiplica-se —3 por 5x — 4, e esse produto obtido, corn sinal trocado, foi adicionado algebricamente a —15x + 12, obtendo-se resto zero.

Importante: 0 grau do resto é sempre menor que o grau do divisor, pois nem sempre o resto 6 zero.

lititattstio'

12.Agorab a_s_ua ve7. Ffelue.

—— — — x2 — 7x + 1 0

x —9

x2 + 2x 5x + 10 + 5x 10 0

x 5

h) 2x2 - x — 2x2 + 6x 5x — 15 5x + 15 0

x-3

- gx +_ 20

2x + 5

— x' + 5x —4x + 20 + 4x — 20 0

—

x

3

h) 6x2 + x — 40 -x+ 8

3x - 2

—12x2 15x 8x 8 + 8x+10 2 —

—

-

x-5

—6x2 -16x —15x 40 + 15x + 40 0

—

2x — 5

—

5x2 + 11x — 3 3x3 -8x2 + 13x - 8

x -1

—3x3 + 3x2 — 5x2 + 13x 8 + 5x2 — 5x 8x — 8

3x2 — 5x + 8

—

5x2 — x + 10x 3 —10x — 2 —5 —

—

j) 6x3 — 5x2 — 9x + 5 0 —

6x3 4x2

2x2 — 3x — 1

—

9x2 9x + 5 + 9x2 + 6x —3x + 5 —

e) 12x3

—

2x2 + 3x

—

2

— 12x3 + 18x2 — 2x 16x2 24x — 2 2 + 24x — 36 —16x — 38

4x2_ — 6x + 9

—

+ + 2

7

3x + 4

—

Potenciacao de monomios f) 6x3 ,25x2 + 25x + 7 3x2 - 5x + 1 —6x' + 10x 2 2x 15x2 + 23x + 7 + 15x2 25x + 5 — 2x + 12 —

—

2x

—

5

• •

S

Elevamos o coeficiente e a parte literal a potencia. Exemplos: • (5x) 2 = 5 2x2 = 25x 2 • (-3a2b3)2 = (-3)2a4b6 = 9a4b6

13. Agora, calculaas potencias. a) (7x) 2 =

0

49x2

••••• ••

—

••

a^z

h) (3x2)2

qua ra a e monomms

Vamos determinar a raiz quadrada do monornio 9x 10 . v9)00 = (separamos em duas raizes: o

_c) (2a)3 = 8a3

coeficiente e a parte Literal)

= v4 x vx 10 =. 10

•• •

=3xx2 =

d) (8y5)? =64y 1°

(multiplicamos o coeficiente pela parte literal)

= 3x5

e, (1oxv3)2=100x2,6

14. Determine a raiz quadrada destes

es

mnnamins fl

(--Ra312 = 9

-%/

b) V4x2 = 2x

g)_ (-72x5)3 = 8)(15 -

•• •• • •

4 = 5a 2

c) Vt6m2 = zitn_

h) (3x2y3)3 =27x5y9 dl Al25x6 = 5x3 ( 9mn2)2 = 81 m2n4 -

e) V36x4y2 = (7x2y37)2 = 49xYz2

• • •

1111

• •• ••

1/81 a2b8 = 9ab'

k) (-2xy5 2 =

g) V9x2y2 = 3xy

h) V64a2 b4c8 =

(-3a5b)3 =

-27a 5b

::

6) 7x2y± (2x3 -_xy)

alternative que apresenta o resultado

a) 14x6y3 - 7x2y3

14x6y3 - 7x3y4

correto.

b) 14x6y3 - xy

14x6y6 - x3y4

(-rY3)

(8x3)/

7) (4x - 3) (2x + 5) a) 5x6

c) 5x3

b) 11x3

8x2 + 14x - 15

c) 8x2 -14x.+..8

b) 8x2 + 26x + 15

8x2 - 8x +__15

soss •• • • • •

1\ 1)

Desenvolva as expressOes e assinale a

d) 11x6

RY3 - 2X3 =

8x2 +20x Gx -

2 _(x2 + 7x + 5)_+_(3x2 - 5x + 2)

-2x2+_2x + 7

-

15 = 8x2 + 14x

-

15

8) (x2+_x) • (-x + 3)

c)_ _2x2 + 12x + 7

h) -3x2 + 2x + 7_si)_3x2_+__I 2x + 7 x2 + 7x ± 5 - 3x2_- 5x + 2 = =2x2_+ 2x +7

a) -x3_+_3x2 + 3x

c)_— x +2x + 3

b) x3 - 2x + 3

6 -x3 +2xL+_,3x

a

x3 3x2 x2 + 3x = -13 A- 2x2 ± 3x

-

-

9) (32x5y2z) ÷ (4xy2) 3) (7k) - 5x - 2) - -2x2 + 3x - 4) a) 5x2 - 8x + 2 9x2 - 2x - 6

a) 8x6_yz

4 8x4z

h) Fix4y7

(i)8x6yz

S

c) 5x2 - 2x + d) 9x2 - 8x + 2

7x2 - 5x - 2 + 2x2 - 3x+ 4 = 9x2 - 8x + 2

10) (45in4n2 - 9mn) (9m) a) 5m4n 2 _ 9

c) 5m 3n 5m3 n - 9mn

5m3n - 1

14

a) 2x2 - 10x + 13 3x2 - 2x + 12

S

fly

4) (x2 +_8x) -13x=5) + (2x 2

d) 4x2 + 9x 11) (x2 - Px + 14) 4- (x - 2)

x2 + 8x

-

3x + 5 + 2x2

= 3x2

2x +12

-

7x + 7

=

14

a) x + 5 -

h) x + 2 5) (-2x3Y2) • (-5xY3) c) @ 10x4y6

d) -10x2y

x2 - 9x + 14 - x2 + 2x - 7x + 14 + 7x 14

x -2 x -7

a

-

0

••

•• •• • •

•

•

• •• • sr

••

1 2) (x2 - 6x + 9) ÷ (x- 3)

15) (-3a2b)3

a) x2 --3

c). _.3x_--

__b_)_x +3

x -__3

x2

-

6x + 9

x2 + 3x

x x

) -9a6b3

c) 2 7a2b3 d) 9a8b

(-3)_3a.933 = -

3

3x + 9 + 3x 9

-

-

16) \il_0.0x2

0

_4_50xy2 _10xy2

13)0)3 - 9x 2 _,33x + 18) ÷_.(2x2 - 7x + 3) a) 3x2 + 6x

c) 3x + 12

3x + 6

d) 3x2 - 6x

6x3 - 9x2 - 33x + 19 - 6x3 + 21x2 - 9x 12x2 - 42x + 18 -12x2 + 42x - 18 0

2x2 - 7x + 3 3x + 6

1 4) (-9x3y2)2 • • •

a) -1 8x6y4

81 x6y4

b) -81x6y4

d) 1 8x6y4

• •-• o•

(-9 )2

S

-2 7a6b3

81 x6y4

10y2 _d) .1 0x2y4

_1 7 4 a8b2

4 h) 9 a4h2

2

3 .a4b _ 2 (I) 3 a4

2

•• •

O 0 CAPITULO 6 — PRODUTOS NOTAVEIS

y2

= (2x)2 + 2 • 2x • y +

fce

= 4x + 4xy +

Para determinar o quadrado da soma de dois termos (a + b) 2 , considere urn quadrado de lado a + b. b

a

b

b (a + 3 2 = b

3±

a2 a

6a

32

+9

a

+ 411) 2 = a

b

a2

A area desse quadrado é dada peto produto da medida de seus lados.

+ 2 • a • 4b + (4b) 2 =

a2

8ab

-EA6b2

Area = (a + b) x (a + b) a

b

ab

b2

A2x 3y)2 = b

b

= (2x)2 + 2 • 2x

4x2 a

ab

a2

+ 12xy +

3y

(3y)2 9y2

a

2. nesenvoiva os produtos notAveis a

Somando as areas parciais dos quadrilateros que formam o quadrado, obtemos a seguinte expressao:

a) -0(+ Y)2 = =

x2 + 2xy + y2

Area = a 2 + 2 (ab) + b 2 Logo, podemos concluir que: (a + by = a' + 2ab + b'

b) (a + 5

••

•• • •

n) (1 +

=

•

=ren" Go

_1_(( + 2)2. •

x2 + 4x + 4

0 quadrado da diferenca de dois termos resulta na seguinte expressao: (a - b) 2 = a 2 - 2ab + b 2

• ••

• ••

+ 112 = 9x2 + 6x + 1

f) (2Y + 3)2 =

3. Desenvolva os produtos notaveis al Iv q)2 —

h) (a

-

y2

—

Ry Q

4)2 = a2 -8a +16

= 4y2 + 12y + 9

c) (5 - y) 2 = 425 - lOy + y2 g) (a + 3b)2 = Ect±_.

±_9132

= fn2 — 1 2in + 36

-

I)) (4x + 30 2 = 16x2 + 24xy + 9y2

el (2x - 312 = 4x2 — 1 2x + 9 •

i) (A 2 4- 712 =

••

•

= a4 + 14a2 + 49

f) (a

I)

4b)2 = a2 -8ab + 16b2

141 A-__X2)2 =

=161- 8X2-1- .X4

••

-

g) (5x - 3) 2 = 252(2-.30x+ 9

•

•• •• •

h) (3a - 2b)2 = 9a2

-

12ab + 4b2

IW

i) (x2 y2)2 = x4 2x2y2 + y4

h) (2a + 3h2) • (9a - 3h2) = 4a2 - 9h4

i) (5m - 7n) • (5m + 7n) = 25149D2 j) (a2 - 10)2 = a4 - 20a2 + 100

J)

prochito da soma pela diferencalledois termos (a + b) x (a - b) = a2 - b 2

- 8a2_) • (1 + 8a2_) =_1 - 64a4

•• • • • AID

_1111_ 5. nesenvolva os produtos notAveis.

•

a) (x + 6) 2 = + 121L+ 36

TT

quadrado do 1° termo

quadrado do 2° termo

h)

4. Desenvolva os produtos da soma

18x + 81

pela diferenca a) (x + 3) • (x - = x2 - 9

_c)

(x + 5) • (x - 5) = e- 25

h) (a + 1) • (a - 1) = a2 - 1 d) (2a - 5)2 = 4a2 - 20.a_+_25

-o) .(5

+_y)

e) (7y + 1) 2 = 49y2 + 14y + m2_

-4 f) (h + a) (h - a) = h2 - a2

e) (2x + 3). • (2x - 3) =

f) (x -10y) • (x + 10y) = x2 - 100y2

) (x2 + 1 ) • (x2 - 1 = x -1 )

-11 1-

- = 25 - y2

d) (m - 9) • (m + 9) =

• 0-

g) (3m- n)2 = 9m2 - 6mn + n2

•• •• •• •••

• •

•• • • • •

___rk_Assinale

1) (x

a alternativa correta.

+6)2 ejgual a .

4) (3y + 2x) • (3y - 2x) e igtial a. qy2

-

4x

•

a)_ x2 -La6_

b)--3y -2x

•

h) x2 - 36

c) gy2+4x2

• •

• ••

• • • •

• • • •

•• •• •• s e ••

(3y12 (2x)2 = 9y2 - 4x2

d) x2 + 6x + 36

O W

•• •• •• ••

ci) 9y - 2x

x2 + 12x + 36

+ •

-

6 +.36 = x2 . E 12x ±_3.6 -

•II a) 18m2 - 14a2

2) (x - 8)2 6 iguaLa:

2 - 498281m

a) x2 + 8x +18_ h) x2 - 64

c) 18m2 + 14a2

c) x2 - 16

ci) 81m2 + 4ga2

x2 - 16x + 64 x2

-

2 . x • 8 + 8 2 = x2

Hal a:

(9m)2

-

(7a) 2 = 81 m2

-

49a2

6x + 64

6) (2m - 42 6 igual a:

3) (2x_-__1) a) 2x -

+ 1 é igual a: 1

a) 4m 2

- 16m_+ 1 6

) 4m2 - 8m_+16

4x -1

c) 4m2 +16

c) 4x2 - 2

d) 4m2 -16

d)2x + 1 (2x)

- 1 2 = 4x2 - 1

Q CAPITULO 7 - FATORA00 1.—Fator comum em evidEncia_

•

+ a = a ( ab b)2ab + 4ac = 2

Exempt() 1

Jy82 + 1 2x = 4

4x + 6y - 8z

y

0 fator comum é 2, que se determina pelo m.d.c. de 4, 6 e 8. 4x + 6y - 8z = 2 (2x + 3y - 4z)

2. Fatore_

Atencao: Divide-se cada termo pelo fator em evidencia.

al 2x ± 2y = 2 (x + y)

- 2y2x +

b

• 111

Exempt() 2 A figura representa urn retangulo de base b e altura h.

h) 5x2 +7x= x (5x +1)_

_a ID

c) 8m2 - 4m = 2m (4m 2)

h

—

b

0 perimetro Besse retangulo pode ser indicado de duas maneiras: 2b + 2h

ou

d) 9ax - 5ay__= a_(9x_- Sy)

2 (b + h)

e) 2x3 - 4x? + 1_0x =_2x (x2 -2x+ 5) polinOmio

forma fatorada do poll rComio

f)

a5 a4 a2 = 2 2 (2 3 22 + 1)

ID

1. Complete as igualdades de mock (pie o fator comum esteja evidenciado.

g) 6x2 + 3x - 12 = 3 (2x2 + x 4) -

S

a) at) + ac = a (b + 5

h) 5x + 5y =

h) 4xy + flx7 + 12x = 4x (y + 2z + 3)

(x + y)

•

m

d) 3a + 3 =

3

(a + 2

f)_ 2x + 4y +6z=

0

x2

i)

10am - 15bm + 20cm = 5m (Pa 3h + 40) -

x 2

3z

= x2 - x2

• • S

•• • 111

•• eV

2. CUWrack por_agrupamen ego Fatores comuns aeb

Fator comum (x + y)

ax + ay + bx + by =

111

lb•

111-

•• •

••

•

•

x2 - 16 Ari(2

= x

16=4

x2 - 16 = (x + 4) (x - 4)

= a (x + y) + b (x + y) =

4. Fatore. (x + y) • (a + b)

S

3. -Diferenca de dms quadrados

—

a) x2 - y2 = x y)(x=y)_

_I...Fat-vs, as expressnes.

a2 =_36_=4a_± 6) (a-- 6) a) am+na+bm+bn= a(m+n)+b(m+n),

„.._(m__±_m) (a +_h) 2

b) xy - yz + wx - wz = (x- z)+w(x -z = (x z) (y + )

=011-±-1)-(CO

-

d) 4x2 - 9 = (2x ± 3) (7 x

)

—

_e 100 - =

±_y) (10

c) ax+bx+ay+by= x (a + b) + y (a + b) = (a + b) (x + v)

25x2 - 4 = (5x +_2) _5x 2) —

• •• •• •• • It

S

c+5bd+cd= a (5b + + d (5b + c) = = (5b + c) (a + d)

g) cla2 - 16b2 = (Ea + 4h) (32 4h) —

11) a4 - 25 = (a2 + 5) (a2 — 5) e) 7x+7y+ax+ay= 7 (x + y) + a (x + y) = x + y) (7 + a) = (x + v) (7 + a)

iy___81 x4 - 4 =_(9x2_,1_ 2)_(9x2 _

j) x2y2 - 1 = (xy + 1) (xy — 1)

4. Trintimio quadradaperfeit

9x2 + 1 2x + 4 V9x2 = 3x A/4 = 2 2 • 3x 2 = 12x 9x2 + 12x±4_=(3x_+2) F Hill trinomio quadrado perfeito.

Urn trinomio é a expressao matematica composta por tres termos. Urn trinomio é quadrado perfeito quando ha dois termos quadrados perfeitos (raiz quadrada exata), e o terceiro termo igual a duas vezes o produto das raizes quadradas dos outros dois, podendo ser positivo ou negativo.

d)_.25xF_+20x_+_1_______ ______________________ v25x2 = 5x 2 - 5x • 1 = 10x 0 20x Nao A um trinomio quart-ado perfeito.

Exemplo: a 2 + 2ab + b 2 a 2 e b2 sac) quadrados perfeitos.

=a

IP

•

AI

A/152 = b

2 • a • b = 2ab (termo do meio) Logo:

e) x2 +_14x_+_36 „f> = x V36 = 6 2 x 6 = 12x 0 14x •

a' + 2ab + b 2

•

Nao _e_um_trinbmio_quadrado_...p.erfeito,

•

é urn trinomio quadrado perfeito.

5. Verifique se saalrinomios quadrados

0

a2 — 4ab + 4b2 ,___ a

__V4b2 = 2h 2 • a • 2b = 4ab a2 — 4ab + 4b 2 = (a — 2b)2 E urn trinomio quadrado perfeito.

perfeitos. a) x2 + 6x + 9 IA Vg = 3 2_LiK • 3 = 6x + 3)2 Lum_ trinOmio quadrado_p_erfBita,

___x2__+_6x_±_9_=__(x

__ _ g) 16x2_+ 12x+ 20 v16x2, 4x AO_=_?__aa_o_._?,raiz_quadrada_ex_a_taL _ _ _ Nao A um trinomio quadrado perfeito b) x2 — 1 Ox + 25 \i x _ ..\T5 =_5 2 • 5 = 10x 5) 2 x2 — 10x + 25 = E urn trinOmio quadrado perfeito.

la)

+_8x_— 4 = x V-4 = ? (ndo é numero real) Nao é um trinomio quadrado perfeito.

All 0 1111 --.

.

e •III e

lb

•

cao_leum triniimio qualm&

d) a2 — 20a + 100 =a y100=10

Fatore os trintimios quadrados perfeitos: a) x2 + 10x + 25 =x it

20a + 1011 =(a

_aL—

—

10)2

25 = 5 f

e) 1 + Px + x2

2 • x • 5 = 10x (termo do meio) x2 + 10x + 25 = (x + 5)2

= 1 x2 =x 2 1 x 2x

b) 4x2 — 12x + 9 TO = 2x V = 3 2 2x • 3 = 12x (termo do meio) 4x2 — 12x + 9 = (2x — 3) 2

•

6. Fatore os trinomios quadrados

• 0

a) 4x2 + 12x + 9 4-43_=_2.x... lig = 3 2 • 2 • x • 3 = 12x = + 4x2 + 12x +9(2x

• •

•

••

m2 — 12m + 36

vm2 = m

perfeitos.

V36 = 6 2 m • 6 = 12m m2 12m + 36 = (m —

—

6)2

g) 9x2 + 12x + 4 (9x2 = 3x v4 . 2 2 • 3x • 2 = 12x

b)_x2 — 14x_+ 49_

•

1/-x7

=x

_

2 x2

—

14x 14x + 49 = (x_— 7)2

h) 4m? — 20m__+25 VAm2 = 2m V25 = 5 2.2m•5 =20m 2

_

11. •

• •

••

I

442 .4_ 2y ± 1 =t

2•y•1= y2+2y+1

i) x2 — 18x + 81 )

2

x \, A V81 = 9 2 x 9 = 18x x2 18x + 81 = (x -

—

—

9)2

- 8y + 1

•

e). __9X2 - 100 = (9x + 10)49x

—

10)

VT = 1 -_-_By_+ 1 = (4y - 1)2

S

•

X2 —__5x

x (x

—

S S

5)

k) 9x2 + 36xy + 36y2 2 3k • 6y = 36xy 2

+_36y2 =

_6y)2

25a2 + 60ab + 36b2 2

=

=

5a

a2 — 9b2 = (a + 21*(a 7_31a) -

h) x2 — $x-16—= X2 =x

• 6b = 60ah &lab +36b2 =_(5a_+_fiby.

Eatore as_expressOes.

4 _ 2 x • 4 = 8x x2 8x + 16 = (x —

—

4)2

it a21-272+=2aa + 1 =

S

=1

2 • a 1 = 2a a2 +2a+1 = (a + 1 2

3 (a + 2h)

-

es S S

D Y2— 16Y +--64 VT2 y

••

S

V64 = 8 2 y 8 = 16y •

S

k) 9x2 + 24x + 16 = (3x + 2 = 3x

Ill — 36 = 6) (x

-

2

6)

=_4 3x • 4 = 24x

4)2 VqX

• •

S S S S S S

• •• • •

I) 95 - b2 =

52 - b' = (5 +

(5

-

)

m) ay + by + 2a + 2b + 2 Via.. + b) m = =

b) (y + 2)

(a

111- n) 3y+3+xy+x= 3 (y + 1) + x (y + 1) =• =(y+ 1) (3 + xl

II

_)_x3+ x2+ x = I(x+x+1 )

1111-111p) 4x2 + 20xy + 25y? =

•

v25y 2 _ 5y 2 • 2x 5y = 20xy_ 2 + 2flxy + 25y2 = 2x + 5v)2 •

(

4x

w

S •

•

• ••

• ••

•

S

O

•• ••

0 CAPITULO 8 - MDC E MMC DE POLINOMIOS

0 1. Maximo divisor comum it)

l._Calcule o mdc dos Dolinomios seciuintes._

•

fib

a) 6x e 12 6x=2 3x -

faO

1111-

12 = 2 2.3

Para determinar o mdc de dois ou mais polinomios, primeiro escrevemos cada polinOmio como urn produto de fatores primos. Depois, observamos quais sao os fatores comuns.

3x8v3 _e__Qxv2

0 mdc é o produto desses fatores, escritos corn o menor expoente.

mcic (3x8v3 9xv21= 3xy2

mrir (ny, 19) = 9

2x8 v3 = :Ix x7 •

•

•

=

vav

= 3 3xy2 .

cl 4x7

9x8

A

4x' = 2 • 2 • x7_ Exemplos: Vamos determinar o mdc destes polinomios: 1) 4x2y5

6x3y3 a

2x8 =_2 x7 x •

•

mdc (4x'. 2x8) = 2x7

10x2y4b

d) 3a +_3b e a2 2ah + h2 4x2y5 = 2 • 2 • x2y3 y2

6)0N/3a = 2 10x2y4b = 2

3 • x x2y3 a 5 • x2 y y3 b

Polinomios escritos como urn produto de fatores primos

Logo, o mdc desses polinOm•os é 2x 2y3 , que corresponde ao produto dos fatores comuns tomados corn os menores expoentes.

3b = b)

a2 +

_mdc (3a + 3b, a2 +2ab +_b2) = a + b e) 3x - 6 e x2 - 4

2) x2 - y2 e x 2 + 2xy + y2 Escrevendo esses polinomios como produto de fatores primos:

x2

x2 - y2 = (x + y) (x - y)

mdc (3x= 6, x2 - 4) = x - 2

x2 + 2xy + y2 = (x + y) 2 = (x + y) (x + y)

x

_ 22

.

fy__a!=22 e

Assim, o mdc desses polinOmios é (x + y).

Atencao! Se o mdc de dois ou mais

a2 - b2 =0 +

polinomios é 1, entao esses polinOrnios sac) primos entre si.

a+b mdc

-

13)

+ b) -

13,a+ bL= a + b

• •

1111

1111 ID

2)

fib S

•

g) 9x_2__e 3x3y2 = 3 • 3x2_

Determine o mmc dos seguintes -

polinomios.

3x3y2

4 a_ 12a_ 3x3y2) 3x2

4=2-2=2 2

h) 25 - a? e 25 - 10a a2

IP

12a=:• a•

25 - a2 = 5 - a2 =45 + a)(5=a)___

- 10.1+4 = 5- a

Q

On*

= 12a

mmic 1,4,124--= 22 .

b) 6x e 9x

±_a2 = (5 -ay =_(5 _(25

a = 22 • a• a

=2.3x _9x=3.3.1=3 2 .x

comum

_rumc_p_e_9x) = 2

•

c) 5x2 e 10x_ _ 5x2 =

Para determinar o mmc de dois ou mais polinOmios, primeiro escrevemos cada polintinnio como urn produto de fatores primos. Em seguida, tomamos de cada fator (comum e nao comum) a maior potencia e efetuamos o produto entre esses fatores.

5x2

lax = 2 •

_mmc_(.5x2, 10).() = 5 2 x2 = 1.0x2

d) x3 e mmc (x 3 x2) = x3 ,

e) 5x e 7y Jame (5x, 7y) = • 5x = 35xy

Exemplos: a) 8x2y3 e 6x3y2z

> mmc = 24x 3y3z

fl

3xy__e_xy2 mine (3xy, xy 2)

Veja: 8 = 23

2 3 • 3 = 8 • 3 = 24

6=2•3}

(coefidente do mmc)

g) 4a2b e 2a3 4a2h = 21a_b

b) x2 - 16 e 2x + 8 mmc = 2(x - 4)(x + 4) Veja: x2 - 16 = (x +4)(x - 4) 2x + 8 = 2(x + 4) Fator comum: x + 4 Fatores nao comuns: 2 e (x - 4) mmc = 2(x - 4)(x + 4)

2a 3 = 2a3

mmc_(4a2b, 2a3) = 22a1 = 4a3b

ti)_3x2y4

P.

9x3y2

n) x2 — a2 e x + a_

3x 2y4„3x2y4

x2 — a2

9x3y2 32x3y2

x+ a_= + a).

mraa.t3x2y4,Ax3y1 32x3y4 9x3y

inmai

x

x =

of

—

m2 n2

e 24xz__ 4 m- n = (m

6x2y._.= 3 . 2x2y_ 24xz4

- n2 = (m + m(m _

. 3xL4

__=a34)

ilonm

OiL=m, m2 _16,41Th —36 e x_+_6

e 2x3 7

=. X2 62 = + 6)(x — 6)

5x2 =_5x2

x2 36

1 Oxy2 = 2 • 5xy2

x 6,(x+6)

-

—

ranic(x2 — 36, x + 6) = (x_+_6)(x6)

= 2)(37

q) x2

_came, = 2.5x3y2i = 1 Ox3y21_

—

4 e 3x_.+ 6

mrnc (2x, x + 3) 2x(x+ 3)_

MEN (X2

—

3x + 6) = (x+2).(x — 2) • 3

x2-1 = x2 12 -

(x + -1)(x -1)

x2 - 2x + I =

3x =. --3 . x

__mmc (x2 1, x2 .2x_+ 1) —

3)

=

- -

-

x2 - 8x_+ 1 6 = (x — 4)2

2x— 8 =

_mmc (3x, _3x + 9) = 3x(x + 3)

4)

_mmc (x2 —_8x +16,2x — = 2(x-

x_ + 8 _e_x_+_1

(x + 1)

•

ID

42(x + 1)

_x2=Bx +1e-2x

rrunc (3x. 3x + 9) = a(x + 3) x

(x+ 8,x + 1) (x +

-1)

=

3x e 3x + 9

MITIc

AD Ilk

r) x2 — 1 e x2 — 2x +-1

mmc (2x,_x_+ 3) = 2x2 + 6x

3x_+9= 3

•

x2 4 =_,x2= 22 = _0( + 2)(x=2) 3x + 6 = 3(x±2)

k) 2x e x + 3

t.

__

fib

•• •• •• •

•• 4*• • •

•• ••

•• •• •• •• •• •• ••

• •

••

•• •• •• ••

OO Q CAPiTULO 9 FRAcOES ALGEBRICAS -

1._Simplificacao de fracoes algebricas Qual é a forma mais simples de se _ 2ab escrever a fracao 2a 2 - 2a'

7a4b3 ab2 Taijj .

7 • 0 • a3 • $02

c

tecnica do

4a+ 8b 4

cancelamento `!

2ab 2a 2 - 2a

(a-1)

4 (a + 2b) 4

a ± 2h

a-1

t colocando o fator comum em evidencia

x2 -49 x+7 _1._Simplifioue as fracaes algebricas,

supondo denominador diferente de zero.

(x

+7)(x-7) x+7

6a2 b

4a 7 3 g a •b •

•

_ 3ab

e) 5x + 10 x2 — 4 5 Tx + 2)

2) ("( — 2)

3 • 3 x x •x •

7

2. Simplifique. 16x5 _

8x3

3x2

a2 — b2

x._ 7

) 5a2x 15ay

15xy2mn5 25x3ymn3

5 •g•a•x 3• •g•y

ax 3y

S

3 • 5 •X•VY - 0 . 0• 0 . 0•ri•n_ 5 • 5 •Y•x•x•VRI-rif•rA•171

AID

3p2

5x2

20am2 _ 8mn 7 • 7 • 5 a • 131 • m n 7• 7 2 r

Simplifique as fracoes supondo os denominadores diferentes de zero: 5am 2n

= a) X2 x+5 -

25

AI-K-5)

• (x - 5) = x - 5

b) a2 + tab + b2 _ (a + b) 2 _ 3 (a + b) 3a + 3b

S ID

= (a + b) • (a-+-13) - a + b 3 ja--+--b)"3

24a5bc 16ab2c2

•

_AD

_ 3a 2 • 2 • 2 • 3 •a•O•ig• 2bc 2 • 2 2 • 2 a • • b .0 • c

3,Simplifictue_asfrarebesalgehrinas.

D

__a)

18a5b3c2 12a3b4 c

7•

•

3

x2 -4 = (x + 2) (x - 2) —x-2 x+3 (x + 2j

x2 - 9 - (x + 3) (x - 3) (x - 3) x-3

•a•a•a•a•a•V•V•V•0•c

x+3

2•2•3•a•a•a•V•V•li•b•O

3a2c 2b _ 1 (x + 6) c)x + 6 = - - 6 x2 - 36 kx + 6) (x - 6) x

) x3y2z = 7ax2z3 X•X•x•y-y• 7•a•x•x•z•z•z

=

xy2 7az2

d)

2x - 4 2a

=

2 (x - 2) 2a

•• • •• •• ss e ss e G S

•

•

e)

5y + 10 10x

5 (y + , 10x

x2 +5x x+5

,_ y + L 2x

S • •

f)

•

2 (a

2a - 2b 5a - 5b

- b)

m ) x" - 3x 2x - 6

2

x (x - ) 2 (x - 3)

x 2

ID

S

g)

•

a2 - ab a2 -b2

(a

x2 + 4x x2 -16

a (a - b) b) (a - ID)

x (x + 4) x + 4) (x - 4)

flb h)

[ 5x - 5 1 x2 - 2x + 1 I

a2 - 25 _ (a + 5) (a - 5) - a 5 a+5 (a + 5) -

-

x -4

5 (x - 1) 1) 2 -

x -1

S

• 41

0 m2 + 2m + 1 m+1

ill II 411— II

(m + 1)2 m+1

=-

p)

_ 4 (x + 2) - 4 4x + 8 x+ 2 (x + 2) 2 x2 + 4x + 4

q)

(a + 3)2 a2 + 6a + 9 _ a2 -9 (a + 3) ( a - 3)

= (m + i) (m + i) _ -m-1 1

-II-4

m+i

x2 + 2x + y2 _ (x + y) 2 3 (x + y) 3x + 3y

.x+y 3

a+3 a - 3

di-

IIII

0

•

It

• IIP II

S

tit

____Ic)

9 - a2 _ (3 + a) (3 - a) 3 (3 + a) 9 + 3a -

3 -a 3

r)

_ 2 (x + 3y) _ 2 2x + 6y (x + 3y) 2 - x + 3y + 6xy + 9y2 x2

3 (a — 2b) _ 3 a — 2b

s) 3a — 6b a — 2b

Fscrava a fragda alcAbrica qt le _representa o perimetro das figuras. 5x

a)

m 2 _ n2

m + n) (m —

m 2 — 2mn + n 2

(m — n)

m+n m—n

2x

2x

2x_+_5x+2.1L+-5x. =

2. JAdicao e subtragio de fraciits algebticas Com denominadores iguais Adicionamos algebricamente os numeradores e conservamos o denominador comum. Se possivel, simplificamos a fracao obtida.

13x

Exemplo: Escreva a fracao algebrica que representa o perimetro deste trapezio em metros. As letras representam numeros reais. x b

2x b

4x b

x 2x 3x 4x 10x + + + = b b b b b

5x 13x 2 2_

5x 3x 7x 2±2 2

33x 2

▪•

S S c)

h) 5a2 b

13x

3a2b a+1

a+1

7a2 b a+1

alb

a+1

a 5x

S

3y + 2y — 3 x3 ± x3

5

46-

5 = 4y + 4 x3 x3

7x 5

eae Com denominadores diferentes

3x 13x 5x 3x 7x 31x + — 5 5+5 +5+5 5 55

fib

Basta reduzir as fracoes algebricas ao mesmo denominador, com o auxilio do mmc. Exemplo:

S 1.__Efetue as_operacoes.

a)

x

2a

8x + 4x = 40x + 12x = 52x 15 3 5 15

5x 6x 3x 2a 2a = a

Efetue operagaes.

4111-•

•

h) 9b C

..-..--.

3 kj +_

a2

•411/ •

S

8xy 11xy _ a2 a2

e)

x+2 3x

2x + 5 3x + 7

20 + 21 12x

_41 12x

y 2y 5a a

y lOy 5a

—9y 5a

3x

a _ 8y + 3ax 6x_y_ 2y

d)

a + 3 _ ax + 6 2xy 2y xy

e)

7

3x

4a+3 2a_ 2a+3 7b 7b 7b

5+ 7= 3x 4x

4

7mn 3mn 4mn Y Y _Y

f)

•

a)

5b _ 14b c C

x

1 3 x2 2x x

g)

12xy 3xy ab ab

4xy = ab

13x + 6 2x2

• .0

5 1 3 3x 6x2 4x 29x 2 12x2

S 11,1

3:-M6Itiiikacao ft-fragoes algebricas

S

—

12x2

Na multiplicacao de fracoes algebricas multiplicamos os numeradores entre si e os denominadores entre si e, quando possivel, simplificamos a fracao final.

g) 3m + 2m m 2b 3b b

_

•

9m + 4m + 6m 19m 6b 6b Exemplo: Escreva a fracao algebrica que represents a area do seguinte retangulo. 2xy — 6x + 5xy _ 7xy — 6x 2y2 2y2

S

2a2 7

•

•

3b

0 a 3a 4_ 2 x 5x x2 5ax — 3ax + 10 5x2

S

2a2 3b 7 5

2ax + 10 5x2

5 2a2 • 3b 7•5

6a2b 35

7. Escreva as fragoes algebricas chi ie

•

•

representamas areas dos seguintes retangulos.

5

2x 5

111—

S 3

h)

41) 2ax — 3

-1111k

4. DivisaculefragOesalgebricas

Itiplicacoes.

3 5y _ 15y x 2 — 2x Na divisao de fracoes algebricas, multiplicamos a primeira fracao pelo inverso da segunda. Se possivel, simptificamos o resultado.

_b) 4x2 3y _ 12x2y _ 6xy 5 2 5x — 10x

2a2b 6

Exemplo: 5x . 12y2 = 5x x 5 = 25x 12y2 36y3 3y 3y 5

a2b 3

9. Efetue as divisc5es. dl

)

7 2y _ 14y _ 7y a2 2a a 2a2

2m a2

a5 m2

5x2 7

x3 = 5)(514y 2y

2ma5

2a3

es2r1,2

m

5y = 2x 7 = 14x 15y_ 3 5y Y_-

ct . III

10 a

9a 5m2 = 3m 2 3a 3m2 5m 2 25 5 5 • 3a

x + 4 2x + 8 a3 a2

w

e)

3y y-3 3y — 9y 4x2 + 8x 4x x + 2

3

6a2 ab3 5x 4

y _ xy x2 4 5x 20

a) X2 4

12a4b3 60x

8a 4x

a4b3 5x

fl

g)

x = 8a 3b = 24ab x 4x2 4x 3b

4xy3 2x2y 7a • a2b

menm

2x2y a2b 7a 4xy3

6ab x2

2x2ya2b = abx 28axy3 14y2

men x 2 Y mnxy x m

•

•

2x

3 x-2

2x x 2 a 3

2x2 - 4x 3a

x+3 4y 2•x+3

x+3x+3 2 4y

8a9

2a3 `' b2

x2 6x + 9 8y

\

5:-Potenciagat[de fra-goes algebricas

al O b5

a2b ‘5

x5

4a8

2a4

( x2y \3

Na potenciacao de fracoes algebricas, elevamos o numerador e o denominador ao expoente que a fracao esta elevada.

sr

x6y3 27a6b3

3a2b )

IIIEV

Atencao: na potencia de uma potencia, multiplicamos os expoentes. ExempLos: • ( 3x 2) 2 •

3

4x3)6 2 x2

i)

( Y -3 ) 2-

7X3

8

I. -ADO

y2—

2

—

32

1 x6 x4

12

•

ID

2y +

10. Calcule: 5 V 25 y y2

'

j) (x + 5

(x + 5)2 (x - 2)

kx - 2 )

N ( 4a2 )2 _ 1 k b3 ) - b

2

±

± 2

- 2

•

-

2+2

II IOIP II

x2 + 1 ox + 25

( a3b2c \2 — a6b4c2 c)

k

7 ) 49

x2

- 4x + 4

0

•• • •

•

•

•

(m — n) 2

9

_ m' — 2

_ (m — 92

lb

-

• •• • •• •• • • •

•

.)

5 3±4 2x x 3x

81

• 411 411

m n + n2 81

2mn + n 2

•

•

•

a2x

15 — 18 + 8 6x

)2

(a2 x)2 = + 1)2

2x + 1)

a4 . x2

a4 x2

I2x) 2 + 7 • 2x • 1 + 1 2

4x2 4x + 1

6. Expressfies corn fracties

0

7 2

411

2

3

x+ 2

g

)

1

6a2

-0 x+2 4

14 — (x + 2) 4

•

5

W

9

8y

5

5

_ —

13y 5

a

•• •

•

03aaa., 3

9a + 10a 6

_ a2

1 + 2 x -2

_

_ 15 — a 9 _ a2

3

x

-

3 (x — 2) — (x + 2) x + 2 x— 2

3x

2

2

9 — 3a + 6 + 2a

•

•

•

+

3 (3 - a) + 2 (3 + a) (3 + a) (3 — a)

12—x 4

11. Efetue ±

2a

1 + 9a 6a2

=

3+a -

14—x-2 4

a) 2y

3

+

3

411

• 11

4 (x + 2) + 2 3 (x + 2)

4x + 8 + 6 _ 4x + 14 3x + 6 — 3x + 6

_algebncas Exemplo:

4

5 6x

_ 19a 6

-6 -x -2

2x

-8

3a 6a2 a 4a + 5 - 24a 5 - 2-0a 6a2 6a2

•

y

k) 6

x

3 _ 21a 16b 2b

3

5 2x –

60 + 2xy – 15 _ 45 + 2xy 10x – 10x d)

x

I)

1 3

x 2y

2

a+3 5

6y2 – 3x2 + 2xy 6xy

2a + 6 a -4 5a – 20

2m 2 5 21

m) 4

i

2

m

30m 2 _ 10 7 21m2

1

3 x + 2 6 8 (x + 2) + 12 – (x + 2)_ 6 (x+ 2)

2x y

5y 2 _ 20xy _ 5 4xy x 4

8x + 16 +12 – x – 2 7x + 26 6x + 12 6x + 12

5 2

x + 1 _ 10–(x+ 1) _ 10–x4 4 4

x–3 2

9–x 4

o)

3 5

5( –3 5 2 Lx – 3) x2 – 6x + 9

5 5 _ 2x – 6 2 (x

2

6 – 10x + 15 _ – 10

10 21 –10x 10

12. caro ► e:

a+ b a2 – b2 3 y (a – b)

3 ay – by

4x _ x2 10 _ 10x2 _ 5x I) x2 8 H 0 8 4x – 32x – 16

10 5 a3 • a2

-45ab2 _ 9b b) 3a 15b2 a 5b a2 —5ba2

3 (1

5 --- a2 = 542 = 2a 10a3 a3 10

•• ••• • •• •••• • •• ••0 •• • ••• •0 • 10• • ••• 11•• ••• •• •

x+7 x + 4 = x+ 7 3 •

2mn3

I)

ab3 •

2 x 1- 4

2

3

m3n a3b

2mn3 a3b m 3n ab3

( x4 \3

x 12

ay2)

a3y6

2x +14 3x + 12

2n2a 2 b2m 2

n) (3mn2\2 _ 9m 2n 4 25x4 5x2 1

( y -5 3a y2

-

\2

(y 5) 2 (3a) 2

2•y 5 + 52 = 9a2

— 1 Oy + 25 9a2

O Q CAPiTULO 10 - El:WAVES FRACIONARIAS E LITERAIS

0 T. Equagoes fracioncirias

1. Determine o dominio das seguintes equagoes, sendo R o conjunto universo.

GOO Equacoes fracionarias sao aquelas em que a incognita aparece no denominador da fracao. Chamamos de U (conjunto universo) o conjunto de todos os valores que a incognita pode assumir. Chamamos de S (conjunto-solucao) o conjunto dos valores de U que satisfazem a inequacao.

b)

2x

+7

1 5 0 —> xs0 2

Dominio Lembre-se de que o denominador de uma fracao é sempre diferente de zero. Assim, retirando os valores que tornam a equacao impossivel, obtemos o conjunto denominado dominio da equacao (D).

Exemplo: Sabendo que o perimetro deste retangulo é igual a 4 cm, calcule o valor de x.

1 x

D = F1={11}__

3 + 1 -7 .. x-2 5

c)

2“)-->x#2 =R—{2}

d) 1 0+ x

_e) 8 5

2 • 1— + 2 =4 x 5 2 + 16 = 4 --> D = R - {0}

_3 5x 5

x() 0= R — {O}

r.

8 9 = 12 x 5 7 x + 4 —

x-5x#5e x+4#0—>x#-4 D=R—(5,-4)

11 + 5 2x — 6 3x

-0

1 4

10 + 16x 4 5x 10 + 16x = 20x

x-60—>2x#6x# 6 _> 2 x#3 e 3x#0-->x0 = R —{3 0}

20x - 16x = 10

g)

4x = 10 x= 10 4 x = 2,5 cm

1 = 1 5 2x + 4 x +9 8

2x+ 4 *0 2)( #-4

x

—

2

D=R—{-2,-9)

0

a

4 2

•

•• •• •• •• •

_L_Conjwito verdade Chamamos de conjunto verdade (V) a solucao da equacao apresentada.

•• •-

Exemplo: 3 1 + =

■

•• _ •• •• •

•• — • •• •

fa •

m.m.c. = 4x

3x + 4 _4x 4x 4x Cancelando os denominadores: 3x + 4 = 4 x 3x - 4 x - - 4 -x=-4 x-4 Portanto, V = {4}.

2. Dado o dominio das equagbes, determine sell conjtinto verdade.

1 +3 =2 2 x

a)

••

•

12 -x =20

V = I- 81

_t)

2 = 1

x+3x-1 b) 3 +? = 2

•

3 + 7 = 2x

•

x x

•• •• •

-

12x x 20 6x 6x

-

•

•

D = R - {Q}

x + 6 4x 2x 2x 3x = 6 x=2 V = {?} -

•

D = R - {0}

x x

x=5 V = {5}

_D = R HO)

Regra prati . 11 9 • (x - = 1 • x 2x ? x=5 V = {5} -

Dom- S, 1

•

•

"1

g)

3x = 1 + 1 4 4 • 3x = 1 • (2x + 1) 12x = 2x + 1

3 Equaciiesliterais

D = R — {— 1 2

10x= 1 1 10

Equacoes literais sao caracterizadas pela existencia de uma ou mais tetras alem da incognita.

x

1 10

V=

h)

Exemplo: 1) Apresente o conjunto verdade (V) das seguintes eguacOes:

1 + 1 =0 x+ 4x—5

D = R — — 4,51

a) 2x + 3a = 8a 2x = 8a — 3a 2x = 5a x = 5a V= 2

x— 5 (x + 4) 0 (x + 4) (x — 5) (x + 4) (x — 5) (x + 4)jx — 5)

x-5 +x+ 4 = 0 2x= 1 —>x= 1 2

5a 1. 2

b) 5x + mx = 7b x (5 + m) = 7b 7 x = 7b 5+m

i)

5 4._ 2 = 16 x-3 x+3 x2 -9

o(x+ 3)+ 2 (x-3) (x — 3) (x + 3)

_

Para nao anular o denominador, devemos ter 5 + m 0, ou seja, m — 5:

D=R—{33-3}

16 (x — 3) (x + 3)

x=

_

7b

•m—5 5+m'

3. Apresente o conjunto verdade (V) das

5x + 15 + 2x — 6 = 16 7x ±_9 = 1_6 7x = 7

equagoes. a) x + 3b = 5b

= [1 I

5b — ab

D

5 + 3 = 12 D = 21 x + 2 x — 2 x2 — 4

12 5 (x —2)+3 (x+ 2) _ + 2) (x — 2) 4 +2) 6 = 12 5x7 1 0 8x = 16

(x

-

x_= CQMQ 2 D, ento: V 0

V

x = 2h = ph)

S

•

•

11111

• •1111 •• CI

b) 8a+3x=11a -

2

)

_3x. =11a— 8a 3x = 3a j.c= 3a 3 x=a V =la'

S S S

•• •• •

•

•• •• •• •• •• •• •• •• •• •

•• •• •• •• •• •

•• •• •

= 10b = Is o. = I

3 (m +

11.

=

=2x-6m

x — 2x = — 6m=3 -m

Q

.

.13x_=.2.m — 5m

h) 3a + 2x

— 3m

—

3mx

-

qh

—

3mx +

9b

3a

9b 3a 2 _ 3m .

it

X

X

= mx + 5a x (n + m) = 3mn ay

—

my

—

9m

.111n

n

n

j)

5 a = 7 ._xt=a;a_x# 3 x+3 x-3'

5a (x 3) = 7 (x + 3) Sax— 152 = 7x + 21 5ax 7)c= 21 +_15a_ x (52 7) = 21 +15a x_ 21+ 15a. 5a _7 0 5a 7 —

—

—

—

'

a = b . x#-2;ex_#_3_ x + 2 x - 3'

k) a (x

3) = h (x + 2) ax 3a = hx + 2h ax hx = 2h + 3a x (a h) = 2h + 3a —

—

—

—

x—

2b + 3a . a a b —

—

h t0

'

I) x-a 1 b-x. c 3 6 2 3 (x

a) + 2 (b x) c 6 6 3a + 2h 2x = c

—

3x x = c: + 3a —

—

—

—

2h

—

0

2h}V={c:+3a

• •• II

el.

0 0 CAPITULO 11 - GEOMETRIA

iingulosiormados por duas retas pararelas cortadas por uma reta transversal t

411

•• • •• •• •• •• •• •• •• •• •• •• ••

r//s (reta r paralela a reta s) t (reta transversal)

41

•• •

Angulos alternos internos Dois Angulos alternos internos, formados por duas retas paralelas e uma transversal, sao congruentes.

A C

A

e

Angulos alternos externos Dois angulos alternos externos, formados por duas retas paralelas e uma transversal, sac) congruentes.

A

A

a =-7 g

A

b

.

•• ••

1. Determine a madida dos angulos assinalados, sem o auxilio do transferidor.

t

c)

)

• 30°

•

• 150°

= 150°

= 30°

• Angulos correspondentes Dois angulos correspondentes, formados por duas retas paralelas e uma transversal., sac) congruentes. t

t

•

• d

e

•

• A

A

a

e

A A c= g

hA

. h

Angulos colaterais internos

Angulos colaterais externos

Dois angulos colaterais internos, formados por duas retas paralelas e uma transversal, sao suplementares, ou seja, sua soma vale 180°.

Dois angulos colaterais externos, formados por duas retas paralelas e uma transversal., sao suplementares, ou seja, o valor de sua soma é de 180°.

/

d

e

A A

a + = 180°

b + g = 180°

•• •• •• •• ••

•

•• • •

2. Determine a medida dos angulos

•

assinalados, sem o auxilio do

•• •• •

transferidor

•• •

s).

y + 80° = 180° y = 180° - 80° y - 11:10°

•• _ •• •• •• •• •• •• •• •• •

(r //

3. Determine a medida dos angulos assinalados (r

-t

a + 110° = 180° a = 180° - 110° a = 70°

y = 120°

n)

4

••

4

• • •

x+ 70° = 180° x = 180° - 70° x=1-100

•• •

//

h)

7o °

120°

s■ x

x + 120° = 180° x = 180° - 120° x = 60°

sabencloque_al

S. 130° b

+ 60°

a= 130°

h x + 60° = 130° x = 130° 60° -

_x= 70° a = 80°

t)

a = 2x + 50°

t b=x+ 80°

2x + 50° = x + 80°

x = 80° x = 30° 150°

-

50° a = 60° + 50° = 110° h = 30° + 80° = 110°

180 b+150°= -

al

t

a + 120° = 180° a = 60°

b__=..120°

a + 100° = 180°

a = 180° - 100° a = 80° x + 30° = 80°

x = 50°

_lc- 40° + x + 20° = 180° 4x = 200° a = 50° + 20° = 70° .k_.= 50° > - 4_0° = 110° b

•S •• • S • • •• •

c)

•• • •

5. Send() r // s, nalotliA n valor de x.

6. Calnule x rigs figural ahaixo, sendo r // s

_a)

•

•

•

•

2x + 50° 3x + 70° = 2x + 50° x = 50° 20°

• •

x =_60°

-

••

_3.0°

t

-

3x + 40° r

•• •

•

•

4x + 30° s

aaL,

4x + 30° = 3x + 40°

•

10°

X

•• •

x = 160°

•

• •• •

•• • •• •

•

d)

5x + 3x + 4° = 180° 8x_=_176° x = 22°

1600— ►

I

x = 155°

7. Encontre o_valor de x nas figuras abaixo, sendo r II s.

Exemplo: Na figura, as retas r e s sdo paralelas. Quanto mede o angulo x? 60° 4

►

r

r//s

x 4

x + 20° = 180° x = 160°

140° ►

s

Observe que foi tragada pelo vOrtice de I A e s; o angulo umaretxplsr fica decomposto nos angulos a e )

angulo a é congruente ao angulo de 60°, pois sao correspondentes. 0 angulo b mede 40° pois é suplementar de 140°. Como x = a + b, entao: x = 60° + 40° x = 100°.

x + 130° = 180° X , 50°

t

8. Determine o valor de x. Dica: trace retas_paralelas a r e s, passando pelo vertice do angulax

x + 92° = 180° x = 88° ras_

30°

160°

—

•

t//r//s S

2 = 20 0

x + 128° = 180° x = 52°

b + 160° = 180° ---> b = 20° I orin.

x= + h

x = 50°

68

30° + 20°

••

•

•

b) 120° ►

•

x

r r//s

• •

b

30°

Writs

h = 30°

•

h= 45°

a + 160° = 180° 20 ° I ogo: x = a +1_, 20° + 39°

a + 120° = 180° a = 60f_ 60° + 45° ego: x = a + h = x = 1_05.°

A = 50°

9. Determine o valor de x. Dica: trace retas paralelas a r e s,

O •

45° x—

•

passando pelos vertices dos angulos x e

► r

CiA

17/s

90°.

a)

20° ►

s 60°

//s

t//r//s •

120° ► S

0 a = 45°

b = 60' b + 120° = 180° Logo: x = a + b = 45° + 60c x = 105°

Logo:

x = 30° + 30° x = 60°

160°

b)

2. 700ms

—

Os poligonos sao nomeados de acordo corn a quantidade de lados.

Ninnero de lados 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 15 20

160°—

I ogo:

70° +._40° x = 110°

Nome triangulo quadrilatero pentagon° hexagono heptagon° octOgono eneagono decagon° undecagono dodeca ono pentadecagono icosagono

•

Numero de diagonals de um poligono

"00

(

Para determinar o numero de diagonais de urn poligono usamos a seguinte fOrmula: d=

n (n- 3)

2

d 4 numero de diagonais n

numero de lados

Exerinplo: vamos calcular o numero de diagonais do hexagono. hexagono

6 lados (n = 6)

Em d = n (n - 3) , substituindo n por 6 2 temos:

d = 6 (6 - 3) = 6 • 3 _ 18 _ 9 2 2 2 d=9 0 hexagono possui nove diagonais.

0

e_lo, Calcule onumeradediagonais de urn: a) quadrilatero n=4 d__„ 4

•

g) icosagono n = 20 d = 20

(4 - 3) 2

4

1

•

(20 - 3) 2

20

•

17 = i7_0_

2

d =_.1 .70

h) pentagon°

b) decagon n =_11L

11—

d_

_ 10

•

n=5 d = 5

(10 - 3) _10

7 -35

•

d

•

(5 - 3) 2

=

5

•

2 =7

2

=5

2 d = 25

41)--

c) dociecagono n = 12 d , 12 (12 - 3) 2 = 54

• •

=

12

•

9 = 54_

2

Soma das medidas dos fingulos internos

heptagona n=7 d,7

•

triangulo

A soma das medidas dos angulos internos

(7-3) = 7 4= 14 2 2

de urn triangulo é 180°. A

d = 14

•

e)___eneagono

•

n=9 9

•

(9 - 3)

=

2

9 6 2

= 27 Exemplo:

1II ----

Vamos calcular o valor de x no triangulo.

trian gulo;

A

411—

n =3 = 3

d

•

(3 - 3) 2

=

3

=0

2x + 80" + 40° = 180° 2x = 180° - 80° - 40°

2 2x = 60°

11— 0 trian_g_

•

(V-

nais.

x-

60° 2

x = 30°

At Cain ile

o valor de x em cada caso.. 35 °

25°

3x + 35° + 25° = 180° 3x = 180° - 60° --> x = 40°

x + 50° + 70° = 180° x = 180° - 120° —> x = 60°

h) 2x + 50° + 70° = 1 0° 2x = 180° -__12T 60° x = 30° 2

•• •

x + 25° + 55° = 180° x = 180° 80° —> x = 100° -

x 30° + 60° + 80° = 180° x = 180° 110° —› x = 70° -

••

-

•

x + x + x = 180° x = 60° 3x = 180°

x + _110° = 18Q° 2x = 180° 1 -10° x _ 70° —> x = 35° -

2

x + 90° + 50° = 180° x = 180° 140° —> x = 40° -

0

• J)

• x_loo+ 80° + 40° = 18(—

••

0 0 • • • 0 •

•

• 0

•• • •• • •• •

ax_.+ 5x + 4x = 1._80° 1 x = 180° x = 15°

k)

6x._± 6x___+_6x = 180r =

—

x+x+ 30° + , 180° 2x = 180° 100° x= 80° x = 40° 2

= 10°

Angulo extern°

de urn trianguto

00

—

x + 2x + 90° = 180°

3x = 180° 90° 90° --> x = 30° x 3

Observe: os angulos externos de urn triangulo sao suplementares ao seu interno correspondente.

Exemplo: Vamos determinar a medida do Angulo

X.

130°

x + 130° = 180° x = 180° — 130°

2x + x ± _30° + 3x = 180° 6x = 150° ---> x = 25°

108°

122°

x = 50°

Determine a valor_de knos triangulos. 12._Resolva osprohlemas. a)

S

a). Num triangulo t as medidas dos seus __----angulos internos sao dadas por x + 40°, x +20° e 2x_Determine as medidas desses angulos. + (180° 120f) = 180° 2x = 180° —_60° = 120° 2 —

+ 40° + + 20° + 2x = 180° 4x = 180° 20°- 40° 4x = 120° --> = ao° —

b)

= logo .

_± 20

0

2x = 2

•

._ ±_20 . _ 59 . = 60°

aft

ao°

x + x + 10° + 2x + 3_0° = 180° 41._=_140° 35°

fa-

b) Num triangulo retangulo, os angulos

c) 155 °

agudos sa. meciemessesgulas_agudas2._____

x + 155° = 180° x = 180° —

9 101_ x 2x = 180° 2x0°

151°

x, 90° 2 x + 130° = 180° x = 180°— 130°

x = 50°

—

1a0 90°

x = 45°

c) Num triangulo isosceles, as meciidas de

AD_

•

-111-

e)___ErcLum triangulo, a angt obtuso mede

seus angulos sao dadas por x, x e 4x.

120° e urn Angulo agudo mede o triplo do _

Quanta medem asses angulos?

outro. Quanta medem esses anguk s?

x + x + 4x = __61C.= 180° .x =

3_0°

x.= 30° x = 30° 4x = 4 39°

_J _120°_=_180° + zhe = An° = 15° x = 15° x= 1. 1_5° = 45°

d) Num triangulo retangulo, urn angulo agudo

As medidas dos angulos de urn triangulo meros natt irais consent divas. alai

_vale_o dobrosianutraQuanto medem

o valor ciesses angillos?

esses angulos?

Sugestao: numerasmnsecutivas: x, x + 1 0, 2

x + 9°

x + x + 1° x + 2° = 180° 3x = 180° 3°

S

-

= 59°

x + 2x + 90° = 180°

3x = 177°

x 59°

).( + 1° = 59° ±:1° = .60° x+

3x = 90° = 30° x = 30° =2

•

30° = 60f

= 59L_+ 2° = 61°

_g)__Aarnedidas dos Angulos de urn trig

Os angulos de um triangulo sao

sao nOrneros paresconsecutivos. Qual o

expressos por 3x, x + 10° e 2x + 50°

valor desses angulos?

Quais sao esses angulos?

Sugestao: pares consectitivosLx„.x + 2°,

+213- _511° = 189°

x + 4°

3 • x = 3 • 20° = 60°

x + x + 2" 3x = 174°

=_20_°

x + 4°-1 =-80°

x+10°=20°+ 1 4°= 30° 2 • 20° + 50° = 40° + 50° =

• • • _• e

•• • •

= x = 58°

x + 2° = 58° + 2° = 60_°

ongruencia de 600

h) Quais sao os_angulos rip I'm triangulo

retangulo r.ujos angulosagt idol

sa

Nos triAngulos ABC e MNP, podemos perceber que seus tres lados e seus tres angulos sao respectivamente congruentes, ou seja, tem medidas iguais. A

expressos por_x +AO° e 3x9

3x

B

C

P

N

E facil verificar, por superposicao, que esses triangutos coincidem, como mostra a figura seguinte. x + 10° + 3x + 90° = 180° 4x = 80° 3 • x = 3 20° = 60° x = 20_° _x_± 1_0° = 20° + 10° = 3 1' {

i) Num triangulo, o angulanbtuso vale 120° e os outros sao expressos por x

AEM

B=N

C=

P

Triangulos congruentes sac, aqueles cujos lados e angulos sao respectivamente congruentes. Indicamos: AABC = LMNP.

x 4- 50°

x + x + 50° + 120° = 180° 2x = 10° x = 5° x = 5° x + 50° = 5° + 50° = 55°

0

• so • • •• • • • • • •

—

Quais sao esses angulos-? x

• 4IP

Casos de congruencia

0 Para verificar se dois triangulos sao congruentes, basta verificar a congruencia de tres elementos, numa certa ordem.

• ••

1! caso

L.L.L. (lado, (ado, lado)

Dois triangulos que tern os tres lados correspondentes respectivamente congruentes sao congruentes.

10 cm

7 cm

A 7 cm

B

12 cm

C

AB ----= MN BC NP

LABC LMNP

AC= MP

10 cm

Assinab as alternativas nas quail

ha_

pares de triangulos congruentes. A

C

P

N

5 cm

8 cm

2? caso

L.A.L. (lado, Angulo, lado)

Dois triangulos que tem dois lados e o Angulo formado por eles respectivamente congruentes sao congruentes. A

M

3? caso A.L.A. (Angulo, lado, Angulo)

B

C

N

AB MN BC NP

P

Dois triangulos que tern dois angulos e o lado compreendido entre eles respectivamente congruentes sao congruentes. A

AABC AMNP

B

B

14. Assinale as

alternativas nas qu

pares de triangulos congruentes

N

P

BC = NP B

AABC AMNP

15. Assinale as alternativas nas auais ha pares de triangulos congruentes:_

L.A.A..

caso

(lado, Angulo, angulo oposto)

Dois triangulos que tern urn lado, urn Angulo adjacente e o Angulo oposto a esse lado respectivamente congruentes sao congruentes. A

17. Escreva nos_quadros,

em cadaitem, o

caso de congruencia„ou seja• LL I ott B

L A L ou A L A ()id .A.A,

N

AB MN B 1■1

a) AABC AMNP

5m

C = P

L. L. L.

_i_6,Assinale as alternativas nas quais ha

4411

pares de triangulos congruentes.

,

a 12

8 cm

dm

L. A. L.

10 cm

7m

L. A. L. 10 cm

L. L. L.

4 cm

A. L. A.

5 cm

4 cm

L. L. L.

L. A. A,.

80

so o sessoss ess

5 cm

S S •

5. POIItOs notavels_de um

Altura

"00

(

14ediana

411 411

Mediana e o segmento corn extremidades ern urn dos vertices e no ponto medio do lado oposto a esse vertice.

Altura é o segmento perpendicular a urn lado (base) ou seu prolongamento, corn extremidades nessa base e no vertice oposto.

A

4D 4b 4D410S 411

S S S 0

411

BD é a altura relativa ao lado AC. B

M

C

A

AM —> mediana relativa ao lado BC

BN —> mediana relativa ao lado AC CP -3 mediana relativa ao lado AB B As medianas de urn triangulo interceptam-se num mesmo ponto chamado baricentro (G).

H

C

AH --> altura relativa ao lado BC BI altura relativa ao lado AC CJ —3 altura relativa ao lado AB As alturas de urn triangulo (ou retas suportes) interceptam-se num mesmo ponto chamado ortocentro (0).

Bissetriz de um trianguto

Bissetriz é o segmento que passa por urn vertice do triangulo e divide o Angulo interno ern dois Angulos congruentes. A

D C B AD —> bissetriz relativa ao Angulo BE

A

bissetriz relativa ao Angulo

CF —> bissetriz relativa ao Angulo C

S 4D • S

As bissetrizes de urn triangulo interceptam-se num mesmo ponto chamado incentro (I).

0 0

18. Assinale as

alternativas cujassentenca

nCla

de

um triangulo

s'Ao verdadeiras

•

1iIincentroeo4mntadeencontroths tres_ So é possivel. construir urn triangulo se a

h iSS A t ri 7 AS

_44Tharicentro é o ponto_de encontro das

medida de qualquer lado for nnenor que a soma das medidas dos outros dois.

tits medianas.

a
tres alturas. Assim, por exemplo, é possivel construir urn triangulo corn tres segmentos de medidas 3m, 4nn e 6 m, pois:

sAo nao congruentes . II

••

3 < 4 + 6 (V)

angulo

.••

0

• 111F-

4 < 3 + 6 (V) 6 < 4 + 3 (V)

reto. f) Triangulsceles possui dois lados

0

b
c) Ortocento é o ponto de encontro das

d) Triangulo equilatero A aquele cujos lados

-•

—S

0

20. Verifique se as medidas cladas em cada

congruentes.

19 Complete as sentengas de modo que

itern_possibilitam a constru

S

triangulo.

0

sejam verdadeiras. a) 4m,3me5m a) 0 segmento que divide o angulo interno de untriangulo em dois angulos iguais

(V) 5<4+3 Sim _e p ossivel

bissetriz

chama,se

b) 2m, 10m e 5m__

b) 0 segmento perpendicular a base de urn

_< 10 + 5 (V) _10 < 2 + 5 (F) Liao _e _possivel -

triangulo oti ao seu prolongamento altura

chama-se-

c) 1m,lmel_m _ 1 < 1__-.+ 1 (V) Sim. e possivel.

c) 0 segmento corn extremidades no vertice de urn triangulo e no ponto medio

d) 7 m, 4 m e 10 m

S

,v 0 , 4 < 7 ± ._ 10 (V) 1 0 < 7 + .4_Ma Sim_e possivel.

0 S S

-

do lado oposto a esse vertice chama-se rnediana

0 0 0 0 0 0 S 0 0 0 0

•• •

• • .2

410_ e) Fim,RmelOm •

8 < 8 + 1 0 (V) _10 < 8 + 8 (V)

•

Sim,±possivel

• .•• •- I

quadrilatero?

Quatro lados

c)_ Quantos sao os vertices de urn

0— 411

quadrilatero? 15<3+1(F)_ Nao A possivel

Corno sao chamadosos angulos g)

0-

•

_lam, Liu

e5m + (E) a_passiveL

_flab _conseoutivos de um_quadritatero? Angulas_ °pastas

h) 2m,2me3m

I 411-

i•v • • •

2. K _2..+ 3 .). 3 <2 2 (V)_ Sim, possivAl

e) A_diagonatdeuniquadrilatero divide-o em

dois outros poligonos Qual Q name

desses poligonos? _

7. Quadrilateros 22. Assinale as alternativas verdadeiras. Quadrilatero é urn poligono de quatro lados. Considere o quadrilatero ABCD. B

C

• 1111

••

•

• •

0-

••

•

••

"b)

sempre igual an numero de vertices. Urn quadrilatero_ tem duas diagonals.

c) 0 numero de diagonais de urn quadrilatero é igual ao numero de

A Os lados AB e CD, AD e BC sao opostos, pois sac, segnnentosnao consecutivos.

e, 6

6

Os angulos A e e sao opostos, pois nao sao consecutivos. Os segmentos AC e BD sao diagonais.

•

um quadrilatero o numero de lados é

21 . Responda. Quantas cliagonais tern um quadrilatero? DvasAiagonais.

vertices.

_Soma das medidas dos .angulos. internos de um quadrilatero_

22. Calcule o_valor de xnestes quadrilateros

Considere o quadrilatero ABCD e uma de suas diagonais. B

x+x 120° + 120' 2x_.= 360° -2_40° x = 60°

A A diagonal AC divide o quadrilatero em dois triangulos: A ABC e A ADC.

360°

GO lb

Como a soma das medidas dos angulos internos de urn triangulo é igual a 180°, podemos concluir que a soma das medidas dos angulos internos de um quadrilatero é igual a 2 • 180° = 360°.

+ 50° + 30° + 140° = 360° x = 360° -220f__ x 140f_

Exemplos: 1) Calcule o valor de x neste quadrilatero. c)

2x + 40° + 4x — 10° + 5x + 55° = 360° 11x = 275° x = 25° 2) Calcule os angulos internos.

x + 40° + 130° + 50° + 70° = 360° x = 360° 290° x = 70° Entao: x + 40° = 70° + 40° = 110° Resposta: Os angulos internos medem 50°, 70°, 130° e 110°. 84

+ 3x

- 20° =

10x = 370° x= 37°

x + 130° + 70° + 115° = 360° x = 360° — 315° x

•

•• •

•

2x

x+ 10°

2x + 3x_+_4x. lox= 350° x = 35°

•

0

•

60°

+ 10 0 =260° x + 60° + 90° + 90° = 360° x = 360° 240° x = 120° —

-30° 110°

60°

AO° x + 3x + 40 0_+ 60° = 360° 4x = 260° x = 65°

2x

x + 20° + 2x 3x = 150° x = 50°

.

—

x + zo° 110°

30° + 110° + 110° = 360°

Determine os valores dos angulos internos dos quadrilateros.

x + 2x + x + 2x = 360° = 360° x = 60°

fa h) S

S

x 20° + x + 20° + 60° + 401=360.° 2x = 260° x = 130° —

Enta.o: x — 20° = lano 2.0° = 130° ± -

flesposlai 0s. auks_ intenaa_medem__40°, 60 ° 11E2 150°.

S •

,

• e)

h)

x+

4111

20°

x + 90° + 90° + 1101_3.6.E° x = 360° — 290°

x_=-10_° Rasposta• Os angulos infernos medem 70°, 90°, 90° e 110°.

90° + x + 20° + 3x 5x = 250°

—

30° + x + 30° = 360°

x =_501)__

Alt

Entao.

c)

x + 20° = 50° + 20° x ao° =Er_A- 30° = BO° 3 • x 30° = 3 • 50° 30° = 150° 30° = = 120° Resposta Os angulos internos medem 90°, 70°, 80° e_.12.0°. —

0

—

1111 •

—

4111111

—

••

80°

x_± 10°_+_70° + 90° + 80 = 360° x = 360° — 250°

x=

fl Fntao: x + 10° = 110° + 10° = 120° Resposta: Os angtilosinternos medem 70°, 90°,

80° e 120°.

AP

x + x + 1 0° + 60° + 70° = 350° = 220° x = 110° Fritao• x + 10° = 110° + 10° = 120°

(1)

x + 4x + 2x + 3x = 360° ox = 360°

x

=

411

Resposta• Os angnios infernos medem 60°, 70°, 110° e 120°.

411

36°

411

FntAn:

•.36° = 72.° 3fiL_ , 108° 4 x = 4 • 36° = 144° Resposta: Os angulos internos medem 36°, 72°. 108° e 144°. 3 x=3

86

•

•

••

•• •

••

1111

••

•S •• a• • •• •• •• a•• • •• •• •• •• •• •• •

8. Classificapao dos quadrilateros Paralelogramos

Quadrado

0R

Sao quadrilateros que tern os lados opostos paralelos.

E o paralelogramo que tern os quatro angulos internos retos e os lados congruentes.

T

B

A

M

N Lt.

E]

s

m(0) = m(R) = m6N ) = m(?) = 90° OR RS ST TO D

C

P

0

U

0

R Lt.

Trapezios Sao os quadrilateros que tern somente dois lados paralelos. Seja o trapezio ABCD. C

B 7

T

X

S

Retangulo

D

A

E o paralelogramo que tem as quatro AD

angulos internos retos.

M

N Lt

BC

Os lados AD e BC sao, respectivamente, base maior e base menor. Classificacao dos trapezios

m(M) = m(N) = m(P) = m(8) = 90°

Retangulo: dois angulos retos.

Losango

E o paralelogramo que tern os quatro lados congruentes.

U

Isosceles: os lados nao paralelos sao congruentes.

Escaleno: os lados nao paralelos nao sac congruentes.

VU =UY=YX= XV

24. Assinala as_alternativas otijas sentencas 0 Os qi intro lados de urn trapezio esnaleno sejam verdadeiras

nao sAo nongnientes.

_(l Os paralelogramos possuem os lados opostos paralelos.

a----dna as medidaTdos ingubsinternosilos poligartos_

h) A soma dos angulos internos do

quadrado é igual a 180°. dos angulos internos de urn

Considere, por exemplo, o poligono ABCDE de 5 lados (n = 5).

ladrilatero é [goal a 380°

B

Quadrado é o paralelogramo que possui as quatro lados congruentes e cada urn dos quatra_angulos internos tern 9

0

e) 0 quadrado é o tinino quadrilatero que D

possui os quatro lados_oangruentes. f) 0 losango possui os quatro angulos

Unindo o vertice A aos vertices C e D, por exemplo, obtemos 3 triangulos: AABC, AACD e BADE.

internos iguais_a.90°.

B

Todo quadrado e_tambem_um retan sg

h) Todo retangulo é tambenium quadrado.

6. Assinale as alternativas cujas sentencas sejam verdadeiras

a) Num trapezia_retangulo os lados nao paralelos sao_congruentes. trapezio isosceles as bases sao congruentes. O_OsJados_nao paralelos de urn trapezio

isosceles sac _congruentes.

Observe que o poligono ficou decomposto em (n - 2) triangulos, ou seja, a quantidade de triangulos corresponde ao numero de lados do poligono menos 2. Sabemos que a soma das medidas dos angulos internos de urn triangulo é 180°. Podemos entao concluir que a soma das medidas dos angulos internos de um poligono de n lados e dada pela seguinte expressao: S, = 180° • (n - 2)

• 1.

•• •• •• •• • •• •• •

• •

Exemplo: Calcule a soma das medidas dos angulos internos de urn hexagon° (n = 6). S = 180° • (n — 2) S = 180° • (6 — 2) = 180° • 4 = 720° Resposta: A soma das medidas dos angulos internos de urn hexagon° é 720°.

n = 10 = 180° • (10 — 2) Sj = 180° • 8 —› St = 1 440°

HeptAgono

rL=1 SI = 180° (7 —_2)

80°

25.

,

=900°

Calcule_a_somasias_ angulos infernos dos segilintes pnligonos

a) DiadrilAtern

g) Icosagono

n=4

s

n = 20 = 180°

•

2

= 360°

:1 0

= 180° • 18 -- rel="nofollow"> Si =2240°h) Dodecagon° n = 12 = 180° • (12 2) Si = 180° 10 > = 1 800°

ID

•• • •• •• •• •• •• •S • •• •

DenAgonn

—

•

b) Pentagono H ‘-) Si = 180° • (5 = 180° 3

-

2) = 54a°

Pentadecagono_ n = 15 S = 180° • (15 Si = 180° 13

-

2) = 2 340°

_a__Fileag0110_ n= 9 = 180° • (1— 2) 180° 7 Si = 1 260° •

Undecagano n= 11 180° (11 _Sr= 180°•9 •

d) Octagon° 80° • (8 —2) S_F_ _180° 6 ---> S= 1 080° •

-

2) , = 1 620°

to

Exemplo: Qual é o poligono cuja soma das medidas dos angulos internos é 720°? n=? Si = 720° S = 180° • (n - 2) 720° = 180° • (n - 2) (n - 2) = 720° 180° n-2=4 n=4+2 n=6 Resposta: 0 poligono é o hexagon°.

••

c) 14_40° = 1 440° 180° • (n 2) = 1440° n 2 , 1440° 180° 2 = 8_ > n =10 0 poligano e a denagona. -

_d)_ 360° Sr_=_.3.6D° 180f (n 2) = 360_° n 2 = 360° 180° 2=2 >n=4 Qpolignno o gilad diatom -

26. Qual e-a_poligono

cuja soma das

n

-

medidas dos arigulos internos a) 180' = 180° 180° (n 2) = 180° AM° • n_ 360.° = 18_0° = 540° 540° 180° n=3 0 poligono triangula -

_e)

900° = _900° _1_80f (fi 2L= _900° n 2 = 900° 180° n 2 = 5 >n =7 0 poligono e o heptagono -

-

h) 540° S = 1.80° (n 2) = 54a° n 2 , 540° 180° n = 3 n=5 -

-

-

f) 1 800°

-

Si =A _8_00 ) 180° • (n 1800° n 2 = 1800° 180° n 2 = 10 >n=12 0_ppligono_e o dodecagon° -

••

•• a •• •• • •

•

1O Poligono regular

g) 3240° ST_= 3 240° 189° — = 3 240°

2 = 3240° 180° n —..2 = 18 n = 20

...

e00 Poligono regular Os poligonos que tern todos os lados congruentes e todos os angulos congruentes chamam-se poligonos regulares.

Exemplos:

h) 1 080° Jr =

a a a a

a

•

tar

n n

—

1 080°

— 2). = 1080° 2 , 1 080° 180° 2 = 6 > n _ _8 b_a _octhgono,

quadrado

trianguto equilatero

Medida do Angulo interno do poligono regular Sendo: S. --> soma das medidas dos angulos internos a, —> medida do angulo interno entao:

a, — n

Exemplo: Calcule a medida do Angulo interno do hexagon° regular. n=6 S = 180° (n — 2) Si = 180° (6 — 2) Si = 180° 4 Si = 720° a=

n

'

720° 6 a. = 120° Resposta: A medida do Angulo interno é 120°. a=

•

a

27. Calode a medida.do angulainterno dos

•• •

IP

d) Pentagon = 5

seguintes_poligonos regulares

S = 180° • ( 5

—

2)

S = 540° a) Quadrado n = 4 = 1E01 • _(_4 — 2) St _ 360 . 360° _ = g = 4

=

540°

—

5

10.K

o

Eneagono__ h) Octagon°

_IL= 9

u

S _= 180° (8 — 2) S = 1 080° a= 1 080° •

135 .

S, = 180_!_:4.9 = 1 260° 1 260° = 9

— 2)

8

c) Decagon°

• •

f) Icosagono

n=10

St = 180° .(10 — Z _St— 1440° 144° a = 1 440° 10 •

n = 20 = 1801 -_420 — 2).

S..= 3 240° a = 3 240° 20

at = 162°

•• •

•S •• •

0•0 4 • 00les

rifir17111

1

•

.11

•

I

I1

•

m poligono regular

A soma das medidas dos angulos externos (S e) de urn poligono convexo é igual a 360°.

se• ss e s s

Sendo ae a medida do angulo externo de urn poligono convexo, temos: ae

S =

OU

n

a= e

360° n

Exemplo: Qual é o poligono regular cujo angulo externo mede 60°? n=? ae = 60°

28, Calcule a medida do Angulo externo do decagon° regular, D

z __

10

ae

360°

= 360

0

S a, = —e n 60° = 360° n 60° • n = 360° n=

360° 60°

n=6 Resposta: E o hexagon° regular.

29. Qual é amedida do Angulo externo do octagon° regular? n=8

>

e

_ 360° =

8

> ae =45°

30. Qual 6 a poligono regular cujo angulo

33. Determine_apollgono regular et ijo

externa_mede 7Z2_

angulo externo mede 18°

72 ° = 360°

= 360°

n

acia.

72°

18.

360° n

360° n

_18° • n = 360°

n = 360° 18°

n = 360° 72°

icnqAaona _r_enalar

n = 5 > pentagon regular

34. Calcule a medida_do_anguto extemo_do

31. Qual e o poligono regular cujo angulo

pentadecagono_regulaL

extern() mede 4no9

n

—

1

_ 360° 15 —

u

—

-r

a, = 360° > 4_0° = 360° n n 40° • _a_ = _360°

Exemplo: Quantos lados tern urn poligono regular, sabendo que o angulo interno é o dobro do angulo externo? S. Se a = ' a= l n e n

n , 360°

40° a= 9

e_naagono rfi

a. = 2 a,

32. Determine_a_medida do angulo externo de urn poligono regular de 16 lados.

1

Si = 2 S e 180° (n — 2) = 2 • 360° 180° n — 360° = 720° 180° n = 1 080° n

= 1080° 180°

n=6 Resposta: 0 poligono tem seis lados.

•• •

• S • •

•

35. Resolva os

pmhlemas.

n) Determine qual é o poligono regular cuja

a) Quantos lados tern urn poligono

soma das medidas dos angulos intemos

sabendo que o angulo interno é o triplo

excede a soma das medidas dos angulos

do angulo externo?

externos em 180°.

a= 3 • ae

Sugestao: S i - Se = 180°

b,

_

Se

180__(n - 2) - 360° = 180°

—

3

)2( •

•

ft • •

ft

•

lan° n – 360° – 360°

Si =3 • . .-2{ 180° • (n – 2) = 3 • 360°

• =180° 1_8.0LH n_= 1811° + 360° + 3.60°

2_______

—

ono

v0

_a -2_, a ._2_

—

nnno

tiv

900° 180

°

a

Respo.sta . _o pentagon° segular.

---J1=

Resnoqta• 0 nolionnn tern nito twins -III-

• • b) Num poligono regular, o angulo interno d) Num poligono regular, a soma das

•

excede em 90° o angulo externo.

•

Quantos lados tern esse poligono?

medidas clos_angulos internos excede a

_coma das medidas dos angulos extemos_

• • •

• • • •

•

Sugestao: a - a, = 90° 180°(n - 2)

_

em 540°. Qua é esse poligono?

360° = 90 °

sr

-

= 5.4_0°

unsn.c_–_n) .___1811°_ • (n_ –2) —360° = 540° 180_° • (n_

– 2) 360° = 90° • n –

360°

180° 180° • n –___360°

– 360° = 90°

– 360° = 540°

•n

180° _n_.540° + 360° +360.! •

180.°2__n_-_-7_90° • a = 3.60° + 360°

•• •

•

•

••

DO° • n = 720_°.

>n = 8 90° Re_spostalilpoligon_o_ tam oito lados_

n=

1 260 6-180° Resposta• Lo heptagon° regular.

1809

ft

.=-1--260 °

up • 11

12. Semelhanca de poligonos Dois poligonos sao semelhantes quando os lados correspondentes sao proporcionais e os angulos correspondentes sao congruentes (apresentam mesma medida).

•

Exemplos: 1) Vamos verificar se estes hexagonos sac , semelhantes. A 2cm B

'411-

med (A) = 120°

2 cm

{

2 cm

A==e =

•

-

4ID

-

e

E 2cm D

{med (A') = 120°

S

4 cm .

4 cm

4 cm

4 cm

_

Portanto: hexagon° ABCDEF hexagon° A'B'C'D'E'F'. AB BC CD FA 2 1 A'B' B'C' C'D' F'A' 4 2

4 cm

4

CM

2) Vamos verificar se estes quadrilateros sac) semelhantes. A

med (A) = 30°

med (A') = 30°

med (B) = 165° e

med (B') = 165°

med (C) = 65°

med (C') = 65°

med (D) = 100°

med (D') = 100°

•• •• •

Portanto: quadrilatero ABCD — quadrilatero A'B'C'D'.

AB A'B'

BC B'C'

t

CD C'D'

DA D'A' •

6 9

2 3

4 6

6 9

2 3

Essa relagao a chamada raid() de semelhanca, que indicaremos por k. Entao, dois poligonos ABCD... e A'B'C'D'... semelhantes apresentam a seguinte raid() de semelhanga:

AB BC CD A'B' B'C' C'D'

k

Importante: Dois poligonos regulares, com a mesma quantidade de lados, sac) sempre semelhantes.

• •

36,Assinale as sentengas verdadeiras

Dois quadrados sad sempre semelhantes.

•• •

deve ter visto miniattirss_de automOvets_Bas

b) Dais cilindros_sao sempre semelhantes.

sac, semelhantes

(Pense en1 uma late de_ oleo e urna_lata

ao atitomovel de

de goiabada.)

verdade. Suponha que_a_miniatura seja

c) Dois_retangulos sad sempre semelhantes.

d) Dols pentagons regulares sao sempre semelhantes.

construida na escala 1_:_40.Responda:

a) Qual acomprimento do carro se a rniniatura MACIA 10 cm de comprimento_? = 400 cm = 4 m

e) Dais hexagonos sad sempre semelhantes.

• Os 111

ft_

Exemplo: Voce ja deve ter visto a maquete de urn predio. Suponha que a maquete de 80 cm de altura seja semelhante a urn edificio de 64 m de altura. Responda: a) Em que escala foi construida a maquete? (Nao se esquega de passar as alturas para a mesma unidade, ou seja, 64 m = 6400 cm, e s6 depois dividi-las). Escala

••

5-

• •S

S S

b) Se o carratem 1,60 m de largura, quala

largura da miniature 1 (30 m , 165 cm

1 8 80 cm = = ---> 1 : 80 •• 6 400 cm 640 80

b) Qual a altura da porta do elevador do predio se, na maquete, ela é de 3 cm? altura (real) = 3 cm • 80 = 240 cm = = 2,4 m c) Qual a largura do predio se, na maquete, ela é de 3 m? largura (real) = 3 m • 80 = 240 m d) Usando essa mesma escala, qual seria a altura da maquete de urn predio de 90 m de altura?

38.Assinale as sentences verdadeiras. _a)_Dois triangulos retAngulos sAn sempre semelhantes.

giilos equilaterossarL sempre semelhantes c) Dols triangulos isOsceles_sao_sempre

semelhantes.

altura (maquete) = 9 80 = 1,125 m = = 112,5 cm

••

Dais reta gulos podem ser semelhantes.

e) Dols poligo

-• .

OH • 11' 115 I 11' • •" .

dos sac) sempre semelhantes

f) Dois pollgonos regulares corn o mesmo niimero de diagonals sao sempre semelhantes.

g) Dois cubos qualsquer rsaosempre " semelhantes

Estes tres triangulos, desenhados sobrepostos, sac, semelhantes. Observe na figura que, para dois triangulos serem semelhantes, basta que apenas dois angulos correspondentes sejam congruentes, pois o terceiro sera necessariamente congruente, uma vez que a soma dos angulos internos de urn trianguto é 180°. Logo, podemos concluir que os lados correspondentes sao proporcionais.

to

39. Determine o valor de x nos_triangulos que seguem. a) B 12

•

h)

S

• • • • • •

40,0atriangulos_saasemelhantes

o valor de x.

• •

• • •

1111-

• W-

e

• • •• et

• •

x , 100 12 25 1 200 25 y ,

4R

> 25

1,

= 1 200

Calcule

000!000000000

sossososocessesseossessoososes

OIPOOOMO011e•00•9110•MOINOOSSOMOOSMOOOO

is

.

1.

o n r e d i c C ci°Futuro A evolucao do caderno

J

resenta urn resumo ap ro tu Fu do o rn de Ca 0 ao 9° anos das 6° do do eU nt co o do to de do sistematiza Maternatica, Ciencias, a, es gu rtu Po ua ng Li de s ea ar Inglesa. HistOria, Geografia e Lingua ividades atualizadas at , es pl sim em ag gu lin rn Co o do Futuro estimula rn de Ca o s, al su vi os rs e novos recu xiliando-os na revisao au , os un al s do em ag iz nd a apre labora de maneira eficaz dos temas trabaihados, e co professor. corn a pratica pedagOgica do marcas que fazem Simplicidade e praticidade: o Caderno do Futuro.

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